1강 1계 상미분방정식, 변수분리법 (Ch 1.1, 1.3)

안녕하세요 Kreyszig 공학수업 Part A 강의를 시작하도록 하겠습니다 오늘은 첫 강의인 만큼 Part A가 어떤 내용을 담고 있는지에 대해서 개략적으로 설명한 다음에 수업을 진행하도록 하겠습니다. 파트A는 교재에 보시면 상미분방정식이라고 표현이 되어 있는데요 상미분방정식은 영어로 ordinary differential equation 해서 앞자만 따서 O.D.E 라고 부르게 됩니다. 이제 공학수학의 첫 파트인 만큼 굉장히 중요한 내용을 담고 있기도 할거고 보다 쉬운 뒤쪽에 있는 내용 보다는 보다 쉬운 내용을 담고 있을 거라고 예측하실수 있는데요 쉬운거는 맞는거 같고 중요한 것도 맞는거 같습니다. 상미분방정식 이라는 것은 뭐냐하면은 뒤에 나온 편미분방정식과 대응이 되는 개념인데요 편미분방정식 같은 경우에는 편미분을 여러개의 변수가 있을 때에 미분을 할 경우에 편미분이라고 부르게 되잖아요 근데 그와 반대로 상응되는 개념으로 그냥 미분을 한다고 하면은 그냥 한개의 변수에 대한 미분을 하잖아요 그래서 우리는 상미분방적식은 편미분방정식이 아닌 미분방정식 이라서 한개의 변수에 의존하는 함수를 대상으로 합니다 그래서 이러한 것들 y=f(x) y는 이제 x에 대한 함수 이거나 y=g(t) y는 t에 대한 함수이거나 이런 식으로 한개의 변수에 의존하는 함수를 대상으로 한다 자 그러면 Part A 전체에 다루고 있는 내용이 무엇이냐 하면은 이 질문에 대한 대답인데요 어떻게 하면 상미분방정식을 풀 것인가 우리가 상미분방정식 이라고 하는것을 어떠한 방식으로 풀어나갈 것인가 에 대한 답을 가지고 있는게 파트A 입니다. 그래서 파트A 보시면 여섯개의 단원으로 구성이 되어 있는데요 첫번째 단원은 1계 ODE 이제 ODE라고 하는거는 이제 제가 상미분방정식 계속 ODE라고 쓰도록 하겠습니다 이제 차수가 1인 ODE 제일 쉬운 ODE 부터 다루기 시작해서 2장에서는 2계 선형 ODE, 선형이라는 말이 붙었죠 차수가 2인 것들 중에서 선형인 애들을 다루게 되고 그 다음에 3장에서는 이제 2계까지 다뤘으니까 3계 이상 그래서 고계 선형 ODE를 다루게 됩니다. 그리고 이 3장 까지 어떤 ODE 에대한 종류에 대해서 봤다면 4장부터 6장 까지는 그러한 ODE를 여기에서 배운 방식말고 다른 방식으로 어떻게 풀어 나갈 수 있을 것인가에 대한 방법론으로서 행렬을 활용한 방법 급수를 활용한 방법 그리고 Laplace변환을 활용한 방법, 이 세가지를 알려 줍니다. 이제 이 각각에 대한 내용은 그 단원에 들어가서 좀 자세히 살펴 보도록 하겠습니다 여기 써 놓은건 Laplace변환 제가 한번 써 놨구요 그리고 이거 같은 경우에는 이제 1차 선형ODE 이건 2차 선형ODE 이 예시를 제가 적어놓았습니다 그래서 어쨋든 여기에서 총 가져 가셔야 할 것은 어떻게 파트A를 다 공부 하고 나면 어떻게 상미분방적식을 풀것인가에 대한 해답을 머리속에 가지고 있으시면 됩니다. 그리고 이중에서도 가장 중요한 것을 골라라 라고 하면 2계 선형 ODE를 고를 것 같습니다 왜냐하면 해보시면 아시겠지만 뒤로 가면은 나오는 상미분방정식이 다 2계에 대한 상미분방정식이 주로 나옵니다. 그리고 그걸 다루는 이유는 물리적 현상은 대부분 우리가 수학적으로 기술할때 2계로 나오는 경우가 많아서 이제 이것을 주로 다룬다고 보시면 될것 같습니다 자 그러면 오늘 수업 시작하도록 하겠습니다 오늘 이제 1.1 단원과 1.3 단원을 다룰건데요 1.2 단원 같은 경우에는 그렇게 내용이 별로 없어서 직접 읽어 보시면 될것같습니다. 그러면 1.1과 1.3 단원 다루도록 하겠습니다. 상미분방정식은 방금 말씀드렸던거 처럼 미분 방정식인데 그것 중에 변수가 한개인 애들을 말합니다. 미분방정식이뭐냐 라고 하면은 미분방정식은 어떤 미지의 함수 우리가 모르는 함수 어떤 y나 뭐 어떤 뭐 f나 이런것들 둘 수 있겠죠 이것에 대한 도함수 도함수 라고 하는 것은 배웠죠 뭐 미분 혹은 일차 일차도함수 아니면 이차도함수 계속 나눌수 있겠죠 삼차도함수 여러가지 존재할거고 를 포함하는 방정식을 이제 미분방정식이라고 합니다. 그래서 이제 말로 설명하면은 잘 안와 닿을수 있으니까 예시를 보면 교재에 나와 있는 예시 그대로 가져왔는데요 이제 보시면 y"=g를 이걸 만족하는 뭐 이런 것도 미분방정식이고 mv'=mg-bv² 이런것도 미분방정식으로 표현되겠죠 왜냐하면은 어 도함수를 포함하고 있는 방정식이기 때문에 그리고 한개의 변수에 대한 미분방정식이기 때문에 상미분방정식이라고 할 수 있죠 이거 같은 경우에도 세타(θ)에 대한 세타(θ)는 뭐 t에 대한 함수라고 한다면 t에 대한 두번 미분에 대한 도함수를 가지고 있는거죠 그러면서 어떤 방정식 형태를 띠고 있으니까 상미분방정식이라고 표현할 수 있습니다. 그럼 상미분방정식이 그럼 왜 중요하냐 라고 했을때는 여러가지 물리적 현상을 기술하는데 있어서 상미분방정식을 엄청나게 많이 활용이 됩니다 그래서 우리는 이제 여기에서 공학수학이라고 하는 교재에서 첫단원으로서 상미분방정식을 배우게 됩니다. 자그러면 여기에서는 어떤 식으로 문제를 푸는지에 대해서 살펴볼건데요 예제4번 보도록 하겠습니다. 1.1단원의 예제 4번 입니다. 4번에 보면 y'은 y를 이제 x에 대한 미분이겠죠 dx, dy 한거는 3y다 이걸 만족시키는 어떠한 미분방정식이 이렇게 있을때 그리고 y(0)=5.7을 만족하도록 한번 y(x)를 구해 보아라 x에 대한 함수 y를 구해 보아라 라고 하는 문제입니다. 그런데 이제 여기서 부터 미분방정식 상미분방정식 혹은 미분방정식 어떻게 풀지에 대한 방법론적인 것들을 제가 곁들어 설명을 한건데요 고등학교 때 배운 지식만을 한번 활용해서 이 문제를 풀어보도록 하겠습니다. 그러면 이제 딱 생각을 했을때 미분하면 자기 자신이 되는 함수가 무엇이 있나 한번 생각을 해보는 거죠 보면은 미분했더니 자기자신이 나오는데 그걸 상수배를 한거잖아요 그러면 미분해서 자기자신이 나오는 함수가 무엇이 있을까 라고 생각을 해봤더니 아 exponential 지수함수는 자기자신이 나오네 라고 하는 것을 이제 기억하실수도 있을겁니다 자 그러면 얘를 근데 얘는 그냥 미분하면은 3이 곱해지는게 아니라 그냥 말그대로 자기자신이잖아요 그러니까 조금만 변형을 시켜서 이런 식으로 형태를 만들어 준다면 y=ce에 ax 라고 하는 형태로 화 된다면 얘를 미분 했을때에 이러한 형태를 갖도록 만들어 줄수 있지않을까? 라는 생각에서 출발하는 겁니다 그 생각에서 출발을 하면 얘를 이제 미분해 보면 이렇게 될거고 얘가 3y랑 같도록 만들어 줍니다 3y는 이렇게 되겠죠 그럼 얘랑 얘랑 비교했을때 c는 이제 임의의 c고 그러면은 요고와 요고 같으려면 a가 3이어야 겠죠 네 a가 3이여야 해서 우리는 a에다가 3을 대입하면 y는 c곱하기 exponential에 3x 이렇게 표현할 수 있습니다. 그래서 우리는 이렇게 구한 해, 이렇게 구한 해를 어떤 상미분방정식에 일반해다 라고 표현합니다. 그 일반해는 영어로 general solution이라고 부릅니다. 그래서 일반해 라고 하는 표현 용어는 기억해 주셨으면 좋겠습니다 그래서 어떤 c가 결정되지 않은 상태로 어떤 미지수 이렇게 나와 있을때 우리 일반해다 하고 표현을 합니다. 자 그런데 우리는 지금 y(0)=5.7이다 라고 하는 조건이 또 주어졌죠 y(0)=5.7이다 하고 하는 조건을 활용해서 c를 이제 결정 해 주면 됩니다. c를 결정해줄때는 0을 대입을 해보면 여기 계산하면 5.7 c가 5.7이다. 라는 것을 알 수있죠 그러면 이때는 y는 5.7곱하기 exponential 3x 제곱에 형태로 나타나고 이렇게 이제 더 이상 미지수가 나타나지 않고 딱 고정된 상태로 나올때 이걸 우리는 특수해 라고 합니다. 영어로 particular solution이라고 부르게 되는데요 그래서 특수해라고 하는 것은 일반해에다가 이러한 초기 조건들을 대입을 했을 때에 나오는 값을 우리는 특수해 라고 부르게 됩니다. 자 그래서 이거는 이렇게 풀 수 있겠죠 그러면 이제 방금은 어떤 고등학교 지식을 활용을 해서 풀었다면은 이번에는 조금 더 세련된 방법으로 문제를 해결해 보도록 하겠습니다. y'=dy/dx 이겠죠 y를 x에 대한 미분한거니까요 이제 이렇게 표현하면 여기 3y인데 그럼 요 뒷부분만 쓰면은 이제 이렇게 될거고 그러면 이제 y를 양변에 나눠주게되면 1/y dy/dx= 3이라는 식이 나옵니다 근데 이거는 항상 성립하는 식이죠 그러니까 양변에 x로 적분을 해줘도 되겠죠 그 양변을 x로 적분을 하게되면 이렇게 됐고 근데 dx, dx 사라지면 이 부분은 y분의 1을 y에 대해서 적분한거니까 ln|y|가 나온다는걸 알 수 있고 우변 같은 경우는 3을 x에 대해서 적분하면 3x+c 적분상수 c가 붙게되겠죠 그러면 이거를 우리는 y에 대해서 정리를 해주면 이렇게 표현이 되는데 물론 여기 절댓값 씌워줘야 되지만 절댓값 씌워줘야 되지만 여기에서 우리가 exponential c를 그냥 c* 라고 부르게 된다면 여기 c*가 원래는 그러면 이 경우에는 0부터 무한대 까지 값을 갖는건데 c*가 여기서 마이너스 무한대부터 무한대까지의 값을 갖는다 라고 가정을 하면 절대값 여기 지워도 되겠죠 그래서 어쨌든 y는 이러한 형태를 이러한 형태의 값을 갖게 될겁니다. 그래서 우린 답을 이런 방식으로도 찾을 수 있는데요 조금 더 깔끔하게 답이 나오죠 어 약간 방법에 있어서 그리고 이 c* 같은 경우에는 이 값도 다시 y(0)=5.7이다 라고 하는 이거 대입하면은 우리 c* 값도 바로 구할 수 있습니다. 이러한 방법을 우리는 이제 변수분리법이라고 부르게 되고 변수분리법이라고 부르는 이유는 y에 대한 항을 y에 대한 항끼리 따로 분리하고 x에 대한 항은 x에 대한 항끼리 따로 분리해내서 양변을 적분해서 직합스럽잖아요 이렇게 변수를 분리하는 방법이다 라고해서 변수분리법이라 부르고 이 방식을 통해서 상미분방식을 해결해 나가는걸 배울겁니다. 또 다른 예제 한문제 또 보면은 연습문제 인데요 1단원에 13번 연습문제입니다. 여기에서 이제 문제를 풀라고 하는거랑 제가 푸는건 조금 다르긴 한데 일단 한번 보도록 하겠습니다. y'=y-y²이라고 하는 이것도 미분방정식이겠죠 상미분방정식 이겠죠 이걸 x에 대한 함수라고 생각하고 한다면 도함수가 하나있고 그리고 방정식의 형태가 띄니까요 그럼 얘를 dx/dy로 바꾸면 이렇게 표현될겁니다. 그러면 우리 첫 번째 첫 번째 방식은 이 문제를 풀때 어떻게 풀 것이냐 라고 했을 때 첫 번째 방식은 머리가 엄청나게 뛰어난 사람이 어떠한 사람이 있어서 어 이거에 대한 답은 이거에 대한 답은 우리가 방금 dx/dy=3y이러한 형태일때 3곱하기 y형태를 띨때 이거에 대한 해가 y는 exponential에 3x²이 된다는 걸 우리가 알았잖아요 근데 이거를 우리가 엄청 나게 머리가 좋은 사람이 그냥 이거해 대한 해가 이거라는 사실을 바로 떠올리는 거예요 바로 떠올려서 그럼 이제 그럼 이게 맞는지 아닌지만 확인을 해주면 되겠죠 그럼 맞는지 아닌지 확인을 해주기 위해서 대입을 해보는 겁니다 y'을 해보고 y - y²을 했을 때 이게 진짜 답인지를 확인해 보는거죠 그러면 y'을 해보면 이제 x에 대한 미분을 하면 분모의 제곱 분에 분자 뭐 이거 미분이렇게 해가지고 하면 되겠죠 그럼 이러한 결과를 얻을 수 있습니다. 자 그러면 과연 이거랑 같을까를 해보면 y - y²을 계산 했을 때는 1플러스 c곱하기 exponential -x 제곱분에 1에 이제 이 계산하면 이런 식으로 나오고 이 결과가 y'이랑 같죠 그러면 이게 이 문제에 대한 답이 되겠구나 하고 하는 것을 알 수 있습니다. 그런데 이거는 정말 엄청나게 직관이 좋거나 정말 엄청나게 운이 좋거나 정말 머리가 좋은 사람만 이렇게 풀 수 있겠죠 자 그러면 이러한 방법 말고 좀더 정형화 된 방법이 없을까 라고 했을때 우리가 할 수 있는 것이 변수분리법입니다. 이제 변수분리법을 해보면 변수분리법은 dx,dy는 y - y²이잖아요 그럼 한쪽 변에는 예를들어 좌변에는 y에 대한 항들만 좍 모아 놓고 우변에는 x에대한 항들만 좍 모아 놓는 겁니다 그게 이렇게 되겠죠 왜냐하면 x에 대한 항은 지금 1 이거 밖에 없는 거잖아요 그러면 이제 얘네를 양변 적분, 적분 이렇게 해 줄건데 그럼 그래도 되는 거니까 적분, 적분해줄건데 얘를 적분 할라면 인제 얘를 조금더 우리가 적분하기 좋은 형태로 만들어 주면 좋을거 같아요 그래서 얘를 이렇게 바꿔주고 그러면 얘는 이렇게 나눠 줄 수 있으니까 이거 플러스 그쵸 y/1+1- y/1이 되었잖아요 그러면 이제 우리 얘를 적분하는거는 얘를 적분하는거랑 같으니까 얘 적분한 것 이렇게 표현이 되겠죠 그리고 우변 같은 경우에 그냥 dx를 적분한거니까 어 이렇게 돼서 그냥 x+c라고 하는 값이 나올겁니다 c는 적분상수 이구요 자 그럼 이걸 정리를 하게 되면 이런식으로 표현이 되고 근데 우리가 결국 구하고자 하는 거는 어떤 x에 대한 함수 y를 구하고 싶은거잖아요 그래서 y에 대한 y equal 머시기 라고 이제 표현을 바꿔 주기 위해서 정리를 해주면 이제 방금 같은 방식으로 절대값을 없앨 수 있고 정리하면 이런 식으로 표현이 됩니다. 자 그럼 y는 뭐다 라고 표현 해줘야 하니까 이렇게 쓸 수 있고 이거를 정리한거에요 y에 대해서 그래 정리를 하면 이렇게 되고 그 다음에 분모 분자를 c* exponential x제곱으로 나눠 주게 되면 이런 식으로 되겠죠 우리가 c*분의 1을 뭐 c1이라던가 어떤 그냥 또다른 그냥 새로운 상수로 부르게 되면 그냥 뭐 할까요 k라 할까요 k라고 부르게 되면은 얘랑 원래 답이랑 방금 1번에서 구했던 답이랑 같은 형태를 띠는 것을 알 수 있습니다. 자 여기 까지 해서 제가 이제 연습 두문제 풀어 보았는데요 여기에서 제가 말씀드리고 싶었던건 어떤거냐면 상미분방정식을 푸는 법으로는 크게 두 가지가 존재 하는데 첫 번째가 직관입니다. 어떻게 직관이 문제를 푸는 방법이 될 수 있냐라고 생각을 하실 수 있는데요 되게 저도 저 같은 경우에도 처음에 공업수학을 공부를 했을 때에 교수님이 이렇게 말씀을 해주셨을때 이게 무슨 수학이냐 이거는 그냥 때려 맞추는거 아니냐 라는 생각을 했었는데요 사실 상미분방정식 뒤에 공부를 해 보시면 아시겠지만 그냥 정말 풀 수 없는 문제들이 너무나도 많습니다. 우리가 풀수 있는 문제는 굉장히 제한적인데 그런 제한적인 문제들 안에서 우리가 풀어나갈때 어떠한 직관적으로 어떤 답을 찾았다 라고 하는데 그럼 그 답을 찾고 그 답을 우리가 실제에다가 어떤 미분방정식에 대입을 해봤더니 그답이 성립한다. 라고 한다면 그냥 이 문제애 대한 답은 이거에요 물론 이 해가 유일하다 라는걸 우리가 증명만 할수 있다면요 예를 들어서 y"+y=0이라고 하는 방정식 미분방정식이 있다고 합시다 그럼 얘는 바꾸면 y"=-y인거죠 즉 두 번 미분하면은 자기자신에 마이너스 붙는 애에요 근데 고등학교 때 배웟던 것을 잘 생각을 해보면 어 sin과 cos은 두 번 미분하면 자기자신이 나오긴 하는데 마이너스 붙여서 나오죠 그래서 sinx를 두 번 미분하면 -sinx가 나오고 cosx두 번 미분하면 -cosx 나오죠 자 그러면 이거에 대한 해는 sinx와 cosx라는걸 우리가 알 수 있습니다. 적어도 얘와 얘가 여기에 속하는 이게 이 이분방정식에 대한 해라는 사실을 우리가 알수 있죠 그리고 만약에 이 두 개가 유일하다는 사실만 증명한다면 우리는 직관으로 바로 이 문제에 대한 답을 구하는 겁니다. 이러한 방식으로도 상미분방정식을 풀 수있고 그리고 사실 뒤에 하다보면 또 느끼시겠지만 이 유일하다는 증명조차 우리 하지 않습니다. 공업수학에서는 거의 뭐 존재한다 유일하다 이런 것 조차 증명 하지 않고 그냥 이게 답이다 라는 것을 더 초점을 맞추게 됩니다. 그래서 어쨌든 이러한 방식으로 구할 수 있다. 그래서 이거를 꼭 잊어버리지 않으셨으면 좋겠습니다. 알겠죠 그리고 좀 무시하지 않으셨으면 좋겠습니다. 그리고 두 번째 방식은 이제 조금 더 정형화된 방법으로서 우리가 이제 교재에서 배워나갈 것들인데요 그 중에 가장 큰 것이 변수분리법이라고 하는겁니다. 변수번리법은 방금 말씀드렸던 것처럼 이제 변수들을 분리해가지고 우리가 이제 구할수 있는 방식으로 바꿔놓는건데 상미분방정식을 푸는것에 있어서 가장 중요한 방법이라고 보시면될 것 같습니다. 그래서 이것을 잘 기억해 주셨으면 좋겠습니다. 자 그러면 이것을 변수분리법이라고 하는 것을 제가 한번 적어 보았는데요 여기서 부터는 1.3단원 내용입니다. 여기서 부터는 변수분리법은 이제 영어로 method of separating variables 이렇게 부르게 되고 separation of variables 뭐 이렇게 부르기도 하고 영어로 표현하는 것들은 다양합니다 그런데 교수님들이 영어로 말씀하시는 분들도 계시니까 영어로 적어보았구요 자 그러면 이제 이게 무슨 말이냐 라고 하는 것은 방금 보여드렸지만 여기보시면 g(y) y에 대한 어떤 함수가 표현되어 있을거고 곱하기 y’=f(x)라는 식으로 우리가 미분방정식을 바꿀 수만 있다면 지금 1차 1계에 대해서만 보는 거에요 1계 상미분방정식을 이런 식으로 우리가 바꿀 수만 있다면 y’=dx/dy 잖아요 dx분에dy 이렇게 표현이 되잖아요 그러면은 이렇게 되는 거니까 좌변을 y에 대한 함수로만 바꾸고 우변을 이 dx를 양쪽에 곱해서 이렇게 해주면은 우변은 x에 대한 함수로만 남겠죠 자 그러면 우리가 g(y)와 f(x)를 각각 적분만 할수 있다면 적분만 이 결과만 우리가 안다면 여기 dx, dx사라지면 이거는 이제 이렇게 이렇게 되는 거에요 이렇게 하면 우리 g(y)와 f(x)만 적분할 수 있다면 이 문제는 우리가 풀 수 있게 되는 것이죠 물론 이렇게 바로 뭐 y는 어쩌고어쩌고 x다 예를 들어 뭐 뭘 할까요 h(x)다 이런 식으로 표현은 불가능하더라도 뭐 h1(y)=h2(x)다 뭐 이런식으로 표현은 가능하겠죠 그래서 어쨌든 이런 방식으로 문제를 풀어 나가는 것을 우리는 변수분리법이라고 이제 칠판 지우고 다른 예제들도 한번 풀어보도록 하겠습니다. 1.3단원의 예제 1번 문제입니다 문제는 y’=1+y²을 만족 시킬때 이 때 y를 한번 구해 보아라 물론 뭐 y는 이제 x에 대한 함수다 라고 우리가 가정하는 거겠죠 그러면 y’은 이제 x에 대한 미분이니까 dx/dy이렇게 표현할수 있고 는 1+y의 제곱이다 라고 하면 이제 변수분리법을 활용을 해야 하니까 y에 대한 성분은 얘를 얘를 다 왼쪽으로 옮기고 이렇게 x에 대한 성분을 다 옮기면 이렇게 표현이 되겠죠 자 그러면 1+y제곱 분의 1을 우리가 적분만 y에 대해서 적분만 할 수 있다면 이제 요문제는 완전히 다 푼게 되는 건데요 이제 이거를 우리가 알기 위해서는 tan역함수t 라고 하는것을 이제 t에 대해서 미분 했을때는 1+t의 제곱 분의 1이 나온다 라고 하는 사실을 알고 있어야 겠죠 그래서 이제 미분방정식을 풀때는 이런 사실들을 좀 기억을 해두시는게 좋은데요 이 표현은 아마 교재 앞쪽에 보시면은 다 이러한 특이한 함수에 대한 미분 같은 경우에 다 나와 있습니다 그래서 이러한 꼴들은 기억을 해두시면 좋을거 같습니다. 자 그러면 이제 이거를 안다고 가정을 했을 때 그러면 양변을 적분을 해주면 적분을 각각해주면 이런 식으로 우리가 구할수 있겠죠 그리고 y는 tan를 양쪽에 취하면 이런 식으로 구할수 있을 것입니다. 다음에 이제 다음문제 이것도 이제 1.3단원의 예제 2번 문제입니다. 예제 2번 문제를 보면 똑같이 미분방정식인데 y’는(x+1)곱하기 exponential에 -x제곱 아이고 y 제곱에 형태로 주어져 있습니다. 그러면 얘는 x에 대한 함수고 얘가 y에 대한 함수니까 이제 좌변으로 넘기고 얘는 dx분의dy로 바꿔주면 이제 우리가 문제를 해결이 다 되겠죠 dx를 이쪽에다 넘겨주면 그래서 이렇게 되어 있는거를 이런 식으로 바꿀수 있습니다. dx를 우변으로 넘기고 y제곱을 좌변으로 이렇게 넘기게 되면 그러면 이렇게 바뀌게 될 것이고 이제 양변을 적분을 해 주면 되는데 이제 (x+1)곱하기 exponential-x제곱을 적분할수 있어야 되겠죠 자 그래서 그것에 대한 적분은 이런 식으로 표현이 된다는 것을 제가 안다 라고 가정을 하겠습니다. 그러면 이렇게 이걸 안다고 하면은 이거를 적분하면은 얘에 대한 적분은 예가 -y분의1이라는 것을 알고 있으니까 그래 또 혹시 해서 그런데 양변에 적분을 했을 때에 둘다 적분 상수가 붙긴 하지만 결국 한쪽 적분상수 지우 그 예를 들어 이쪽에 적분상수 생긴거를 우변으로 이렇게 넘겨 주게 되면은 그냥 얘에 의한 적분상수를 c1 얘에 의한 적분상수를 c2라고 하면은 c1을 우변으로 넘겨주면 c2-c1이 되고 c2-c1을 우리가 그냥 c해서 어떤 상수 c라고 하면은 이렇게 써 줄수 있겠죠 그래서 적분상수는 한쪽만 고려해 주시면 됩니다. 한쪽만 고려하면 이렇게 되는거고 그럼이제 우리가 y에 대한 함수 y는 뭐다를 표현해 주기 위해서 이런식으로 뒤집어 주면 마이너스 곱하고 뒤집어 주면 이렇게 표현하면 될거 같습니다. 자 그러면 이제 예제8번 에서는 우리가 무엇을 볼거냐면요 변수 분리법이 성립하지 않을거 같은 문제를 볼겁니다 사실은 성립하는데 이제 성립안할거 같은 문제이죠 이걸 보면 2xy곱하기y’은 y제곱 마이너스 x제곱이다 라고 하는 문제가 있습니다. 우리는 결국 하고 싶은게 뭐냐하면 어떤 g(y)d(y)=f(x)dx 이러한 형태로 우리가 바꿔주고 싶은거고 dx이렇게 넘겨주면 g(y)y’=f(x)이러한 형태로 만들어 주고 싶은거죠 근데 얘를 보면은 그게 될까요? 되게되게 힘들어 보이죠 그래서 우리가 이제 이 문제를 이런 문제를 풀기 위해서는 치환을 해야 합니다. 그래서 치환하는 방법에 대해서 잠깐 설명을 먼저 하면 y’은 이제 x/y에 대한 함수로 표현 되는 문제에 대해서 변형된 변수분리법을 사용할건데요 변형됐다는 거는 치환을 활용한다는 말입니다. 제가 임의로 붙인거니까 용어가 아니에요 x분의y를 어떤 u라고 하는데 x에 대한 함수 u라고 합시다 왜냐하면 y도 x에 대한 함수니까 x분의 y는 x에 대한 함수겠죠 그러면 이제 x를 여기다가 곱하면 이제 y=u(x)가 될거고 그리고 얘를 x에 대해서 미분을 하면 이런식으로 되겠죠 y’=u’(x)+u x를 x로 이완하면 1이니까 이런게 표현이 될 겁니다. 그러면 y’대신에 얘를 대입하게 되고 x분의y대신에 u를 넣으면 이렇게 표현이 되겠죠 자 그러면 이제 u부분과 u에 대한 부분과 x에 대한 부분을 우리가 나눌 수 있습니다. 어떻게 이렇게 얘는 어떻게 하냐면 u’(x)=f(u)-u고 그 다음에 x를 이쪽으로 넘기고 얘를 dx/du로 바꾼 다음에 얘를 좌변 넘기고 x를 우변으로 넘기고 dx우변으로 넘기면 이렇게 표현이 되겠죠 그리고 이렇게 표현이 돼서 자 그러면 이 부분은 u에 대한 함수 이 부분은 x에 대한 함수니까 우리 양변을 각각 적분해가지고 적분적분해서 예를 들어 뭐 얘의 적분한 값이 g(u)가 나오고 얘는 예를 들어 그냥 h(x)다 이렇게 표현하면은 우리가 g에 대한 역함수가 있다고 한다 면 u=g역함수h(x)라고 우리가 구할 수 있고 그 다음에 u라고 하는게 우리가 x분의 y라고 했으니까 이제 y는 x곱하기 g역함수h(x)라고 우리가 구할수 있겠죠 이제 이거는 그냥 방법론이 그렇다는거고 어쨌든 이렇게 되어있을때 우리가 치환을 해주면 문제를 풀수 있다라고 하는 것을 기억을 해주시면 됩니다. 자 그래서 치환을 할건데 치환을 하기 전에 한쪽을 우리가 x분의 y에 대한 함수로 표현을 해야되잖아요 그래서 2xy를 양변에 나눠주게되면 이렇게 표현이 되는것이고 우변 같은 경우에 우변은 얘는 y분의x 이렇게 x분의y 분의 1로 표현되니까 결국 이 전체가 x분의y에 대한 함수가 되는 것이죠 그래서 우리가 x분의y를 u라고 한다면 y’=u’x+u라고 할수 있고 그리고 그러면 얘를 여기다가 그냥 여기다가 대입하게 되면 u’x+u, y’은 2분의1 요고 이렇게 표현이 될겁니다. 그래서 이제 얘를 정리하게 되면 이렇게 돼서 이렇게 되는거고 얘 이제 적분만 해주면 되겠죠 그래서 우리가 적분을 해주면 이러한 결과 얻을수 있고 정리 다 하면 이렇게 계산을 할 수 있습니다. 그리고 또 여기서 이제 주의 하셔야 할건 c*가 무조건 0보다 크다 라고 하는 조건이 성립 하지 않는데 그 이유는 절대값 때문에 그렇습니다. 절대값 해보시면 여기 되겠죠 절대값 u² + 1은 절대값 x분의 exponentia c제곱 이렇게 되니까 그러면은 이 절대값이 빠져나갈때 플러스 마이너스 다가질수 있잖아요 그러니까 c*라고 하는 것은 양수도 될수 있고 음수도 될 수 있는 거겠죠 그래서 우리가 이렇게 표현할 수 있다. 그리고 마지막에 c*가 이제 표현이 좀 그렇다 라고 한다면 어차피 그냥 임의의 상수를 그냥 나타난 거기 때문에 그냥 스타 이렇게 지워줘도 될겁니다. 자 그러면 이제 마지막 연습문제를 보려고 합니다 연습문제 8번 인데요 1.3단원에 8번 문제입니다. 문제는 y’은 y+4x의 제곱이라고 하는 문제인데요 이 문제 같은 경우에는 우리가 지금 변수분리법을 사용할라고 하면 변수분리법이 사용이 잘 안되죠 그리고 또 우리가 만약 알고 있는 u=x/y하고 하는 이 변수분리법을 우리가 사용한다 하더라도 지금은 잘 안됩니다. 그래서 그럼 또 다른 어떤 치환이 필요한 시점인데 만약 변수 분리법을 사용하지 변수분리법을 사용해서 문제를 푼다면 그래서 우리는 어떻게 치환할거냐면 u=y+4x라고 하는 얘를 치환 할겁니다. 얘를 치환을 하면 u’=y’+4가 될거고 얘를 대입하고 y+4x대신 u를 넣으면 이런 식으로 문제가 바뀌게 되겠죠 그러면 이제 x에 대한 부분과 u에 대한 부분으로 나누면 이렇게 표현이 되고 그럼 이제 얘에 대한 적분만 알면 되는데 얘에 대한 적분 같은 경우에는 제가 원래 저희가 u의 제곱 플러스 1 분의 1을 적분한건 우리가 알고 있잖아요 방금 앞에서 했으니까요 tan역함수 u가 되겠죠 근데 지금 여기가 4잖아요 그럼 4로 양변 나눠주게 되면 1, 4, 4분의1 이렇게 표현이 될거고 이와 같은 경우에는 뭔가 얘랑 관련있게 표현할 수 있겠죠 그래서 그 관련성을 보이기 위해서 tan역함수 2분의x를 지금 미분하게 되면 미분은 전체에 대한 미분 이구요 미분하게되면 이러한 결과를 얻을 겁니다. 2분의x가 그냥 이거 다시 2분의x를 t라고 치환하면 1플러스 t의 제곱분에 t’이 들어가겠죠 t’이 2분의1이니까 이렇게 표현이 될 겁니다. 그래서 우리가 결국 구하고 싶은 x제곱 플러스 4/1에 대한 적분은 2분의1곱하기 tan역함수 2분의x가 되겠죠 그래서 얘를 계산하면 이렇게 얻을 수 있는 것이고 그래서 이제 뭐 u에 대한 함수를 정리 하면 이렇게 표현 되는데 u가 우리 y+4x라고 치환을 했었으니까 y는 이렇게 표현할 수 있습니다. 어 제가 이제 이번 단원에서는 계속해서 문제를 풀어드리면서 어떻게 변수분리법을 사용하는지에 대해서 꾸준히 설명을 드렸는데요 아까도 말씀드렸지만 직관을 사용한 문제풀이도 상관없습니다. 그렇게 푸셔도 됩니다 그런데 직관이 언제나 생각날 수 있는건 아니잖아요 그러니까 변수분리법을 활용한 방법으로 푸시되 그걸 기본 전재로 풀되 만약에 직관으로 내가 답을 찾았다 라고 하다면 그냥 그리고 그 답이 맞다는걸 확인만 한다면 다시 이제 미분방정식에 대입해 봐서 확인을 해 봐야겠죠 확인했는데 확인이 됐다 맞다 라고 한다면 그냥 그게 답이다 라고 다른 문제로 넘어 가셔도 된다는 것입니다 그래서 직관을 그런 식으로 활용하셔도 되고요 그다음에 변수분리법의 문제를 풀때는 이제 쉬운문제 같은 경우에는 쉽게 풀리기도 하고 근데 변수분리법이 그냥 딱 봤을때 성립이 안하는 그런 문제들도 지금 있잖아요 예제8번이나 연습문제 8번 같은 경우에는 지금 그렇게 문제가 풀리지는 않는데요 어떤 치환에 과정을 거쳐서 문제를 풀어나가야 하는데 이런 문제 같은 경우에는 바로 이게 딱 보이냐 이건 아니에요 저도 이 문제 바로 봤을 때는 못 풀어요 그런데 이제 연습문제 8번 보시면 힌트가 이렇게 주어지거든요 그래서 이런 식으로 힌트가 주어지거나 아니면은 힌트가 안주어졌다 그렇다 한다면 지금까지 풀어봤던 여러 가지 변형을 사용하는 방법들 있잖아요 뭐 x분의y를 u로 치환한다던지 y+4x를 u로 치환 한다던지 뭐 이러한 치환의 방식들을 기억을 해두셨다가 문제를 봤을때 아 얘를 이렇게 치환해서 문제를 풀면 좋겠다 라는 것을 기억 해 두셨다가 문제를 풀면은 또 풀리는 문제가 있을 것입니다. 그래서 일단 이번 단원에서는 일단 많은 문제를 최대한 풀려고 노력을 했구요. 그래서 여러분도 직접 제가 푸는것도 그냥 쉬워 보일 수도 있지만 직접 푸시면은 또 다를 수 있거든요 그래서 직접 문제를 풀어 보시고 익숙하게 만드시는게 되게 중요합니다. 그래서 많이 연습문제 풀어보시고 모르는거 있으면 언제든지 질문 해주시면 감사하겠습니다. 네 들어주셔서 감사합니다.