6-1강. 구면 상의 입자, 강체 회전자

이번에는 회전 운동을 다뤄 볼 것인데요. 먼저 고리 위의 입자, 구면 상의 입자, 강체 회전자, 구면조화함수, 양자수와 각 운동량 이 순서대로 다뤄 보겠습니다. 저번에 3강쯤이었나요. 저희가 particle in a box 하다가 같이 particle on a ring도 다뤘었는데 그것을 한번 리뷰하는 시간을 갖게 될 것이고요. 그리고 그것을 바탕으로 여기에 일부 식이 쓰이기 때문에 구면 상의 입자도 써서 한번 해 보고요. 그리고 사실상 강체 회전자가 구면 상의 입자와 슈뢰딩거 방정식이 같은 꼴을 가지기 때문에 이것을 한 번에 묶어서 설명하도록 하겠습니다. 그리고 이것 둘의 해로 나오는 Eigenfunction 구면조화함수에 대해서 다뤄 볼 것이고요. 그리고 이 2개의 슈뢰딩거 방정식을 풀 때 나오는 양자수 그리고 슈뢰딩거 방정식에 포함된 각운동량 연산자의 성질에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 먼저 고리 위의 입자를 한번 리뷰해 보면 슈뢰딩거 방정식이 이런 식으로 생겼었죠. 링 위에는 포텐셜 에너지가 0이고 나머지 부분에서는 포텐셜 에너지가 무한대기 때문에 고리 위에서만 존재하게 되고요. 그래서 당연히 회전 운동을 하겠죠. 그런데 이때 주의할 점은 xy 평면에서 회전하고 있기 때문에 각운동량 방향은 지축으로밖에 생기지 않죠. 그래서 여기서는 각운동량을 지축 방향에 대한 각운동량 연산자만 다루고요. 그리고 이때 고리의 반지름을 r이라고 하고 particle의 질량을 m이라고 하면 당연하게도 지축 방향으로 회전을 하는 거니까 관성모멘트는 I=mr²으로 표시가 됩니다. 그래서 여기에 대입해 보면 저번에 나왔던 고리 위의 입자 슈뢰딩거 방정식과 같아진 것을 알 수 있고요. 그리고 이것의 해로써 나온 게 이렇게 됐었죠. Eigenfunction이 이렇게 됐었고 Eigen Value가 이런 식으로 나왔었습니다. 그래서 양자수 ml은 0, ±1, ±2 이렇게 쭉 나가는 형식이었고요. 그리고 각운동량. 각운동량 제가 말씀드렸듯이 Lz 값밖에 안 다루는데 여기서 왜 이것이 이렇게 되는지 여기서 한번 보죠. 해밀토니안 오퍼레이터가 이런 식으로 되는데 왜냐하면 우리가 이전에 결국 해밀토니안은 에너지를 다루는 거잖아요. 그런데 여기서는 particle on a ring인데 ring 위에서는 포텐셜 에너지가 없고요. 그리고 회전 운동 에너지만 있겠죠 그런데 고전역학에서 회전 운동 에너지를 어떻게 표시했냐 하면 2I 분의 L²이라고 표시를 했었죠. 그런데 여기서는 Lz 값만 있기 때문에 이런 식으로 2I 분의 Lz²이라는 해밀토니안이 이런 형태로 표시가 될 수 있고요. 그래서 이것을 앞에서 가져오면 이런 형태를 가지고 있죠. 그래서 이것을 가져와서 이렇게 쓸 수 있고요. 그래서 결과적으로 Lz 값이 어떻게 되냐 하면 이 식에서 유추해 보면 Lz 값은 i 분의 하바의 dθ 분의 d가 되겠네요. 이렇게 하시면 되고요. 그리고 Lz 값에 대해서 Eigen Value Equation 고유치 방정식을 한번 적어 보면 이런 식으로 됐었고요. 그래서 양자수 ml은 이렇게 나왔습니다. 이 정도로 리뷰를 마무리하고요. 이번에는 구면 상의 입자를 다뤄 볼 것인데요. 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 표현이 됩니다. 여기서 I는 알겠는데 그러면 λ라는 이 기호는 무엇인가라고 여쭤볼 수 있는데요. 이때 우리가 아는 꼴은 운동 에너지 오퍼레이터는 이런 식으로 표현됐었죠. 그런데 여기서 구면 상의 입자가 무엇인지를 조금 알아야 돼요. 구면 상의 입자는 말 그대로 구 위에서만 존재하는 입자. 그래서 포텐셜 에너지가 r일 때는 r이라는 구 위에서는 포텐셜 에너지가 0인데 나머지 부분에서는 포텐셜 에너지가 무한대더라. 그러다 보니까 구면 위에서만 움직이고요. 구 밖도 안 되고 구 안도 안 돼요. 그래서 사실상 이것이 상수가 됩니다. r이 상수가 돼요. 그러면 사실상 여기 미분 있는 r에 대한 편미분 기호들, 편미분 연산자들은 함수에 연산이 되게 되면 결국 0이 되겠죠. 왜냐하면 반지름이 상수이기 때문에. 그래서 구 위에서만 움직이기 때문에 결국 미분 연산자 반지름 r에 대한 미분연산자가 연산되면 결국 0이 되기 때문에 이것들은 필요가 없습니다. 그러면 결국 무엇만 살아남느냐. 여기 r² 분의 1은 살아남고 r² 분의 1과 이 부분에 있는 이것이 곱해진 형태만 살아남습니다. 그래서 결과적으로 이것이 어떻게 되냐 하면 -2m 분의 하바²의 r² 분의 1은 살아남는다고 했었죠. 그래서 r² 분의 1이 되고 이 안에 부분이 살아남기 되는데 곱해져서 이것은 우리가 앞으로 λ²이라고 부를 것입니다. 그래서 λ²이라는 연산자를 곱해 주면 되고요. 이때 아까도 말씀드렸듯이 이것을 구면 위에서 움직이고 있기 때문에 일단 mr²으로 두겠습니다. 그래서 mr²을 I로 두면 다시 이렇게 쓸 수 있습니다. 그래서 전체적인 슈뢰딩거 방정식이 이런 식으로 쓰일 수 있고요. 다음은 구면 상의 입자. 이 슈뢰딩거 방정식을 어느 정도 풀어서 결국 유명한 미분 방정식인 르장드르 미분 방정식 형태로 만들어 보는 연습을 할 거예요. 그런데 르장드르 미분 방정식을 푸는데 사실상 이 과정이 너무 복잡하고 어렵기 때문에 사실 물리학에서는 크게 다루지 않고요. 미분 방정식에서 파워 시리즈 배우셨으면 아마 쉽게 풀 수 있으실 텐데 그 부분은 물리학에서는 다루지 않기 때문에 그 부분만 빼고 유도하는 과정까지만 해 보도록 하겠습니다. 구면 상의 입자 슈뢰딩거 방정식 한번 가져와 봤는데요. 여기서부터 시작해서 λ²에 원래 연산자를 대입해서 이런 식으로 식을 적어 봤습니다. 이때 제가 앞에서 구면좌표계를 썼는데 r은 상수라고 했죠. 왜냐하면 particle on a sphere니까 구면 위에서만 존재하는 입자이기 때문에 r은 상수이고 그럼 따라서 입자의 위치 그리고 그것에 대한 파동함수는 결과적으로 구면좌표계에서 r θ, π 중에 r은 상수이기 때문에 빠지고 θ, π로만 나타날 거예요. 그래서 파동함수 Ψ는 θ, π에 의해서 의존하고 있고요. 이 미분 방정식을 풀기 위해서 변수분리법을 사용할 것입니다. 변수분리를 하기 위해서 θ라는 함수 그리고 π라는 함수 두 가지의 곱을 통해서 나타내고요. 그리고 여기서도 마찬가지로 곱을 통해서 나타내고 여기서도 곱을 통해서 나타냅니다. 그다음에 어떻게 해 주냐 하면 양변에 - 하바² 분의 2I를 곱해 주고요. 그리고 나눠 줍니다. 무엇을 나눠 주냐 하면 θ 함수와 π 함수를 나눠 줍니다. 그래서 정리하면 두 번째 이 식이 되고요. 여기까지 식이 되고요. 여기서 한 가지 더. 변수분리를 통해서 푸는 미분 방정식에서 제가 상수를 이용해야 된다고 했죠. 그래서 상수를 넣는데 이게 나중에 가서 알겠지만 양자수에 해당됩니다. 그래서 고리 위의 입자를 제가 왜 리뷰했냐 하면 고리 위의 입자에서 나온 이 식, 이 꼴이 기억나신다면 다행이고요. 이 꼴이 어떤 형태의 상수로 들어갔었냐. 바로 -ml²에 해당되는 형태로 상수가 들어가게 되죠. 그래서 이렇게 놓고요. 그리고 여기서 l이라는 새로운 양자수를 도입을 할 건데 여기서는 l(l+1), -l(l+1)의 형태로 넣어 줄 것입니다. 왜 이렇게 되는지는 결국 나중에 유명한 르장드르 미분 방정식의 형태를 맞춰 주기 위해서 쉽게 풀기 위해서 넣어 주는 것이고요. 결과적으로 나중에 르장드르 미분 방정식 형태를 얻게 될 것입니다. 그래서 이렇게 대입을 한 후에 우변에 있는 것을 좌변으로 넘겨서 정리를 하고요. 그리고 우변에 있는 것을 좌변으로 넘겨서 정리하고 이렇게 내려올 때는 양변에 θ 함수를 곱해 줍니다. 그러면 결과적으로 여기 미분 방정식 하나 나왔죠. 그리고 두 번째 미분 방정식 θ에 대한 미분 방정식. 그런데 여기서는 편미분 방정식이 아니라 사실 라운드로 쓰면 안 되는데 d로 쓰는 게 원래는 맞죠. 여기서는 편미분 방정식이 아니라 상미분 방정식이 됐죠. 왜냐하면 변수가 θ밖에 없으니까요. 여기도 변수가 π밖에 없죠, 이 미분 방정식은. 이 미분 방정식은 π밖에 없고요. 여기서는 θ밖에 없기 때문에 각각의 2개의 상미분 방정식으로 나뉘게 됐죠. 그래서 이것은 쉽게 풀었었죠. 고리 위의 입자가 해가 됐었죠. 그런데 여기서 이 미분 방정식은 르장드르 미분 방정식에 해당돼요. 그래서 이것을 조금 더 간단화해서 우리가 이미 알고 있는 르장드르 방정식의 형태에 맞춰 주기 위해서 또 한 가지 더 추가적인 과정이 필요한데 어떻게 해 주냐 하면 X라는 것을 COSθ로 두고요. 그리고 P(x) 그러니까 P의 COSθ가 우리가 이미 알고 있던 θ라는 함수가 되게 치환을 해 주면 어떤 형태가 되냐 하면 이렇게 됩니다. 자세한 과정은 사실 미분, 적분학에서 배운 체인 룰을 쓰면 연쇄법칙을 쓰면 금방 유도할 수 있고요. 그래서 결과적으로 르장드르 미분 방정식을 얻는 것까지 저희가 합니다. 그래서 결과적으로 나오는 해가 르장드르 함수라고 해서 르장드르 함수가 포함된 해를 얻습니다. 그래서 결과적으로 이 2개의 곱으로 나타나는 게 해가 되겠고요. 나중에 배울 거지만 이것들을 구면조화함수라고 해서 이렇게 씁니다. 이것에 대한 정확한 풀이는 파워 시리즈 몇 급수를 이용해서 보통 푸는데요. 물리학에서는 다루지 않고 그냥 해만 이렇게 나온다. 그리고 르장드르 미분 방정식의 꼴이 이런 식으로 된다는 것 정도만 알아 두시면 되겠습니다. 마지막으로 한번 짚어 볼 건데요. 결과적으로 슈뢰딩거 방정식이 이렇게 됐었고 그리고 그것의 중간에 나온 λ라는 연산자가 뭐였는지 한번 살펴봤고요. 그런데 여기서 신기한 것은 아까 제가 말했었죠. 구면 상의 입자도 결국 회전 운동이에요. 왜냐하면 포텐셜 에너지가 구면 상에서 없고 결국에는 운동 에너지만 있는데 이것이 구면 위에서만 움직이잖아요. 그럼 결국 이것이 구면 위에서 회전 운동을 한다는 뜻인데 그러면 이 연산자를 어디에 비유할 수 있겠습니까. 바로 운동 에너지 중에서 회전 운동 에너지에 해당되겠죠. 그래서 이렇게 될 것이고요. 그래서 여기서 l² 에 대한 식만 빼 오면 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 이 식으로부터 왔어요. 우리가 알고 있는 λ²이라는 연산자에 -하바²을 곱해 주면 l²이라는 연산자가 나오게 되고요. 그래서 아까 말씀드렸듯이 고유함수 Eigenfunction은 구면조화함수, Spherical harmonic이라는 특이한 함수로 표현이 됩니다. 그래서 여기에 대한 양자수 조건은 미분 방정식에서 결정되고요. 그리고 Spherical harmonics 설명드렸고요. 이제 각운동량 연산자에 대해서 Eigen Value Equation 그러니까 고유치 방정식을 세워 볼 수 있어요. 여기서 해밀토니안이 이미 각운동량의 제곱에 대한 연산자를 포함하고 있죠. 그러면 당연하게도 여기서 다시 이쪽으로 오게 되면 아까 말씀드렸듯이 여기서 L²Ψ가 2IEΨ가 되겠죠. 그래서 이 값이 아까 어떻게 됐었냐 하면 방금 전 슬라이드에서 이 값을 제가 l이라는 양자수를 도입하면서 l(l+1)로 대입을 했었죠. 그러니까 여기서 2IE 값만 딱 빼 오면 여기에 하바²에 l(l+1)이 됩니다. 그래서 다음과 같이 Eigen Value Equation을 쓸 수 있고요. 여기 Ψ 대신에 Eigenfunction, 고유함수인 Spherical harmonics, 구면조화함수를 쓰면 됩니다. 그리고 Lz 값에 대해서도 풀 수가 있는데 우리가 고리 위의 입자에서 어떻게 했었죠. 고리 위의 입자에서 다음과 같은 Eigen Value Equation 고유치 방정식이 만족했었죠. 그런데 정확히 Spherical harmonics라는 함수에 무엇이 포함되어 있냐 하면 Spherical harmonics에 π라는 함수가 포함되어 있었죠. 전 슬라이드로 한번 가 봅시다. 그래서 여기 π라는 함수가 고리 위의 입자에서 구한 Eigenfunction. 그러니까 고유함수와 똑같은 형태를 가집니다. 그럼 결과적으로 여기에 Y를 써도 똑같이 될 거라는 것이죠. 똑같이 Eigen Value Equation이 만족할 거라는 것이죠. 이것을 쓴 게 두 번째 식이 되겠고요. 그리고 여기에서 약간 아리송하신 분들은 여기에 이것을 θ π라는 함수를 대입해서 한번 해 보시면 될 거예요. 그래서 θ π라는 함수를 대입해 보시고 그다음에 양변을 θ로 나누게 되면 결과적으로 Lz 연산자에 π를 연산했을 때 하바 m의 π라는 Eigen Value Equation이 만족하는 것을 알 수 있습니다. 그리고 에너지 Eigen Value. 에너지값을 한번 보게 되면 이것은 아까 전 슬라이드에서도 있었고 이 부분을 잘 보시고 -l(l+1) 여기도 써 놨었죠. 그래서 여기서 에너지에 대해서 식을 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있고요. 아까 말했듯이 l이라는 양자수의 조건은 다음과 같이 됩니다. 그리고 여기에는 써 놓지 않았지만 ml 값이 조건이 하나 더 추가돼요. 고리 위의 입자에서 ml 값이 가지는 양자수 조건 있었는데요. 그게 뭐였나 한번 복기를 해 보면 ml이라는 값이 0, ±1, ±2 이렇게 쭉 쭉 갔었죠. 그런데 아까 르장드르 미분 방정식을 풀었었죠. 그것을 푸는 과정에서 발산하지 하는 조건에 의해서 여기에 ml이라는 양자수에 조건이 하나 추가됩니다. 그게 뭐냐 하면 바로 최댓값이 결정되는 건데요. 최댓값이 ±l 그러니까 절댓값의 최댓값이 ±l이라는 조건이 추가되면서 ml이라는 양자수에 대한 조건도 추가해서 외우시면 좋겠네요. 강체 회전자에 대해서 이번에는 알아볼 건데요. 앞에서 배운 구면 상의 입자가 구면 상의 입자 particle on a sphere가 1체 문제. 그러니까 하나의 입자만 등장하는 문제였다면 강체 회전자 같은 경우에는 2체 문제예요. 말 그대로 입자가 2개 있다는 것이죠. 사실 이 2개는 전혀 다른 슈뢰딩거 방정식을 가져야 할 것 같은데 거의 비슷한 꼴의 슈뢰딩거 방정식을 갖습니다. 그리고 Spectroscopie, 그러니까 분광학에서는 이것이 더 많이 쓰여요. 왜냐하면 보통 분자의 회전 운동을 다루기 위해서는 분자의 회전 운동이라는 것은 결국 두 분자가 있을 때 돌아가는 것 상대적인 회전 운동을 다룰 때가 많은데 그럴 때는 사실 구면 상의 입자. 모델은 하나의 물체만 하나의 입자만 포함되기 때문에 이 경우는 많이 다루지도 않고요. 그 대신 2체 문제가 등장하는 강체 회전자 모델을 많이 씁니다. 그런데 어떻게 강체 회전자 2체 문제의 슈뢰딩거 방정식 꼴이 구면 상의 입자의 슈뢰딩거 방정식 꼴과 비슷해지는 걸까요. 앞에서 배운 환산질량을 도입하면 2체 문제 두 물체의 운동 에너지의 합이 질량 중심의 운동 에너지와 그리고 환산질량의 운동 에너지, 상대적인 운동에너지의 합으로 나타나죠. 그런데 질량 중심의 운동 에너지에는 우리가 사실 관심이 없어요. 왜냐하면 우리는 이 2개의 상대적인 회전 운동 에너지만 다룰 것이기 때문에. 그래서 슈뢰딩거 방정식의 해밀토니안 오퍼레이터에는 상대적인 회전 운동 그러니까 환산질량에 대한 회전 운동 에너지만 포함시킬 것입니다. 그렇게 되면 어떻게 되냐 하면 여기 I라는 것에 아까는 mr² 구면 상의 입자에서는 하나의 질량을 가진 입자만 등장했기 때문에 mr² 이라고 썼다면 이번에는 환산질량 저기 μ를 대입한 μr²을 쓸 것입니다. 그래서 μr²이 왜 I가 되는지는 나중에 다루고요. 일단 여기 대입을 하면 우리가 앞에서 배운 슈뢰딩거 방정식 구면 상의 입자의 슈뢰딩거 방정식 꼴과 정확하게 일치하죠. 여기 m 대신 μ가 들어간 것 빼고는. 그래서 마찬가지로 Eigenfunction. 당연히 슈뢰딩거 방정식, 미분 방정식의 꼴이 같으니까 당연히 Eigenfunction인 고유함수가 Spherical harmonics, 구면조화함수로 나오겠죠. 그런데 여기서 다른 점이 뭐냐 하면 이것 구분을 해 줘야 되니까 양자수로 구분을 합니다. 그래서 l 대신 J 값을 쓰고요. ml 대신 mJ 값을 씁니다. 그래서 이 2개를 구분해 주고요. 그리고 마찬가지로 각운동량 연산자 L²과 지축에 관한 각운동량 연산자인 Lz 연산자에 대해서 고유치 방정식 Eigen Value Equation을 써 봐도 앞과 똑같이 나오죠. J 값과 mJ 값만 교체해 주면 됩니다. 이것도 마찬가지로 l(l+1)이 아니라 J(J+1)이고 ml 값이 아니라 mJ 값을 써 주면 됩니다. 마찬가지로 양자수 조건도 똑같아요. 양자수 조건도 0, 1, 2 이렇게 가는데 mJ 값은 0, ±1, ±2 하다가 절댓값의 최댓값이 J 값이 되는. 그래서 ±J 값까지 가지게 됩니다. 에너지 Eigen Value, 에너지 고유치도 마찬가지로 이런 형태로 나오고요. 그리고 역시나 관성모멘트가 μr²인 것만 구면 상의 입자와 다르다. 이 정도만 알고 계시면 되겠네요. 그래서 이제부터 무엇을 해 볼 거냐 하면 아까 왜 다르냐고 했었잖아요. 이것이 그리고 관성모멘트가 μr²으로 왜 표현되느냐. 이것을 한번 증명해 보려고 해요. 그래서 강체 회전자에서 원래 m에서 환산질량으로 왜 바뀌는지. 그래서 관성모멘트가 왜 이런 식이 되는지에 대해서 증명을 해 보겠습니다. 먼저 이것이 어떤 형태로 상대적인 회전 운동을 하고 있는지부터 자세하게 한번 알아봅시다. 결과적으로 이것을 회전축으로 해서 두 물체가 회전축을 중심으로 돌아가는데요. 그런데 그때 회전축으로부터 mA까지 mA 질량을 가진 물체까지 거리가 rA가 되고요. 그리고 mB까지 거리가 rB가 됩니다. 그리고 rA와 rB를 합친 게 r이라고 뒀고요. 그리고 환산질량은 환산질량 공식에 따라서 이렇게 되고요. 그리고 중앙이 질량 중심이기 때문에 mA, rA 곱한 게 mBrB와 같습니다. 그리고 관성모멘트의 정의에 따라서 중심축, 회전축으로부터 떨어진 거리 ri에 대해서 그 떨어진 거리에 있는 질량 mi에 대해서 mi x ri²을 모두 다 더한 게 관성모멘트가 되는데요. 이때 지금은 물체가 2개이기 때문에 mArA²+ mBrB²이 되겠네요. 그래서 결과적으로는 이 두 식이 같다는 것을 증명하면 되는 거잖아요. 그래서 먼저 이 식부터 시작하겠습니다. 그래서 μr²을 가져와서 μ에 이것을 넣고요. 그리고 r 대신 rA+ rB를 넣어서 계산을 해 보면 분자에 올려서 풀어서 계산해 보면 이런 식이 나오게 되는데요. 이때 이 부분에 주목해서 이것을 쪼개 줍니다. 원래 2가 붙어 있었으니까 똑같은 것 2개 더해 주면 되겠죠. 그런데 이때 어떻게 바꿔 주냐 하면 이 식을 이용해서 여기 있는 mBrB를 mArA로 바꿔 줍니다. 똑같은 방법으로 어떻게 해 주냐 하면 여기 있는 mA와 rA를 mBrB로 바꿔 줍니다. 그래서 이것을 이렇게 표현할 수 있는데요. 이때 이 앞의 것을 여기에 붙이고요. 그리고 뒤에 있는 것은 여기에 붙여서 생각을 해 봅시다. 그러면 앞의 것은 무엇으로 묶을 수 있냐 하면 mA, rA²으로 묶을 수 있습니다. 여기도 mA, rA² 그리고 뒤에는 mBr²으로 묶을 수 있습니다. 여기도 mBr²으로 묶을 수 있습니다. 그러면 mArA²으로 묶은 것은 결과적으로 mA+mB가 되죠. 그래서 이렇게 쓸 수 있고요. 뒤의 것 2개를 봐도 mBrB²으로 묶었을 때 mA+mB가 돼서 이런 식으로 되죠. 그래서 분모와 약분을 해 주면 mArA²+ mBrB²이 돼서 결과적으로 이 식과 같아진다는 것을 증명했죠. 그래서 이렇게 강체 회전자에서 관성 모멘트가 환산질량 μ에 대해서 μr²으로 나타난다는 것을 보여 주게 됐네요. 그래서 2체 문제를 1체 문제로 바꾸는 다음과 같은 A의 운동 에너지 오퍼레이터. B의 운동 에너지 오퍼레이터 2개의 합을 제가 앞에서 설명드렸듯이 질량 중심의 운동 에너지와 환산질량의 상대적인 운동 에너지 2개의 합으로 바꿀 수 있다고 말씀드렸는데 그중에서 질량 중심의 운동 에너지는 우리가 관심이 없기 때문에 이것을 0으로 두고요. 이것을 해밀토니안으로 취한다고 말씀드렸습니다. 그래서 이 오퍼레이터가 앞에서 결과적으로 이 오퍼레이터로 바뀌는 것이죠. 그래서 여기에 들어가는 μ가 여기서는 I에 포함되면서 이런 꼴로 변하게 된 것이고요. 이런 식으로 이해하시면 되겠습니다. 여기까지 했으니까 다음은 구면조화함수와 양자수 그리고 각운동량에 대해서 예제와 함께 다뤄 보도록 하겠습니다.