3-5. 키르히호프 법칙 종합 문제 풀이 1

지금까지 우리가 키르히호프 법칙 두 가지 전압법칙과 전류법칙에 대해서 배웠고 회로를 분석하는 기법 2가지 역시 배워봤습니다. 근데 우리가 시험장에 딱 갔을 때 어떤 법칙으로 풀어라, 어떤 분석법으로 분석하라라고 나오면, '나 저거 모르는데'라고 어려운 문제라고 생각하시는 게 아니라 그런 것들은 어떻게 풀라고 가이드까지 준 굉장히 땡큐한 문제예요. 실제로는 우리가 어떻게 해야 되냐면 그냥 굉장히 복잡한 회로에서 어디 전위를 구하시오, 어디 전압을 구하시오. 어디에 흐르는 전류를 구하시오라는 거 안에서 우리가 가장 효율적인 분석 방법으로 들어가서 가장 적합한 법칙을 선택해서 문제를 풀어나가야 됩니다. 그러면 그 적합한 것이라는 거는 우리가 어떻게 알아낼 수 있을까요. 그거는 제가 기준을 하나 설정을 해드릴게요. 그 분석 방법 중에서 미지수 개수가 가장 적은 쪽으로 분석을 들어가면 가장 문제를 효율적으로 실수 없이 풀 수 있어요. 우리가 미지수 개수 구하는 방법 지난 시간에 배웠죠. 그래서 그거를 통해서 회로를 먼저 빠르게 스캔하고 바로 들어가면 됩니다. 그래서 제가 회로를 하나 가져왔어요. 이런 식으로 생긴 회로입니다. 굉장히 복잡하게 생겼죠. 회로 구성을 일단 보면 전원을, 에너지를 어디서부터 공급받냐. 이 독립 전압원과 독립 전류원을 통해서 에너지를 공급받고, 그리고 우리가 그것들을 사용하는 컴포넌트들은 이런 저항과 그다음에 종속 전압원, 이런 애들이 있습니다. 그러면 문제에서 구하라는 거 먼저 파악을 해야겠죠. 문제에서 구하라는 거 뭐예요? Vx를 구하시오. 그러면 Vx라는 게 뭐냐. 이 독립 전류원에 걸리는 전압입니다. 이게 무슨 말이냐. 지금까지 우리가 전압원에는 전압이 걸리고 전류원이라는 거는 그 브랜치에 똑같은 전류가 흐른다. 이런 것만 배웠는데 전류원에 걸리는 전압을 구하라니 하니까 갑자기 되게 어렵게 다가오는 학생들이 있을 수 있어요. 근데 이거는 어떤 말이냐면, 어찌 됐건 전압이라는 거는 뭐예요? 이 노드 대비 이 노드가 얼마나 전위가 높으냐라는 건데 이거는 복잡하게 나눠서 생각할 거 없이 그냥 하나의 어떤 회로예요. 에너지 공급을 받고, 각 노드들은 그거에 따라서 어떤 전위로 결정이 나겠죠. 그래서 회로를 다 풀고 나니까 이 전위가 이 전위보다 이만큼 높더라라고 생각을 해야지, 직접적으로 전류원이 전압을 만들어? 이런 식으로 생각하면 바로 미궁 속으로 빠지는 겁니다. 그러면 이거를 우리가 미지수 개수 파악해서 어떤 분석 기법이 적합한지 먼저 확인해보도록 하겠습니다. 맨 처음에 우리가 노드 분석법을 통해서 전위 미지수 개수를 먼저 파악을 해볼게요. 그러면 전위 미지수 개수 파악 어떻게 하죠. 지금 전체 노드 개수 먼저 파악합니다. 전체 노드 개수, 하나, 둘, 셋, 넷, 4개죠. 그럼 수퍼 노드 개수 빼고 그라운드 개수 빼야되는데 수퍼 노드가 몇 개 있을까요? 제가 앞 강의에서는 독립전압원만을 수퍼노드라고 해서 그 강의를 진행을 했는데 종속 전압원 역시 수퍼노드가 될 수 있습니다. 왜냐하면 이 양단의 전위차를 전압원의 관계를 통해서 하나의 식으로, 하나의 미지수를 생략할 수 있는 컴포넌트기 때문에 이 양단의 노드도 수퍼노드입니다. 그래서 우리가 결국 미지수 개수는 전체 노드 4개에서 전압원 하나, 하나, 두 개 빼고 그다음에 그라운드까지 빼서 미지수 한 개로 표현할 수 있죠. 그럼 이거를 매쉬로 푼다고 하면, 그러니까 매쉬분석법으로 한다 그러면 미지수 몇 개 나올까요. 매쉬 잡아보겠습니다. Essential 매쉬 몇 개죠? 하나, 둘, 셋, 넷. Essential 매쉬 4개에서 수퍼 매쉬 하나, 그러면 미지수 3개죠. 어떤 방법이 효율이라고 그랬죠? 미지수 적은 방법. 그럼 미지수 적은 방법으로 풀이 바로 들어가도록 하겠습니다. 모든 전위에 우리가 알고 있는 거든지 미지수든지 표시를 해준다. 모든 노드에. 그러면 여기 그라운드 노드부터 표시하는 게 좋죠. 그라운드 노드는 배터리의 마이너스 쪽에 표시하는 게 좋다. 표시하면 바로 얘가 튀어나오기 때문이죠. 50V, 그러면 이 노드 전위 얼마겠어요? 바로 안 나오죠. 미지수 바로 잡습니다. 미지수 Va. 그럼 지금 여기 노드 얼마냐. 여기 노드를 Vx로 잡아서 문제를 미지수 2개로 푸는 방법도 있지만 굳이 그럴 거 없죠. 우리 바로 이거를 Va로 표현할 수 있어요. 어떻게? 여기보다 5iΦ만큼 높은 전위, 그러면 iΦ가 얼마예요. iΦ는 지금 여기서 여기로 흐르는 전류죠. 그러면 바로 나오죠. Va-50 나누기 5하면 이게 iΦ고, 이거에다가 곱하기 5에다가 더하기 Va. 왜냐면 Va에서 이거를 더한 만큼이 여기니까. 그런 식으로 Va라는 미지수 하나로 전체 노드에 대한 전위 표시를 다 마무리 했습니다. 그럼 제가 말씀드린대로 마찬가지로 이 종속전압원 역시 수퍼노드로 봐도 되겠다는 거죠. 그러면 이제 문제 풀이 들어가도록 하겠습니다. 키르히호프 전류 법칙을 적용해서 노드에서 풀어야겠죠. 그럼 어디에서 적용을 해야 된다고 그랬어요? 우리가 브랜치의 전류를 다 식으로 표현할 수 있는 애들로 둘러싸인 노드, 거기서 해야 된다고 그랬죠. 근데 그게 안 되는 놈 아까 뭐였어요. 독립 전압원 근처는 안 되잖아요. 독립 전압원에 흐르는 전류 바로 알 수 없죠. 그러면 이런 노드 탈락됐고, 이런 노드 탈락됐어요. 그러면 남은 노드가 이거, 이거, 이렇게 두 개가 있는데 얘도 우리가 전류 얼마 흐르는지 모르잖아. 그러면 우리 문제 어떻게 풀어야되지? 라는 궁금증, 의문점, 그런 걱정 때문에 시험 망칠 수 있어요. 근데 키르히호프 법칙의 노드를 수퍼노드 큰 거 하나로 잡고 그 전체에 들어가는 전류와, 거기서 전체에서 나가는 전류 이런 식으로도 식을 세울 수 있습니다. 그래서 수퍼노드, 이 전체를 이렇게 우리가 수퍼노드 하나로 잡고 여기에 들어가는 전류 일단 계산해 보겠습니다. 그럼 들어가는 전류를 어떻게 잡냐. 우리가 여기들을 전위가 얘보다 높다고 Va를 굉장히 높은 거로 보는 게 식 세우기 좋다고 그랬죠. 그러면 전류는 얘 하나 들어가고 다 나가요. 얘도 나가고, 얘도 나갑니다. 그러면 식 세워보겠습니다. 들어오는 전류 얼마예요? 4죠. 이거 따른 거니까 들어오는 전류 4 하나밖에 없고 그럼 나가는 전류, 이거 얼마예요? 2Va-50 나누기 100 그다음에 나가는 전류 하나 더. 플러스 Va/50. 그다음에 하나 더, 나가는 전류 하나 더 있죠. 이거 IΦ, IΦ 아까 구했잖아요. Va-50 나누기 5, 5분의 Va-50. 이런 식으로, 그러면 양변에 100 곱하면 뭔가 나오겠네요. 양변에 100 곱하면 400에, 여기 100이니까 2Va에다가 여기서 100 곱하면 20 여기에다가 2. 그러면 2 플러스 여기에는 100이면은 2Va 플러스, 여기에 100 곱하면 20, 이거 Va에다가 그다음에 이거 100 곱하면 그냥 -50 튀어나오죠. 그다음에 이거는 20 곱하면 얼마예요. 마이너스, 20 곱하면 1000. 그렇죠, 여기다가 20 곱하고 20 곱하면 -1000 이런 식으로 나오죠. 그럼 이거를 이렇게 넘기면 1450이 24Va. 그럼 Va는 1450/24 이런 식으로 나오게 됩니다. 그런데 우리가 문제에서 구하라는 게 뭐예요? 여기서 이거 구했다고 취해서 끝내면 안 되죠. 우린 Vx를 구해야 돼요. 그러면 Va로부터 Vx 어떻게 구할까요. 새로운 식 만들지 말고 써 놓은 식 중에 잘 한번 살펴봅시다. Vx가 뭐예요. 여기 대비 여기 전위차, 얼마나 높으냐죠. 근데, 땡큐, 여기에 대한 전위 우리 이미 구했죠. 근데 이게 우연히도 Va로 표현이 되어 있네요. 그럼 Va, Vx 관계가 바로 나오죠. 어떻게 되냐. 이게 Vx다. 이런 식으로 되면 2Va-50이 Vx. 그러면 Va 이거니까 2Va, 1450/12-50 이게 Vx가 되겠습니다. 이런 식으로 하니까 미지수 한 개만 잡고 문제풀이 빠르게 연립방정식 없이 우리가 구하려는 Vx 구할 수 있겠죠.