1-1강 행렬 행렬곱 (Ch 7.1 ~ 7.2)

안녕하세요 Kreyszing 공업수학 파트B 강의를 맡은 이동재입니다 오늘은 Kreyszing 공업수학 파트B의 첫 번째 강의를 수업하도록 하겠습니다. 첫 번째 강의는 파트B의 첫번째 단원인 7단원의 7.1단원부터 7.3단원까지의 내용을 다루도록 하겠습니다. 7.1단원부터 7.3단원까지의 내용은 행렬에 대한 가장 기초적인 그런 내용을 담고 있어서 고등학교때 행렬에 대해서 공부하셨다거나 아니면 1학년 때 이미 행렬에 대해서 배우신 분들은 크게 제 수업을 듣지 않아도 아실 테기 때문에 뒤로 넘겨서 뒷 부분 수업부터 들으시면 될거 같습니다. 저는 이제 행렬에 대해서 아무런 기초지식이 없다고 가정하고 수업을 하도록 하겠습니다. 그러면 행렬이란 무엇인가에 대해서 먼저 시작을 하는데요. 행렬은 영어로 matrix라고 부르게 되고 행렬은 무엇이냐 하면 어떤 수를 모아놓은 것인데 그 수를 이러한 직사각형 형태로 모아놓은 것입니다. 그래서 우리는 이렇게 수들을, 수 아홉 개 a11, a12, a13 각각 해가지고 a33까지 해서 아홉 개의 숫자를 이렇게 직사각형의 각 부분에다가 이렇게 배열을 하게 되는데요. 이것을 우리는 행렬이라고 부르게 되고 이렇게 나와 있는 얘네들을 1행 얘네를 2행, 얘네를 3행이라고 부르게 됩니다 그리고 이렇게 놓여 있는 애들 이렇게 놓여 있는 애들은 1열 이렇게 놓여 있는 2열 이렇게 놓여 있는 애들은 3열 이라고 우리가 이름을 부르게 됩니다. 그리고 여기 각각에 들어 있는 하나하나의 숫자들은 우리가 성분 혹은 원소라고 부르게 되고 성분, 원소는 영어로 Entry, element 이런 식으로 부르게 됩니다 그냥 이거는 하나의 수학적인 도구 약속이라고 그냥 생각하시면 됩니다 우리는 그리고 여기에서 우리는 지금 아홉 개의 숫자를 세 개, 세 개 이런 식으로 배열을 하게 되는데 그래서 우리는 이것은 3x3 행렬 이라고 부르게 됩니다 행이 세 개가 있고 열이 세 개가 있기 때문에 3x3 행렬이다 라고 우리가 부르게 됩니다 그래서 이걸 이제 일반적으로 이제하면은 mxn행렬을 볼 수 있는데요 이제 당연히 m, n은 자연수여야 겠고 mxn행렬이라고 하는 것의 의미는 m개의 행이 있고 n개의 열이 있는 것을 우리는 mxn행렬 이라고 부르게 됩니다 그래서 우리가 이제 표현을 하면은 이런 식으로 표현이 되는 데요 어떤 A라고 하는 행렬이 존재를 했을 때 이 A라고 하는 행렬은 mxn행렬인데 그 mxn행렬은 이렇게 표현할 수 있습니다 그래서 아까 m개의 행이 있다고 했기 때문에 이렇게 이렇게 가로줄이 m개가 있으면 되겠죠 그래서 a11 부터 11, 21, 31 이런 식으로 되니까 1부터 m까지 있으니까 m개가 있는 거고 그 다음에 세로줄이 n개가 있으면 되니까 n개가 있으면은 되니까 11, 12, 13에서 1n까지 있으니까 n개가 있다는 걸 확인할 수 있습니다 그리고 맨 끝에 있는 애는 amn 으로 우리가 표기를 하게 됩니다 그럼 여기 안에 들어가는 이런 성분들을 표기는 어떻게 하냐 하면은 i번째 행에 만약에 j번째 열이다 라고 한다면은 우리는 aij 이런 식으로 우리가 표현을 하게 됩니다. 이제 이건 일반적인 표기법이라고 생각을 하시면 되구요. 그리고 이렇게 커다란 이만한 행렬을 우리는 간단하게 이런 식으로 표기도 하기도 합니다. 이런 식으로 대괄호로 묶고 안에 ajk라고 표현을 하고 이제 이건 각각의 성분을 의미하는데 요 j와 k의 범위는 j는 1부터 m까지 k는 1부터 n까지 이런 식으로 써서 우리가 행렬 A를 표기를 하기도 합니다. 가장 그냥 일반적인 표기법입니다. 자 그러면 이제 여기서 제가 말씀드린 mxn행렬에서 m하고 n이 같을 경우에는 이게 특별한 케이스인데 이럴 때는 우리는 이 행렬 A를 정방행렬이라고 부르게 됩니다. 이 정방행렬이라고 하는 것은 다른 말로 표현하면 정사각행렬이라는 표현을 우리가 더 많이 쓸거구요 그리고 영어로는 square matrix라고 부르게 됩니다. 그래서 예시를 드리면 정방행렬 예시는 뭐 얘 같은 경우에는 2x2 행렬이 될것이고 얘 같은 경우에는 3x3 행렬이 돼서 요 2, 2 같고 3, 3 같아서 같죠 네 이런 식으로 표현이 되는게 정방행렬, 정사각행렬이다 얘는 이제 우리가 문제를 풀면서도 많이 나타날 것입니다 그 다음에 벡터하는 개념이 행렬로부터 나오게 되는데요 벡터 이제 우리가 고등학교때에도 배웟겠지만 벡터라는 개념은 행렬로부터 어떻게 도출이 되냐하면은 행렬은 우리가 mxn 행렬이라고 했는데 m또는 n, 둘 중의 하나가 1이면은 우리는 그걸 벡터라고 부르게 됩니다 mx1 행렬이라고 하는 것을 생긴건 이렇게 생겻겠죠 행이 m개가 있고 열이 한 개가 있는 그런 것을 이렇게 생겨 먹었을 것이고 우리는 이걸 열벡터라고 부르게 됩니다. 그리고 1xn 행렬 같은 경우에는 이렇게 생겼겠죠 행이 한 개가 있고 열이 n개가 있는 그런 것을 우리는 행벡터라고 부르게 됩니다. 그래서 벡터는 이런 열벡터와 행벡터 두 가지 종류가 있습니다 그리고 일반적으로 우리가 지금 다루고 있는 내용들은 다 선형대수학에 나와있는 선형대수 부분인데 거기에서 우리가 일반적으로 벡터라고 부르면은 열벡터를 의미를 하게 됩니다. 그냥 그렇게 가정을 하시면 될 것 같습니다. 그리고 영어로 표현하면 column vector, row vector 이런 식으로 표현하기도 합니다. 그럼 우리가 이제 왜 행렬을 배우느냐 라고 했을때 그냥 가장 간단한 예제를 하나 가져왔는데요 교제에 보시면 예제 1번 문제로 요런 연립일차방정식이 나와 있습니다. 이런 세 개의 연립일차방정식을 행렬로 표현을 할 수 있는데요 행렬로 표현하면 이걸로 표현을 하면 이런 식으로 표현이 됩니다. 여기보시면 여기 있는 계수들 4, 6, 9, 6 여기는 0 곱하기 x2라고 생각할 수 있겠죠. 6, 0, -2, 5, -8, 1, +1 이것들을 다 이런 식으로 우리가 그냥 순서에 맞게 배치를 이렇게 할 수 있고 그 다음에 여기에 표현되어 있는 미지수들 x1, x2, x3 우리가 구하고자 하는 값들인데 여기에다가 한번에 모아서 표기를 하고 그 다음에 여기에 나와있는 오른쪽에 이 등호 뒤에 나와 있는 얘 숫자들을 여기에 이렇게 표현을 하면 행렬식의 곱으로 우리가 표현을 할 수 있습니다 아직 행렬의 곱은 우리가 정의를 안 했기 때문에 배우지 않은 내용이기는 하지만 어쨌든 이런 식으로 간단하게 표현도 할 수 있습니다 이제 이건 제가 한번 예제로 보여드린 거구요 다음으로 우리가 다룰 내용들은 이제 행렬이라는 것을 우리가 정의를 했기 때문에 그거 안에서의 어떤 연산이나 행렬이 똑같다는 것의 의미가 무엇이냐 뭐 이런 것들을 배울 건데 되게 간단합니다 제가 정의는 이제 말씀 안 드릴거고 이제 딱 보시면 무슨 말인지 알거든요 한 번 보도록 하겠습니다 어떤 A라고 하는 행렬이 있는데 이건 2x2행렬이고 2x2행렬은 이런 식으로 제가 표기를 할 수 있다고 했죠 a11, a12, a21, a22이렇게 되어 있고 그럼 B라고 하는 행렬고 똑같이 2x2 행렬인데 각각의 Entry, 들어가는 값들이 4, 0, 3, -1이라고 하자 이때 만약에 A하고 B가 같다고 표기하는 것은 의미가 무엇이냐 라고 한다면 각각의 성분에 있는 것들이 같을 때 우리는 두 개의 행렬이 같다 라고 말을 합니다 그래서 즉 a11은 4고, a12는 0이고, a21은 3이고, a22는 -1이면 이런 관계가 성립을 하면 A와 B가 같다 라고 표현을 할 수 있습니다 근데 여기서 하나 눈치채셨겠지만 얘가 2x2행렬이고, 얘가 2x2행렬이기 때문에 두 개가 같을 수 있지 만약에 얘가 3x2 행렬이고 얘가 2x2행렬이다 하면은 두 개가 같을 수 없습니다 두 개의 크기가 똑같이 얘가 mxn 행렬이다 라고 한다면 얘도 mxn 행렬이어야만 두 개가 그럴 경우에만 같을 수가 있는겁니다 물론 얘가 mxn 이고 얘가 mxn 무조건 그냥 그렇다고 같은 건 아니지만 가장 기본적인 조건이 이런 조건이 필요하다는 것이죠 두 번째로 행렬의 합으로 넘어가게 되면은 행렬의 합은 이것도 제가 예시로 설명을 할 건데요 어떤 A라고 하는 행렬이 있고 B라고 하는 행렬이 있습니다 이 A라고 하는 행렬은 이렇게 생겼고 B라고 하는 행렬은 이렇게 생겼다 라고 했을 때 두 행렬의 합이라고 하는 것은 직관적으로 추측하실수 있겠지만 각각의 성분들의 합으로 생각을 하시면 됩니다 첫 번째는 11에 있는 얘는 -4고 얘가 5니까 더한 것의 1, 1에는 두 개의 성분의 합을 쓰게 되고 그 다음에는 1, 2에는 6하고 -1이 있으니까 이거 두 개를 더하고 그다음 3하고 0이 있으니까 3하고 0을 더하고 이런 식으로 각각의 성분끼리의 합을 여기 이렇게 표현을 해주면 됩니다 이게 행렬의 합이고 계산하면은 이런 식으로 표현이 되겠죠 그래서 행렬의 합도 똑같이 두 개의 행렬의 합이 성립을 하기 위해서는 두 행렬의 크기가 똑같아야 합니다 똑같이 mxn matrix로 동일해야 합니다 이건 여기까지는 이제 직관적으로 그렇겠다 라는 식으로 받아들이실 수 있을 거 같구요 다음에 나오는 것은 스칼라 곱입니다. 스칼라, 우리는 벡터가 아닌 스칼라 곱 은 뭐냐하면 이제 행렬에다가 예를 들어, 뭐 3에 10을 곱하면 우리 30이다 뭐 이런 식으로 쓰잖아요 이런것처럼 행렬에다가 10을 곱하면 그러면 얘는 뭐가될까? 궁금한 겁니다 그래서 얘도 하나의 예제로 보려고 합니다 어떤 A라고 하는 행렬이 이렇게 생겼다라고 했을 때 행렬에다가 우리가 10을 곱한 거 10을 곱한 거는 10을 곱한 거는 어떻게 표기가 될까 라고 한다면 그것도 똑같이 행렬인데 그 행렬 값은 어떻게 되냐하면 각 성분에다가 이 10을 곱한 것 으로 정의하자라고 하는게 스칼라 곱입니다 그래서 그냥 뭐 c라고 하는 상수를 우리가 곱했다 라고 한다면 여기다 이런 식으로 다 c를 곱해주시면 됩니다. 네 이게 스칼라 곱이구요 그 다음 여기까지 나온 내용들을 정리하는 겸 해서 나온 여러 가지 법칙들이 있는데요 연산법칙, 연산법칙은 이런 식으로 두 개의 행렬인데 크기가 같다라고 했을 때 크기라고 하는 것은 제가 이제 mxn에서 m하고 n이 같을 때를 의미를 합니다 연산법칙 두 개의 합 이제 이거는 교환법칙 이렇게 성립한다 라고 한거 A+B는 B+A다 그리고 결합법칙도 성립한다. A+B 먼저하고 그 다음에 c를 더하는 거나 A 더하기 하고 B+c하는 거나 똑같다 그 다음에 0행렬이라고 하는 것이 있어서 어떤 행렬이 0행렬과 더하면은 자기자신이 나오게 하는 행렬이 존재한다 라고 하는 것, 이제 항등원이겠죠 그리고 A에다가 어떤 -A라고 하는 것을 더하면은 0행렬이 나오게 되는데 이것을 이제 역원이라고 볼 수 있겠죠. 여기서 0행렬이라고 하는 것은 우리는 그냥 크게 0 이렇게 표기를 하면 그냥 0행렬인걸로 주로 생각을 하는데요 0행렬 뭐냐하면 그냥 모든 성분들이 다 0인 행렬을 0행렬이라고 합니다 이거는 임의의 사이즈가 될 수 있습니다 mxn, 임의의 mxn이 될 수 있습니다 그 다음에 이제 스칼라 곱인데요 스칼라 곱은 A+B에다가 어떤 상수 c를 곱했을 때는 분배법칙이 성립을 해서 cA+cB 이런 식으로 표기가 되고 c+k에다가 A를 곱한거는 이런 식으로도 분배법칙이 성립을 합니다. 여기 c하고 k는 모두 상수입니다. 그 다음에 이렇게 이런 식으로 묶여있는 경우에도 k에다가 c를 곱하는 것은 이런 식으로 상수끼리 먼저 곱하는 것도 가능하구요 1곱하기 A는 A다 이런 연산법칙이 성립을 합니다. 이건 뭐 당연하다라고 받아들이시면 될 거 같구요 혹시라도 질문 있으시면 질문해주시면 좋을 것 같습니다. 이제 여기까지는 이제 간단한 내용이었구요 지금부터는 행렬의 곱을 설명해 드리려고 하는데요 행렬의 곱은 이제 여기까지 나온 내용보다는 조금 덜 직관적입니다. 이제 먼저 아까 제가 말씀드렸던 예제로부터 가져오면 앞에서부터 말씀드린 연립일차방정식, 세 개의 방정식을 이런 식의 행렬로 표현을 할 수 있다고 그랬는데요 이것은 이 행렬, 3x3행렬과 3x1행렬의 곱으로 표현이 되어 있습니다. 그럼 이 곱을 어떻게 계산을 하냐 라고 하는 것은 정의에 따르면 이런 식으로 계산할 수 있는데요 이게 어떻게 나왔는지 한 번 관찰을 해보면 이거랑 이 행이랑 이 열이랑 곱하면 이렇게 곱하면 4랑 x1, 4x1 그 다음에 6 곱하기 x2, 6x2 더하기 9 곱하기 x3, 9x3가 첫 번째에 등장하게 됩니다. 그리고 두 번째 ,세 번째도 각각 이거 곱하기 이거, 이거 곱하기 이거 이런 식으로 각각이 표현이 됩니다. 해서 우리는 이제 여기서 살짝 행렬의 곱을 유추를 해볼 수 있구요. 그러니까 이런 식으로 곱하고 이런 식으로 곱하고 이런 식으로 곱한다. 자 이렇게 곱했다는 것은 각각의 entry 각각의 성분끼리 이렇게 곱한 것을 다 더한 것 내적이라고 생각하시면 더 편할겁니다. 이런 식으로 표기가 된다 라고 하는 것은 이제 짐작해볼 수 있습니다. 그러면 이제 행렬의 곱이라고 하는 것을 우리가 이제 정의를 좀더 자세히 살펴볼 건데요 행렬의 곱은 정의는 좀 복잡해 보이는데 사실 많이 연습하시면은 별로 복잡지는 않거든요 제가 먼저 정의를 하고 그 다음에 이제 연습 몇 번 할건데 그 때 한번 따라해 보시면은 될 거 같습니다. 이제 A가 mxn행렬 이라고 하고 당연히 m, n, r, p는 다 자연수고 B를 rxp 행렬이라고 했을때 AxB 어떤 두 개 행렬의 곱이 성립을 하기 위해서는 이 n과 이 r이 무조건 같아야 합니다 이게 같지 않으면 곱이 성립을 하지 않습니다 그래서 일단 우리는 같다 라고 가정을 하구요 같다라고 가정을 했을 때 그때 여기서 만들어지는 c라고 하는 행렬은 mxp행렬이 됩니다. 여기 보시면 A가 mxn이고 B가 rxp인데 두 개의 곱은 A 곱하기 B는 mxp행렬이 됩니다. 그래서 mxp행렬이 된다. 그러면 여기 c행렬에 각각의 성분이 뭔지를 우리가 알고 싶은 거잖아요. c행렬을 이렇게 표현할 수가 있는데요. 총 여기 이렇게 m개가 있고 이렇게 p개가 있습니다 그래서 mxp 행렬인 거구요. 그래서 임의의 cjk라고 하는 이 성분이 뭐냐 어떻게 우리가 구할 수 있냐 라고 하는 게 문제인데요 그건 어떻게 정의를 하냐하면 이런 식으로 정리를 하게 됩니다 Σ, l은 1부터 n까지 ajl * blk가 되고 이걸 풀어 쓰면은 aj1*b1k + aj2*b2k + 두두두해서 + ajn*bnk이런 식으로 표현이됩니다. 이게 이제 좀 복잡해 보일 수 있지만 연습을 하시면 제가 지금 보여드릴 건데 연습을 하시면 쉽게 쉽게 이해할 수 있을 것 입니다. j부터 k는 각각 j는 1부터 n까지 k는 1부터 p까지가 됩니다. 네 그러면 칠판을 지우고 다음 내용 설명하도록 하겠습니다. 네 그러면 행렬곱 예제 한번 보도록 하겠습니다. 자 이제 행렬곱 예제로 이제 한 두 가지 정도 써놨는데요 첫 번째 예제는 이러한 2x2행렬, 그리고 2x2행렬 두 개의 곱을 나타내고 있습니다. 이제 첫 번째 행렬은 4, 2, 1, 8, 이고 두 번째 행렬은 1, 1, 2, 3 입니다. 이 두 개를 곱하면 이제 곱할 때 앞에서 제가 말씀드린건 좀 복잡했지만 어떤 과정으로 되어 있는지 한 번 보시면 아실텐데요 첫 번째 곱한 결과에 1, 1에 들어가는 거는 이제 제가 1, 1이라고 하는 거는 여기를 말하는 겁니다 첫 번째 그니까 행도 1이고 열도 1인 애. 예를 들어, 뭐, 2, 2다 라고 하면은 행이 두 번째고 열이 두 번째인 애를 이제 성분을 의미를 하게 됩니다. 1, 1 성분은 어떻게 하냐면 이제 앞에 행렬에 첫 번째 행과 뒤에 행렬의 첫 번째 열을 내적을 한다고 생각을 하시면 됩니다. 그래서 4*1 + 2*2 이런 식으로 그리고 1, 2 얘는 어떻게 보여지냐면 1, 2잖아요. 그러니까 앞에서에 첫 번째 행 앞에 거에서는 무조건 행을 가져옵니다. 앞에 거에서는 무조건 행을 가져오고 뒤에꺼 에서는 열을 가져오는데 1, 2 이기때문에 앞에 거에서는 첫 번째 행을 가져오고, 뒤에 거에서는 두 번째 열을 가져옵니다 첫 번째 행과 두 번째 열 그래서 두 개를 내적하면 4*1 + 2*3 이런 식으로 되구요 그리고 여기는 이제 2, 1이잖아요 2, 1 같은 경우에는 첫 번째 행렬의 두 번째 행 그리고 두 번째 행렬의 첫 번째 열 이렇게 가져옵니다. 그래서 제가 예를 들어 얘는 지금 2x2행렬, 2x2행렬 두 개의 곱인데 얘의 뭐 예를 들어 2, 2를 구하시오. 라고 하면은 2, 2 성분을 구하시오, 라고 한다면 앞에 있는 이 행렬을 A라고 얘를 B라고 했을 때 A의 두 번째 행이랑 B의 두 번째 열을 가져와서 내적을 하면 됩니다. 그리고 2, 2가 아니라 만약에 이게 1, 2면은 얘가 1, 2가되고 2, 1이면 2, 1이 되는거죠 이런 식으로 생각을 하시면 됩니다. 그래서 제가 이런 식으로 표기를 하면 이렇게 하면은 이렇게 하면 이게 된다는 말은 얘랑 얘랑 내적해서 여기가 된다 라고 하는 거고. 이렇게 하면은 얘랑 얘랑 내적해서 여기 표기하면 된다 이런 식으로 이제 생각을 하시면 됩니다. 이거는 이제 스스로 연습을 많이 하셔야 익숙해질 수 있습니다. 그리고 행렬곱은 이제 생각을 하실 때 앞에 앞선 행렬과 뒤에 있는 행렬이 각각 얘가 2x3행렬이고 얘는 3x1행렬이잖아요 이거를 미리 생각을 해두시면 혹은 표기를 이런 식으로 해두시면 결과가 아 2x1행렬이겠구나 이건 빠르게 알 수 있거든요 그래서 이런것도 미리 써두시면은 헷갈리시지 않을 거예요. 이거 같은 경우는 얘는 정사각행렬 두 개의 곱이기 때문에 정방행렬두개의 곱이기 때문에 2x2랑 2x2 곱하면 당연히 2x2가 나오겠지 라고 생각을 하실 수 있는데 얘 같이 좀 정방행렬이 아닌 경우에는 조금 헷갈릴 수 있거든요 . 그래서 이런 식으로 써 놓으시면은 좀 더 쉬우실 겁니다. 그래서 얘 같은 경우에도 지금 얘는 2x3행렬이고 3x1행렬이기 때문에 결과는 3, 3똑같아서 곱셈이 되고 2x1행렬로 나타나게 되거든요 2x1행렬로 나타나게 되는데 2x1행렬의 첫 번째 성분은, 첫 번째 성분은 얘는 이제 1, 1성분이라고 생각하실 수 있죠. 1, 1성분은 앞에 있는 행렬의 첫 번째 행이랑 뒤에 있는 행렬의 첫 번째 열을 내적한 거가 이렇게 표현이 되고 얘는 2, 1이 되는데 2, 1성분은 앞에 있는 행렬의 두 번째 행 곱하기 뒤에 있는 행렬의 첫 번째 열을 한 결과가 이렇게 나타나게 됩니다. 그래서 이런 식으로 생각을 하시면 행렬의 곱을 이제 쉽게 하실 수 있을 겁니다. 행렬의 곱에서는 이제 되게 중요한 것 중에 하나가 교환법칙이 성립하지 않는다가 중요한 건데요. 이거는 반드시 반드시 기억을 하고 계셔야 합니다. 이제 이게 왜 성립하지 않는가에 대한 하나의 예제로서 이제 예제 4번을 가져 왔는데요 A라고 하는 행렬을 이제 이러한 2x2행렬이고 B라고 하는 행렬을 이런 2x2행렬이라고 했을 때 A, B를 곱한걸 제가 이제 계산을 해봤습니다 계산 해보면 이런 식으로 계산이 되겠죠 이 2x2행렬곱은 얘는 1*(-1) + 1 + 1 이런 식으로 다 계산을 하시면 0, 이제 0행렬이 나오게 됩니다. 근데 B, A는 똑같이 써서 계산을 하면은 이런 식으로 나와서 두 개가 다르다는 것을 우리가 알 수 있죠. 그래서 일반적으로는 가능한 경우도 있지만 일반적으로는 두 개의 곱은 행렬의 곱은 교환법칙이 성립하지 않는다, 하는 것을 알 수 있었습니다. 그 다음에 행렬의 곱과 관련된 연산법칙인데요. 연산법칙은 이렇게 네 가지 정도가 성립하게 됩니다. 이건 다 증명할 수 있기는 한데 그냥 자연수의 곱셈이랑 거의 같거든요. 거의 같은데 하나의 차이점이 아까 말씀드린 교환법칙이 성립하지 않는다 그거이기 때문에 나머지 성질들은 그냥 받아들이시면 될 것 같습니다. 이제 한번 보시고 혹시 뭐 직관적으로 받아 들여지지 않는다 하는 부분이 있다면 질문해주시면 되겠습니다. 그 다음에 나오는 건 이제 유용한 계산법이라고 제가 생각했을 때 유용하다고 생각을 해서 유용한 계산법이라고 붙였는데요. 이제 증명 같은 거 할때 가끔씩 나오거든요 A라고 하는 행렬을 mxn행렬이라고 하고 B라고 하는 행렬을 nxp 행렬이라고 하고 근데 B라고 하는 행렬은 B라고 하는 행렬을 우리는 이제 열벡터들의, 열벡터들이 모여서 이루진 행렬이다 라고 생각을 할 겁니다 근데 열벡터들, nxp 행렬이기 때문에 열벡터가 p개 있는 거겠죠 nxp라고 하면은 행이 n개 있고 열이 p개 있는 거니까 p개의 열로 이루어진 행렬이다 라고 볼 수 있을 겁니다. 그래서 그 각각의 열들을 우리는 b1, b2 부터 해서 bp까지 라고 우리가 이렇게 그냥 표기를 이런 식으로 할 수 있는거죠. 물론 얘를 b11, b21, b31 두두 하고 b 그래서 bn1. b12, 해서 b1p 하고 bnp 이런 식으로 표기도 할 수 있지만 벡터를 가지고 열벡터를 가지고 이런 식으로 표기를 할 수도 있는겁니다. 이제 이런 식으로 우리가 표기를 했을때 왜 이렇게 표기를 하냐 라고 한다면 두 행렬의 곱, 두 행렬의 곱을 A라고 하는 행렬과 B라고 하는 행렬의 곱을 이런 식으로 표기를 할 수 있습니다. 이거는 이제 생각을 해보시면 A는 mxn행렬이고 b1은 bi들은 각각 nx1행렬이기 때문에 Ab1두 개 곱한 것의 결과는 nx1행렬이 돼서 결국 다시 열벡터가 되겠죠. 그래서 이러한 p개의 열벡터들로 구성된 행렬이 된다는 것을 우리가 알 수 있습니다 그래서 이런 식으로 우리가 표기가 가능하다 라고 하는 것을 제가 말씀드리고자 했던 것이구요 이게 만약에 좀 와닿지 않는다, 신기하다 라고 받아들이실 수 있는데 예제를 보시면서 보면 조금 더 와닿을 것 같습니다. 이제 A라고 하는 행렬을 제가 이런 식으로 표기하고 2, 1, -3, 1 B라고 하는 행렬을 3, 2, 1, 0, -1, 5라고 한다면 A라고 하는 행렬은 2x2 행렬이고 B라고 하는 행렬을 2x3행렬이겠죠. 그럼 두 개의 곱은 2x3 행렬이 될 겁니다. 왜냐면은 얘가 2x2고 얘가 2x3 이니까 이렇게 이렇게 사라지면 2x3행렬 되겠죠 그러면 A, B는 제가 아까 말씀 드린대로 이런 식으로 계산을 하게 되면 얘가 b1벡터, b2벡터, b3벡터가 되니까 이런 식으로 표기를 할 수 있을 겁니다. 표기를 하면 각각은 다시 2x1 행렬이 되잖아요. 그래서 각각의 곱들은 다시 이런 식으로 우리가 표현을 할수 있게 되고 이것은 나중에 다시 계산을 해보시면 그냥 얘랑 얘랑 이런 식으로 표기 안하고 그냥 계산할 수 있잖아요 그냥 계산한 결과랑 비교해 보면 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 그래서 이런 식의 표기법은 이제 실제 계산할 때는 사용하지 않구요 왜냐하면 굳이 이렇게 표기할 이유가 없으니까 나중에 어떤 증명이나 증명과정이나 이런데 가끔 등장하기 때문에 제가 설명드렸습니다. 다음으로 다룰 내용은 여러 가지 행렬의 종류에 대해서 특별한 성질을 가진 행렬에 대해서 볼건데요. 첫 번째 이제 전치행렬, 전치행렬은 영어로 transposed matrix라고 부르게 되구요 A라고 하는 행렬을 우리가 이런 식으로 표기를 할 때 aij이고 이건 mxn행렬이라고 했을 때에 A transposed, 아 이제 이걸 transposed라고 읽는데 A transposed한 것은 mxn행렬이었던 것이 nxm 행렬로 바뀌게 됩니다. 이 두 개가 바뀌게됩니다. 바뀌고 이 표기가 의미하는게 뭐냐 하면은 얘는 (i, j), A의 (i,j) 성분이 aij다 라고 하는 의미입니다 얘는 이렇게 썼다는 것의 의미는 A transposed의 (i, j)성분은 aji다 라고 하는 의미입니다. 여기서 aji라고 하는 이 값은 a에서 정의된 값인거죠. 그래서 이거는 이제 말로 표기하면 어려우니까 제가 이제 써보면 A라고 하는 행렬은 우리는 이제 일반적으로 a11, a12, a13해서 mxn행렬이니까 a1n까지 있을거고 a21, a31 이렇게 해서 am1 이런 식으로 있고 amn 이런 식으로 우리가 쓰겠죠 근데 이 행렬에 대해서 transposed를 시키게 되면은 이 A transposed 전치행렬은 원래 여기에 a12가 있어야 하는데 a12가 아니라 a21이 있게 됩니다. 그리고 여기에 a13인데 a13이 아니라 a31이 있게 됩니다. 이 의미가 이 의미입니다 그래서 여기에서 보면 1, 3, 1, 3이라고 하는 것은 여기에 해당하는 애가 뭐냐하면은 a의 1, 3은 j에다가 3넣고 a에다가 1 넣으면 3해서 a31이 여기에다가 들어갑니다. 라고 하는 의미인거죠. 그래서 이걸 어떻게 쉽게 생각하냐 하면요 각각의 원래 A행렬의 열들이 다 A transposed의 행으로 바뀐다 하고 생각을 하시면 됩니다. 이 첫 번째 행은 첫 번째 열로 바뀌고 첫 번째 열이 첫 번째 행으로 바뀌고 두 번째 열이 두 번째 행으로 바뀌고 세 번째 열이 세 번째 행으로 바뀌고 이런 식으로 생각을 하시면 되는데요. 이제 이건 예제로 한번 보도록 하겠습니다. 이제 예제를 그냥 이제 제가 임의로 만든 행렬인데요. A라고 하는 행렬이 2, 3, 7, -1, 5, 9 라고 하는 행렬이 있을 때에 이것의 전치행렬을 어떻게 구하냐고 하면 전치행렬은 물론 뭐 이 정의 따라서 생각을 하셔도 되는데 제 방식으로 쉽게 생각하는 방식을 이제 말씀드리는 겁니다. A transposed는 2, -1은 첫 번째 열은 첫 번째 행으로 갑니다. 첫 번째 행으로 2, -1 그리고 두 번째 열은 3, 5는 두 번째 행으로 갑니다. 3, 5 그리고 세 번째 열은 7, 9는 세 번째 행으로 갑니다 7, 9이런 식으로 이렇게 생각을 하면은 뭐 쉽게 되구요 아니면 이 제가 왜 이게 왜 가능하냐 라고 생각을 하신다면 이렇게 대각선을 이렇게 그릴수가 있는데요. 1, 1, 2, 1, 3, 3 그러니까 i, j를 지나는 대각선을 그었을때 그걸 가지고 여기 있는 것들을 이렇게 딱 뒤집으면은 됩니다. 여기있는거 이렇게 뒤집고 여기있는거 뒤집고 그럼 대각선에 있는 애들은 그냥 가만히 있겠죠 뒤집고, 뒤집고 하면은 이런 전치행렬이 나오게 됩니다. 이거는 이제 뒤에서도 계속 나오기 때문에 이제 익혀두시면 좋을 것 같습니다 그리고 이 transposed와 관련된 연산법칙은 이제 이렇게 한 네 가지 종류가 있는데요 어 전치행렬에 다시 transposed한 것은 다시 transposed시키면은 자기자신이 나올겁니다. 그니까 한번 뒤집은 거를 다시 뒤집으니까 원래 그대로가 나오겠지요 그리고 더한 거의 transposed시킨거는 각각의 transposed의 합과 같다 라고 하는건데 이거는 이제 보시면 예를 들어 얘가 a21 + b21 이었다 그러니까 A+B라고 하는 결과를 b12가 여기 더해지고 여기는 b21이 더해졌는데 transposed시키면 여기 b21, 여기 b12가 될 거잖아요. 근데 행렬에 덧셈은 두 개로 나눌 수 있으니까 쪼개고 쪼개고 생각을 하면은 a파트랑 b파트랑 나눠서 생각을 하면은 이런 식의 결과가 나오겠지요 그리고 뭐 곱한 거는 상수배 곱한거는 여기서 c를 곱한다고 해서 뭐 c분의1 된다거나 이렇지 않습니다. 그냥 c는 그대로 있습니다. 그다음에 이제 한 가지 주의하셔야 될 거는 이건데요. 두 개 곱한 거의 transposed 시킨 거는 A transposed x B transposed 이게 아니라 B transposed x A transposed 이렇게 됩니다. 이렇게 된다 라고 하는 사실 이건 꼭 기억하셨으면 좋겠습니다. 제가 이거를 증명까지는 아니지만은 그냥 왜 이렇게 되겠구나 라고 하는 정도의 생각은 어떻게 할 수 있냐면은 A를 mxn행렬이라고 생각하고 B를 nxp행렬 이라고 생각을 했을 때에 AB행렬은 이제 곱하는 거는 mxp행렬이 되겠죠 그러면 AB transposed는 두 개 바꾸면은 되니까 pxm행렬이 될겁니다. 그렇죠 pxm행렬 그런데 만약에 이것에 결과가 A transposed x B transposed라고 생각을 한다면 근데 A transposed x B transposed는 Atransposed는 nxm행렬이고 Btransposed는 pxn행렬이기 때문에 A transposed x B transposed가 성립을 하기 위해서는 m이랑 p가 같아야만 곱셈이 성립을 합니다. 근데 이거는 일반적인 경우가 아닌거죠, 그니까 일반적으로 A transposed x B transposed는 성립하지 않습니다. 그니까 이런게 존재하지 않을 수도 있다는 거죠 근데 그에 반해서 B transposed x A transposed는 B transposed x A transposed는 n, n이 지금 같잖아요 그래서 pxm행렬이 나오게 됩니다. 무조건 pxm행렬이 나오게 됩니다 근데 A, B 곱한거의 transposed도 pxm행렬이기 때문에 얘랑 얘랑 같으면 뭔가 이렇게 좀 잘 맞겠네 이정도로는 생각을 할 수 있겠죠. 그래서 이 순서가 바뀐다는 거 꼭 기억하셨으면 좋겠습니다. 그리고 순서 바뀐다는 것도 예제로 확인해보려고 하는데요 이것도 제가 임의로 만든 행렬입니다. A라고 하는 행렬을 2, 3, -1, 1이라고 하고 B라고 하는 행렬을 4, 5, 2, 1이라고 했을 때 A, B 두 개를 곱하게 되면 이런 식으로 계산을 할 수 있습니다 계산은 스스로 해보시면 연습도 많이 해야 되니까 스스로 해보시면 될 거구요. B transposed x A transposed는 B transposed의 결과는 이렇게 얘를 이렇게 쓰고 얘를 이렇게 쓰는 거겠죠 똑같이 하면은 이런 결과를 얻을 수 있습니다 그럼 AB에 transposed를 시키면 얘네 고정이고 얘네 둘 자리 바꾸면 똑같이 나오죠 그래서 이 관계식이 성립하는 구나 정도는 확인할 수 있습니다. 증명까지는 아니지만 그냥 그렇다 정도까지 받아들이시는 정도만 설명해드렸습니다. 이제 다음으로 나오는 여기까지 나온 성질들을 활용한 행렬인데요. 첫 번쨰는 대칭행렬입니다. 대칭행렬은 영어로 symmetric matrix고 이거는 어떤 행렬이냐하면 어떠한 행렬이 대칭행렬이다 라고 했을때는 자기자신의 transposed랑 자기자신이 같은 행렬을 우리는 대칭행렬이라고 부르게 됩니다 이제 이 성질은 이 성질로부터 나오는 게 어떤 게 있냐 하면은 어떤 행렬이 대칭행렬이기 위한 충분조건은 정방행렬이라고 하는 것이 성립해야 합니다. 정방행렬이 성립을 해야만 대칭행렬입니다 물론 대칭, 아 다시 설명드릴게요 그러니까 정방행렬이라고 하는게 베이스로 있어야만 대칭행렬이 가능합니다. 그러니까 정방행렬이 아니면 대칭행렬이 될 수가 없는 거죠. 그래서 대칭행렬의 특징은 ajk가 akj가 되는 행렬을 의미합니다. 여기 예시가 있는데요 그러니까 대칭행렬일 때는 무조건 정방행렬이여야만 하고 그리고 이 대각선에는 무슨 값이 들어가도 상관이 없습니다. 이 대각선 대각선에는 무슨 값이 들어가도 상관이 없는데 대각선을 제외한 나머지 부분 나머지 부분들은 나머지 부분들은 대각선을 기준으로 대칭적이어야 합니다. 여기가 120 이면 여기 120, 200이면 200, 150이면 150 이런 식으로 그리고 이 대각선에는 무슨 값이 들어가도 상관이 없습니다. 이걸 우리는 대칭행렬이라고 부르게 됩니다 대칭행렬이다 라고 이제 말로 주어지면은 아 A transposed는 A랑 같구나 이런 식으로 식으로 표현을 하실 수 있으면 됩니다. 그리고 반대칭행렬이다 라고 하는 것은 반대칭행렬은 영어로 skew-symmetric matrix인데 얘는 이제 또 식으로 쓰면 A transposed는 -A다 하고 하는게 성립하는 A를 우리는 반대칭행렬이라고 부르게 됩니다. 이러한 A를 얘도 무조건 정방행렬이구요 그리고 반대칭행렬의 특징은 여기 제가 써놨는데 ajk는 무조건 마이너스 k, j이구요. 여기서는 ajk는 akj이었잖아요 여기에서는 마이너스가 붙습니다 마이너스가 붙고 그 다음에 대각선에 있는 애들은 무조건 0입니다. 대칭행렬 같은 경우에는 대각선에 있는 애가 0이어도 되고, 아니어도 되고 상관없는데 반대칭행렬은 무조건 대각선에 있는 애들은 다 0이어야 합니다 대각선이라고 말씀드린 거 여기 이런 식으로 이 aij라고 했을때 i하고 j가 같은 애들을 우리는 대각선이라고 부르게 되는데 이 대각선에 애들이 무조건 0이어야 합니다 그리고 대각선을 제외한 나머지 부분들은 크기는 같아야 하는데 기호가 ‘+’, ‘-’가 반대인 애들로 구성이 된 애들을 우리는 반대칭행렬이라고 부르게 됩니다. 이런 식으로 표기를 한다는 것만 기억하시면 될 거 같습니다. 그 다음에 이제 나오는 개념들이 이제 뭐 계산 같은 거 할 때 나오는 개념들인데요 위삼각행렬, 아래삼각행렬 위삼각행렬은 말그대로 이제 위쪽 삼각형에만 어떤 값이 들어간다 라고 하는 게 위삼각행렬입니다. 이런 식으로 위쪽 값에만 그래서 아래쪽에는 위쪽삼각형을 제외한 나머지는 다 0, 0, 0을 넣으면 된다. 라고 하는 것이고 이 대각선에는 무조건 뭐 무조건이 아니라 어떤 값이든 다 들어갈 수 있습니다. 그래서 0이 들어가도 되고 뭐 0이 아닌 값이 들어가도 되고 뭐 상관이 없습니다. 아래삼각행렬은 위삼각행렬과 똑같이, 똑같은데 반대로는 그냥 아래쪽 삼각형을 제외한 나머지 부분은 다 0이어야 된다 라고 하는 것 그래서 여기는 0, 0, 0이다 여기는 무슨 값이 들어가도 상관이 없다 똑같이 여기는 무슨 값이 들어가도 상관이 없는데 여기는 무조건 0, 0, 0이어야 한다 라고 하는 것을 아래삼각행렬이라고 합니다. 그리고 마지막으로 나오는 것이 단위행렬인데요 단위행렬은 무엇이냐하면은 우리는 In이라고 표기를 할것이고 n이라고 우리가 쓰는 이유는 nxn행렬에 대해서 In이라고 씁니다 그래서 우리가 뭐 I1이다 하면은 그냥 얘는 1인거고, I2라고 하면은 이제 2x2행렬을 의미하는데 1, 0, 0, 1을 의미합니다. 그래서 nxn행렬에 대해서는 이 대각선에 해당하는 애들은 무조건 다 1이고 1, 1, 1, 1, 1이고 나머지는 다 0인 이런 애를 우리는 단위 행렬이라고 부르게 됩니다. 이제 이런 단위 행렬이 왜 중요하냐 하면은 임의의 nxn 행렬 A에 대해서 nxn 행렬 A에 대해서, 정방행렬에 대해서 A 뒤쪽에다가 In을 곱하나 앞쪽에나 In을 곱하나 똑같이 A가 나온다 라고 하는 역할을 하기 때문에 단위행렬은 중요합니다 그럼 여기까지 해서 내용을 다 살펴보았구요. 이제 칠판을 지우고 가우스 소거법에 대해서 알아보도록 하겠습니다.