1강 복소평면과 복소수의 극형식(Ch 13.1 ~ 13.2)

안녕하세요 크라이지그 공업수학 Part D 복소해석 부분을 처음 수업을 시작하도록 하겠습니다 13장부터 18장까지 총 6단원의 내용을 배우게 될 것인데요 이번에 배우는 13단원은 전체 내용 중에서 가장 기본이 되는 내용으로서 복소수와 복소함수에 대해서 공부를 할 것입니다. 그리고 이러한 기본을 바탕으로 복소 미분으로 넘어가서 그 다음 14단원부터 이루어지는 복소적분에 대한 내용으로 이어질 것입니다. 그러면 복소수와 복소함수 내용 부분을 먼저 시작하도록 하겠습니다. 오늘 수업을 할 내용은 13.1단원부터 13.2단원까지의 내용인데요 13.1단원부터 보시면 가장 먼저 복소수라고 하는 개념이 등장하게 됩니다 복소수는 고등학교 때도 배웠지만 우리가 알고 있던 실수 범위에서는 이러한 이차방정식이 주어졌을 때 이차방정식의 근을 우리가 구할 수 없게 됩니다 이제 그것을 더 이상 근이 없다라고 말을 표현하는 것이 아니라 수학자들이 어떤 새로운 단위의 수를 만들어 내므로써 이제 이것도 근을 표현을 할 수 있게 만든 건데요 그것을 우리는 이제 i라고 표현을 하고 i 혹은 이제 뭐 전기과나 이런 쪽에서 j로 표기도 하기도 하는데요 일단은 i로만 여기서 수업을 i로 표기하도록 하겠습니다 그래서 이제 i는 허수단위라고 표현을 합니다 그래서 이제 여기까지 허수라고 하는 우리가 원래 알고 있었던 실수의 개념에서 더 새로운 숫자인 허수를 만들어내고 그리고 이러한 실수와 허수가 모두 포함되어 있는 이러한 더 큰 실수라고 하는 영역이 이렇게 있고 허수라고 하는 영역이 이렇게 아예 공통점이 하나도 없었는데 이 사이에 이거를 모두 아우르는 새로운 숫자를 만들어내고 이것을 우리는 복소수라고 부릅니다. 그래서 이렇게 일반적으로 우리가 복소수를 표현을 하게 되는 것은 이제 이런 식으로 표현을 하게 되는데요. z는 이제 일반적으로 복소수를 표현할 때는 z라는 기호를 사용을 하고 z는 x plus iy라는 형식으로 표현을 하는데 x와 y는 여기서 실수입니다. 그리고 i는 이제 여기서 말씀드렸던 허수 단위를 그대로 사용을 하고 있고요. 그래서 여기 x는 x와 y 모두 실수인데 x는 이제 z의 실수 part라 불러서 Real 줄여서 Re라고 해서 Re z로 표현을 하고 y는 허수 부분이어서 Imaginary의 허수 부분에서 Im 따와서 Im z 이런 식으로 우리가 표기를 할 것입니다. 그래서 이제 복소수 안에 실수와 허수가 포함된 건 어떻게 보이냐면 y는 0을 대입하면 그냥 z는 x가 되는데 그럼 그 z값은 실수가 되는 것이고 그리고 x는 0을 대입하면 z는 iy가 되는데 그건 이제 허수가 되겠죠. 그래서 실수도 아니고 허수도 아닌 어떤 새로운 숫자 가장 일반적인 형태의 복소수를 우리는 아까 말씀드렸듯이 x plus iy라는 식으로 쓰게 될 것입니다. 그러면 이제 등장한 것이 복소평면이라고 하는 개념이 등장을 하게 되는데요. 이거는 이제 설명을 들으시면 이런 복소평면이라고 하는 개념이 당연히 나올 수밖에 없구나라는 것을 알 수 있게 될 것입니다. 우리가 일반적으로 어떤 실수 x를 표현을 할 때 어떤 실수 x는 x0라는 점을 표현을 할 때 우리는 그냥 어떤 하나의 축 축 하나만 있으면 이 x0라고 하는 점을 우리가 임의로 표현을 할 수 있습니다. 예를 들어 x0라고 하는 값이 1하고 2 사이에 어떤 값이다라고 한다면 이런 식으로 우리가 표기를 할 수 있겠죠. 그리고 만약에 마이너스 2하고 0 사이에 어떤 값이다. 예를 들어 마이너스 1.5다라고 하면 여기 이렇게 찍으면 되겠죠. x0를. 그런데 복소수 같은 경우에는 예를 들어 z는 x0 플러스 i y0라고 하는 값을 우리가 이 축 하나로만 표현을 한다고 한다면 x0 값은 우리가 표현을 할 수 있는데 iy0라고 하는 값은 우리가 표현을 할 수가 없게 됩니다 그래서 여기서 등장한 것이 얘를 표현하기 위한 축이 하나가 필요하고 얘를 표현하기 위한 축이 하나가 더 필요하겠구나라는 생각을 하게 되고 거기로부터 만들어진 것이 이제 평면입니다 그래서 이것을 x0 값을 표현하는 x축과 y0 값을 표현하는 y축 이렇게 두 개가 만나서 라고 하는 이 점 x0, y0라고 하는 이 점을 우리는 이제 z를 표기를 한다고 할 거고 얘를 x0 plus iy0로 이런 식으로 평면상에서 이제 모든 복소수를 표현을 하게 될 것입니다. 그래서 이런 식으로 우리가 이제 표기를 하겠다. 그래서 우리는 이 점을 그냥 z라고 표현을 하기도 하고 x0 플러스 iy0라고도 표기하기도 하고 x0, y0라고 우리가 그냥 일반적인 실수 평면상에서의 한 점과 같은 방식으로 표현을 하기도 합니다. 그러면 이제 우리가 새로운 수를 정의하였기 때문에 그 안에서의 사칙연산이 어떻게 되는지부터 보려고 하는데요. 두 복소수 z1과 z2를 이런 식으로 설정을 했다고 했을 때 덧셈과 뺄셈 같은 경우에는 되게 직관적으로 이루어집니다. 이제 z1 더하기 z2 혹은 z1 마이너스 z2 같은 경우는 이런 식으로 이루어지게 되는데 이제 실수 부분과 허수 부분을 각각 나누어서 계산을 하게 됩니다. 그래서 x1은 x2하고만 계산을 하면 되고 y1은 y2하고 계산한 다음에 i를 붙여주면 됩니다. 그래서 x1 ± x2가 이렇게 묶이게 되고 그리고 y1 ± y2가 이렇게 묶이게 됩니다. 이제 곱셈과 나눗셈이 조금 더 복잡해지는데요. 곱셈 같은 경우에는 곱셈을 이렇게 표현을 합니다. 분배법칙이 그대로 성립을 하기 때문에 이런 식으로 분배법칙을 쭉 풀어 쓸 수 있습니다. 쭉 풀어 쓰게 되면 여기에서 i제곱이 형성이 되는데요. 교환법칙이 성립을 하니까 i제곱 같은 경우에는 마이너스 1이라고 우리가 맨 처음에 정의를 했기 때문에 이런 식으로 얘는 마이너스 곱하기 y1, y2가 됩니다. 그래서 이 부분이 이렇게 x1, x2, y1, y2가 되고 그다음에 이 부분은 그대로 써서 이렇게 됩니다 그래서 곱셈과 같은 경우에는 여기 보시면 좀 직관적이지는 않지만 그래도 그냥 풀었으면 이렇게 될 것이라는 것을 분배 법칙을 통해서 확인할 수 있습니다 마지막으로 나눗셈입니다 나눗셈은 나눗셈이 어떻게 계산을 하냐면 일단 과정은 여기 그대로 나와 있는데요 여기에서 궁금한 점은 여기에서 이건 그대로 가고 여기에서 이렇게 넘어갈 때 이거랑 이거랑 무슨 차이가 있나 보면 분모 분자에 이 값을 곱해주는 차이가 있습니다 그럼 이 값을 왜 곱해주느냐 왜 하필 이 값이냐라는 생각이 들 수 있는데요 이것은 뒤에 나오는 공액복소수라는 개념을 배우시면 좀 더 잘 와닿겠지만 일단은 어떤 좋은 아이디어가 떠올라서 이것을 곱했다라고 생각을 합시다. 이것을 곱하면 신기하게도 이 부분을 계산을 하게 되면 여기 보시면 얘랑 얘랑 이렇게 곱하고 얘랑 얘랑 곱해서 더하게 되면 0이 나옵니다. 그래서 얘네를 계산을 하면 x2의 제곱 더하기 y2의 제곱이라고 하는 실수값이 등장을 하게 됩니다. 그래서 분모가 완전 실수로 표현이 되고 그리고 분자는 분자 같은 경우에 쭉 풀었으면 이런 식으로 이거 플러스 i 곱하기 이거로 표현이 되는데요 그런데 우리는 이제 z2 분의 z1이라고 하는 거를 우리는 앞에서 복소수는 이러한 형태 a plus ib 이때 a 하고 b는 실수인 이러한 형태를 복소수라고 정의하였기 때문에 나눗셈을 해도 그 값을 복소수로 표현하고 싶은 것이고 그래서 이러한 형태로 표현을 하고 싶은 것입니다 그래서 이러한 형태로 표현을 하기 위해서 이제 우린 분모는 실수로 만들어 주었으니까 이런 식으로 나눠 쓸 수 있다 라는 것까지 알 수 있습니다. 그리고 그러면 여기에서 이제 우리가 아까 좋은 아이디어라고 말씀드렸던 이 값들은 왜 이 값을 생각을 하게 되었는지는 이제 결국은 분모를 실수로 만들어주기 위함인데 분모를 실수로 만들어주기 위해서는 이제 실수분과 허수분 그대로 쓰고 그 대신 ±만 바꿨으면 된다 라는 것도 여기서 눈치채실 수 있습니다 그 이유는 다음에 배우도록 하겠습니다 그래서 여기서 제가 말씀드렸던 복소수의 덧셈과 뺄셈 부분은 이렇게 그림으로 복소평면상에서 나타낼 수 있는데요. 어떤 두 점 z1과 z2를 이렇게 이 두 점으로 나타냈다고 합시다. 그럼 두 점의 덧셈은 복소평면상에서 우리가 나타낼 수 있는데요. 그것은 z1은 x1, y1으로 나타내고 z2를 x2, y2로 나타내게 되면 Z1과 Z2로 이루어진 평행사변형을 만들 수 있습니다. Z2와 평행하면서 길이가 똑같은 Z1부터 시작해서 그리고 나머지를 이어주면 이런 평행사변형을 만들 수 있게 되는데 이 평행사변형의 대각선이 Z1 더하기 Z2가 됩니다. 그냥 이 점이 Z1 더하기 Z2의 결과가 우리가 Z1을 X1 더하기 iY1, Z2를 X2 더하기 iY2라고 했을 때 Z1 더하기 Z2는 x1 더하기 x2 플러스 i의 y1 더하기 y2라고 하는 것을 우리가 알고 있습니다 그래서 얘를 복소평면상에 나타내게 되면 x1 더하기 x2, y1 더하기 y2가 된다는 것을 알고 있는 거죠 그래서 이 세 점 사이의 관계는 이렇게 평행사변형을 이룬다는 것을 우리가 알고 있기 때문에 이런 식으로 표현이 됩니다. 이 두 점의 중점을 찍으면 중점이 이거의 절반이니까 이거랑 이거는 평행사변형의 성질에 의해서 두 길이가 같으니까 그렇게 되겠죠. 그래서 뺄셈과 같은 경우에도 minus z1 더하기 z2 같은 경우에는 z1을 원점에 대해서 대칭시키면 minus z1이 될 거고 그다음에 이 minus z1과 z2를 더하게 되면 minus z1 더하기 z2 즉 z2 minus z1 값을 우리가 뺄셈을 계산할 수 있게 됩니다. 이제 13.1단원의 마지막에 나오는 부분이 공액복소수입니다. 공액복소수는 영어로 complex conjugate number라고 부르는데요. 공액복소수라고 하는 개념은 되게 자주 등장하는 개념입니다. 그래서 어떤 복소수 z는 x plus i y에 대해서 공액복소수는 무엇이냐 하면 z에다가 이렇게 위에 바를 붙이게 됩니다. 바를 붙이는 것은 무슨 의미냐라고 한다면 이제 허수 부분 y 대신에 마이너스 y를 대입합니다. 마이너스 y를 대입해서 이런 식으로 표현하는 것을 공액복소수라고 합니다. 공액복소수는 이제 많이 사용이 되니까 이거 꼭 기억을 해주셨으면 좋겠습니다. 그래서 이것이 갖는 특징은 이제 뭐 네 가지 정도로 정리를 할 수 있는데요. 첫 번째로 이제 한번 더해봅시다. 두 개를 더해보면 이렇게 얘 더하기 얘를 하면은 이 허수 부분이 지워지기 때문에 실수 부분만 남고 2배가 됩니다 그래서 2x가 되고 앞에서 우리는 x는 실수 부분이기 때문에 real z로 표현을 한다는 것을 배웠습니다 그래서 여기로부터 얘는 얘랑 같으니까 2로 나눠주면 z의 real part는 자기 자신과 그것의 공액복소수를 더한 것을 2로 나눈 것과 같다는 것을 알 수 있습니다 그리고 또 한 번 빼보면은 이제 z-zbar를 해보면은 이런 식으로 계산이 되는데 이것은 이제 실수 부분은 이번에 다 지워지기 때문에 허수 부분만 남게 되고 2iy가 된다는 것을 알 수 있습니다. 그리고 y가 우리가 이제 허수 부분이었기 때문에 imaginary z라고 표현을 해서 이런 식으로 표현이 된다는 것도 알고 있습니다. 그래서 여기와 같이 이런 식으로 표현이 가능하다. 이것도 minus 이 형식으로 표현된다는 것도 알 수 있죠. 다음에 곱해봅시다. 곱하게 되면 이게 아까 나왔던 특징인데요. 자기 자신과 그것의 공액복소수를 곱하게 되면 여기서 보면 x 더하기 iy 곱하기 x 빼기 iy의 전체 제곱인데 x²-iy의 제곱이 되는데 얘는 x² 더하기 y의 제곱이 되는 거죠 왜냐하면 i제곱이 마이너스 1이니까 그래서 이런 식으로 x² 더하기 y제곱을 나타나게 되고 이것은 우리는 다음 단원에서 배우겠지만 복소수의 크기의 제곱이라는 것도 우리가 알 수 있습니다 간단하게 설명을 드리면 어떤 복소수를 아까 저희가 복소평면에 나타낼 수 있다고 하는데요 복소평면상에 어떠한 점을 Z를 나타냈을 때 Z의 크기를 우리가 정의할 건데 그 크기는 어떻게 정의되냐면 Z는 우리가 X,Y라고 나타낼 수 있다고 말했잖아요 그래서 이렇게 있는 이 길이를 우리는 복소수의 크기라고 말할 겁니다 근데 여기에서 어쨌든 피타고라스 정리가 성립을 하기 때문에 이 길이가 X고 이 길이가 y이기 때문에 90도고 그래서 이 길이는 √X제곱 더하기 y제곱이 된다는 것을 알고 있습니다 그런데 아까 Z 곱하기 Zbar를 하면 X의 제곱 더하기 y의 제곱이 되기 때문에 얘는 길이의 제곱이 되는 거죠 길이의 제곱, 얘가 길이이기 때문에 이렇게 된다는 것도 알 수 있습니다 그래서 어떤 복소수로부터 그 복소수를 실수로 만들고 싶다라고 한다면 공액복소수를 곱하게 되면 실수가 된다는 것을 알 수 있습니다 그 다음에 이제 마지막으로 복소수끼리 연산에 있어서 바를 취해주게 됐을 때 어떻게 될 것이냐를 본다면 플러스 마이너스 같은 경우에는 이렇게 나눠주면 됩니다 각각에 대해서 z1에 나눠주고 z2에 나눠주고 전체에 대해서 바를 했을 때입니다 그리고 곱셈도 전체에다가 바를 이렇게 붙였을 때는 각각의 바를 붙인 것끼리의 곱셈과 같습니다 그리고 나눗셈 같은 경우에도 이 전체에다가 바를 붙여준 이거는 각각의 바를 붙여준 다음에 계산하는 것과 같습니다 그래서 이거를 한번 이제 모두 다 증명이 가능한데요 그 중에서 이거 하나만 한번 증명을 해보도록 하겠습니다 Z1과 Z2를 이런 식으로 두었다고 했을 때 z1 곱하기 z2는 x1 더하기 i y1 x2 더하기 i y2 해서 이제 그대로 계산한 값을 사용을 하면 x1 x2 더하기 minus y1 y2 plus 이제 i에 x1 y2 더하기 x2 y1이 됩니다. 그래서 이제 우리가 알고 싶은 거는 z1, z2 전체의 바가 z1 바 곱하기 z2 바가 되느냐 이걸 알고 싶은 것이기 때문에 전체의 바를 취해줍니다. 전체의 바, 전체의 바를 취해주게 되면 이것만 마이너스로 바뀌면 되겠죠. x1, x2-y1, y2-i의 x1, y2 플러스 x2, y1 이런식으로 그러면 z1bar 곱하기 z2bar을 계산해봅시다. 계산을 하면 x1-iy1 곱하기 x2-iy2가 되고 이걸 계산을 하면 x1, x2 이렇게 계산하면 y1, y2 하고 그 다음에 이렇게 계산하면 –i로 묶고 x2y1에 이렇게 계산하면 plus x1y2가 됩니다. 그래서 이 결과와 이 결과를 비교를 하게 되면 실수부분은 x1, x2, y1, y2로 갖게 되고 허수부분은 –i, –i로 묶이는데 안에 들어가 있는 내용이 x1, y2, x2, y1, x1, y2, x2, y1이 돼서 둘이 똑같다는 것을 우리가 알 수 있습니다. 그러면 다음 내용은 이제 칠판을 지우고 수업을 하도록 하겠습니다. 여기에서는 극형식이라고 하는 것을 배우게 됩니다 극형식은 복소수를 표기하는 새로운 방법인데요 앞에서는 우리 복소수를 z는 라고 하는 이러한 표기법에 대해서 배웠습니다 그런데 어떤 다른 복소수 계산을 하거나 여러가지 특성을 표현한 것이 있어서 이 방식이 조금 불편한 경우가 있습니다 그래서 이것을 조금 더 새로운 표현법을 사용함으로써 나중에 계산을 할 때 도움을 더 쉽게 쉽게 할 수 있도록 하기 위해서 새로운 표기법을 사용하게 될 것입니다 그것은 무엇이냐면 복소평면을 x,y라고 하는 점으로 x와 y라고 하는 두 가지 실수로 표현을 하게 되었는데요 그런 두 개의 실수가 아니라 길이라고 하는 r과 x축의 양의 방향 실수축의 양의 방향과 이루는 각도를 θ라고 정의했을 때 이 r과 θ를 이용해서 복소평면상의 어느 한 의미의 한 점을 표현을 하게 될 것입니다. 그래서 그 관계를 보면 x 플러스 iy라고 했을 때 x는 이 거리가 x가 되는데요. 이 만큼 거리. 이 x는 삼각형에서 cos, sin을 사용하게 되면 이게 r일 때 여기 θ면 이 길이는 rcosθ가 될 것이고 그리고 이 길이는 rsinθ가 될 것입니다. rsinθ. 그래서 x하고 y를 이런 식으로 우리가 표기를 할 수 있습니다. 그러면 복소평면상에 임의의 한 점을 r과 θ를 이용해서 우리가 표기를 할 수 있게 되고 그것은 이런 표기법으로 나타나게 될 것입니다. 이런 표현 방법을 극형식이라고 할 건데요. 여기서 r과 θ에 대해서 조금 더 자세하게 살펴보면 r은 아까 이전에 말씀드렸던 복소수의 크기가 됩니다. 절대값 z. 절대값 z는 피타고라스 정리에 의해서 이런 식으로 표기를 할 수 있습니다. 그리고 당연히 크기이기 때문에 0보다 크거나 같다 라고 하는 성질을 가질 것이고 r도 당연히 실수겠죠. 그 다음에 세타라고 하는 값이 있는데 세타는 이제 뭐라고 쓸 거냐면 이런 식으로 표기를 할 겁니다. 여기서도 이런 식으로 절댓값을 이용해서 표기를 하듯이 여기서도 argument 각도를 뜻하는 영어 단어 argument에 arg를 따와서 arg z 이런 식으로 표현을 할 것이고 이 각도는 어떻게 측정하냐라고 한다면 우리가 x 플러스 iy라고 하는 x, y 값을 알고 있을 때 탄젠트 역함수 x분의 y를 이용해서 우리가 세타 값도 계산할 수 있다는 것입니다. 그런데 한 가지, 각도를 측정할 때 그러면 이만큼의 각도를 우리가 표현하는 것에 있어서 그냥 이 세타, 이 각도뿐만 아니라 이렇게 한 바퀴 돌고 온 이 세타, 2π plus θ고 어차피 똑같은 방향을 나타냅니다. 똑같은 값을 나타냅니다. r이 고정돼 있을 때 θ가 이 값을 θ0라고 했을 때 θ0, θ0 plus 2π, θ0 plus 4π 그럴 때 모두 다 똑같은 복소수를 나타내게 됩니다. 그래서 어떤 이 복소수를 나타내는 어떤 하나의 유일한 θ값을 우리가 정의할 필요가 있는데요. 그것을 우리는 이제 주값이라고 부르게 됩니다. 그래서 argument의 주값이다 해서 대표하는 값이니까 이 a 대신에 큰 기호 라지 A를 사용해서 이런 식으로 표기를 할 것입니다. 그래서 argument z는 범위가 제한이 없습니다. 그런데 큰 Argument, 이거는 범위가 minus pi부터 pi까지 제한이 되어 있고 pi에만 등호가 들어가 있는 형태입니다. 그래서 그림으로 나타내게 되면 이쪽 방향으로 이렇게 측정해서 pi까지 측정이 가능하고 그다음에 minus로 출발해서 minus pi까지 이렇게 측정이 가능한 것입니다. 그래서 이제 small a argument와 large A argument의 관계식을 보면 이런 식으로 표현을 할 수 있을 것입니다. n은 0 이상의 정수. 네 그래서 여기서 아까 말씀드린 이제 크기, 복소수의 크기라는 개념을 사용을 해서 삼각 부등식을 우리가 볼 수 있는데요. 이제 앞에서 이제 복소수의 덧셈을 할 때에 이러한 복소수 z1과 복소수 z2에 대해서 크기는 요 길이는 z1 크기가 되겠죠. 그리고 요 길이는 z2의 크기 절댓값 z2가 될 것입니다. 그럴 때 요 길이는 절댓값 z1 더하기 z2가 되는데 우리가 이 길이랑 이 길이랑 같기 때문에 이 삼각형을 보시면 삼각형의 두 변의 길이의 합은 반드시 다른 한 변의 길이보다 길기 때문에 이런 관계식이 성립을 하게 됩니다. 이건 이제 물론 z1과 z2가 평행하지 않는다는 가정이 있어야겠죠 그러면 이제 등호가 성립하지 않고 무조건 부등호로 성립을 하게 됩니다 그래서 이걸 우리가 일반화 시켜버리면 일반화 시키면 임의의 N개의 복소수를 우리가 더하게 되었을 때 모두 평행하지 않는다면 이렇게 부등호가 성립하게 될 것이다 각각의 크기의 합보다 항상 작을 것이다 라고 하는 것도 우리가 알 수 있습니다 이것의 증명은 이제 귀납적으로 증명을 해나가시면 이제 증명할 수 있을 것입니다 그래서 우리가 극형식으로 표기를 했을 때 특징인데요 특징은 먼저 크기, 곱한 것의 크기는 각각의 크기의 곱과 같다 또 나눈 것의 크기는 각각의 크기를 나눈 것과 같다 라고 하는 특징이 있습니다 그리고 각도에 대한 특징은 곱한 것의 각도는 각각의 각도를 더한 것과 같다 그리고 나눈 것의 각도는 각각의 각도를 뺀 것과 같다. 라고 하는 특징이 있습니다 그래서 요건 이제 곱한 거에 대해서 한번 증명이라기보다는 한번 그냥 풀어 쓰면요 이제 우리가 임의의 두 복소수 z1과 z2를 이제 요런 식으로 표현할 수 있다 라고 하는 것을 앞에서 배웠는데 이제 극형식이라고 말한다 했고 그걸 이제 크기를 r1, r2 그 다음에 각도를 θ1, θ2라고 정의를 합시다 그럴 때 곱셈을 이제 해보면 곱셈을 해보면 요런 식으로 쫙 전개가 될 텐데 여기에서 신기하게도 실수 부분을 보면 계산했을 때 cosθ1 cosθ2-sinθ1 sinθ2가 나오게 됩니다 실수 부분은 그리고 허수 부분은 sinθ1 cosθ2 더하기 cosθ1 sinθ2가 됩니다 그런데 이건 굉장히 익숙해 보이는 건데요 고등학교 때 이제 삼각함수의 덧셈 공식에서 이 값은 cos(θ1 더하기 θ2)가 된다는 것을 배웠고 이 값은 sin(θ1 더하기 θ2)가 된다는 것을 배웠습니다 그래서 이제 원래 것과 비교를 해보면 어쨌든 크기는 r1, r2인데 각각의 크기, 얘네가 z1, z2의 크기니까 각각 크기의 곱이랑 같다는 것도 지금 증명이 된 거고 그리고 각도도 보면 원래 각도 θ1, θ2에 대해서 지금 각도가 θ1 더하기 θ2로 바뀐 것을 확인할 수 있습니다 그래서 이것도 증명이 된 것이죠 똑같은 방식으로 나눗셈도 하시면 이러한 결과를 각각 얻을 수 있을 것입니다. 다음으로 등장하는 것이 그러면 복소수를 거듭제곱했을 때 어떻게 나타날 것이냐. 앞에서 말씀드렸듯이 z는 x ± iy라고 둔 다음에 거듭제곱을 해도 됩니다. 그런데 한 번만 해보면 z의 제곱은 x의 제곱 – y의 제곱 plus i의 2xy가 나타나게 됩니다. 뭔가 그럴싸한데 얘랑 얘랑의 관계식을 찾기가 너무 어렵죠. 그래서 극형식을 우리가 근데 생각을 해보면 극형식으로 이제 복소수를 표현하게 되면 r 곱하기 cosθ 더하기 i sinθ로 표현을 하면 우리는 이제 이런 관계식을 방금 배웠습니다. 절대값 z1, z2 두 개 곱한 거는 절대값 z1 곱하기 절대값 z2다 라고 하는 것을 배웠는데요. 만약 z1과 z2가 그럼 같다면 같다면 얘네 둘이 같으니까 이렇게 표현이 될 것이고 각각의 제곱이 됩니다. 그래서 이것을 우리가 z3제곱, z4제곱, z5제곱 이런 식으로 쭉 늘려서 zn제곱으로 이제 확장을 시키면 이런 식으로 표기가 될 것이고 z의 크기가 r이기 때문에 r의 n제곱이다로 작성할 것을 알 수 있습니다. 그래서 z의 n제곱에서의 크기는 원래 z의 n제곱이랑 같고 크기의 n제곱이랑 같고 그건 r의 n제곱이다 라고 하는 것을 우리가 쉽게 구할 수 있습니다. 그리고 그러면 나중에 우리가 z의 n제곱을 알고 싶은 건데 z의 n제곱을 알고 싶을 때 얘를 결정하려면 크기와 각도만 알면 됩니다. 근데 크기는 우리가 여기 구했으니까 그럼 이제 각도만 구하면 되는데요. 각도는 어떻게 구하냐면 앞에서 또 한 거 그대로 사용을 하면 Z1과 Z2가 같을 때는 이런 식으로 표기가 되겠죠. 이것은 근데 아까 말했듯이 각도의 합과 같고 각도의 합은 두 개가 같으니까 2배가 될 것입니다. 그래서 또 z제곱이 아니라 z3제곱, z4제곱, zn제곱으로 늘려가게 되면 이런 식으로 성립을 하게 될 것이고 이 값은 theta라는 것을 우리가 알고 있기 때문에 이거는 이제 ntheta로 나타나겠다는 것까지 알 수 있습니다. 그래서 우리 이제 다 구한 거죠. zn제곱의 각도는 ntheta고 zn제곱의 크기는 rn제곱이라는 것을 구해서 zn제곱은 이런 식으로 표기가 된다는 것까지 우리가 이제 보일 수 있습니다. 이게 그래서 거듭제곱의 형태로 매우 간단하게 표현이 가능한 거죠 각도는 n배 해주면 되는 거고 크기는 n제곱 해주면 되는 거고 그래서 이제 특징적으로 r은 1일 때를 우리가 생각을 해보면 r은 1일 때 생각을 하면 cosθ 더하기 i sinθ의 n제곱을 하면은 그냥 n이 이렇게 각도로만 들어가면 된다 그래서 이런 식으로 표기가 된다 이것을 알 수 있고 이거는 이제 드무아브르 공식이라고도 부릅니다 다음으로 배울 것은 근입니다. 근은 그러면 우리가 z의 n제곱은 구했는데 그러면 n제곱근은 어떻게 되냐라고 하는 문제입니다. z의 n제곱은 그러니까 하나로 우리가 대응이 됐습니다. z가 r 곱하기 cosθ 더하기 i sinθ라고 했을 때 z의 n제곱은 r의 n제곱 곱하기 cosθ 더하기 i sinθ의 형식으로 나타났는데 그러면 n제곱근은 어떻게 될 것이냐. 그러면 이제 z가 우리가 알고 있다고 합시다. r과 θ값이 주어진 값인 거죠. 그러면 이제 얘를 어떻게 구할 것이냐라고 한다면 새로운 복소수 w를 w가 이것이라고 합시다. 그때 우리는 w는 이렇게 두고 우리가 결국 알고 싶은 건 얘가 뭔지 궁금한 거니까 w가 뭔지 궁금하게 된 것이고 w를 알려면 이 r과 φ라고 하는 값을 구하게 됩니다. 그래서 이제 결국 r과 φ가 무엇이냐 라고 하는 것이 이제 우리가 구하고자 하는 문제로 바뀌게 됩니다 그럼 이제 얘를 풀기 위해서 n제곱을 각각 해주면 이제 얘는 우리가 구할 수 있으니까 w의 n제곱은 z가 되는데 w는 우리가 이렇게 뒀으니까 그리고 앞에서 거듭제곱에 대해서 우리가 배웠으니까 w의 n제곱은 이런 식으로 표현된다 라는 것도 알 수 있죠 그러면 이 두 복소수가 같기 때문에 두 복소수의 크기도 같을 것이고 두 복소수의 각도도 같을 것입니다 그래서 크기를 비교를 해보면 일단 얘의 크기는 ρ의 n제곱이고 z의 크기는 r이기 때문에 그래서 이제 우리는 r과 φ가 궁금한데 r은 이런 식으로 구할 수 있게 되는 것이죠. 그 다음에 그럼 이제 φ를 구해보도록 하겠습니다. 그럼 각도도 서로 같기 때문에 이 각도가 같다는 것은 여기서는 nφ가 되는 것이고 nφ는 θ 더하기 2kπ의 형식으로 나타나게 될 것입니다. K는 아규먼트이기 때문에 같다고 하는 것은 2kπ이고 K가 얼마든지 상관이 없습니다. 그런데 이것을 n으로 나눠준다고 생각해봅시다. 그러면 이런 식으로 표현이 될 텐데 K가 만약에 n이라고 한다면 n분의 θ 더하기 2π가 됩니다. n분의 θ 더하기 2π 그런데 k가 0일 때 생각을 해보면 n분의 θ인 거죠 그럼 n분의 θ 더하기 2π나 n분의 θ나 여기다 대입을 하게 되면 똑같은 값을 나타내게 됩니다 똑같은 복소수를 표현하게 되는 것이죠 그러니까 우리가 계산했을 때 그 값이 특정한 하나의 값만 지칭을 하게 되는 게 아니라 중복되게 표현을 하게 됩니다. 그래서 이 중복을 막기 위해서 우리는 k의 범위를 이런 식으로 제한을 하게 됩니다. 0부터 n-1까지 총 n개가 있는 것이죠. n제곱근을 구할 수 있게 된 것입니다. 그리고 신기하게도 앞에서 거듭제곱은 하나로만 대응이 되는데 n제곱근은 n개의 값으로 나타나게 되는 것입니다. 그래서 특별한 케이스를 한번 살펴보면 Z는 1이라고 하는 케이스를 살펴봅시다. Z는 1은 당연히 크기가 1일 거고 각도는 0이 되겠죠. 그러면 얘는 N제곱근을 표현을 하면 이 그대로 사용을 해서 R은 1을 대입하고 θ는 0을 넣으면 이런 식으로 표현될 것입니다. 이때 그러면 이것을 만족하는 n제곱근은 이제 n개가 있겠죠. n개가 있을 텐데 이거를 그림상에서 복소평면상에서 어떻게 나타낼 것이냐라고 한다면 n이 6일 때를 생각을 해보면 n은 6일 때는 이런 식으로 복소평면상에서 일단 1이 찍히겠죠. k가 0일 때 생각을 해보면 1 더하기 i 곱하기 0이니까 1이겠죠. 그럼 이 값이 표현될 것이고 그다음에 k가 1일 때를 생각을 해보면 6분의 2π 더하기 이제 세타가 6분의 2π가 돼서 3분의 π가 됩니다 3분의 π란 거는 cos 3분의 π 더하기 i sin 3분의 π니까 그 말은 cos 3분의 π, sin 3분의 π인 거고 그건 이제 각도가 3분의 π일 때의 점이 됩니다 똑같이 이제 k가 2일 때도 대입을 해보면 3분의 2π, 3분의 2π가 돼서 이 값이 표현이 되고 그래서 이것을 다 계산을 해보면 이렇게 6개의 점 이 표현이 된다는 것도 알 수 있습니다 그리고 이거는 이제 보면은 이제 이건 n이 6일 때의 케이스인데요 n이 6일 때 말고 임의의 케이스에 대해서도 우리가 이제 복소평면상에 쉽게 표현할 수 있는 방법은 뭐냐면은 n제곱근 1이라고 하는 거는 근은 당연히 당연히 z는 1은 반드시 1이라고 하는 건 무조건 근이 됩니다 그렇기 때문에 1을 먼저 기준으로 잡고 n을 각도가 2π인데, n제곱근을 알고 싶다면 2π를 n등분을 하면 됩니다. n등분해서 n등분한 점들을 각각 다 근이라고 말할 수 있게 됩니다. 그래서 제곱근을 사용한 연습문제 한 문제만 풀어보려고 합니다 조그맣게 써놓긴 했는데요 여기서 보면 연습문제 13.2단원의 21번 문제입니다 1-i의 3제곱근을 구해봐라 라고 한다면 사실 그대로 대입을 하면 되긴 하는데 z를 1-i라고 우리가 두고 그러면 크기는 √2가 된다는 것도 알 수 있습니다 √1제곱 더하기 1제곱이니까 그래서 √2가 되고 이게 r이 되겠죠 그리고 각도는 이제 우리는 각도는 주값으로 표현을 할 것인데 그 주값은 마이너스 4분의 π가 됩니다 그래서 그 값은 우리가 이제 생각을 해보면 이 됩니까? 이 값은 이렇게 측정하겠죠 그래서 마이너스 4분의 π가 됩니다 이것만 알면 이제 우리가 다 구한 거죠 n은 3이고 r과 θ값 우리가 다 아니까 그러면 이제 3제곱근 z는 이제 크기가 2의 2분의 1제곱이니까 이렇게 3분의 1제곱을 해주면 이런 식으로 표현되고 그 각도도 마이너스 4분의 파이에서 3분의 1을 해주고 그 다음에 2k파이도 3분의 1을 해주면은 이런 식으로 표현될 것이다 k는 0부터 0, 1, 2 이런 식으로 표현된다는 것을 알 수 있습니다 여기까지 해서 13.1단원과 13.2단원에 대한 내용 첫 번째 수업 내용을 마쳤습니다 다음부터는 복소함수에 대해서 공부를 하고 그리고 복소함수에 대한 미분 이런 것들에 대해서 공부를 시작하도록 하겠습니다 감사합니다