2-1. 저항의 직렬, 병렬 연결

강의 대본

이번에는 저항의 직병렬 연결과 등가저항에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 저항의 특성을 일단 먼저 알아야 하는데 저항의 특성을 아는 방법은 두 가지가 있습니다. 첫 번째는 옴의 법칙을 통해서 아는 방법이 있고, 그다음에 두 번째는 물질의 성질을 통해서 알아내는 방법이 있습니다. 이것을 통해서 이 두 가지 정의를 완벽히 익히면 우리가 저항의 직렬연결과 병렬연결의 성질에 대해서 좀 더 잘 파악하고 헷갈리지 않게 이해하실 수 있는데요. 일단 옴의 법칙에서 저항이라고 함은, 어떤 전압이 인가됐을 때 거기에 흐르는 전류. 이것을 의미하는 전류와 전압 사이의 관계로써의 저항을 의미하기도 하고요. 그다음에 또 다른 의미로의 저항은 어떤 물질의 특성일 수도 있습니다. 제가 지난 시간에 배터리 두 개와 한 개를 병렬연결하는 이야기를 하면서 그 사이에 도선의 저항이라는 얘기를 말씀드렸을 텐데요. 마찬가지로 어떤 물질의 성질. 지구상에 존재하는 모든 물질은 저항으로 표현할 수 있습니다. 그래서 예를 들어서 어떤 통나무. 전선이라고 할까요? 전선이 이런 식으로 생겼다고 할 때, 이 길이를 l, 이 면적을 s라고 합시다. 이제 여기에 어떤 전류라는 전하가 흐르게 될 텐데. 어떤 경우에 전하가 잘 흐를 수 있을까요? 통이 넓어야 잘 흐를 수 있겠죠? 그리고 길이가 짧아야 이 저항의 구간을 빨리 통과할 수 있을 겁니다. 그래서 그것과 마찬가지로 저항이라고 함은, 얘가 못 통과하도록 막는, 그런 특성을 수치로 나타낸 것인데. 그러면 길수록 저항이 크고, 면적이 작을수록 저항이 크겠죠. 그래서 이런 식으로 면적에 해당하는 것은 분모에, 길이에 해당하는 것은 분자에. 이런 식으로 우리가 저항을 표현할 수도 있습니다. 그리고 이 ρ라고 해당하는, 처음 보시는 이 그리스 문자는. 로라고 읽는데요. 이것은 물질의 특성을 의미합니다. 똑같은 모양으로 생겼다고 하더라도 금 같은 경우, 은 같은 경우에는 전류가 잘 흐르는데. 예를 들어 통나무, 고무, 이런 애들은 전류가 잘 흐르지 않잖아요. 똑같이 생겼다고 하더라도. 물질의 특성을 나타내는 어떤 값이 그 저항의 값을 나타내는 구성요소로 있어야겠죠? 그래서 이런 물질의 특성에 관련된 값이 나타나는 게 바로 저항입니다. 그래서 이것을 직렬연결, 병렬연결을 이해함에 있어서 어떻게 도움이 되는지 한 번 차근차근 알아보도록 하겠습니다. 먼저 우리가 알아볼 것은 저항의 직렬연결입니다. 저항의 직렬연결이라고 함은, 어떤 두 개 이상의 저항이 하나의 패스 내에서, 이렇게 하나의 노드를 공유하는 형태로 존재하고 있을 때. 이런 것을 직렬연결이라고 하는데요. 직렬연결에서 우리가 중고등학교 때 배우셨다시피, 저 합성저항. 합성저항이라고 하는 것은 뭐냐? 저항이 이렇게 복잡한 형태로 있을 때, 아 난 다 모르겠고. 그래서 여기 전압 걸었을 때 전체 전류가 몇 흐르는데? 이런 답을 하기 위해서 이 전체를 어떤 하나의 등가저항 하나로 바꾼다면 과연 얼마의 값으로 바꿀 수 있을 것인가? 이게 이제 바로 등가저항, 혹은 합성저항. 영어로는 equivalent 저항. 이런 식으로 되는데. 직렬연결의 경우에는 두 개를 단순히 더하면 됩니다. 공식만 외웠을 때는 쉽죠? 근데 우리가 헷갈렸을 때 개념을 통해서 다시 공식을 상기시킬 수 있으려면, 이 저항의 특성을 통해서 공식을 또다시 다른 차원에서 이해해야 합니다. 자, 아까 뭐라고 말씀드렸죠? 저항의 경우에는, 저항의 공식인 R은 R=ρl/s. 길이가 길어질수록 저항이 커진다고 했죠. 지금 저항 두 개가 직렬 형태로 연결되어 있어요. 어쩌죠? 길이가 길어졌죠. 아, 그럼 그냥 단순히 생각했을 때 저항이 커지겠구나. 그러면 저항이 커지려면 더하는 방향. 이런 식으로 우리가 기억하시면 저항의 직렬연결 공식, 절대 헷갈릴 일 없으십니다. 그러면 문제를 통해서 한 번 적용해 볼게요. 여기 2Ω이 있고 5Ω이 있습니다. 자, 이 경우에 합성저항은 어떻게 될까요? 여기서 한 가지. 우리가 합성저항의 값을 대략적으로 알 수 있는 방법이 있는데. 양수랑 양수를 더하면 어떻게 되죠? 값이 더 커지죠. 그래서 합성저항이라고 하는 것은 항상 더해야 하는 모든 저항 중에 가장 큰 것보다 크게 되어있습니다. 당연한 얘기를 왜 하나, 이렇게 생각하실 수 있는데. 예를 들어서 1Ω과 100Ω이 있을 때, 두 개의 합성. 그러면 왠지 평균 내야 할 것 같고, 한 50쯤 될 것 같고. 이렇게 생각하시는 분들도 있을 텐데, 100보다 더 큰 101Ω이 된다. 이런 말인 거죠. 그럼 일단 2Ω, 5Ω에 대해서 합성저항을 구해볼게요. 합성저항은 2Ω 더하기 5Ω인 =2+5=7Ω. 단위까지 완벽하게 써주셔야 답이 되는 거고요. 그럼 7Ω이 이제 합성저항이 맞는지 한 번 전압과 전류를 통해서 확인해보면 V=Iᵣ. 14V=2x7. 맞죠? 그래서 우리는 합성저항을 통해서 옴의 법칙까지 다시 확인했고. 거꾸로 옴의 법칙을 통해서 이것 두 개를 더하지 않고 합성저항을 바로 구할 수 있다는 것까지 더블 체크하고 넘어가시면 되겠습니다. 다음은 저항의 병렬연결입니다. 저항의 병렬연결부터 갑자기 공식이 어려워지죠. 이제 막 분수 나오기 시작하고. 이걸 어디서는 두 개만 하는 걸로 중고등학교 때는 이런 식으로도 배우셨을 거예요. Rₑq= Rₑq=R₁R₂/R₁+R₂. 이런 식으로 배우신 분들도 계실 텐데. 이런 식으로 외우는 것은 정말 안 좋은 방향이에요. 왜냐하면 우리가 중고등학교 때는 두 개밖에 안 나오니까 선생님들이 쉽게 하려고 이렇게 가르치셨는데. 세 개 되고, 네 개 되고 하면 다 곱하고, 아래는 다 더하고. 이런 꼴로 나오지 않고 좀 더 복잡한 꼴로 나오기 때문에. 이런 특수한 꼴 보다는 이런 제너럴한 꼴로 외우는 게 훨씬 더 외우기 쉽습니다. 자, 그러면 이제 이걸 통해서 아까 물체의 특성 말씀드렸죠? 이건 어떻게 적용될 수 있을까요? 자, 패스가 옆으로 넓어졌네요. 그럼 전류가 통할 길이 하나가 더 생겼어요. 원래 고속도로가 1차선밖에 없었는데, 한 차선이 더 뚫린 거야. 그럼 어때요? 더 빠르게 갈 수 있죠. 그 말인즉슨, 저항이 좀 더 작아진다는 이야기입니다. 얼마나 더 작아지냐? 이 두 개 중에 작은놈 보다 항상 더 작습니다. 아까 덧셈을 할 땐 이게 굉장히 쉬운 개념이었는데 이런 복잡한 식 속에서는 그걸 캐치하기가 약간 어렵죠. 구체적인 숫자를 통해서 파악하는 시간 가져볼게요. 2Ω과 5Ω. 아까와 마찬가지로 직렬연결이 아니라 병렬연결로 되어있습니다. 병렬연결이라고 함은, 어떤 두 소자가 양 끝 노드를 공유하고 있는 형태. 그런 것을 병렬연결이라고 하는데요. 이 병렬연결의 합성저항을 구해보려면 자, 이 공식대로 한 번 해봐야죠. 1/Rₑq은, 1/Rₑq=1/2+1/5=7/10. 이 꼴로 답을 써서 틀리는 학생들이 굉장히 많아요. 그래서 그냥 이것만 쓰고 생각하는 것이 아니라 꼭 이런 식으로 ~분의 1이라는 것을 해야 하고요. 그래서 결국 Rₑq는 Rₑq=10/7. 10/7이면 얼마죠? 1. 얼마 얼마죠. 2보다 작은 합성저항이 나왔습니다. 제가 말씀드렸죠. 둘의 중간이나 평균값 같은 것들이 아니라 직렬이면 큰 놈보다 크고, 병렬이면 작은놈보다 작다. 이렇게 해서 대충 자기의 답을 예상하고 답을 구해야 중간 계산 실수가 있을 때 아, 이거 이 정도로 나와야 하는데 안 나왔네? 다시 검산해볼까? 하는 식으로 돌아갈 수 있습니다. 그래서 이런 의미에서 물질의 특성을 통해서 합성저항을 이해하는 것이 굉장히 중요합니다. 자, 그러면 아까 말씀드렸던 것을 조금 더 심화해서 이 세 개에 대해서 적용해 볼게요. 우리가 아까처럼 중고등학교 방식으로 덧셈이 아래, 곱셈이 위에. 이렇게 계산하신 분들은 이것을 봤을 때 실수를 이런 식으로 하세요. 7‧2‧5/7+2+5. 이런 식으로 실수하시는데, 과연 우리의 답이 이런 식으로 나오는지 찾아보도록 하겠습니다. 자, 어떻게 말씀드렸죠? 합성저항인데 병렬의 형태죠. 노드를 공유하고 있어요, 양 끝 노드를. 그러면 제일 작은 놈보다 작다고 제가 분명히 말씀드렸죠. 진짜 그런지 한 번 확인해보도록 하겠습니다. 자, 그러면 아까 구하는 방식처럼 1/Rₑq은, 1/Rₑq=1/7+1/2+1/5. 자, 이거 최소공배수가 얼마죠? 대충 따져보면 잘 모르겠지만 일단 70으로 할게요. 최소공배수 안 되더라도. 그럼 70에, 7이 70 되려면 얼마야? 10 곱해야 해요. 2가 70되면 얼마야? 35 곱해야 하죠. 그다음에 5가 70 되려면 얼마 곱해야 해? 14 곱해야죠. 그러면 답은, 10+35+14/70= 45+14. 59. =59/70. 이 정도 되겠죠. 자, 답이 어떻게 나왔나요? 이게 답이 아니죠. 1/R이었으니까 이것 분의 1. 그럼 Rₑq는 저도 실수할 뻔했네요. Rₑq=70/59Ω. 자 어때요? 2보다 작은 숫자가 나왔죠. 그리고 하나 더 캐치해야 할 게 이거랑 비교했을 때 숫자가 어때요? 다르죠. 이거는 답이 어떻게 되냐면, 이런 식으로 우리가 구했다 하면 얼마야? 9, 14, 14분의 7, 2, 5. 70. 70/14. 어때요, 2보다 훨씬 큰 숫자가 나왔죠. 그냥 딱 봐도 이건 답이 아닌 거예요. 그래서 우리가 처음 배울 때 그런 개념에 대해서 공식을 외우는 것보다 중요한 게 이 물질의 특성, 아니면 개념의 특성을 통해서 공식을 거꾸로 이해하는, 그런 습관을 항상 들이셔야 계산이 끝난 다음에 우리가 틀렸는지 맞았는지에 대한 검산도 1초 이내로 가능합니다. 자, 그러면 제가 한 말이 진짜 맞는지 한 번 볼게요. 이렇게 극단적인 상황까지 해보겠습니다. 100Ω, 200Ω, 2Ω 이렇게 있는 상황에서도 과연 합성저항은 2Ω보다 작게 나와? 1. 얼마가 나온다고? 도저히 이해가 안 되는데, 라고 생각하시는 분들 있는데. 그것을 같이 계산해보는 시간 갖도록 할게요. 제가 하는 것을 따라 하기 이전에 일시 정지 잠깐 하고, 혼자 한 번 해보시면 익히는 데 좀 더 도움 되실 거예요. 일단 진행하도록 하겠습니다. 1/Rₑq, 똑같이 하는 거죠, 뭐. 1/Rₑq=1/100+ 1/Rₑq=1/100+1/200+ 1/Rₑq=1/100+1/200+1/2. 이러면 어떻게 됩니까? 100, 200, 2. 최소공배수 얼마에요? 200이죠. 200이 되려면 2 더하고, 1 더하고, 100 더하고. 자 그러면 2+1+100/100= 103/200. 그럼 Rₑq는 얼마냐, 역수. 200. Rₑq=200/103. 얼마에요? 200/103은 6부터 2죠. 근데 2보다 약간 안 되는 그런 숫자가 나왔어요. 그래서 이런 것들이 있을 때 하나의 팁이 또 뭐냐면, 가장 작은 거랑 나머지랑 굉장히 멀잖아요? 그럼 그럴수록 가장 작은 놈에 가깝게 작아요. 만약 두 개가 되게 비슷해. 2Ω이랑 3Ω이 있어. 그러면 얘네보다 훨씬 더 작은 값이 나올 거예요. 그래서 이런 것들 유념하시고요. 물질의 특성 생각해도 마찬가지예요. 2Ω이라는 고속도로가 있었어요. 그런데 거기에 굉장히 차가 다니기 힘든 막히는 도로 두 개가 추가된다고 해서 이 전체 길이가 얼마나 이득을 보겠어요? 2Ω일 때랑 비슷하겠죠. 근데 이제 우리가 만약에 2Ω짜리 길이 있었는데, 예를 들어 중간 정도 막히는 길이 있었어요. 그런데 걔랑 비슷한 정도의 길이 생겼다. 이러면 하나 있을 때보다 훨씬 도움이 많이 되겠죠. 이런 식으로 우리가 공식을 수치로만 외우는 게 아니라 감을 잡고 넘어가야 해요. 그럼 이번에는 직렬, 병렬연결이 혼재되어 있는 상황 속에서 대충 감 잡아 보고. 그게 실제로 맞는지 계산을 통해서 알아보도록 하겠습니다. 자, 8Ω, 2Ω 이렇게 있죠. 그럼 대충 계산했을 때 얼마에요? 8Ω 좀 멀리 있네. 그럼 2Ω보다 좀 안 되는 1. 얼마 얼마겠죠. 근데 2Ω이랑 1. 얼마 얼마 있어. 그럼 2Ω보다 큰 게 무조건 나오겠죠. 그러면 답은 뭐, 3. 얼마 얼마. 이 정도 나오겠죠. 4보단 작겠죠. 왜냐하면 얘가 2보다 작을 테니까. 그럼 한 번 3. 얼마 얼마. 아니면 2. 얼마 얼마. 그런 게 나오는지 한 번 확인해볼게요. 그럼 일단 이런 것을 계산하기 위해서 병렬연결 쪽을 먼저 하나의 합성저항으로 만들어야 해요. 그럼 1/8. 1/8+1/2 먼저 계산하면 5/8. 그럼 이쪽 Rₑq 저항은, 네, 이 정도 돼요. Rₑq=8/5Ω. 우리 생각했던 것처럼 1. 얼마 얼마죠? 그럼 8/5에서 2랑 직렬연결을 하면 Rₑq₁이라고 할게요. Rₑqₜ. 전체 더한 것은, Rₑqₜ=2+8/5. 계산하면, 2는 얼마? 10/5이죠. 그러면 18/5. 대충 보면 뭐, 3. 얼마 얼마 Ω 정도 되겠죠. 아까 뭐라고 말씀드렸어요? 3. 얼마 얼마 말씀드렸죠? 그런데 우리 실제로 계산했을 때 이 값이 나왔어. 그럼 신뢰하고 넘어가는 거죠. 이런 식으로 우리가 시험을 볼 때 빠르게 푸는 것도 중요한데, 내가 쓴 답에 대해서 확신이 없잖아요? 그럼 괜히 조건 놓친 것 없나 보고, 한 번 다시 풀고, 이러느라 시간이 오래 걸려요. 그래서 내가 물리적으로 대충 이 문제의 답. 만약 회로의 전류를 구하시오. 그러면 대충 여기 얼마쯤 흐르겠다, 이런 감을 잡아야 하는데. 그 감 잡는 시작이 저항의 직렬, 병렬연결의 특성을 파악하는 것으로부터 시작합니다. 그래서 일단 3. 얼마 얼마. 맞혔고요. 그다음 문제. 비슷하지만 약간 다른 것 한 번 해볼게요. 이런 식으로 이번엔 직렬연결이 있고, 그다음에 병렬연결이 되는 그런 회로입니다. 이런 데서 답 어떻게 될까요? 딱 보면 이거 한 15Ω 정도 되겠고, 10Ω, 5Ω 하니까 약간 멀리 있으니까 5Ω보다 좀 적은. 한 4 정도. 3 후반, 4 초반. 이쯤 값 나올 것 같아요. 계산 실제로 한 번 해볼게요. 이것 일단 암산으로 10+5는 15. 바로 되죠? 그럼 Rₑqₜ 부터 바로 들어갑니다. 1/Rₑqₜ=1/5+1/15. 얼마에요? 최소공배수 15죠. 15분의 3, 1. =4/15. 그럼 Rₑqₜ= Rₑqₜ=15/4Ω. 뭐라고 말씀드렸어요? 아까 3 후반이나 4 초반 왔다 갔다 한다고 했죠? 지금 16/4이 4인데, 3 후반쯤 되는 값이 나왔네요. 네. 그래서 이런 식으로 이번에도 제가 답 쓴 것에 대해서 확신을 하고. 다시 검산할 필요 없이 다음 문제로 바로 넘어갈 수 있게 되는 거죠. 시간은 이런 식으로 조금씩, 조금씩 줄이면서 점점 더 자기의 연산 신뢰도를 높이는 것이 회로 이론에서 고득점을 따는 방법입니다.