OC-01-1

안녕하세요 여러분 박재욱 선생님입니다 자 반갑습니다 자 그동안 선생님이 현강에서 여러분들과 많이 접해본 것이 있었고 실제로 선생님이 다른 곳에서 강의하는 곳에서 여러분들이 많이 인강으로 봤겠지만 선생님이 따로 여러분들 시험과는 무관하게 아주 제대로 된 공부 제대로 된 일변수 미적분학을 한번 파헤쳐보기 위해서 한번 찢어보기 위해서 선생님이 이제 이 강좌를 찍게 되었습니다 여러분도 잘 알다시피 선생님이 좀 더 많은 내용과 퍼펙트한 개념적으로 유명하지만 선생님이 조금 더 깊이 있는 내용을 다뤄서요 어떤 대학교에 처음 들어가자마자 미적분학을 접했을 때 문과 출신에서 이과로 간 학생들 교차 지원한 학생들 또는 이과 출신이지만 좀 더 깊이 있는 부분을 배우려고 하는 학생들 그리고 실제 대학 입학을 앞두고서 저 앞에 있는 미적분학에 대해서 전체를 한번 훑어보고 싶은 학생들 물론 당연히 대학 미적분학이기 때문에 상당히 깊이 있는 내용이 많겠죠? 그러나 처음에 아주 쉬운 것부터 차근차근 차근히 해서 여러분이 고등학교 때 배웠던 내용들까지 같이 한번 접해보면서 대학 수학까지 한번 가보도록 하겠습니다. 여러분들 저만 믿고 따라온다면 진정한 고수가 되는 건 여러분들 이미 다 알고 있죠? 그래서 여러분들이 한번 차근차근히 저와 함께 찢어보도록 하겠습니다. 지금 하고자 하는 이 강좌는 선생님이 갖고 있는 모든 강좌들 중에서 아주 제일 앞부분에 해당하는 기초적인 부분이죠 일변수 미적분학입니다 여러분 고등학교 교과과정에서 한 70% 정도 차지하는 부분이 많고요 그 이후로 30% 정도가 대학과정이 되면서 그런 고등학교 때 봤던 내용에서 왜 그런 현상이 일어난지 잘 몰랐던 학생들을 위해서 더 깊이 있는 대학적인 아이디어로 설명을 많이 하게 될 것입니다 굉장히 많은 도움이 될 것이고요. 이 미적분학 일변수는 AP Calculus를 준비하는 모든 학생들에도 마찬가지로 적용되기 때문에 이 내용 자체를 제대로 들어놓고 난다면 여러분이 추후에 어디 가서도 수학 때문에 밀릴 일은 절대 없다는 것 반드시 선생님이 확신 드릴 수 있겠습니다. 자 이제 한번 시작해 보도록 할까요? 모든 미적분학의 기초는 항상 여러분이 알아야 되겠죠? 함수가 됩니다. 여러분 Calculus라고 하는 것은 계산입니다. 계산을 통해서 미적분학에 대한 부분을 공부하는 것을 Calculus라고 하고요. 어떤 해석적인 부분이나 어떤 부분에서 어떻게 실변수의 움직임, 어떤 복소수에 대한 움직임을 파악하는 것보다는 어떤 그 자체의 수가 가지고 있는 현상들을 가지고 표현하는 것은 Analysis 뭐죠? 해석학이 됩니다. 똑같이 미적분학이나 해석학이나 다 뭡니까? 미적을 다루긴 다룹니다. 그냥 계산적인 부분이 중심이기 때문에 여러분이 어떠한 상황이 왜 그렇게 나오는지 여러분이 반드시 기억하길 바래요. 자 이제 Function 함수에 대한 부분을 먼저 시작해 보도록 하겠습니다. 이쪽에 시작해 보도록 할까요? 우리가 함수라고 하는 걸 들어가기 전에 우리가 선생님이 어떤 박스를 한번 쓰기 전에 선생님이 x, y라고 하는 것을 한번 보겠습니다. 이 녀석은 우리가 어떻게 쓸 것이냐면 이 순서쌍이죠. 이 녀석 자체의 순서쌍에 대한 개념을 우리가 표현하겠습니다. 어떻게 표현하느냐? x, y라고 하는 녀석이 바로 원소인데요. x가 A의 원소이고 y가 B의 원소인 상태 이런 형태를 한번 보도록 하겠습니다. 자 이렇게 쓰면 우리가 잘 알다시피 뭐가 됩니까? X, Y 순서쌍이죠? Order. Ordered Pair. 순서가 이루어진 쌍이에요. 순서쌍이라고 하는 녀석 자체는 바뀌면서 서로 다른 관계가 된다는 뜻이죠. 물론 여러분이 대학교에서 공부를 하다 보면 이 순서쌍으로 만들어진 XY라고 하는 녀석도 하나의 뭡니까? 관계, relation이라는 말을 씁니다. 해석학이 아닌 집합론에서는 관계라는 말로 표현하는데 아주 좋은 아이디어예요. relation이라는 말을 쓰지만 미적분학을 공부하는 학생들은 그냥 순서쌍에 대한 집합들을 보도록 하겠습니다. 어떤 규칙이 있겠죠? 막연하게 X, Y 두 개를 잡아놓겠습니다. 자 이제 우리는 뭘 한번 해보려고 하냐면 어떤 사각형 박스를 한번 그려보도록 하겠습니다. 자 사각형 박스 한번 그려볼게요. 그림 꼬라지 마라 이거 자 이렇게 됐어요. 자 이 박스를 그려놓고요. 자 여기서부터 여기까지를 선생님이 A라는 영역으로 한번 보도록 하겠습니다. 자 그리고요 여기서부터 여기까지는 어떻게 되냐면 B라는 영역으로 한번 보려고 합니다. 자, 이렇게 해서 A와 B라는 영역으로 봤을 때 A와 B가 뭉쳐져 있는 이 공간 자체를 우리는 뭐냐면 A×B라고 하는 걸로 표현합니다. 자, A×B라고 하는 걸 표현하고요. 이 A×B라고 하는 녀석 자체를 만들어 낸 것이 바로 이 녀석입니다. 다시 말해서 A×B라고 하는 녀석의 정의가 위쪽 부분이죠. A 속에 들어가 있는 모든 원소들과 B 속에 들어가 있는 모든 원소를 짝을 지어놓고 그 짝을 지어놓은 이 공간을 A×B, A 곱하기 B의 형태로 표현합니다. A 곱 B라고 읽고요. 곱집합이라고 합니다. A 곱 B라고 쓰고요. 다른 말로 이 곱을 뭐냐? 우리는 데카르트 곱이라는 말을 써요. 데카르트 곱이라고 하는 것은 어떻게 됩니까? 여러분도 잘 알다시피 데카르트는 알죠? 우리가 철학자이자 수학자입니다. 데카르트에 의해서 정의 내려진 곱입니다. 데카르트 곱이고요. 영어로 쓰면 Cartesian Product가 되겠죠. 그래서 데카르트 곱이라는 말을 쓰고요. 이 데카르트 곱이라고 하는 것은 결국에는 A 속에 들어와 있는 임의의 X라는 값과 B 속에 들어가 있는 임의의 Y라는 값을 서로 뭘 한다? 연결을 시켜서요. 어떤 쌍을 만들어 놓는 집합을 A x B라고 한다는 거예요. 그냥 이렇게 해서 우리가 공간상에서 아무거나 잡아놓고 이렇게 표현한다면 어떤 기준점을 찾기가 힘들기 때문에 이제 우리는 이 녀석을 좌표 평면에다가 우리가 대응을 시키도록 하겠습니다. 좌표 평면에다가 대응을 시킨다는 건 좌표 평면이 뭔지 알죠? 데카르트 평면입니다. 데카르트가 파리 위치를 발견하려고 하다가 만들어 놓은 게 좌표 평면이라는 얘기가 있죠. 그래서 좌표 평면에다 대응시키면 바로 어떻게 됩니까? X와 Y라는 값으로 표현할 수 있겠죠. 그래서 X와 Y라는 모든 녀석을 좌표 평면에다 대응을 시켜보겠습니다. 그렇다면 결론적으로 어떻게 됩니까? 이쪽에다가 우리는 어떤 축을 하나 이렇게 만들어낼 수 있겠죠. X축이라고 보겠습니다. 자 이쪽에 있는 녀석은 어떻게 됩니까? 아래쪽으로 이렇게 축을 하나 만들어낼 수 있겠죠. 아 이거 그림 꼬이지 마라. X, Y를 이렇게 만들어 놓는다면 결론적으로 어떻게 됩니까? 좌표 평면상에서 데카르트 곱을 결정할 수 있게 되겠죠. 자 이 표현 아주 중요한 표현입니다. 잘 기억해 놓도록 하세요. 자 이렇게 만들어졌다고 친다면 우리가 여기서부터 여기까지가 나와 있는 이 녀석은 A라는 영역 속에 들어가 있는 바로 집합들입니다. 집합들이고요. 여기 있는 녀석을 이제 유심히 봅니다. 이 속에 뭐가 있다고? 이미 X값이 들어있다는 뜻이고요. 이제 Y축 선상에 들어있는 이만큼의 영역을 우리는 뭐한다? 이제 B라고 두고 역시 이 속에 뭐가 있다? Y가 들어있다라는 것입니다. 자 이렇게 주어진 녀석을 가지고 좀 더 우리가 하나의 형태를 단순화 한번 시켜보도록 하겠습니다. 이 결과에서 표현하려고 하는 것이 무엇을 의미하는지 잘 기억하도록 할게요. A와 B가 만들어진 상태에서 A x B라고 하는 녀석을 이제 좌표로 표현했으니까 이 녀석 뭐가 됩니까? 바로 구간이 되겠죠. 여기 있는 녀석도 어떻게 됩니까? B도 구간이 됩니다. 이제 구간과 구간이 만들어져 있는 상태이기 때문에 구간과 구간은 당연히 어떤 영역을 표현해야 되겠죠. 예를 들어서 선생님이 여기다가 A와 뭐 B라고 놓도록 하겠습니다. 그리고 이쪽에 나와 있는 이 녀석 자체를 선생님이 C라고 두고요. D라고 한번 둬보도록 하겠습니다. 그러면 A라고 하는 녀석과 C라고 D라는 녀석이 X가 이 범위가 있고요 Y가 어떻게 돼요? C하고 D 사이가 되겠죠. 그렇다면 구간을 표현하는데 이제부터 뭐 X라고 하는 녀석을 A에서 B보다 작거나 같은 녀석으로 표현한다 이렇게 쓸 수도 있을 것이고요. 자 X는 어떻게 돼? A보다 크고 B보다 작거나 같다라고 쓸 수 있겠고 또는 어떻게 됩니까? 전체가 A가 X가 B보다 작다 이렇게 범위를 만들어 낼 수 있겠죠 다시 말하면 A라는 영역 속에 X가 들어갈 수도 있고 안 들어갈 수도 있는 겁니다. 그래서 이렇게 표현하다 보니까 구간을 나타내는 방법이 존재합니다. 그래서 인터벌이라고 하는 구간을 나타내게 하기 위해서 우리 뭐라 할 것이다? 그러한 표현법을 한번 써보려고 합니다. 어떤 표현법이 되냐면요. A에서 X가 이렇게 되고 이렇게 만들어졌다고 쳤을 때 우리가 뭘 쓸 거냐면 주어진 녀석을 이제부터 여기가 지금 수직선으로 나타내면 보세요. 수직선으로 나타내면 여기가 어떻게 됩니까? A가 이렇게 해서 들어가죠. 그 다음에 어떻게? B가 이렇게 해서 들어갑니다. A와 B가 이렇게 들어가니까 이렇게 연결해서 뽑으면 어떻게 돼요? 양쪽이 막혀있는 닫혀있는 형태가 만들어지죠. 그래서 우리는 이 구간 자체를 이제부터 어떻게 하냐면 이렇게 닫혀있는 꺽쇠 모양을 하고요. AB라고 이제 표현하기로 약속을 합니다. 자 이렇게 표현된다 뭐냐면 A와 B의 순서쌍이 아니고 반드시 헷갈리니까 뭐라고 쓸까요? 문제에서 항상 구간이라고 적혀있습니다. 구간이라는 녀석에서 A와 B를 나타내는 그 구간의 형태가 됩니다. 그래서 이걸 뭐? 우리는 닫혀있는 구간이라는 말을 쓰도록 할게요. 그래서 닫혀있는 구간에 대한 해석을 하는 겁니다. 그래서 우리는 이걸 폐구간이라는 말을 써요. 반면에 여러분 여기 나와있는 이 녀석 어떻게 되죠? 우리가 잘 알죠? 만약에 A보다 크고 B보다 작거나 같다면 여기는 우리가 이렇게 구멍을 띄웁니다. 구멍을 띄워서 위쪽으로 들어올려가지고 이 상태에서 이제 B쪽까지 이렇게 연결을 하죠? 자 B는 이렇게 들어갑니다. 자 이렇게 결과로 얘가 열려있습니다 오픈되어 있죠 그렇기 때문에 오픈되어 있는 녀석 왼쪽은 열려있는 구간 오른쪽은 닫혀있는 구간이죠 반개구간 반폐구간이라고 합니다 알았습니까 자 이런 결과가 나올때는 이 모양 자체를 어떻게 표현할 것이냐 자 이 경우는 우리가 A가 열려있기 때문에 어떻게 A라고 하는 걸 이렇게 괄호 표시하고요 B는 닫혀있기 때문에 이렇게 표시합니다 그래서 이렇게 적혀있다라고 하는 것은 A쪽은 열려있고 B쪽은 닫혀있다는 뜻이에요 자 그러면 반개 반폐가 나왔으니까 이쪽에 있는 것도 마찬가지로 설명할 수 있겠습니다 A가 X가 A와 B 사이에 있다면 이 경우는 어떻게 돼? 이 경우는 개구간이라고 하고 이렇게 쓸 수 있겠죠 개구간 그러면 개의 느낌이 있으니까 개구간이라는 말 보다는 뭐죠? 그냥 열린 구간 이렇게 쓰면 되겠죠. 개구간이라고 보통 많이 씁니다. 열린 구간이라는 말을 써서 표현하기로 합니다. 그래서 구간 자체가 이렇게 결정이 돼 있는 상태죠. 이제 구간 기호도 알았습니다. 이제 본격적으로 그림을 한번 제대로 그려보도록 하겠습니다. 자 그러면요. A와 B라고 하는 영역을 하나 잡기 위해서 선생님이 이렇게 길게 표시를 한번 해보겠습니다. X가 있고요. 제로가 있고 Y가 있습니다. 자 구간 자체를 찍어볼게요. 이렇게 해서 찍겠습니다. 이렇게. 자 여기는 A와 B라고 하는 걸 쓸게요. 물론 이 구간 자체가 여기서부터 다 잡아서 가도 됩니다. 무슨 뜻이냐면 선생님이 이렇게 해서 이쪽에 뭐가 돼요? C라고 하는 걸 잡고요. C 잡고요. 그 다음 D라고 한다면 이렇게 잡아서 만들었습니다. 그래서 D를 잡았어요. 이렇게 해서 이 구간을 우리가 카르테시안 곱으로 설명해도 되지만 실제 자세히 봤을 때 뭐가 돼? 여기서 여기까지 끊고 다시 여기서 이렇게 끊어도 관계없죠. 구간을 자른다고 하는 개념을 한번 그려볼까요? 주어진 식을 반드시 영역으로 볼 때 연결될 필요는 없습니다. 다시 말해서 이쪽이 하나 끊어져 있고 이쪽이 끊어져서 이만큼이어도 관계는 없다는 거죠. 일단 뭐가 됩니까? 각자의 원소들을 대응시킬 수 있는 어떤 순서쌍만 표현되면 됩니다. 이제 조금 더 우리가 편하게 하기 위해서 이렇게 앞에처럼 연결되어 있는 구간이라고 보겠습니다. 자 그래서요. 자 이렇게 되는 거죠. 자 이렇게 해서 구간을 만들어 놓고요. 역시 어떻게 됩니까? A X B가 되겠습니다. A x B가 만들어졌고요. 이제 이 속에 들어가 있는 녀석 임의의 값들을 보겠습니다. 이 영역을 뭐로 본다고 했죠? A라는 영역으로 본다고 했어요. 이 영역을 선생님이 B라고 본다고 했습니다. 이제 뭐를 할 거냐 하면 이 속에 들어가 있는 임의의 집단 속의 한 X값을 결정하도록 하겠습니다. 얼마? X죠. 자 이 녀석 자체를 들어올려서 보니까 여기에 어떤 녀석이 하나 있는데 이 녀석이 뭐라고? 여기 있는 녀석으로 표현되어졌습니다. 그래서 이쪽에 나와있는 이 녀석 어떤 값이에요? 다시 Y라고 볼게요. 이 녀석과 앞에처럼 뭐가 된다? 대응되어질 수 있겠죠. 다시 말해서 X, Y라는 말로 표현할 수 있을 것입니다. X, Y라고 표현되어져 있다라고 하는 것은 여기 주어진 녀석이 얼마? A 속에 있는 임의의 X값을 Y 속에 있는, B 속에 있는 뭐? Y에다가 뭐 한 거죠? 대응시켰다고 볼 수 있겠죠? 자, 이제 우리는 무슨 얘기를 할 거냐면 여기 있는 집단, 여기서부터 여기까지 집단을 선생님이 우리가 뭘 할 거냐면 식당에 음식을 먹으러 가는 손님들이라고 생각해 보겠습니다. 그리고 이쪽에 나와 있는 뭐죠? B 속에 들어있는 요 녀석을 볼까요? 요만큼은 어떻게 되냐면 그 식당 속에 들어있는 하나의 메뉴판이라고 한번 볼게요. 메뉴판과 우리가 쓰고 있는 이 사람들의 마음은 식당 속에 가야, 식당에 가야 우리는 밥을 먹는다고 한번 해볼게요. 그렇다면 이 사람들이 가기 전까지는 여기 나와있는 식당의 메뉴판은 의미가 없습니다. 왜? 누군가가 가서 먹어줄 때, 시켜줄 때 메뉴판의 의미가 있죠? 그쵸? 누군가 이름을 불러줄 때 의미가 있다고 배웠지 않습니까? 김춘수님의 꽃. 그죠? 그니까 어떤 상황이든 간에 식당을 갔을 때는 그 식당에 있는 음식을 내가 시켜야만 그게 음식이 나온다, 의미가 있는 거죠. 다시 말해서 여기 있는 녀석은 여기 있는 가게에서 뭐한다? 전체적으로 영향을 받을 수밖에 없습니다. 여기 있는 사람들이 예를 들어서 5명이라고 칩시다. 5명이 식당에 간다면 그 5명은 일단 밥을 다 먹어야 되는 거죠. 어떤 규칙입니다. 예를 들어서 우리가 부대찌개를 2인분을 시켰다고 봅시다. 부대찌개를 2인분을 시켰다고 가정을 한다면 2인분은 식당의 음식은 하나이지만 뭐가 됩니까? 사람 각자 각자는 다 하나씩 시킨 결과가 되죠. 무슨 말이냐? 이 안에 들어가 있는 이 안에 있는 모든 영역 속에 있는 이 속에 있는 사람들이나 이쪽에 있는 집단들은 반드시 어떠한 시행을 해야 됩니다. 얘는 시행돼야지 빠지면 안 돼요. 알았습니까? 그러면 얘가 감으로 인하여 여기 있는 값이 서로 의미를 갖게 되므로 여기 있는 이 A 속에 들어가 있는 이 녀석들 여기 있는 녀석들 우리는 뭐냐 하면 이제부터 이렇게 표현을 하겠습니다. 정의역 정의가 되어져야 합니다. 자 그러면 도메인 정의의 역이에요 근데 얘는 지금 현재 가서 선택할 수 있는 건 이쪽에 있는 거죠 누구나 선택할 수 있는 위치가 됩니다 그래서 여기 나와있는 이 녀석 여기서부터 여기까지 공간을 이제부터 뭐? 공역이라는 말을 쓰겠습니다 알았죠? 공역 뭐? 코도메인이 됩니다 결국 정의역이란 말은 얘가 결정되고 나서 어떻게 되니 이 녀석이 결정되는 것이기 때문에 이러한 판 다시 말하면 식당은 있어야겠죠 메뉴판도 있어야 되니까 이건 누구나 선택 가능한 위치에 있는 겁니다 그러나 여기 있는 정의역이 갔을 때 비로소 음식을 시킬 수 있다는 사실 잊지 말고요 그러면 정의역에 가서 시킨다 해서 그 집에 있는 모든 음식을 다 시키는 건 아니죠 그쵸 내가 하나만 시키는 겁니다 내가 한 종류 물론 예를 들어서 뭐 좀 잘 먹는 사람이 갔을 때 부대찌개에다 플러스해서 뭐 예를 들어서 뭐 김치찌개 같이 먹는 경우는 있겠지만 그런 경우는 배제하자 이 말이에요 무슨 말인지 알겠죠 그래서 결론은 여기 정의역에 있는 사람이 가서 공역에 있는 녀석들을 선택할 때는 반드시 다 선택할 필요는 없다라는 결론을 얻게 됩니다 자 이제 이것을 바탕으로 해서 우리 뭘 하냐 정의역도 변하죠. 정의역 자체가 변하고요. Y라고 하는 속이 들어있는 공역도 안에 있는 값이 변합니다. 이처럼 A 속에 있는 X와 B 속에 있는 Y를 이 녀석은 뭐합니까? 1대 1로 마저 대응시켜주는 규칙이죠. 어떤 규칙이 존재할 겁니다. 1대1로 대응시키는 규칙이에요. 다시 말하면 내가 이쪽에 있는 녀석 하나는 서로 다르다는 의미가 아니라 H가 아니죠. 1대1이죠. 뭡니까? 1, 2, 1. 다시 말해서 여기 있는 놈 하나에다 여기 있는 놈 하나를 뭐한다? 대응시켜주는 거예요. 중요한 것은 하나가 어디에 연결된 거? 여기가 중요한 거야 이렇게 해서 얘를 여기다가 대응시키는 규칙 예를 들어서 내가 가장 좋아하는 것이라고 한 번 규칙을 만들든지간에 이런 규칙이 있겠죠 이런 1대1 대응 규칙이 존재할 텐데 이 대응 규칙을 이제부터 뭐라고 한다 함수라는 말을 써요 function이라는 말을 씁니다 이 함수라고 하는 단어는요. 결론은 뭡니까? 기능이죠. 기능. 기능이라는 뜻 자체는 여기 속에 나와 있는 어떠한 것들을 기능을 이용해서 무언가를 만들어낸다는 뜻이에요. 다시 말해서 X라고 하는 A 속에 들어가 있는 임의의 원소를 이 Y라는 B 속에 들어가 있는 Y라는 원소에 뭐한다? 대응시켜준다라는 겁니다. 이걸 다른 말로 규칙이니까 좀 애매해서 이걸 관계라는 말을 쓰기도 해요. 예를 들어서 이쪽이 숫자가 1, 2, 3, 4로 가면 3배 이렇게 하면 규칙이 되는 거 맞죠? 자 이렇게 해서 기능이 됩니다 그런데 그 기능에 따라서 우리가 집어넣으니까 모양이 어떻게 됩니까? 이 function 앞부분을 따기로 합니다 앞에 있는 f를 따고요 우리는 뭘 쓴다? 이 기능 y라고 하는 녀석은 누구냐? f라는 기능을 갖고 있는 놈에다가 x를 대입해서 x를 대응시켜서 만든다 해서 이렇게 표현하기로 합니다 이 녀석 equal 그냥 뭐? 우리는 함수라고 정의를 내리도록 할게요 그러면 X가 들어가야 Y값이 나오죠. 그래서 Y값에 해당하는 녀석은 바로 뭐다? X에 의해서 연결되는 값이라 해서 종속변수가 됩니다. Y는 X에 따라서 결정되기 때문에 종속변수라는 말을 쓰고요. 이제 X라고 하는 녀석은 뭡니까? X는 내가 그냥 넣고 싶으면 넣는 거예요. 내가 식당 가서 먹고 싶으면 먹는 거죠. 내 멋대로 하겠다. 독립변수가 됩니다. 자 그래서 종속변수와 독립변수고요. 이 독립변수가 하나 있는 경우 지금 우리가 하고 있죠? 이 독립변수 X 하나 있는 경우는 1변수라는 말을 씁니다. 그래서 우리는 독립변수가 하나가 있는 걸 1변수라고 하고요. 이제 우리가 공부하려는 모든 내용은 독립변수가 하나짜리를 연구한다는 사실 잊지 말도록 합시다. 자 이렇게 해서 우리는 표현을 만들어 주고요 결국엔 여기다 이제 만들어진 Y라고 하는 녀석이 F(x)가 되니까요 이때 여기 Y값을 이제부터 우리는 뭐라고 하냐면 함수에 의해서 만들어진 값이다 해서 Y를 얼마? 함수값이라는 말을 쓰겠습니다. 함숫값이란 말을 썼을 때 이 값이라고 하는 게 뭐냐면 여러분 치의 치 한자로 무슨 치 치 치 라는 뜻이에요 그러면 선생님 지금 뭘 하려고 하냐면 이 속에 들어있는 A라는 집단 속에 있는 사람들이 식사를 하려고 준비한다고 보겠습니다 식사를 한다고 준비를 한다면 어떻게 할까 다른 분필을 한번 써볼까요 식사를 한다고 준비를 한다면 예를 들어서 A 속에 얘가 요 음식을 먹겠다고 볼게요 자 이 속에 있는 녀석은 음식을 보겠습니다 여기는 이 음식을 먹겠어요 여기는 이 음식을 먹겠습니다 그러면 음식 먹는 형태가 얘랑 똑같은 걸 먹을 수도 있죠 이런 식으로 해서 바뀌어 갈 수 있습니다 위쪽으로 가볼게요 좀 지저분하도록 봅시다 이렇게 결국에는 이렇게 만들어지는데 만약에 이 속에 있는 사람이 무한하게 많다면 거기에서 대응되는 놈도 무한하게 많겠죠. 그러면 이 녀석이 끊어지지 않고 뭐가 될까요? 이렇게 연결될 것이다 이렇게 보겠습니다. 선생님 교재는 좀 더 예쁘게 만들어져 있는데 볼게요. 이런 식으로 해서 되겠죠. 자 이렇게 해서 연결하면 이런 모양이 나올 겁니다. 그래서 쫙 연결될 거예요. 이쪽도 뭐가 돼요. 뭐 이런 식으로 만들어질 수 있겠죠. 자 그래서 이렇게 해서 이렇게 해서 만들어서 여기까지 오는 녀석들 이렇게 계속 가겠습니다. 이렇게 해서 나오는 경우를 자세히 들여다보면 이 모양 자체가 하나의 그래프로 나타났어요. 근데 여러분 한번 생각해 보세요. 대응 규칙이라고 하는 녀석 자체가 우리가 생각하기에 따라서는 매우 어려운 얘기가 될 수도 있죠. 대응 규칙이라고 하면 뭘로 잡을 거야? 뭐 이렇게 연결했는데 그게 뭔지 내가 어떻게 알아요? 알 수가 없습니다. 그래서 그런 경우 때문에 우리는 어떤 생각을 하게 되냐면 이 규칙이라고 하는 것이 매우 애매모호한 결과를 갖기 때문에 이제부터 우리는 함수라고 하는 녀석을 정의를 할 때요. 이 함수라고 하는 녀석을 정의를 할 때 이 함수의 형태를 이제부터 뭐하냐면 이렇게 보기로 합니다. 함수에 의해서 만들어진 자 어떻게 X에 의한 함수에요? X에 의해서 만들어진 함수라고 하는 녀석을 그림을 그리면 함수의 그래프가 이렇게 나올 것입니다. 이제 우리는 함수의 그래프를 우리가 뭐? 줄여서 뭐라고 쓰냐? 함수라고 쓰기로 약속을 합니다. 다시 말해서 그래프를 그려놓고 우리는 그걸 뭐라고 본다? 그냥 함수라고 결정하자 이 말이에요. 되게 애매한 형태가 됩니다. 그래서 그러한 것 때문에 우리는 관계라는 용어로 우리가 집합론에서 쓰긴 하지만 그냥 이 경우만 생각하도록 할게요. 아니 말이 자꾸 버벅거리나? 선생님이 1.2배속 만들기 싫어서 그냥 말 자체로 1.2배속을 하다 보니까 굉장히 말들이 상당히 버벅거리고 날아가고 있는데 다 알아들을 수 있겠죠. 한두 번 선생님이 버벅거리는 건 아니니까. 그래서 이런 결과가 나옵니다. 그래서 여기 형태를 보면 여기서 이렇게 이 색깔로 만들어진 녀석을 가만히 보면요 우리가 공역이라고 하는 입장이 여기서 이까진데 이 녀석을 다 사용한 것은 아니에요 다 사용한 것이 아니기 때문에 이 녀석은 뭐합니까? 영역을 친다면 여기서부터 시작해서 어디까지죠? 여기서부터 어디까지? 여기까지 밖에 나오지 않습니다 그렇죠? 결론을 따져본다면 선을 한번 그어볼게요 이렇게 만들어져 있는 이 영역에서 이렇게 만들어진 이 영역을 벗어나지 않죠 무슨 말인지 알겠습니까? 여기 제일 높은 데는 여기까지 제일 낮은 데는 여기까지 그래서 이 간격으로 표현되어진 녀석은 분명히 공역이랑은 다른 결과를 갖게 됩니다. 자 이 녀석은 우리가 뭐냐면 함수값들의 영역이라는 말을 써서 여기를 뭘 한다? 치역이라는 말을 씁니다. 이 치역 굉장히 중요한 용어고요. 치역이라고 하는 것이 우리가 영어로 쓰면 여기다 써볼까요? 치역이라고 하는 녀석은 치역은 영어로 Range죠 Range 크게 중요한 용어 Range range 나중에 선형대수에서 여러분 R이라고 하는 것만 기억하면 우리가 rank라고 하는 걸 쉽게 찾아냅니다. 그래서 치역은 range란 뜻이고 또 다른 말로 상이란 뜻이니까 image라고 쓰기도 하죠. 자 range, image 잘 기억하도록 합시다. 그래서 치역과 어떻게 됩니까? 정의역에 대한 형태 공역이 나왔어요. 그러면 공역은 A라고 하는 녀석의 코도메인인 CA라고 쓴다면요. 그 다음 어떻게 돼? 치역 어떻게 돼? range니까 RA라고 써볼게요. 자 RA라고 쓴다면 여러분 봐도 어떻게 누가 누구보다 더 크다라고 하는 건 사실 알 수 있겠죠? 우리가 고딩 때는 우리가 이렇게 해서 끝을 내면 이 속에는 어떻게 등호도 들어간다라고 배웠지만 대학교에서는 이 등호가 있고 없고에 대한 부분을 중요하게 다루기 위해서 된다면 이렇게 씁니다. 알겠습니까? 그래서 이런 결과를 쓴다고 하는 것은 마치 이렇게 된 것처럼 이쪽으로 포함될 때 이게 없으면 그냥 뭐예요? 진 부분집합이 되는 것이고 이게 있으면 자기 자신도 될 수 있다는 걸 알려준다고 기억하도록 할게요. 그래서 우리는 이런 결과가 된다라는 사실을 우리가 머릿속으로 기억하고요. 정의역과 치역, 공역에 대한 아이디어를 우리가 충분히 이해할 수 있겠습니다. 그러다 보니까 방금 내가 뭐라 했냐면 정의역 속에 들어간 녀석은 빠짐없이 들어가야 됩니다. 절대 빠지면 안 돼요. 그래서 다 들어가지만 공역은 다 선택될 필요가 없다라는 거죠. 이 속에 있는 모든 것이 어디로 간다? 이쪽에 다 대응된다라는 개념이에요. 이 말 자체는 우리가 기계로 많이 표현하죠. 이 컴퓨터 책들 보면 자 이래서 기계로 표현을 많이 합니다. 자 이렇게 해서 통이 하나 만들어져 있죠. 자 여기 어떤 기능을 하는 통이에요? 기능을 하는 통? F라 봅시다. 자 이 속에 들어가는 것은 X예요. 자 뭐 예를 들어 밥을 먹었어요? 밥 먹고 어떻게 뭐 예를 들어서 뭐 커피 마시고 어묵 먹고 핫바 먹고 죽죽죽죽 딸기 야채 뭐 다 먹었어요? 다 먹었는데 나올 땐 덩 하나만 나오죠. 예를 들어서 집어넣는 게 딸기 야채 다 먹었는데 나올 때도 딸기 야채로 다 분리되면 그건 말이 안 되잖아요. 그쵸? 이게 무슨 일이야 몸에다 다 먹었는데 나올 때 딸불 딸려 딸뭐야 뭐 어쨌든 간에 이렇게 만들어졌다 그러면 이것 자체는 말이 안 되는 거야 그래서 무슨 말이냐 인풋이라고 하는 녀석 자체는 항상 뭐가 돼 여러 개가 다 들어갈 수 있어 근데 어떻게 나오는 아웃풋은 어떻게 된다고? 온리 하나만 나온다 이것이에요 자 얘가 지금 현재 뭐 그냥 나올 때 똑같은 게 나와야 되잖아 그래서 결론은 들어가는 녀석은 다 들어가야 되지만 나올 때는 only 하나쪽에만 대응이 된다 그러한 역할을 하는 게 뭐라고? F예요 이쪽으로 들어가는 게 X면 이쪽으로 나오는 게 뭐라고? Y라고 썼다 그러면 Y 꼴을 막 F(X)라고 하는 아이디어를 우리가 알아낼 수 있다 자 이렇게 만들 땐 이 안에 어떤 규칙이 들어가겠죠 그 규칙 이 규칙을 뭐 function이라고 한다 또는 뭐 relation 관계라는 용어를 쓴다 그랬어요 어떠한 관계? 뭐 이거 다 관계잖아 자 예를 들어서 A, B를 잡았어요 자 이렇게 잡을 때 이 녀석이 뭐가 돼? 이것을 만족하는 이렇게 써버리면 이게 관계죠 항상 얘보다 작은 녀석을 순서쌍으로 잡으면 되겠습니다 아주 간단하게 나오죠 그래서 우리가 이렇게 쓰는데 이 모양 자체를 자세히 들여다보면서 우리가 뭐를 하나 만들 수 있죠? 아하 우리가 늘 보던 뭐? Venn diagram이라고 하는 걸 알 수 있습니다 Venn diagram이라고 하는 것은 여러분 알다시피 Venn이에요 Venn 이 Venn이 사람 이름 똑바로 써라 누구보니까 Venn diagram 이렇게 쓴 사람인데 이거는 걔 이름이죠 개 이름 맞나? 어쨌든 간에 벤 다이어그램은 이 벤입니다. 이 벤이라고 하는 녀석을 쓸 때 표현할 수 있죠. 벤 다이어그램 볼게요. 처음에는 여러분들 전체적인 아이디어를 참고 차근차근히 진행하면서 뒤쪽으로 하면서 굉장히 복잡한 내용을 많이 하게 됩니다. 알았습니까? 선생님 교과 과정 보면 제일 마지막에 테일러 매클로린 시리즈까지 쫙 가죠? 대학 수업을 생각할 때 많이 들어봤으니까 알 거 아니야. 그렇죠? 그래서 주어진 녀석 봅시다. 벤 다이어그램 표현한다면 우리가 이쪽에 이렇게 해서 쓰죠. 자 우리가 너무나도 잘 보던 모양입니다 자 이렇게 써서 표현할게요 아 이거 그림 꼬라지 마라 이게 뭐죠 이게 자 어쨌든 간에 여기가 A라고 하는 집단 여기 뭐 B라고 하는 집단을 보겠습니다 정의역이고요 뭐죠 공역이 되겠습니다 이쪽에 예를 들어서 우리가 선생님이 1, 2, 3이라고 하는 원소가 있어요 이쪽에 들어갈 때 어떻게 됩니까? 예를 들어서 이쪽에 들어가는 게 A, B, C, D가 있다고 볼게요. 우리가 사랑의 짝대기를 쓴다고 생각하면 매우 편하죠. 여기 있는 남자 출연자, 여기 있는 여자 출연자를 보겠습니다. 여기 있는 출연자들을 봤을 때 서로 마음에 드는 사람을 선택하세요라고 했을 때는 1번이 A를 선택할 때 2번도 A 선택하고 심지어는 3번도 A를 선택할 수 있어요. 이쪽에 울트라 파워풀 최강인 여자 캐릭터가 모여있는 거예요 남캐들이 전부 다 여캐한테 뭐하는 거야? 다 달라드는 거예요 이쪽은 그냥 땡이죠 집에 가라는 얘기가 되는데 뭐 어쨌든 간에 이런 식으로 궁극적으로 다 할 수 있고 제일 좋게 연결된다고 친다면 A가 어떻게 돼? 이쪽으로 가고 B는 2번 얼마? C? 3은 어떻게 돼? B로 갈 수 있죠 그래도 이 분께서는 집에 가셔야 돼요 계속 이런 경우가 발생하겠지만 그러나 이런 것들이 다 뭐라고? 하나의 대응 규칙이 되는 거예요 물론 이 상태에서 정신 나간 놈이 있을 수 있겠죠. 예를 들어서 뭐 짝대기를 연결하세요 라고 했는데 혼자서 짝대기를 두 개 들고 양쪽을 이렇게 한다든지 그럴 경우엔 인정하지 않겠습니까? 그렇죠. 그래서 이 녀석 자체가 여기서 이렇게 가고 이렇게 가는 거는 용납이 되지 않는다는 거예요. 알았습니까? 그래서 항상 자기 자신이 혼자서 그쪽에 다 대응되도록 만들어야 된다는 거예요. 이 말 자체가 우리한테 뭐를 설명하냐면 예를 들어서 우리가 그래프가 이렇게 있다고 볼게요. 그래프 예를 들어서 이런식으로 만들어졌어요. 그러면 X값이라고 하는 여기 있죠. X값은 수직선을 그었습니다. 수직선을 그으면 이 X값에 대응되는 Y값이 여기 하나 있죠. 그렇죠. 이 사람 입장에서 누가 됩니까? 하나만 선택되어졌어요. 그런데 이 그래프 자체가 약간의 변형이 되었어요. 예를 들어서 이게 그래프가 이렇게 되었다고 보겠습니다. 이렇게 링처럼 생기면요 여기다 X를 대입하면 이 사람은 어떻게 돼요? 여기도 여기도 같이 연결되죠 이거는 함수의 그래프가 아닙니다 어떤 함수? X에 관한 함수의 그래프가 되지 않아요 그래서 결론을 우리가 따지는 뭐 X에 관한 함수라는 정의는 언제나 하나가 하나에 대응되는 역할만 보게 됩니다 그래서 우리는 결국에는 어떻게 함수 X에 관한 함수인지 아닌지를 판단하는 방법을 수직선 판정법이라고 합니다. 그래서 우리가 한번 짝대기를 좌커했을 때 뭐가 된다? 한 군데에서 만나면 어떻게 돼요? 이게 X에 관한 함수가 되지만 두 군데 이상에서 만났을 때 그걸 우리 다가 함수라고 해요. 나중에 복수어 같은 걸 할 때 나옵니다. 다가 함수 같은 경우는 어디 X에 관한 함수라는 말을 쓰지 않습니다. 그래서 우리는 벤 다이어그램으로 표현하면 아주 쉽게 우리가 이해할 수 있겠죠. 굉장히 중요한 얘기입니다. 그러다 보니까 여러분 여러분들이 잘 알고 있는 내용에 의해서 정의역이라고 하는 이 도메인이라고 하는 녀석 자체에서 아주 중요한 몇 가지 도메인을 외워야 되죠. 뭡니까? Y 꼴 얼마 되죠? X 분의 K 꼴의 분수함수일 때는 분모가 0이 안 된다라는 사실 역시 이만한 점근선까지 연결돼야 되겠죠. 또는 어떻게 됩니까? Y의 루트의 얼마? X처럼 이 결과에 대해서 우리는 하나씩 하나씩 머릿속으로 정리를 하고요 잘 아는 학생들 같으면 그냥 쭉 따라와 주면 되겠습니다 그래서 근본적으로 우리가 이번 시간에 보는 내용들 자체는 어떻게 표현되냐 하면 아이디어 자체를 하나씩 하나씩 봤을 때 최선을 다해서 여러분들이 예전에 배웠던 것 갖다가 한번 끌어올리려고 애를 썼습니다. 그래서 이 이후로부터는 함수에 대한 내용을 조금씩 조금씩 더 본 다음에 삼각함수를 자세하게 설명을 하고 그 다음에 쌍곡선 함수와 역삼각 함수로 넘어간 다음에 이제 본격적인 미적분학으로 들어가도록 하겠습니다. 여러분 반드시 앞부분이 쉽다고 해서 그냥 돌아가지 말고 최선을 다해서 하나씩 하나씩 하나씩 가져가도록 하세요. 다음 시간에 보도록 하겠습니다.