1강 응력과 변형률

안녕하세요 여러분 박재호 선생님입니다 반갑습니다 자 이제부터 우리는 재료역학에 대한 부분을 공부해 보도록 하겠습니다 재료역학은 일종의 정역학이죠 그렇지만 일단 정역학과 조금 다른 부분이 있다면 재료의 성질이 들어가기 때문에 조금은 더 난해한 부분이 있습니다 그러한 성질들을 더 결합시켜야 되기 때문에 조금 더 생각을 해 줘야 되겠죠 그렇지만 큰 근간은 역시 정역학이기 때문에 정역학이라는 부분에서 적용되어진 여러가지 규칙에 대한 부분을 좀 알고 있을 필요가 있습니다 재료 역학이라고 하는 말 자체에서 들어가 있듯이 재료라고 하는 부분을 다루고 있는데요 재료 특별하게 얘기한다면 금속, 나무, 콘크리트, 플라스틱 같은 것들 또는 이러한 것들의 합성 물질에 대한 부분들 이러한 것들을 총 재료라고 보고요 우리는 나중에 그걸 우리가 부재라는 말로 표현하기로 합니다만 이러한 부재들 속에 작용되어지는 이런 역학적인 성질을 다루는 학문이 되겠습니다 부재들의 역학적인 성질은 특별히 어떤 걸 얘기를 하냐면 이 부재들 내부에 작용되어지는 힘, 우리는 그걸 응력이라고 합니다. 내부에 작용되는 힘과 이러한 내부에 작용되는 힘들로 인하여 발생되어지는 부재의 변형에 대한 부분을 다루는 것입니다. 그래서 이 변형과 힘에 대한 결과론적인 부분을 우리가 얼마나 많이 연관 지어서 생각할 수 있느냐에 따라서 이 재료 역학이라고 하는 녀석의 승패가 갈린다고 해도 과언이 아닐 것입니다. 자 이제 우리는 이 정역학의 형태를 지니고 있는 재료 역학에 대한 부분을 한번 공부해 보겠는데요 이러한 재료 역학을 공부하기 위해서는 이러한 정역학의 기본적인 원리 문제를 해석하기 위해서 반드시 필요한 역학에 관한 기본 원리들이 있어야 되겠습니다 이러한 역학의 기본원리 3대 기본원리라고 하는데요 이 재료 역학을 공부하면서 앞으로 계속 나오게 되는 이런 3대 기본원리에 대해서 먼저 설명을 하고 계속 진행 한번 해보도록 하겠습니다 자 이제 시작해 보도록 할게요 역학의 3대 기본원리라고 하는 걸 보겠습니다 앞으로 계속해서 나오는 내용이 되어 있습니다 앞으로 계속 주어진 거예요 역학의 3대 기본원리라고 하는 걸 보겠습니다 역학의 3대 기본원리라고 하는 걸 보겠는데요 자 3대 기본 원리라고 하는 것이 무엇이냐 라고 하는 것은 딴 게 아니란 말이죠 그 역학이라고 하는 것을 공부를 함에 있어서 앞으로 계속해서 문제를 해석함에 필요한 3가지 조건이란 뜻이 되겠습니다 첫 번째는 바로 평형이 되겠습니다 평형이 되겠구요 자 이제 두번째는 바로 힘과 변형에 관련된 내용이 되겠습니다 힘과 변형이고요 그 다음에 세 번째는 바로 적합성에 관련된 내용이 되겠어요 자 이제 이 적합성이라고 하는 녀석과 평형 힘과 변형이라고 하는 것이 무엇을 의미하는지 한번 판단해 보도록 하겠습니다 이 평형이라고 하는 것을 의미하는 것은 바로 앞에 쌤 설명했죠 힘에 관련된 내용입니다 이 평형은 힘의 평형을 얘기해요 자 힘의 평형을 얘기하는 것이고 힘의 종류는 여러 종류가 있겠지만 이러한 힘의 평형을 다루기 위해서 다른 조건과 연계해서 풀기 위한 힘의 조건에 관련된 식이 있습니다 이걸 우리는 평형 방정식이라고 하죠 힘은 평형 조건을 이용하는데 이걸 평형 방정식이라고 하는 세 가지의 공식으로 표현할 수 있습니다 평형 방정식 힘이라고 하는 녀석이 서로 평형을 이룬다 라는 얘기가 되겠죠 그렇다면 이 평형방정식은 세 가지로 표현되어 지는데요 바로 시그마 F에 대한 형태가 0 그 다음에 시그마 여기서 라지 T라고 쓰겠습니다 이퀄 제로가 되겠죠 F라고 하는 것은 힘이에요 힘은 여러분도 알다시피 이건 벡터입니다 벡터 벡터라고 하는 것을 우리가 이제 가지고 해석한다는 것은 벡터를 다룬다는 것 자체가 우리에게 하나의 분리를 의미하는 겁니다. 벡터는 방향과 크기를 갖고 있기 때문에 그 방향과 크기가 존재하는 이상은 우리가 항상 분리를 해준다는 것이죠. 자, σF가 0라는 것은 σx 방향 힘이 0라고 하는 것과 σF의 y 방향이 0라고 하는 것 이 두 가지로 표현할 수 있겠습니다. 자 여기와 더불어 Z방향 우리가 다루지 않고요 이 T라고 하는 건 토크죠 토크는 아 여러분들이 이제 그 정역학 종반 곰 반항 생각하시지만 토크라고 하는 것은 물리에서는 타우라는 문자로 써요 근데 이 타우를 재료 역학에서 다른 어떤 용도로 사용하기 때문에 라지 T를 쓸 것입니다 이건 토크가 되겠고요 자 토크 회전하는 힘이 되겠죠? 참고로 회전이라고 하는 녀석과 같이 들어가 있는 모든 물리량은 전부 다 우린 모멘트라는 단어를 붙이게 됩니다 이 모멘트 중에서 회전 힘에 관련된 녀석을 토크라고 하고요 힘에 관련된 이 토크를 다른 말로 힘 모멘트다 라는 말을 쓰기도 하고 또는 이제 추후에 배우겠지만 관성 모멘트 부분에 다룰 거에요 관성 모멘트는 회전을 방해하는 모멘트가 되겠지만 이 토크라고 하는 것은 회전력을 발생시키는 거에요 회전력이라고 하는 것은 아르키메데스 원리에 의해서 거리의 1차와 비례하기 때문에 이걸 단면 1차 모멘트다 라는 말을 쓰기도 해요 그래서 토크는 다른 말로 뭐라고요? 단면 1차 모멘트다 라는 말을 쓰기도 합니다 여기서 1차라고 하는 녀석은 바로 뭐하고 관계있냐는 말이죠 바로 회전하는 축과의 거리에요 회전축과의 거리가 1차라는 얘기입니다 회전축과의 거리가 회전축과의 거리의 뭐? 차수가 됩니다 1차란 뜻이 돼요 단면 1차 모멘트 토크라고 하는 건데 회전력의 합도 0이 된다라는 얘기가 됩니다 그러면 이 말은 평형방정식이 총 몇 개가 있다는 얘기야? 3개가 있다는 뜻이 되겠죠 3개가 존재합니다 이런 평형방정식에 대해서 문제를 풀려면 변수가 3개가 들어가 있다 그러면 이 평형방정식이 3개니까 그 변수 3개를 여기다 넣고 나면 다 풀리겠죠 이러한 것들을 이후에 우리는 참고로 변수가 3개이고 평형방정식도 3개이기 때문에 두 개가 개수가 같아서 문제 푸는데 매우 용이한 이런 형태를 정정이라는 말을 쓰게 됩니다 정정이라는 말을 쓰고요 이것이 아닌 조건식이 만약에 3개인데 나와 있는 변수가 2개밖에 없으면 이 안에 갖고 다 풀 수가 있잖아요 그쵸? 그렇지만 만약에 변수가 하나 더 있고 이러면 이 평형방정식만으로 구할 수 없습니다 물론 우리 눈에 보이지 않는 것들을 찾아내서 그걸 조건화 시킬 수 있는 부분이 있다면 모르지만 어떤 조건을 찾아야 된다는 것 자체가 이 평형방정식으로 풀 수 있는 건 아니란 뜻이 되는 거예요 자 그래서 이 평형방정식으로 풀 수 있지 않은 것들을 우리는 부정정이라는 말을 씁니다 대표적인 예를 한번 들어볼게요 예를 들어서 이렇게 가늘고 긴 부재 이런 부재를 이제 보라는 말을 이제 쓰기로 합니다 빔 알았습니까 빔 이 보라고 하는 것은 가늘고 긴 부재가 되는데요 이 보라고 하는 걸 보겠는데 이 보에 이렇게 지지하고 있는 녀석 지지대가 있겠죠 그 지지대를 만약에 롤러 이렇게 동그랗게 된 이렇게 동그란 롤러가 있을 수도 있고 이 삼각형처럼 표시하는데요 이 삼각형은 가운데 동그라미를 하나 박아서 이걸 힌지 임매 그렇죠 이렇게 딱 걸어 놓는 거 그런 걸 얘기하죠 그래서 이걸 힌지 힌지가 들어가 있는 요런 형태로 보통 표현을 하게 됩니다 이럴 때요 이 롤러 같은 경우는 이 방향에서 X방향, Y방향 토크를 생각해야 되는데 얘를 보세요. 얘를 보면 어떤 반력이 존재하냐면 위에서 누르기 때문에 위에서 누르는 거에 대한 반력 자체가 존재하죠? 자, 이런 거 갖다 빗금을 치겠습니다. 그래서 Y방향 힘에 대한 대항은 존재해요. 그래서 모멘트가 회전하는 거에 대한 힘을 의미한다고 했으니까 이런 경우는 어떻게 됩니까? 저항하는 힘이기 때문에 이 조건식 변수를 쓸 수 있겠죠? 그래서 얘는 이렇게 되고요 그 다음에 이 오른쪽으로 가는 이런 가로 방향은 존재하지 않습니다 왜 이 반력은 존재하지 않아요 이유는 뭡니까 이게 롤러기 때문에 이렇게 막 굴러다니니까 저항이 없잖아요 그쵸 그리고 얘가 이렇게 회전하는 거에 대한 저항도 존재하지 않습니다 왜 이게 얹혀져 있기 때문에 그냥 놓으면 툭 이렇게 툭 자빠져 버리지 이게 그냥 자빠진다는 게 사투리인가? 이게 넘어져 버리는 거지 이게 딱 저항하면서 회전하는 힘을 만들어 내는 건 아니잖아요 얘 입장에서 필요한 조건식은 뭐가 돼? 변수는 요 하나밖에 없습니다 알았습니까? 그런데 얘는 얘는 보세요 위쪽으로 올라가는 녀석도 저항을 해요 저항도 하죠 이렇게 저항합니다 그런데 요게 힌지에 걸려있기 때문에 걸려있는 녀석은 이쪽으로 이렇게 밀어내는 힘에도 저항을 하죠 두 가지가 됩니다 그러나 얘도 이렇게 동그랗게 이렇게 딱 고리를 걸어놨기 때문에 힘을 줬을 때 저항하지 않잖아요 그러니까 반대로 이렇게 저항하는 힘이라고 하는 녀석이 존재하지 않아요 그래서 위 조건식이라고 하는 걸 비교했을 때 평형방정식은 3가지 정도 조건이 만들어지는데 여기는 보니까 변수가 몇 개가 만들어졌다는 거예요 여러분 보다시피 변수가 다음과 같이 여기에 하나 있고요 그 다음에 이쪽에 하나 있고요 그 다음에 이쪽에 하나 있어요 이렇게 만들어진 녀석은 변수가 몇 개 나온다 이 세 개를 가지고 풀 수 있기 때문에 이 평형방정식 세 개다 이런 조건식 세 개가 만들어져서 개수가 딱 같죠 이런 것들을 우리는 뭐라고 하냐면 정정이다 특히 정정을 나타내는 보다 정정보 라는 말을 써요 이거 말고 여러분 또다시 뭐도 하나 있냐면 여기다 한번 써볼게요 이쪽에 이렇게 고정을 한 녀석이 하나 있습니다 왼쪽에다 고정을 시켜볼게요 고정을 시켜놓고 이 부분을 벽이라고 보겠습니다 이렇게 벽을 만들어 놓으면 벽에 이렇게 고정된 채 이렇게 보가 하나 딱 나란하게 붙어 있을 수 있겠죠 그렇죠? 이렇게 마치 우리가 수영장 다이빙하는 이런 판처럼 그렇죠? 이렇게 만들어진 건 한쪽 팔밖에 없다 그래서 이걸 우리는 외팔보 라는 말을 씁니다 외팔보 외팔보라는 말을 쓰고요 이쪽에 나와 있는 이쪽은 고정되어 있다 해서 우리는 고정단이다라는 말을 씁니다 고정단 여기는 비어져 있죠 이쪽을 우리는 자유단이라고 해요 자유단은 나중에 추후에 보겠지만 여기에 힘을 가하면 뒤쪽에 있는 게 휘어지는 게 아니고요 얘는 뒤쪽에 딱 힘을 주면 마치 이렇게 그냥 직선처럼 이렇게 돼서 이렇게 대롱대롱 매달려 있는 듯한 형태를 갖게 됩니다 나중에 여러분 추후에 보면 알게 되고요 이런 외팔보 같은 경우는 이 자유단은 별로 의미가 없고요 여기 나오는 고정단을 볼까요 여기는 딱 지지를 하고 있잖아요 딱 지지를 하고 있기 때문에 여기는 어떻게 되요 위쪽 방향으로도 반력이 존재하고 오른쪽 방향으로 당연히 반력이 존재하고 동시에 누르면 반대적으로 저항도 존재하죠 얘가 세 가지가 다 존재합니다 이걸 이제 모멘트를 통틀어서 라지엠이라고 쓰겠습니다 토크 말고도 다른 토크 종류는 여러 종류가 있기 때문에 그 결과를 따라서 이렇게 회전하는 형태로 우리는 뭐? 모멘트라고 해서 라지엠이라고 쓰겠습니다 그러면 이 모멘트라고 하는 녀석을 가지고 표현한 거랑 X방향, Y방향에 대한 반력 이런 걸 우리는 반력이라고 해요 또는 이 지점, 지지하는 점에 대한 반력이다 해서 지점 반력이라는 말을 쓰기도 합니다 용어 잘 들어놓으세요 지점 반력이라고 하는 녀석 자체의 존재를 보니까 3개의 평형방정식 3개와 더불어서 이쪽도 3개에 대한 형태가 나므로 변수 3개, 평형방정식 3개 이렇게 해서 얘도 뭐가 된다고요? 정정보가 되겠습니다. 이와 같은 정정과 부정정이라고 하는 것을 나누는 형태를 나타내는 게 평형방정식인데 이러한 힘에 대한 부분을 우리가 먼저 해석을 해줘야 된다는 거죠. 그런데 힘에 대한 해석을 하다 보면 두 번째 변형 사이의 관계를 먼저 보게 되는데 이 평형은 어디다 적용한다고요? 힘에다 적용하는 거에요? 힘을 적용하다 보면 당연히 변형이 일어나는데 힘과 변형 사이의 관계를 봐야 됩니다 근데 여러분 여기서 주의해야 될 것은 힘에 의해서 일어난 변형은 부재 전체 이 부재 전체 부재라고 하는 것은 알루미늄이죠 뭐 금속 나무 콘크리트 플라스틱 뭐 이런거죠 자 이런 부재 전체도 변형이 발생할 수 있겠지만 이 부재 전체 변형이라고 하는 녀석은 결론적으로 뿐만 아니라 부재 어디에도 내부에도 변형이 발생할 거에요 이게 무슨 말이냐 하면 이 평형 조건이라고 하는 힘은 바로 부재 전체에 작용하고 끝나는 것이 아니라 힘이라고 하는 녀석 자체는 다 어디에도 전체에도 작용되지만 내부에도 동시에 작용되는 겁니다 그렇죠 내부 자체에 작용한다면 일반적으로 힘을 준 반대로 반드시 어떻게 됩니까 힘도 작용하게 돼 있죠 그 말은 여기에서 뭐가 있다는가 역학의 가장 중요한 뉴턴의 운동 몇 법칙? 제3법칙. 바로 작용 반작용의 법칙이라고 하는 녀석이 여기서 작용된다는 거 잊지 말도록 합시다. 이거 다 기억해야 돼요. 역학의 3대 기본 원리. 그런 식으로 순서를 사고를 흘러간다는 거예요. 기본 원리가 사고의 흐름을 이렇게 하겠다는 얘기입니다. 이제 적합성이라고 하는 걸 보겠는데요. 이 적합성이라고 하는 게 뭐냐면 힘과 변형 이랬을 때 이 변형이라고 하는 녀석의 적합성이에요 이 변형이라고 하는 것은 방금 봤다시피 부재 전체의 변형은 부재 내부의 변형에 대한 합의 형태로 표현할 수 있는 거죠 부재 자체는 전체와 내부가 이렇게 분리되어 있는 게 아니잖아 그러니까 전체의 변형은 내부의 변형이다 라고 우리가 해석할 수 있다는 거야 무슨 말인지 알겠어요? 그래서 이 변형에 관련된 녀석의 적합성을 다룬다 라는 거예요 자 흐름 이해되겠습니까? 먼저 힘을 판단하고 힘으로 인해 발생되어진 변형에 대해서 우리는 관심을 갖고요 이 변형이라고 하는 녀석에 의해서 주어진 녀석이 과연 전체 변형이 어떻게 해서 이루어졌는지 내부의 변형을 먼저 판단해 본다라는 거예요. 앞에서 선생님이 얘기했습니다. 재료역학이라고 하는 것은 뭐예요? 바로 이 변형인데 어떤 거? 내부 힘에 대한 부분을 많이 본다라고 해서 내부 힘, internal force라고 해요. 인터널 포스라고 하는 바로 이 녀석에 대해서 우리는 많이 보게 될 것이고 이 내부의 힘을 판단해서 거기에 대한 변형을 보게 될 것이다 그러면 여기서 이제 하나의 약속을 하도록 합니다 이 내부의 힘 중에서 이걸 판단하여 전체 힘에 대한 어떤 정의를 해야 되죠 이 힘이라고 하는 녀석을 무게를 주거나 무게에 의해서 압력 무게라고 하는 걸 누를 수도 있고 무게라고 하는 게 있고 끝에 달면 당길 수도 있잖아요 이처럼 어떤 무게에 의해서 만들어지는 힘으로 이제 우리는 해석을 하기 위해서 하중이라는 말을 쓰기로 합니다 P라는 용어를 써요 문자를 써요 하중이라고 나오더라도 그냥 힘이라고 생각하면 되겠습니다. 하중, 로드 영어로는 로드라고 해요. 이렇게 짐 같은 거죠. 뭔가 힘을 줬다라고 하는 거예요. 하중을 얹었다 라고 생각하면 됩니다. 하중이라는 단어는 그냥 힘처럼 같이 생각하면 되겠어요. 이제 힘에 대한 균형을 따지기 위해서 평형법칙을 쓰기 위해서 힘을 정의하도록 하겠습니다. 이 힘을 정의하기 위해서 첫 번째 힘 중에서 특별히 어떤 부재에 작용할 때 수직으로 작용하는 어떤 힘을 보도록 하겠습니다 뭐냐면 다음 같은 부재를 봅니다 일단 사각형 부재라고 볼게요 이렇게 사각형 부재 사각형으로 생긴 부재를 하나 그려놓도록 하겠습니다 사각형으로 된 부재가 하나 있습니다 이 부재를 판단할 때 이 부재의 위쪽과 아래쪽에 바로 수직으로 하나의 하중이 작용하는데 이번에는 이렇게 양쪽으로 당기는 하중이 작용된다고 보겠습니다 이렇게 P가 작용한다고 볼게요 아래쪽도 똑같이 이렇게 똑같이 반대 방향으로 P가 작용합니다 이처럼 단면에 수직으로 이렇게 작용하는 이런 힘을 한번 보도록 할게요 끌어당기기 때문에 쭉 늘어날 수 있겠죠 그래서 이 P라고 하는 것을 이렇게 당기는 힘을 우리는 인장이라는 말을 씁니다 인장력 그래서 인장력이란 말을 인장 하중이란 말을 쓰는데 인장 영어로 tensile 끌어당기는 인장력이라고 보고요 이 인장력이라고 하는 걸 기본적으로 우리는 부호를 플러스로 놓겠습니다 인장력은 플러스가 되고 상대적으로 뭡니까 이 똑같은 수직이긴 한데 반대로 이렇게 안으로 집어넣는 거 있죠 이렇게 안으로 안으로 이렇게 해서 넣는 거 이렇게 해서 집어넣어서 수직으로 내려 누를 때 우리 압력 같은 거죠 그렇죠 이렇게 누를 때는 우리가 당연히 압축력이 되죠 컴프레션 그렇죠 자 압축이 되겠습니다 압축 그래서 인장력과 압축에 대한 부분 이거는 마이너스로 이제 우리는 해석을 할 거에요 자 부호 잘 기억해 놓고 인장에 대한 부분 한번 보겠습니다 양쪽으로 끌어당기죠 그러면 힘 자체가 수직으로 작용하는 이 녀석 자체를 봤을 때 요 녀석의 내부를 한번 봅니다 이게 이렇게 딱 작용하면 이게 뚝 부러지지 않고 그냥 이게 균형을 이루려면 이 내부에도 똑같은 P가 작용하지 않겠어요? 그래서 내부를 한번 잘라봅니다 잘라보는데 모양이 좀 다르더라도 이해하세요 저 또한 모양이 다른데 그러지 말고 자 내부를 한번 딱 잘라볼거에요 자 이렇게 해서 내부를 한번 잘라보겠습니다 아 이거 그림 잘 안되네 그림 졸라리 잘 그리는데 자 이렇게 내부의 부재를 보겠습니다 내부의 힘을 본다 그랬다 내부를 딱 자르고 나니까 이 부분에서 위쪽에 작용되어지는 P라고 하는 녀석이 이게 부서지고 떨어지지 않으려면 이 P가 어떻게 됩니까? 여기 안쪽을 들여다보면 이 앞쪽에 단면이 이렇게 있겠죠 이 단면을 이제부터 우리는 A라고 보겠습니다 이 단면의 면적을 A라고 봤을 때 이 단면적 위에 P가 골고루 작용하지 않겠어요? 그래야 이게 안 부러질 거 아니야. 딱 이렇게 있으면 쭉 늘어나겠지만 이게 딱 이 부분에다 어떻게 되죠? 구성되어 있는 녀석이 이 안에 전체 분포하면서 균등하게 작용될 거예요. 그래서 균등하게 분포되어지는 걸 다음과 같이 한번 적용을 해볼게요. 이렇게 해서 양쪽에 균등하게 분포되어지는 걸 한번 보겠습니다. 자 이렇게 그림 꼬라지 하고 아이씨 자 이렇게 되겠습니다 그림 잘 안 나오네 자 이렇게 되겠습니다 이렇게 되어진 이만큼으로 향해서 이 P라고 하는 게 똑같이 작용할 거 아니에요 이 단면에 P가 골고루 분산되어서 나타날 것입니다 그래서 이쪽 방향으로 선생님 이렇게 해서 노란색으로 화살 표시를 해 볼게요 이러한 것들이 작용하게 될 거예요 시그마 정의 시그마 정의 시그마 정의 시그마 정의 시그마 정의 A라는 단면적에 작용되어지는 수직으로 작용되는 인장력의 힘을 표현하고 이렇게 쓰고요 바로 이 녀석을 스트레스 응력이라는 말을 씁니다 근데 수직으로 작용하는 응력이라서 우리는 이걸 수직 응력이다라는 말을 쓰게 될 거예요 수직 응력 또는 무슨 말을 하냐면 축방향 응력이다라는 말을 쓰게 됩니다 이 축방향 응력이라는 게 무슨 뜻이냐면 자 볼까요? 이 부분에서 학생들이 많이 헷갈려 하는데 이렇게 보면 뭐가 돼요? 이렇게 되는데 이거를 이렇게 계산하는 게 보통은 이렇게 세워져 있는 봉을 설명해요 이 봉을 설명하면 이 봉은 눕혀져 있잖아 이렇게 만들면 당연히 P라고 하는 이 녀석은 뭐라고 쓸 수 있어? P는 종방향이라는 말을 쓸 수 있지 종방향 P라고 하는 게 뭐예요? 세로방향 종방향 힘이라고 할 수 있잖아요 종방향 또는 이걸 뭐라고 하냐면 수직으로 면에 작용하는 힘이 되는데 종 세로방향이 되는 거예요 근데 이렇게 따져놓고 나서 보다가 이렇게 옆으로 눕혀버리면 얘가 뭐가 돼요? 이 방향이 되는 거죠 이 방향 그래서 이걸 마치 X축으로 본다면 X축 방향이라고 볼 수 있는 거예요 그래서 축방향이라고 하는 것은 종방향을 뜻하는 겁니다 여러분 착각하면 안 돼요 가로 방향이 아니에요 이걸 세로로 서면 이게 종방향 이 종방향을 눕혀서 하기 때문에 뭐가 된다고요 바로 가로처럼 보일 뿐이지 실제로 무슨 방향 종방향이 됩니다 그래서 이 종방향을 길이 방향이다 이런 말을 씁니다 알았습니까 자 길이 방향 길이 방향에 대한 응력 그러니까 축에 대해서 수직으로 작용하죠 수직 응력 또는 축 방향 응력이라는 말을 쓰게 됩니다 시그마라고 하는 형태로 표현되는 거죠 그러면 이것만 있는 게 아니라 이 P라고 하는 녀석이 말고 이게 이렇게 만들었을 때 여기다 보면 이렇게 세로로 세워진 거 이렇게 해서 눌려지는 거죠 이렇게 위쪽으로 이렇게 올라가는 거 옆에서 이렇게 보면 이쪽으로 이렇게 작용하는 것이 되겠어요 이쪽으로 자 이쪽으로 이렇게 자 이쪽으로 작용하는 나란한 거죠 이 면의 면의 수직이 아니고 나란해요 이 나란하게 만들어진 이 녀석은 평행하게 이렇게 만들어지는 거라 그래서 이걸 어떤 힘이라고 하냐면 수직이 아니라고 하고 이 녀석을 이제부터 우리는 V 또는 뭐 S라고 쓰기로 약속을 합니다 책마다 좀 다르지만요 이걸 이제 우리는 전단력이라는 말을 써요 shearing force 전단력 shearing이란 뜻입니다 나란한 건 shear예요 알았죠 shear force, shearing force 전단력이라고 해요 전단력은 여러분 나란하게 때리다 보니까 여기가 만약에 고정이 돼 있으면 이렇게 하니까 쉬이 굽혀지거나 아니면 옆으로 약간 이렇게 여기 안 하고 비스듬하게 하면 이게 틀려지겠죠 그래서 이게 회전을 하는 트위스트가 발생하거나 이런 형태에 대한 어떤 근원, 원인이 됩니다 이런 전단력은 면의 수직인 게 아니고 나란한 형태가 돼 있죠 그러면 저 녀석이 작용하면 이 내부를 보면 어떻게 돼요? 이 내부도 마찬가지로 이쪽으로 전부 다 똑같이 작용할 거 아니에요? 얘처럼 같이 해석할 수 있는 거 아니야? 그래서 여기를 본다라고 친다면 이쪽으로 이렇게 해서 따라가면서 똑같이 이 라인을 이렇게 해서 이렇게 작용되지 않겠어요 여기에? 맞죠? 나란하게 이렇게 쭉 작용될 거예요 이렇게 해서 만들어져서 가는 이 녀석을 이제 우리는 tau 물리학에서 일반적으로 얘기할 때 타우는 토크를 얘기하지만 타우라고 씁니다. 재료역학에서는 이렇게 쓰고요. 이 말을 그대로 따라간다면 얘는 뭐가 돼? 전단력에서 생기는 응력. 전단응력이라고 쓰면 되겠습니다. 뭐라고 쓴다고요? 전단응력이다 라고 이렇게 표현하면 되겠어요? 전단응력은 정의가 어떻게 되는 거예요? 이 전단응력의 정의는 다음과 같이 이렇게 되겠죠? V라고 하는 녀석 위에 있는 타우는 어떻게 된다? A분의 얼마? V라고 쓰고 책마다 shearing에서 S라고 쓰기도 하고요 자 이렇게 해서 표현되어진다 수직응력과 전단응력이라고 하는 것이 내부에 작용되어지는 응력의 종류다 이 말이야 그러면 여기를 우리가 이제 봤기 때문에 이제 뭘 한다고? 이제 힘에 대한 평형을 나누기 위해서 힘을 정의를 했기 때문에 변형에 대한 관심을 좀 가질 거예요 변형은 어떻게 되느냐? 여기를 자세히 봅시다. 여러분 여기를 봤을 때 기본적으로 여기에 어떤 점을 하나 이렇게 잡아 봅시다. 원래 오리지널 점 A 하나 잡고요. 이 점에다 B를 하나 잡아 봅시다. 그러면 여기서 여기까지 길이가 있을 거 아니에요? 이 길이를 내가 L로 볼게요. 길이가 L인데 양쪽으로 이렇게 팍 끌어당기면 양쪽으로 팍 끌어당기면 어떤 일이 벌어진다고? 얘도 늘어나고 얘도 늘어나니까 전체적으로 늘어난 형태가 만들어질 거 아니에요 전체적으로 늘어난 형태가 만들어지는데 양쪽 다 늘어난 걸 해석하는 건 좀 힘들어서 어느 한쪽을 고정하자 이 말이야 그러면 이 A라고 하는 이 부분을 내가 이렇게 고정을 해버리는 거예요 고정을 하고 나면 밑으로 늘어나고 위로 늘어나는 걸 다 때려 합치면 B쪽으로 적용시키면 되잖아요 그럼 얘가 딱 적용했을 때 어떻게 되면 이 정도까지 이렇게 늘어났다고 봅시다 이게 B가 이렇게 늘어났다고 봅시다 그러면 원래 이 자리가 여기였으니까 이만큼 이렇게 있을 거 아니에요 이만큼 이렇게 있을 텐데 여기하고 여기가 L인데 이만큼이 뭐에 해당한다? 늘어난 길이가 되잖아 그래서 변화된 길이니까 우리가 델타 L이라고 쓸 수 있겠죠 이제 이 재료역학에서 변형되어진 모든 길이는 다음과 같이 델타로 쓰기로 약속을 합니다 변형량이 되는 거예요 변형량은 다 뭐? 델타 자 그러면 변형 길이가 델타예요 이랬을 때 상대적인 변형 길이 여러분 이제 수학을 좀 배운 학생들은 뭐를 좀 얘기하냐면 수학 배울 때 상대오차라고 하는 게 있어요 상대오차 상대오차라고 하는 것 좀 들은 사람들이 이해할 수 있을까요 상대오차라고 하는 게 뭐냐면 바로 지금같이 이런 거예요 L이라고 하는 녀석에 대해서 델타 L 다른 말은 뭐가 되죠? L분의 뭐가 되죠? 이 델타가 되겠죠? 요렇게 써진 녀석을 얘기하고 이걸 상대오차를 이제부터 뭐? 요렇게 입실론이라고 하는 문자로 쓰도록 합니다 자 입실론이란 문자를 쓰고요 상대오차를 이제 변형률이라는 말을 쓰게 돼요 이 변형률은 원래에 대해서 얼마만큼 변했냐를 나타내는 거죠 영어로 strain이라고 합니다 굉장히 중요한 얘기를 했어요 바로 이 변형률이라고 하는 것이 바로 힘과 변형 사이의 관계를 결정해주는 형태가 되겠더라 이제 마지막으로 뭐? 이 적합성이라고 하는 걸 따지기 위해서 델타라고 하는 걸 정의를 해야 돼요 그러니까 변형 길이에 대한 부분을 정의를 해야 되는데 이걸 정의하기 전에 우선적으로 뭐를 하나 볼 것이냐면 이 입실론이라고 하는 변형률은 아무래도 뭐를 할 수 있다? 이게 우리가 특별히 전단응력 말고 수직응력만 먼저 볼게요. 시그마값을 세게 주면 세게 줄수록 어떻게 된다고? 입실론이라고 하는 것이 늘어나게 될 것이다. 비례 관계가 형성될 텐데 그러면 여기 비례 관계를 똑바로 곱하려면 이 녀석이 뭔가 변형을 줘야 되는데 식을 만들려면 뭔가 비례 상수를 곱하고 입실론은 이렇게 해야 될 거 아니에요? 다시 말해서 이걸 나누었을 때의 비에다가는 여기에 있는 녀석에 대해서 우리는 이제 매우 중요한 관심을 가져야 됩니다. 이 비례 상수를 이제부터 문자로 E라고 쓰기로 약속을 하고요. 자 E라고 하는 녀석은 아무래도 그 어떠한 문자의 앞 글자를 따서 표현한다고 생각하면 편합니다 자 여기에 나오는 녀석을 이제 한번 표현해 보도록 하겠습니다 자 수직응력과 변형률 사이의 관계 비례 상수가 되겠구요 자 요 부분을 이제 설명을 한번 해보겠는데요 이제 표현하기를 다음과 같이 표현하도록 하겠습니다 바로 이 시그마라고 하는 녀석 앞에 들어가는 상수를 라지 E라고 쓰고요. 입실론이라고 쓰도록 할게요. 여기 나와 있는 이 식에서 이 라지 E라고 쓰고 여기 E라고 하는 녀석을 재료의 성질에 관련된 부분 재료의 성질은 일반적으로 우리가 다루는 게 뭐냐면 어떤 물체를 끌어당겼을 때 쭉 늘어놨다가 놓으면 다시 되돌아오는 것이 탄성이라고 하는 것이 있고 플라스틱 같은 경우는 어떻게 돼요? 쭉 늘어놓고 나면 어떻게 돼요? 다시 안 돌아오죠 잘 그렇죠? 그래서 이런 걸 우리는 플라스틱의 성질을 소성이라는 말을 씁니다 탄성과 소성에 대한 어떤 재료의 성질 중에서 탄성에 관련된 얘기 그래서 이걸 탄성계수다 영 계수 영 모듈러스 탄성계수 영 계수라는 말을 쓰고요. 시그마 이퀄 라지 E 입실론이라고 쓸 수 있겠습니다. 저거 기억해 주는데 비례 관계에 있다는 뜻이잖아요. 그러면 이때 이 모양을 자세히 들여다보면 뭐랑 똑같이 생겼냐 모양 자세히 보세요. 여러분 용수철 탄성 나오니까 용수철 보면 뭐가 돼? 이런 거 있죠. 기계 진동학 할 때 여러분 어차피 봐야 되는 내용이잖아요. 그치? F이퀄 KX다라고 하는 형태를 봤을 때 F이퀄 KX가 바로 용수철에서 나오는 훅의 법칙이잖아요. 훅의 법칙 말을 버벅거리자 여기서 그러면 이 대응되는 곳에 F에 대응되는 형태의 시그마 응력 그 다음에 입실론에 대응되어지는 녀석이 뭐죠? 바로 변형률 X 변형률이잖아요. 흡사죠. 그리고 이 안쪽에 들어가 있는 E라는 것이 바로 용수철에 관한 탄성, 힘 상수라고 하죠. 여기 힘에 관한 상수. 이 K하고 E이 서로 연결시켜줄 수 있다. 뭐 이런 얘기 아니겠어. 자 이렇게 해서 저 시그마 이퀄 E 입실론이라고 적혀있는 조식이 있죠. 이 식을 이제부터 우린 뭐라고 얘기하냐면 수직응력에 관한 또는 수직응력 또는 축방향 응력이죠 축방향 하중에 대한 이란 말을 써도 되고요 그래서 수직응력에 관한 축방향 하중에 대한 훅의 법칙이다 라는 말을 씁니다 훅의 법칙, 그러니까 훅의 법칙은 얘가 훅의 법칙이잖아요. 그러니까 이게 탄성이 원하는 거고 이게 훅의 법칙 이 내용 자체를 나타내는 E라고 하는 녀석이 매우 중요한 의미를 갖게 됩니다. 꼭 기억하도록 하세요. 라지 E를 보면서 그러면 입실론과 시그마에 대한 비가 바로 라지 E란 뜻이지 그러니까 저게 무슨 말이냐면 E라고 하는 게 비란 뜻이잖아요. 입실론 분의 시그마 그럼 이 두 개 갖고 그림을 하나 그릴 수 있겠죠 이건 실험에 의해서 나타나는 수치입니다 그래서 실험을 해보니까 다음과 같이 나오더라 이거예요 실험을 한번 해보겠습니다 이렇게 해서 실험을 내가 하는 게 아니죠 미안합니다 미안할 것까지는 없지 지금 뭘 미안해 그래서 이렇게 됐다고 했을 때 여기를 시그마라고 입실론으로 보겠습니다 그러면 이 기울기라는 뜻인데 저게 뭐냐면 이렇게 되는 거예요 이게 이제 쭉 올라가다가 올라가다가 요 부분에서 짝 이렇게 선형으로 쭉 올라가요 올라가다가 어느 정도 선형이 끝나면서부터 여기서부터 이게 곡선을 따라서 이렇게 일단 먼저 퍼져갑니다 자 이렇게 퍼져 가는데요 일단 여기 정도까지만 일단 보겠습니다 여기를 A라고 놓고 자 A라고 볼게요 A라고 보겠습니다 여기를 처음에 이제 완전 원점 형태로 보고요 자 여기서 일단 여기를 B로 한번 잡아 볼까요 여기를 C로 잡겠습니다 여기를 C로 잡겠다 무슨 말이냐면 여기서 이제 이게 응력이 쫙 올라가는 동시에 바로 이게 순차적으로 입실론이 비례하면서 선형으로 늘어나잖아요 그게 요렇게 되는 거니까 요게 기울기가 뭐가 된다니 기울기가 이거의 기울기가 바로 뭐죠? E가 되는 거죠 이게 기울기가 바로 이 녀석이에요 맞죠? 이거예요 그러면 요 기울기가 E가 나오도록 E개수가 나오는 요기까지의 응력 여기를 여기까지 응력을 다음과 같이 여기서 만들어지는 이 부분 있잖아요 이 부분 맞죠? 이 부분을 YIELD라니 Y-I-E-L-D Y-I-E-L-D 항복했다 뭐야 항복했다 그래서 여기를 항복응력이다라고 얘기를 합니다 그래서 어떤 응력이 항복응력 아래쪽에서는 하중을 줬을 때 이렇게 하중이 늘어남과 동시에 비례적으로 변형률도 커진다는 거예요 그러다가 하중을 딱 떨어뜨리면 감소시키면 다시 이 라인을 따라서 이렇게 온다는 뜻이고 그리고 다시 하중을 높이면 또 이 라인을 따라 올라간다는 뜻이에요 무슨 말 알겠어요? 그러다가 항복응력을 딱 넘어가면 넘어가는 순간 어떻게 된다? 이때부터는 곡선적으로 변하게 된다는 거예요 그러다가 여기 오잖아 시에 여기까지 오는 순간에 여기 오면서 하중을 딱 떨어뜨리면 이 라인과 매우 근사적으로 비슷하게 라인이 이렇게 하나 만들어져요 그러면 이렇게 해서 내려오겠죠 하중을 완전히 떨어뜨리면 무슨 일이 되는 거야? 원래가 여기였는데 늘어난 게 어떻게 된다고? 이만큼 늘어나버렸죠. 그러니까 영구 변형이 일어났다는 거야. 다시 되돌아가지 않는다는 거죠. 변형이 이만큼 일어났다 초창기에 이렇게 왔다는 거예요. 그래서 이런 식으로 근사하게 내려오다가 하중을 다시 주면 위로 올라가죠. 이렇게 해서 여기까지 오면 이런 식으로 쭉 계속 이 라인을 따라서 또 가게 될 것이다라는 거야. 그러면 여기서 여기까지 그러니까 여기 만들어진 여기 바로 선형을 나타낸 이 라인까지 있죠 이 라인까지를 이제 일컬어서 우리는 바로 탄성 구간이라는 말을 써요 자 여기는 되돌아가지 않죠 여기 있는 라인을 뭐라고 소성 구간이다 플라스틱 그런데 여기 뒤쪽도 있지만 거기 놔두고요 일단 여기까지 정도만 우리가 기억하도록 하겠습니다 탄성구간 소성구간 탄성구간 내에서 바로 이 비례상수에 대한 기울기가 바로 영계수다 라고 하는 걸 기억하도록 하고요 그럼 이 식 자체를 가지고 본 다음에 다음과 같은 아이디어를 우리가 또 하나 보려고 합니다 결론은 변형된 양에 대해서 우리는 관심을 가져야 될 거 아니에요 변형된 양에 대해서 관심을 좀 가져야 되는데 그렇다면 이 식 자체에서 수직 응력에 관련된 이 식에서 훅의 법칙에서 시그마는 아까 뭐였습니까 이게 시그마라고 하는 것이 A분의 P였단 말이지 A분의 P였는데 이 A분의 P라고 하는 걸 뭐를 얘기한다고 이 상황에서 A분의 P를 시그마 대신에 뭘 집어넣고요 바로 수직응력 뭐였죠? 이 시그마 A분의 P 있네? 그 다음 얼마 이것이? E입실론이야 뭐하는 짓거리지? 자 이렇게 돼 입실론이라고 하는 게 뭐예요 이게? 방금 봤다시피 입실론이라고 하는 것은 저기 나와있는 녀석이 여기 입실론이라고 하는 녀석 자체가 E분의 시그마가 되는 거죠 E분의 시그마 그래서 E분의 시그마가 되겠어요. 여기서 입실론에 대한 개념 자체를 이렇게 만들지만 이걸 우리가 훅의 법칙에다 써보면 또 이렇게 표현되지 않아요. 이해할 수 있겠어요? 그래서 여기 나와있는 식 자체가 이렇게 되고 여기의 결론은 E분의 시그마이지만 입실론 뭐하는 짓거리지? 아니다. 이거 말도 안 돼. 그렇죠? 이게 상태에서 L분의 델타. 이거 뭐하는 정신적인 박해가 왔네요 그러면 여기서 어떻게 쓸 수 있다? A분의 P는 어떻게 되죠? 여기다 쓰면 L분의 얼마 대 입실론 얼마 대죠? E에다 얼마? 델타 이렇게 되겠죠. 그러면 이 상황에서 변형량 델타라고 하는 식을 우리 찾아낼 수 있겠습니다. 얼마? L분의 L을 곱하기 얼마? A분의 P죠. 이거 매우 중요한 식입니다. 여러분. AE분의 얼마? PL 이렇게 쓸 수 있겠죠 변형길이라고 하는 녀석은 다음과 같이 이렇게 주어져 있다라고 하는 것 기억하고요 수직응력이라고 하는 것과 변형률 사이의 관계식은 이렇게 되는 것과 동시에 σ는 A분의 P라고 하는 이 힘과 그 다음에 변형률 사이의 관계식 그리고 변형량에 대한 적합성을 구하기 위해서 델타는 이렇게 된다라고 하는 것 이 식도 반드시 외워주기 바라겠습니다 굉장히 중요한 얘기를 선생님이 설명을 했어요 자 이렇게 해서 이번 시간에는 선생님이 여기까지 설명을 하고요 이 내용을 바탕으로 해서 예제를 한번 풀어보면서 이 과정을 한번 적용해 보도록 하겠습니다 반드시 여러분 숙지하고 따라와 주시기 바라겠습니다 잠시 쉬었다 되돌아오도록 할게요