1강 - 체의 성질과 실수

안녕하세요 여러분 박재호 선생님입니다 자 이제 새롭게 만들어진 새 강좌인 실해석학을 지금 여러분들은 보고 계십니다 자 그동안 우리 이전에 선생님이 했던 실해석학은 집합론에 관련된 부분을 굉장히 많이 할애를 했었는데 이 집합론이라고 하는 녀석 자체는 추후에 다른 과목이 더 많이 나오지만 굉장히 수학적인 부분에 있어서의 기초적인 부분이고 이 집합론이라고 하는 녀석을 제대로 하고 난 다음에 여러분 다른 과목 공부하는데 굉장히 유익하고 쉽게 이해할 수 있는 부분이 많아질 것입니다. 굉장히 중요한 부분입니다. 그래서 집합론이라는 부분은 따로 떼서 선생님이 따로 강좌를 만들도록 하고요. 기름기를 쫙 빼서 우리가 집합론을 제외한 바로 실수체계부터 들어가서 실해석학을 한번 강좌를 구성해 봤습니다. 우리가 다루는 이 실해석학은 Calculus라고 하는 녀석과 서로 비교가 되죠 Calculus나 실해석학이나 전부 다 우리는 미적분학을 다루게 됩니다 그런데 미적분학 중에서 Calculus는 Calculator 그러니까 계산에 관련된 얘기가 많죠 그러다 보니까 응용에 관련된 부분이 많아서 우리가 실질적으로 미적분학 이렇게 얘기하면 공대생이나 이런 경우는 주로 면적이라든지 부피라든지 회전체라든지 이런 것에 대한 부분을 해석을 많이 합니다 물론 해석학에서 나와 있는 내용도 같이 겸용해서 설명이 들어가지만요 주로 계산 응용에 관련된 부분에 더 포커스가 맞춰져 있는 학문입니다. 자, 거기에 비해서 해석학이라고 하는 것은 물론 복소해석학도 해석학이지만 이 해석학이라고 하는 것은 그 원리에 주안점을 두고 왜 그런 현상이 일어났는지에 포커스를 맞추게 됩니다. 그러다 보니까 아무래도 증명이 많고 상황에 대한 판단을 하기 위해서 생각을 좀 많이 하게 되어있죠. 스킬 중심이라기보다는 여러분 논리적인 해석을 많이 생각을 해야 됩니다. 그러다 보니까 해석학 같은 경우는 증명에 대한 부분을 굉장히 중요하게 생각하게 됩니다. 증명이라고 하는 녀석은 어떤 논리적인 현상을 우리가 어떤 생각과 마음에 가지고 있는 여러 가지 어떤 아이디어들을 완벽한 문장으로 설명하는 과정입니다. 이런 증명이라고 하는 것은 누가 가르쳐 주는 것이라기보다는 어떠한 것을 바탕으로 해서 거기에 아이디어를 얻어서 순차적으로 본인이 직접 해결해 봐야 되겠죠. 증명이라고 하는 녀석 자체는 스포츠를 좋아하는 학생들에게 있어서 예를 든다면 야구를 좋아한다고 했을 때 위상에도 선생님이 얘기를 했지만 야구를 좋아한다고 그러면 야구를 우리가 룰을 안다고 그러면 더 많은 어떤 즐거움을 느낄 수가 있겠죠 그 룰이라는 것을 우리가 깨우치기 위해서 필요한 것이 증명이 됩니다 이 증명이라고 하는 것은 관중들의 게임이 아니죠 증명이라고 하는 것은 항상 선생님이 강조하지만 바로 자기가 직접 스포츠에 참여하는 어떤 그런 게임입니다 자 그걸 여러분 다시 생각해서요 증명을 하기 위해서는 혼자서 쭉쭉쭉쭉쭉쭉 써 내려가는 과정이 굉장히 중요하다는 사실 잊지 말고 그 원리에 대한 부분을 잘 찾기 바랍니다. 그렇다면 그 증명을 하기 위한 기초 단계가 바로 바로 공리 또는 정의가 되겠죠. 이 공리나 정의를 바탕으로 해서 우리가 만들어서 정리라고 하는 걸 찾고 그 정리를 기반으로 해서 또 다른 정리의 하이레벨의 어떤 내용을 또 우리는 습득하게 됩니다. 실해석학, 특히 실수에 대한 부분을 다루고 여러분들이 좀 익숙한 부분이 많기 때문에 여러분들이 보는 데는 좀 지장이 없을 거라고 생각하고요. 처음에는 우리가 아주 간단한 내용부터 시작해서 쭉 계속해서 앞으로 진행해 나가도록 하겠습니다. 선생님이 이제 한 두 번도 아니지만 계속 말을 벅벅거리더라도 좀 이해를 좀 해 주시면서 따라와 주세요. 그리고 이제 이번에는 선생님이 강의를 하기 위해서 앵글을 고정을 시켜놨습니다. 그건 이제 무슨 얘기냐 하면 여러분들이 이 칠판에 증명하는 과정 자체를 한눈에 볼 수 있도록 선생님이 앵글을 옮겨 다니지 않고 그대로 이 안에서 다 해결하려고 하니까요. 선생님이 간혹 가다가 강의를 하다가 이 칠판 판서를 한 뒤 사람이 바깥으로 빠져나갈 수도 있습니다. 그러나 말은 계속 들려 나올 거예요. 여러분들 지금 강의가 중요한 것이 선생님 얼굴 보는 게 중요한 게 아니지 않습니까? 자 그래서 강의의 주안점을 맞추기 때문에 여러분들이 선생님 바깥으로 이렇게 앵글 바깥으로 나가더라도 칠판에 우리가 주안점을 갖고 이렇게 쳐다보면 되겠습니다. 자 이제 우리는 처음으로 한번 실수에 대한 개념을 한번 접근해 보도록 하겠습니다. 여러분 뭐 실수라고 하는 녀석은 다 아는 내용이 되겠죠? 자 그러나 한번 짚고 넘어가 보도록 하겠습니다. 자 이제 우리가 실수라고 하는 녀석 일단 정의를 한번 해보도록 하겠습니다 실수라고 하는 녀석은 무엇이냐 Real number죠 Real number 실수라고 하는 녀석은 우리가 구성을 할 때 real number라고 실수라고 하죠 그런데 실수라고 하는 녀석은 우리가 이렇게 생각을 해보자 이 말이지 실수계 그러니까 real number system이라고 하죠 number system 실수계라고 주어져 있는 이게 바로 계 system입니다 system 이 계를 이루는 뭐다 하나의 구성원소라고 우리는 정의를 하겠습니다 실수는 실수계의 뭐가 된다고? 구성원소들을 우리는 이제부터 뭐라고 하자? 실수계 속에 들어있는 원소 실수라고 하자입니다. real number라고 하는 실수에 대한 정의를 이렇게 한번 봤는데요. 이제 실수가 가지고 있는 성질을 한번 보도록 하겠습니다. 일단 어떤 R이라는 집합이 하나 있다고 볼게요. R이라고 하는 것은 A, B, C라고 하는 이런 식으로 된 원소들로 구성된 R이라는 집합이 있다고 보겠습니다. 이런 집합이 있다고 쳤을 때 이 집합이 이항 연산에 대해서 아주 잘 정의가 되어 있다고 보겠습니다. 이항 연산, 여러분들 이미 알죠? 현대 대수를 들어본 학생들은 알 겁니다. 현대 대수를 들어본 학생이 아니라 그냥 고딩 나와도 알아요. 이항연산에 대해서 잘 정의되어 있다고 보겠습니다. 잘 정의되어 있어요. 잘 정의되어 있다고 하는 말은 이 안에 있는 임의의 원소들끼리 이항연산을 했을 경우에 닫혀있도록 정의가 잘 되어 있다고 보는 것입니다. 그래서 이항연산이라고 적혀있는 것이 말 맞더라 이게 뭐죠? 이게 바이죠. 바이 두 개입니다. 두 개의 항에 대해서 연산을 하는 겁니다. 그런데 이항연산이라고 하는 것은 우리가 말 맞다나 연산 두 개를 갖고 연산을 하는 건데 기호로는 우리가 star 표시할 때도 있고 dot 표시할 때도 있죠? 어떤 표시를 해도 우리가 다 쓸 수 있는 내용이 됩니다. 기타 등등 여러 가지가 있을 수 있겠어요? 그런데 우리는 실해석학에서 다루는 이항연산은 이항연산은 이제부터 뭐? 두 가지 형태의 이것이 아니라 이 녀석은 뭐? 덧셈과 곱셈에 대한 이항연산으로 해석하겠습니다. 반드시 연산이 두 개가 있어야 됩니다. 이항연산은 이거 하나로 두 항을 가지고 할 수도 있고 이거 하나로 할 수 있지만 이제 우리가 정의하는 것은 두 개의 이항연산에 대해서 잘 정의되어 있다고 보겠습니다. 반드시 항이 두 개죠. 반드시 항이 두 개가 됩니다. 이 두 개의 항으로 존재하는데 이 두 개의 항을 두 개의 연산으로 우리는 정의를 하도록 하겠습니다. 물론 이제 추후에는 이 곱셈이라고 하는 녀석 자체는 이렇게 도트 동그라미 이렇게 쓰기도 합니다. 그래서 이걸 뭐 덧셈에다가 이렇게 써도 관계없겠죠. 어쨌든 이항연산에 있어서 우리는 두 가지 연산을 정의를 합니다. 이건 현대대수에서는 이런 이런 걸로 우리가 만들어내지만 실해석학에서는 뭐라고? 덧셈과 곱셈에 대한 식으로 우리는 정의를 축소해서 표현하도록 하겠습니다. 이럴 때 우리는 어떤 의미의 A와 B가 있다고 보겠습니다. 어떤 의미의 A, B라고 하는 것은 이 A, B조차도 우리는 임의의 값이에요. 그 말은 C가 될 수도 있는 거죠. 이런 녀석이 어떻게 된다? R 속에 들어가는 의미입니다. 여러분, 이 기호 A 뒤집어 놓은 거 뭔지 모르고 이 수업 듣는 사람 있다면 정말 당황스러운 일이 아닐 수 없어. 다 알죠? 알죠? 알죠? 그거 뭐야? all 모든 임의의 a, b가 r 속에 들어있는 원소에 대해서 이 말 자체가 잘 정의되어 있다면 a 플러스 b라고 하는 녀석을 두 개를 계산했을 때 역시 r의 원소가 닫혀있다는 뜻이죠. a와 b를 서로 곱한 녀석도 r의 원소가 되는 경우를 설명합니다. 자 이 내용 자체를 우리한테 뭐를 얘기합니까 덧셈에 대해서 닫혀 있다 덧셈에 대해서 닫혀 있다는 뜻이고 곱셈에 대해서 닫혀 있다 두 연산에 대해서 잘 정의되어 있다라고 보는 거죠 이렇게 우선적으로 정의되어 있구요 자 1번 여기서 일단 우선적으로 여기가 일단 먼저 정의가 되겠습니다 일단 정의가 되고요 자 이제 두 번째로 뭐가 되냐 다음과 같은 성질을 만족하는 것을 보겠습니다 자 다음과 같은 성질은 매우 중요한 성질이 되겠습니다 자 다음과 같은 성질을 뭐 한다는 거죠 만족한다 자 이와 같은 성질을 지금 무엇인지를 찾으려고 하는데요 자 첫번째 이제 뭐냐면 역시 all a b 그쵸 임의의 a b r 속에 들어가 있는 임의의 a b에 대하여 자 a 플러스 b 라고 하는 녀석은 수학과 과정은 항상 기본기에서 출발해서 기초가 탄탄하면 나중에 무엇을 봐도 여러분이 다 해결해 나갈 수 있다는 것입니다. 그게 정말 무서운 거예요. 항상 기초에 만족하면서 여러분들 기초에 만족하는 건 아니죠 기초를 중심으로 해서 최선을 다해서 우리가 이걸 가지고 우리가 연습을 해보기 바랍니다 바로 머릿속에 집어넣어야 되죠 무슨 법칙이죠 바로 commutative 교환 법칙이 성립하는 겁니다 이것은 두 개의 연산이죠. 덧셈에 대한 교환법칙과 곱셈에 대한 교환법칙이 되겠습니다. 두 번째, 역시 여기는 all a, b, c죠. 임의의 어떤 값이든 다 성립한다는 얘기입니다. 이런 r에 대해서 어떻게 된다고? a에다가 더하기 b 더하기 c에서 이 녀석이랑 a 더하기 b에다가 더하기 c라고 하는 녀석, 그리고 A, B, C라고 하는 녀석에서 뭐죠? A에다가 B에다가 C라고 하는 녀석으로 이렇게 만족되어지더라라는 것이죠. 이것은 뭐가 됩니까? 덧셈에 대한 그리고 곱셈 두 연산이라고 해서 덧셈에 대한 그리고 곱셈에 대한 뭐가 됩니까? 두 개의 결합법칙이 성립한다라고 하는 사실을 우리가 깨우칠 수가 있겠네요. 교환법칙이 성립하고 결합법칙이 성립하는 상태가 됩니다. 이제 우리는 세 번째로 넘어가 보도록 할까요? 세 번째 이제 세 번째는 역시 임의의 a,b,c가 되겠죠. 임의의 a와 b와 c라고 하는 녀석 역시 r 속의 원소로서 여기에 대하여 어떻게 됩니까? a에다가 b 플러스 c라고 하는 녀석은 뭐가 됐죠? ab 더하기 ac가 된다라는 것입니다. 그래서 우리가 이건 뭡니까? associative는 여기 결합법칙이고 배분법칙 배분법칙 자, 그래서 이렇게 해서 우리가 세 번째 성질이 만족되어진다고 보겠습니다. 자, 첫 번째와 두 번째, 그 다음 세 번째가 됐죠. 이제 네 번째를 보겠습니다. 자, 이번에 네 번째는 우리가 잘 알고 있는 역시 내용입니다. 어떤 임의의 a라고 하는 녀석 자체에 대해서 자, a에다가 더하기 0을 한 녀석이 a가 되는 것이죠. 그렇죠? a에다가 0을 더한 것은 a가 만들어집니다. 그리고 역시 a에다가 a분의 1이라고 하는 걸 곱하면 얼마 됩니까? 역시 이게 1이 되는 거죠. 또는 이걸 바꿔서 표현해 보겠습니다. a에다가 1을 곱한 녀석이 a에다가 1을 곱한 녀석은 a가 되겠습니다. 여기서 당연히 이런 형태가 만들어지는 이 녀석을 일컬어서 여기를 우리는 뭐라고 합니까? 항등원이라는 말을 쓰죠 주로 이거 대수에서 많이 나오는 내용입니다 항등원이라는 말을 많이 쓰고요 항등원 여기서는 어떻게 됩니까 다른 말로 해서 항상 자기 자신을 나오게 한다 뭡니까 덧셈에 관한 항등원이 됩니다 자 그리고 여기는 어떻게 됩니까 1이라고 하는 녀석은 당연히 뭐죠 곱셈에 대한 항등원이 되는 것이죠 두 연산에 관한 뭐가 됩니까? 항등원이 존재한다입니다. 잘 정의되어 있고 항등원이 존재해야 돼요. 그런데 여러분들이 좀 알아야 될 내용은 여기서 기본적으로 실해석학을 준비하는 학생들은 어느 정도 알아야 되는 것이 있습니다. 뭡니까? 저 항등원이라고 하는 녀석 자체는 뭐가 되는 거죠? 이 항등원이나 이 항등원, 0과 1이죠. 0과 1이라고 하는 0과 1은 항상 뭐가 돼? 유니크하다. 뭐다? 유일하다라는 거예요. 여러분들이 잊으면 안됩니다 그죠 항등원이 여러 개 나오는 건 있을 수 없다라는 겁니다 자 이런 형태를 우리가 알아야 되겠고 자 덧셈에 대한 항등원 유일한 항등원이 되겠고 곱셈에 대한 항등원 유일한 항등원이 되겠습니다 자 그리고 이제 다섯 번째는 우리가 뭐가 됩니까 여기서 이 녀석들을 만족하는 형태에서 a 플러스의 뭔가 역시 임의의 모든 a에 관해서죠 자 그래서 이거에서 이렇게 되면 어떻게 된다? a에다가 주어진 녀석에다 더하기 얼마? 마이너스 a를 한 녀석이 0이 만들어지죠. 항등원이 나옵니다. 그리고 여긴 얼마 됩니까? a에다 곱하기 a분의 1을 한 것이 어떻게 되죠? 1이 되죠. 이렇게 해서 두 개가 나오는데 여기 있는 녀석과 여기 있는 녀석 이 모양 자체를 잘 본다라고 친다면 여기도 뭐가 됩니까? 이렇게 만들어서 0을 만들고 이렇게 만든 것도 1을 만들죠 덧셈에 대한 항등원 곱셈에 대한 항등원 모르는 사람 아무도 없을 것입니다 이 둘을 우리는 뭐라고 한다? 역원이라는 말을 쓰게 되겠죠 역원이란 말을 쓰고 inverse라는 그냥 통칭적으로 쓰게 됩니다 자 그러면 역원이라고 하는 건데 이 역원도 역시 뭐가 되죠 유일한 값이 돼야 됩니다 역시 역원도 뭐가 된다 유니크하다 유일하다 라는 것을 보여줘야 되겠죠 자 그래서 역원이 존재하는데 물론 이 a 분의 1 이라고 하는 녀석 자체는 당연히 기본적으로 a 가 0이 아닌 것을 우리가 얘기합니다 원래 a 가 0으로 나누는 것에 대한 의미를 우리가 판단하지 않는 것이죠 그래서 이건 당연하게 우리가 해석을 하는 것이구요 유일한 형태의 역원이 나옵니다 근데 요거를 우리가 이제 나중에 보겠지만 해석을 좀 해본다 라고 친다면 이거는 A 플러스 X는 제로라고 하는 녀석이 뭡니까? 방정식이죠 자 이거는 A 플러스 마이너스 A는 0인데 A 플러스 X는 0이라고 하는 방정식입니다 이 방정식의 뭐가 됩니까? 했죠 방정식의 해가 뭐하다는 겁니까? 유일하다라는 뜻이에요. 그쵸? 방정식의 해가 유일하다라는 뜻이기 때문에 이 내용 자체도 X가 됐든 뭐가 됐든 간에 그 값은 항상 동일하다라고 하는 것도 우리가 알아야 되는데 말로 이게 당연하다라고 쓸 수는 없잖아? 해석학을 공부하면서 이걸 갖다 당연하잖아? 이렇게 얘기할 수 있는 건 없습니다. 그렇기 때문에 이 내용 자체도 우리가 한번 증명을 할 수는 있어야겠죠? 우선적으로 우리가 이러한 체라는 말을 쓰죠 대수에서 우리가 다루는 체라고 합니다 우리가 군, 환, 체 중에서 학생들이 체에 대해서 되게 어려워하는 경향이 없지 않아 있습니다 체라는 말을 써요 대수 들은 사람들 알겠지만 체는 원래 이게 독일어로 쾨르퍼예요 쾨르퍼 쾨르퍼라고 하는 게 이제 쾨르퍼가 우리나라 말로 따지면 그냥 몸이에요 몸 우리 몸 있잖아 근간을 이루는 몸 그 몸을 갖다가 우리 한자로 쓰면 체육 체자잖아 그래서 우리가 몸을 그대로 체라고 해석한 겁니다 알았습니까 자 그래서 쾨르퍼입니다 그래서 우리 체를 쓸 때는 체 라고 쓰면 보통 이렇게 k 라고 쓰고 벡터에 대한 부분 공간을 쓸 땐 이렇게 표현을 하죠 자 체 k 공간입니다 이거는 그냥 k 라고 쓰고요 또는 뭡니까 우리가 잘 알다시피 필드 라는 말을 쓰죠 방정식의 해가 유일하다는 것도 봐야 되지만 여기 역원도 우리가 참고를 좀 해야 되겠습니다 어떤 참고죠 역원을 찾을 때는 역원을 이렇게 쓰면 항상 이렇게 마이너스 a분의 1을 쓰는데 마이너스 a는 덧셈에 대한 역원이요. a분의 1은 곱셈에 대한 역원이죠. 둘 다 우리가 이렇게 쓰긴 하지만 대수 현대 대수에서는 우리가 이걸 통칭하여 모든 숫자 모든 연산에 관해서는 전부 다 어떻게? 인버스라고 하는 녀석을 이렇게 정의를 하죠. 그래서 이렇게 정의해 놓으면 그냥 뭐가 된다고? 덧셈에 대한 역원이 됐든 곱셈에 대한 역원이 됐든 어떤 연산에 대한 역원이 됐든 간에 역원을 설명한다는 것입니다 뭐 다 알고 있는 내용이지만 초반부니까 우리가 마음을 편하게 하면서 한번 보자 이 말이야잉 자 여기서 우리가 증명을 한번 해볼까요 자 쉬운 증명 몇 가지 한번 해보도록 합시다 그냥 그렇잖아요 당연하잖아요 얘기할 수 없는 거니까 자 그러면 간단하게 우리가 여기서 뭐 다른 건 그렇다 치더라도 여기에 4번하고 5번 내용은 워낙에 많이들 나오는 형태고 어떠한 상황을 증명하면서도 항상 기본이 되는 녀석이기 때문에 이 4번과 5번에 대한 증명은 여러분들이 조금 해봐야 될 필요가 있습니다 자 그렇다면 항등원은 유일하다 항등원은 유일하다 라고 하는 것을 한번 증명해 보도록 합시다 항등원은 유일하다 라고 하는 녀석 자체를 증명하기 위해서는 당연히 우리가 수학적 증명의 가장 큰 근간을 이루는 내용 중에 하나가 귀류법이죠 귀류법이라고 하는 녀석은 많이들 쓰여지는 내용인데 이 귀류법은 바로 명제의 대우를 이용해서 어떤 결론을 부정함으로써 모순을 끌어내는 것이잖아요 자 그렇다면 항등원은 유일하다 라고 했을 때 그렇다면 당연히 0이라고 하는 녀석과 0대시라고 하는 녀석이 서로 다른 녀석이 존재한다고 부정하고 시작해야 됩니다 그러면 0이라고 하는 녀석은 0대시랑 나중에 최종적으로 같다라는 걸 보여주는 게 우리의 목적이죠 그러면 스타트할 때 생각해봐 0 놓고 시작해야 돼요 0 놓고 시작해서 마지막에 0대시가 나오도록 만들어 주면 됩니다 그런데 그 근거에 대한 부분은 항등원이에요 항등원이잖아요 성질을 만족한다 성질을 만족한다 성질을 만족한다 성질을 만족한다 성질을 만족한다 성질을 만족한다 우리가 봤을 때 항등원이라는 개념을 쓰는 거죠 그러니까 0에다가 더하기 얼마? 0대시를 쓰면 항등원 맞습니다 그렇죠 왜? 이게 0대시가 항등원이라고 쓰니까 항등원은 0의 정의에 따라서 어떤 수에다 0대시를 더하면 당연히 이 숫자가 나와야 정상이 되는 거죠 반대로 어떻게 됩니까? 여기서 이렇게 써도 마찬가지죠 왜냐? 0도 항등원이라고 했기 때문에 0대시에다 0을 하면 이게 a라는 값과 같잖아요 뭐가 돼? 0대시가 되는 거죠 그러면 이 두 식 자체를 두 가지를 이렇게 놓고 본다면 우리가 뭘 할 수 있다? 이 내용 자체에서 이걸 만들려면 두 개가 같은 결과를 가져야 되는데 바로 이 체, 체 1번에 들어가 있는 성질 교환법칙이 성립한다는 이 체의 성질이라고 하는 것이 있죠? 이 체의 성질에 따라서 이 두 녀석은 어떻게 됩니까? 같은 결과를 갖게 됩니다. 그쵸? 0은 0 플러스 0대시 교환법칙이 성립하니까 이렇게 쓸 수 있어요. 그런데 얘는 얘죠. 그래서 최종적으로 아이디어는 어떻게 됩니까? 이 녀석과 이 녀석이 같다 라고 하는 녀석을 우리는 얻어내서 뭐가 된다? 이거는 유니크하구나 라고 하는 걸 찾아낼 수 있다라는 것이죠. 어려운 내용 아니에요. 우리가 하나하나 찾아가면 됩니다. 그래서 결론은 항등원은 유일하니까 당연히 실수라는 개념을 보고 있는데 체의 성질을 우리가 얘기한 것은 뭡니까? 이 실수라고 하는 녀석은 뭐? 바로 체의 성질을 만족한다라는 것이죠. 실수가 가지고 있는 아주 중요한 성질들 있죠. 완비성 공리라든지 아니면 체의 성질 그리고 이제 순서 공리를 따른다라고 하는 녀석 자체는 전부 다 아주 중요한 실수가 가지고 있는 성질입니다. 이런 성질들을 우리가 앞으로 증명하거나 내용을 다루는 데 있어서 굉장히 많이 적용되는 거예요. 알아둘 필요가 있습니다. 세 번째, 네 번째, 다섯 번째 특히 네 번째와 다섯 번째는 정말 정말 중요하니까 이런 아이디어를 만들어 가는데 항상 염두에 두고 여러분들이 따라가시기 바라겠습니다. 이제 곱셈의 항등원이 유일하다라는 부분도 한번 보도록 합시다. 포커스를 여기다 맞춰서 일단 증명을 한번 해볼게요. 앞부분에 나와 있는 형태를 그대로 따라서 가주면 앞에서 정리되어 있는 어떤 공리죠. 성질을 우리가 바탕으로 따라가주면 됩니다. 어렵게 생각할 게 전혀 없는 내용들이에요. 그렇다면 한번 보도록 할까요? a 곱하기 1이라고 하는 것도 역시 유일하다라고 하는 것을 한번 보도록 할게요. 깔끔하게 지운 다음에 정리해 보겠습니다. 우리가 앞에서 나와 있는 내용에서 우리가 여기는 일단 이렇게 만들었을 때 a 플러스 0은 a라고 하는 것이 이제 정확하게 하나밖에 없다는 거 알았죠? a 곱하기 1이 a라고 하는 것도 하나밖에 없다는 사실을 우리가 알아내야 되겠습니다. 그래서 이 내용 자체를 우리가 풀기 위해서는 역시 또다시 귀유법을 생각해서 접근하도록 하겠습니다. 그러니까 뭐죠? 1이 하나만 있는 것이 아니라 여러 개 있다라고 가정하고 접근하는 것입니다. 그래서 자 일단 우리가 뭐라고 보면 되겠습니까? 1이라고 하는 녀석과 또 어떻게 돼? 1'라고 하는 녀석을 우리가 증명하면 되겠죠? 1하고 1'가 같다 이거 처음에는 이제 연습삼아 쫙쫙 몸 좀 풀어보자고 자 1하고 1'가 같다라고 하는 녀석은 이 둘이 서로 일단 다르다고 놓고 풀어야 되겠죠? 최종적인 결론이 나와야 됩니다 자 그럼 이 식에서 두 개밖에 없어요 앞에 걸 그대로 따라가 줍시다 어떻게 됩니까? 1 곱하기 얼마 됩니까? 1'는 1이죠 왜냐하면 이게 항등원이잖아요. 2개 곱해서 1 되는 겁니다. 마찬가지죠. 1'에다가 곱하기 1을 하면 어떻게 됩니까? 역시 1'가 됩니다. 역시 우리가 알고 있는 공리, 정의에 따라서 교환법칙이 성립합니다. 그렇다면 결론은 여기 나오는 이 식과 이 식은 서로 교환법칙이 성립해야 정상이 된다는 것이죠. 자 그래서 결론적으로 우리가 뭐를 알 수 있다? 아하 자 어떻게 된다? 1이라고 하는 녀석은 1 곱하기 1'가 되는데 자 1' 곱하기 1이랑 같고요 자 이거는 어떻게 됩니까? 1'가 되네요 자 그래서 최종적으로 우리가 봤을 때 여기 있는 녀석과 여기 있는 녀석은 서로 똑같다 라고 하는 녀석을 알아줄 수 있다 쉽다고 해서 그냥 넘어가면 안 돼 여러분들이 직접 하나하나씩 다 만들어 봐야 되는 겁니다 자 그래서 이 내용 자체를 한번 봤죠 자 이제 우리는 여기 나오는 식에서 이제 뭐가 된다 여기서 이 둘이 서로 유일하다라고 하는 걸 알았고요 자 이럴 때 0을 만드는 녀석 a 플러스 마이너스 a고 a 곱하기 a 분의 1이다라고 하는 녀석이 있습니다 자 a 플러스 마이너스 a가 0이라고 하는 녀석 자체 아이디어에서 우리는 뭐 유일한 a 플러스 x는 0이라고 하는 녀석인데 이건 정의에요 자 그때 x 값은 얼마? 여기다가 마이너스 붙인 녀석이다 라고 하는데 그것이 뭐가 된다? 유일하다 라고 하는 녀석도 한번 봐야 되겠죠 자 그래서요 우리가 a 플러스 x 이퀄 제로라고 만드는 녀석의 해는 뭐다? 해는 유일하다 이거죠. 해는 유일한데 그 해 x라고 하는 녀석 자체는 뭐가 된다고? 그러므로 x는 마이너스 a다라고 하는 것입니다. 유일하던 형태니까 이 녀석 말고 다른 녀석이 하나 존재한다고 가정해서 x라고 하는 녀석이 마이너스 a가 만들어졌으니까 그거로 뭘 생각할 수 있다는 거죠? x는 0이다라고 하는 식에서 증명을 해봅시다. 또다시 x'라고 하는 것도 똑같이 방정식의 해라면 a 플러스 x'는 0이다라는 것도 동시에 만족한다는 것이죠. 그래서 이 두 가지 식을 바탕으로 해서 우리는 일단은 증명을 해봐야 되는데 일단 가정하기를 만약 어떻게 됩니까? x하고 x'가 다 어디야? 뭐 어디에 있어야 되는 거죠? 일단은 저 집합 r 속에 있어야 되겠죠. 자, 그래서 x라고 하는 녀석과 x'가 전부 다 r 속에 있다라고 보겠습니다. 자, 이 상황에서 좀 지저분해서 칠판지 위에 다른 걸 좀 갖고 오겠습니다. 자, 이렇게 볼게요. 자 그 다음에 볼까요 여기 나와 있는 식에서 이제 포커스를 맞춰 봅시다 자 이것이 이렇다고 가정을 해 놓고 이제 접근하는 겁니다 자 쉽게 생각해 봅시다 얘하고 얘가 같아야 돼요 그러면 고로 x는 이라고 써야 되겠죠 자 x는 이라고 하는 녀석은 x는 우리가 이전에 우리가 이미 증명했던 걸 바탕으로 가야 됩니다. a 플러스 제로가 a가 됐다. a와 같은 건 a에다 0을 더하는 거니까 x라고 하는 녀석은 x에다 뭡니까? 0을 이렇게 더해주면 되겠죠. 그리고 우리가 궁극적으로 목표하고 있는 내용은 여기가 최종적으로 x'가 나와야 돼요. 근데 x 플러스 제로인데 제로 중에서 x'가 나와있는 건 누굽니까? 얘죠. 맞습니까? 자 이게 나와있기 때문에 우리는 x 더하기 얼마? a 플러스 x 대시라고 하는 것으로 요렇게 쓸 수 있겠죠. 왜? 0이라고 가정을 했으니까. 맞습니까? 자 그리고 역시 공리에 따라서 어떻게 됩니까? 이거 두 개지에 뭐가 됐죠? 결합법칙이 성립하니까 x 더하기 a라고 하는 녀석의 더하기 x 대시. 야 이렇게 됐죠. 자, x 플러스 a라고 하는 것은 0이라고 쳤으니까 어떻게 됩니까? 0 더하기 x'이에요 0 더하기 x' 뭐가 다 담기네 0 더하기 x'는 어떻게 됩니까? 여기서 이 모양 자체는 그대로 나온다고 이미 증명됐기 때문에 이렇게 되겠습니다 그래서 이 식 자체는 x라고 하는 녀석에다가 x'가 서로 같다라고 하는 게 보여졌기 때문에 증명이 완료된 것입니다. 그렇죠? 이 아이디어를 가지고 우리가 판단한다 그러면 이 식 자체를 그대로 우리가 어디다 적용할 수 있어요? a 플러스 x는 0은 해는 유일하다라고 하는 것처럼 뭐로 뭡니까? ax라고 하는 녀석이 1이라고 했을 때 단 뭐가 되면 a는 0이 아니겠죠? 자 ax 이꼴 1이라고 하면 이것의 해도 어떻게 됩니까? 유일하다 그랬어요 자 ax 이꼴 1이니까 그러면 ax' 이꼴 1 되는 놈도 하나 있다라고 가정을 하고 이 두 녀석이 최종적으로 역시 뭐가 된다? x 이꼴 x'가 되면 우리가 뭐하면 된다? 증명해 주면 된다 그렇지? 차근차근 해보세요 쉬워요 그러면 여기 나온 식에서 이걸 이용해야 됩니다 물론 우리가 이것도 봐야 되지만 이런 경우가 나면 x는 얼마 되죠? a분의 1이다 라고 하는 걸 생각을 먼저 하고 접근을 한다면 x equal a분의 1이라고 하는 녀석 자체는요 결론적으로 따져 본다고 쳤을 때 a x equal 1에서 x equal a 분의 1이면 여기다 치면 뭐가 됩니까? 1이라고 하는 걸 곱하는 녀석 여기서 보이죠? a 곱하기 1은 a다라고 하는 걸 또다시 이용하면 되니까 모양이 똑같은 식이잖아 똑같이 x 더하기 0이나 자기 자신 같듯이 이렇게 됐습니까? x는 a분의 1이라고 하는데 x라고 하는 것은 a분의 1이 아니고요 a가 x분의 1을 우리가 x를 a분의 1을 찾는 거지 이런 말도 안 되는 거죠 그래서 우리의 목적은 뭡니까 x는 a분의 1이 됩니다 그래서 우리 x는 a분의 1이라고 하는 것이 만들어졌으니까 x는 x라고 하는 녀석 자체는 어떻게 됩니까? 여기는 x 곱하기 1이라고 하는 걸 쓸 수 있겠죠. x는 a분의 1이에요. a분의 1인데 곱하기 얼마입니까? 역시 이것도 1이 되는 거죠. 근데 a분의 1 곱하기 1은 여기 나와 있어요. ax'가 나와 있네요. ax'가 나왔는데 역시 이것도 결합법칙이 성립하니까 이렇게 해서 만들어주고 이렇게 쓰면 이거 1이니까 얼마에요? x' 1 곱하기 x' 1 곱하기 x' 깔끔하게 적어줘야지 고득점 나오겠지 1 곱하기 얼마입니까? x' 자 그러면 1 곱하기 x'이니까 당연히 이것도 어떻게? x'이다 라고 하는 걸 쓸 수 있겠네요 자 그러면 결론은 x와 x'가 같다는 것도 유일하다라고 하는 걸 알았네요 물론 이걸 계산하기 위해서 우리가 참고로 이런 것도 좀 알아야겠죠. 참고로 만약에 a 곱하기 b가 1이 된다라고 하면 이것이면 b는 얼마요? a분의 1 된다라고 하는 것 정도는 우리가 알고 있어야 이런 형태가 되겠죠. 물론 처음에 주어진 식이 이거하고 이거는 1이다라고 하는 걸 이렇게 만들어 놓은 거지만 이것이 성립할 때 이 녀석 자체는 알고 이거 성립할 때 여기 있는 x 자리는 a분의 1이 된다라고 하는 녀석은 결론은 이 녀석을 증명하는 것과 똑같다는 것이죠. 자 이거 증명하는 것도 한번 해봅시다 뭐 그렇게 지금은 어렵게 내 생각할 필요 없고 항상 이제 풀어나가는 과정이라고 하는 게 있잖아 그걸 따라가면 되는 건데 a·b는 1이고 b는 a분의 1이에요 자 그러면 이제 a·b가 1이니까 b는 얼마 됩니까 이렇게 쓰면 되겠죠 1 곱하기 얼마 되죠? b에요 자 b는 1 곱하기 b 이렇게 되잖아 왜냐면 b를 이걸 찾아야 돼 왜냐면 내가 찾고 싶은 게 이거잖아 이게 증명 끝에 나오는 최종적인 목적지라면 b라고 하는 것이 1 곱하기 b다 해서 b를 먼저 시작해야 되죠 그렇다면 1이라고 하는 녀석 자체는 우리가 a분의 1에다가 a를 곱한 녀석은 1 된다라고 하는 사실을 내가 알고 있으니까 요런 형태가 만들어지면 우리가 계산이 다 끝난 거잖아요 그래서 얼마? a분의 1이라고 하는 녀석에다 결합법칙에 따라서 a·b 이렇게 가면 a·b라고 하는 녀석 자체 1이라고 강조했으니까 a분의 1 곱하기 1이 되는 것이고 그 앞에 나오는 정의에 따라서 어떻게 돼? a분의 1이라고 쓸 수 있겠죠. 그래서 이 식 자체를 가만히 보면 이것을 만족할 때 b라고 하는 것은 a분의 1이다 라고 하는 거는 이렇게 해서 판단해도 상관이 없다라는 것이죠. 알았습니까? 뭐 그냥 쭉 한번 봤습니다. 여러분들 충분히 이해할 수 있을 거라고 생각하고요. 자 유일하다라고 하는 녀석을 이제 다 알아냈습니다 자 저런 것을 알아냈기 때문에 저거를 가지고 이제 우리가 연산에 관한 여러 가지 성질들이 있죠 여러분 특징적인 것들이 몇 가지가 있는데 그걸 한번 나열해 보도록 합시다 처음에 이제 여러분들이 하나하나 어떤 상황으로 해 나갈 것인지를 우리가 머릿속에 염두에 두면 되거든 그쵸 그 되는 내용을 한번 적어 보자 이 말이죠 자 보겠습니다 첫번째 뭘 볼 것이냐 아 이제 우리가 참고해서 어떤 성질을 한번 보도록 할게요 어떤 성질을 갖고 있느냐 어떤 성질을 갖고 있느냐 첫번째 우리가 자주 보는 것 중에서 이게 a 곱하기 0은 얼마야 0이다 라고 하는 거 하나 있지 자 a 곱하기 0은 0이다 라고 하는 식 하나 있어요 자 요거는 이제 우리가 증명하는 내용 자체가 뭐 그렇게 어려운 건 아니에요 왜냐하면 이게 이것 정도는 알아야 되는 것이요. 식에서 우리가 뭐냐면 a 플러스 x는 0이라고 하는 녀석의 유일한 해라고 하는 녀석은 이 방정식의 유일한 해는 앞에서 봤다시피 어떻게 됩니까? x equal 뭐야? 마이너스 a다. 여기에다 마이너스 값 곱한 거잖아요. 그렇죠? 이거를 잘 염두에 둔다고 친다면 이 식 자체를 증명해 나가는 과정이 한번 봅시다. a 곱하기 0은 0이에요. 그러니까 이거는 결론은 0이라고 하는 녀석은 a 곱하기 0인데 이걸 여기 있는 유일한 해 x가 붙었다고 생각한다면 a 곱하기 0에다가 어떻게 됩니까? 이거를 계산을 하기 위해서 이 자리에다 뭐를 붙여주면 되겠어? a 곱하기 0에다가 이 식을 그대로 만족하는 마이너스 얼마 됩니까? a 곱하기 0 이렇게 하면 되죠. 이렇게 하면 이게 원래 여기 유일한 해를 갖는 것은 여기에다 마이너스 곱한 게 이거 된다는 걸 알아서 이렇게 쓰고 이렇게 적혀있으면 여기서 우리가 a 곱하기 0이라고 하는 녀석은 0 더하기 0이죠. 왜냐하면 이것도 0이라고 하는 녀석의 어떤 정의에 따라서 0은 0 더하기 0 맞잖아요. 그래서 이렇게 쓰고 마이너스 a 곱하기 0 이렇게 써도 되겠지? 자 그러면 이건 우리가 뭐를 쓸 수 있나? 이게 분배 법칙이 가능하잖아요. 분배를 하면 이것도 정의에 따라서 만들어진 거니까 a 곱하기 0 더하기 a 곱하기 0 이렇게 나오죠. a 곱하기 0 더하기 a 곱하기 0에다가 마이너스가 얼마 됩니까? a 곱하기 0이 된다는 거죠. 그러면 이 식 자체는 좌측에 있는 게 왼쪽은 0이에요. 여기 있는 식을 보면 a 곱하기 0에다가 더하기 괄호를 묶읍시다. a 곱하기 0에다가 그 다음 얼마 되죠? 마이너스 a 곱하기 0이죠. 이렇게 되잖아. 그러면 이거 자기 자신에게 마이너스 곱하면 0이 되는 거니까 이거 어떻게 됩니까? a 곱하기 0 더하기 0이 되죠. 결론 두 개를 더한 것에 이거밖에 안 남으니까 최종적인 결론은 뭐가 된다? 0이라고 하는 녀석이나 a 곱하기 0은 어떻다는 얘기가 같다라는 것을 우리는 아이디어를 만들어 낼 수 있겠죠. 조금씩 해석인 부분을 찾아가는 것 자체에서 접근을 해주면 되는 거잖아요. 그렇지? 이거 하나 있었고 얘는 여에요. 두 번째 뭡니까? 이제 또 많이 나오는 내용 중에 하나가 마이너스 1 곱하기 a라고 하는 녀석이 마이너스 a다라고 하는 것도 우리가 일반적으로는 당연하다 그러면 안 되지 왜냐면 당연한 건 누가 모르나? 마이너스 1 곱하기 a는 마이너스 a예요 라고 하는 것도 마찬가지가 되는 거죠. 이거 역시 뭐가 된다고 a 플러스 x는 0이라고 하는 녀석의 유일한 해는 x에다 마이너스 1을 곱한 것이다 라고 하는 것으로 판단이 가능하다는 것입니다. 실제 이 문제 자체를 풀어가는 것도 그렇게 어렵지는 않아요 예를 들어서 우리가 이걸 만든다고 치면 a 플러스 x라고 하는 녀석의 유일한 해를 생각한다고 치면 a에다가 더하기 얼마? 여기 나오는 녀석에다 이걸 한번 증명하기 위해서 마이너스 1 곱하기 a를 한번 해봅시다 이렇게 해버리면 a 더하기 마이너스 1 곱하기 a면 이건 분배법칙이 작용됐다고 볼 수 있잖아요. 1 더하기 마이너스 1에다가 이렇게 a라고 쓸 수 있겠죠. 그런데 얘는 지금 현재 이렇게 주어진 녀석이 지금 뭐라고 만들어진 게 이거는 지금 뭐가 됩니까? a 플러스 x에 대한 그렇지. 유일한 해 1 빼기 1은 0이 되죠. 0 곱하기 a예요. 그런데 이게 방금 전에 a 곱하기 0은 0이라고 배워서 이게 0이 되는 거잖아. 그럼 a 플러스 x는 제로의 유일한 x에다 이걸 마이너스 붙인거라고 했으니까 요 모양 따지면 요게 뭐에 해당한다? x 값에 대응되는 거죠 요게 x에 대응되는데 0을 만들었으니까 x는 유일한 값이 되겠고 그 x는 마이너스 1 곱하기 a는 앞에 나오는 a에다 뭘 붙인거랑 마이너스 붙인거랑 같다 이렇게 해서 우리는 해석할 수 있는 거죠 역시 이게 두 개 같다라고 하는 걸 증명할 수 있겠습니다. 그렇죠? 자, 이게 뭐 어렵다기보다는 여러분들이 앞에 나온 상황을 그냥 따라가주면 되는 겁니다. 자, 세 번째. 뭐 이런 거 있으니까 우리가 또 이런 거 성립한다는 건 다 알죠? 마이너스 1 곱하기 마이너스 1은 얼마입니까? 1이다. 요것도 이제 한번 여러분들이 해보세요. 선생님이 다 해볼 수는 없는 것이고요. 자, 그리고 또 뭐 있죠? 요게 마이너스예요. 마이너스에다 a 플러스 b라고 하는 녀석은 마이너스 a 마이너스 b라고 하는 것도 있고요. 자 이제 다섯 번째는 우리가 요렇게 만들어진 것에 a의 inverse의 inverse라고 하는 녀석은 a라고 하는 이 성질도 가지고 있다라고 하는 거다 할 겁니다 자 이게 이제 우리가 마이너스 a의 마이너스 곱한 거는 a다 이 말하고 같지 않습니까 왜냐면 inverse라고 하는 기호 자체를 전부 다 내가 역원으로 해석한다고 했으니까 자 그리고요 이제 여섯 번째에 대한 부분을 한번 볼까요 자 여섯 번째에 대한 부분을 a분의 b에다가 더하기 아는 0 아니겠죠 c분의 d라고 하는 녀석을 일단 곱하는 식을 먼저 봅시다 자 이런 식도 존재한다 이거 다 알잖아 이거 다 아는데 이렇게 당연하다 그러고 있으면 안되고 무슨 놈의 수학을 갖다가 당연하잖아 이렇게 얘기하면 뭐가 돼 그치? 이렇게 c분의 d죠 그러면 이게 뭡니까? ac분의 bd가 된다라고 하는 성질도 알 것이고 자 7번은 어떻게 됩니까? a분의 b에다가 더하기 c분의 d라고 하는 걸 연산을 해보면 ac분의 얼마 돼? bc 더하기 ad가 된다라고 하는 이런 연산들은 다들 아는 연산이에요. 아는 연산이지만 이게 그냥 안다고 그렇다고 지나가지 말고 이러한 성질에 대해서 한 번쯤은 증명을 한 번 해보세요. 1번, 2번 선생님 증명한 듯이 3번 이렇게 증명을 하다 보면 여러분이 증명하는 방법에 대해서 익숙한 부분을 깨닫게 되고 이걸 알아야 우리가 아르키메데스의 원리 같은 우리가 일반적으로 증명할 수 있는 내용을 가지고 갈 수 있는 어떤 공리를 알게 되면 그걸 다 적용할 수 있다라는 것입니다. 알겠습니까? 이제 첫 시간에서 우리가 실수에 대한 성질 중에서 잠시 쉬었다가 되돌아오도록 할게요