1강 Fourier 해석 (Ch 11.1)

안녕하세요 크레이즈 공업수학 Part C Fourier 해석과 편미분방정식 수업을 시작하도록 하겠습니다 오늘은 첫 번째 강의로서 11단원 Fourier 해석 중에서도 11.1단원 수업을 하도록 하겠습니다 이제 11장을 시작하기 전에 전반적으로 Fourier 해석이라는 것이, 11장이라고 하는 것이 어떤 내용을 다루고 있는가에 대해서 간략하게 설명을 드리고 시작하도록 하겠습니다. Fourier 해석은 이제 기본적으로 크게 세 가지로 구성이 되어 있다고 보면 되는데요. 맨 처음에 Fourier 급수, 그 다음에 정규 직교 급수, 그 다음에 Fourier 적분과 변환이라고 하는 크게 세 가지로 나눌 수 있습니다. 그래서 Fourier 급수라고 하는 것은 무엇이냐면 간단하게 설명을 드리면 모든 주기함수는 주기함수라고 하는 것도 중고등학교 때, 고등학교 때 그리고 대학교 1학년 때 많이 들으셨겠지만 다시 한번 정리를 해드릴 텐데 모든 주기함수는 Fourier 급수라고 하는 Fourier 급수는 sine과 cos의 합으로 이루어진 무한 급수인데 이것으로 표현이 가능하다고 하는 엄청나게 강력한 이런 수학적인 정리입니다 그래서 이것을 이제 배울 것이고 그 다음에 정규직교급수 이것은 이제 Fourier 급수를 사인과 코사인의 합으로 이루어진 것을 조금 더 일반화해서 이제 표현을 해 드릴 것이고 근데 이건 사실 조금 Fourier 해석에서 그렇게 막 엄청 중요한 부분은 아니고 두 개를 골라라 하나를 골라라라고 한다면은 이제 아마 이거를 고를 것 같습니다 이거를 고르고 두 개를 골라라고 하면 얘하고 얘를 고를 것이고 세 개를 골라라고 하면 얘를 선택하게 되는 거라서 막 제일 중요한 건 아니지만 어쨌든 이제 이해하는 데 있어서 필요한 것으로써 정규직교급수가 존재를 하고 그리고 이제 마지막으로 제가 방금 가장 중요하다고 생각했다고 말했던 Fourier 적분과 변환이라고 하는 것은 이제 주기함수가 아니라 일반적인 모든 함수도 다 이런 Fourier 급수와 같은 형식으로 표현을 할 수 있는데 약간 변형을 해서 표현이 가능하다라고 하는 것이 있습니다. 그래서 우리가 Fourier 해석이라고 하는 것은 결국 이제 해석인데요. 해석이라고 하는 것은 어떤 물리적 현상을 편미분방정식으로 표현을 했을 때 그것을 풀어나가는 과정에서 Fourier 급수나 Fourier 변환, Fourier 적분 같은 것을 사용해서 우리가 쉽게 문제를 해결할 수 있다라고 하는 하나의 수학적인 툴이라고 생각하시면 될 것 같습니다. 그래서 우리가 Fourier 변환 같은 경우에는 Fourier 변환은 여러 과에서 공대 여러 과에서 많이 사용을 하시게 될 텐데 물리적 의미로는 간단하게 설명을 드리면 어떤 시간축 상의 t축 상에서 주파수 오메가 축으로 옮기는 이러한 역할을 하기도 합니다 그럼 이제 11단원 시작해 보도록 하겠습니다 이제 오늘 11.1단원 내용입니다. 11.1단원은 이제 맨 처음에 시작하는 것은 주기함수란 무엇인가. 주기함수를 먼저 정의를 하고 시작을 합니다. 주기함수는 이제 영어로 Periodic Function인데 뭐 영어는 그렇게 중요하지는 않고요. 그래서 주기함수란 무엇이냐라고 한다면 이제 어떤 함수 f 에 대해서 f 가 f 를 만족을 시키는데 여기에서 x는 모든 실수 x에 대해서 이것을 만족시키고 p는 어떠한 양의 값 을 가질 때 그런 것에 대해서 이것이 만족시키면 주기함수다라고 표현을 합니다. 그래서 가장 기본적으로 우리가 익히 알고 있는 함수로는 sin x, cos x 이런 것들이 있겠죠. 그리고 1도 생각을 해보면 1은 그냥 모든 x에 대해서 1인 거잖아요. 이렇게 쭉. 그렇기 때문에 그냥 임의로 주기를 0부터 p까지 이렇게 딱 잘라버리면 이것이 계속 반복된다라고 이 구간이 계속 반복된다라고 생각을 할 수 있어서 얘는 1도 주기함수로 볼 수 있습니다. 그리고 이제 여기에서 제가 모든 실수 x라고 했는데 사실 더 구체적으로 파고들면은 약간 좀 완전한 정의는 되지 않습니다 왜냐하면 tan x와 같은 것이 있는데요 tan x 같은 경우에는 이제 x는 ±π/2나 ±3π/2 등등등에서는 아예 정의가 되지 않습니다 이제 여러분 다 알고 계시다시피 그래서 모든 실수 x라고 하기보다는 정의가 되지 않는 점들을 제외한 것들에 대해서 가성립을 한다라고 말을 해야 되고 그리고 하지만 그렇더라도 탄젠트 x도 우리는 주기함수라는 것을 알고 있듯이 탄젠트 x와 같이 정의가 되지 않는 점들을 포함하더라도 주기성을 가지면 주기함수다 라고 말할 수 있다는 것입니다. 그래서 주기함수라고 하는 기본적인 개념을 잡고 시작하려면 주기 함수에는 주기라고 하는 게 있겠죠 주기라고 있는데 주기 중에서도 가장 작은 값을 우리는 기본 주기라고 할 겁니다 그래서 sin 같은 경우에는 2π가 주기인데 다들 아시다시피 4π도 주기가 될 수 있고 6π, 8π 뭐 다 이런 2π의 정수배들은 다 주기가 될 수 있습니다 그런데 그 중에서도 가장 작은 2π 2π가 딱 주기가 된다 기본 주기가 된다 라고 하는 것이죠 그래서 기본 주기 제가 아까 말씀드린 것 sinx는 2nπ가 모두 주기가 될 수 있는데 이것을 이제 일반적으로 표현을 하면 어떤 기본 주기 값을 우리가 p라고 했을 때 그것의 자연수배 한 np도 이제 그 함수의 주기가 된다라고 하는 것을 제가 간략하게 표현을 해봤습니다. 만약에 간단한 가장 작은 주기가 p면은 f 는 f랑 같게 됩니다 왜냐하면 p가 주기니까 여기에다가 p를 더한 얘도 똑같이 되겠죠 그래서 그러면 이 과정을 p씩 뺀다고 생각을 하면은 p씩 빼면은 f 는 f랑 같을 것이고 쫙 쓰면은 f(x+p)랑 같고 f(x+p)는 정의에 의해서 f(x)랑 같게 됩니다. 그래서 이제 요것도 요거랑 같아지기 때문에 np도 주기가 될 수 있다라는 것도 알 수 있는 것이죠. 그리고 또 다른 하나의 성질은 어떤 함수 f와 다른 함수 g, f와 g는 다르다고 했을 때 f와 g 모두의 주기가 p라고 한다면 어떤 새로운 함수 h(x)에 대해서 h(x)는 어떻게 정의하냐면 어떤 실수 a 곱하기 f(x) 더하기 b 곱하기 g(x), a, b는 여기 실수입니다. 곱한 이렇게 새로운 정의된 h(x)라고 하는 함수도 주기가 p다라고 하는 것 이것도 그대로 대입을 하면 이것에 의해서 이렇게 나오게 됩니다. 그래서 여기까지 주기함수의 성질이었고요. 그다음에 이제 우리가 주기함수 중에서도 우리가 이번 단원에서 가장 집중적으로 공부할 것은 삼각함수입니다. 삼각함수인데 삼각함수 중에서도 sine과 cosine 오직 sine과 cosine인데 그러한 이러한 sine과 cosine이 이루어진 우리가 하나의 어떤 어... sine과 cosine의 모임 같은 거를 시스템을 우리가 생각을 할 수 있는데 그것은 이제 sine x, cosine x, sine 2x, cosine 2x sine nx들과 cosine nx들의 집합을 우리가 생각을 할 수 있습니다 거기에 이제 1도 포함시켜서 n이 0일 때 cosine nx는 1이 되니까 이제 그렇게 생각을 하면 이러한 모임을 생각을 할 수 있는데 이걸 우리가 삼각함수 시스템이라고 부르게 됩니다 이런 삼각함수 시스템을 우리가 정의한 이유는 이런 시스템에 있는 애들을 사용을 해서 우리가 하나의 급수를 만들 겁니다. 그게 삼각함수 급수입니다. 삼각함수 급수는 아까 삼각함수 시스템에 있는 것들의 계수를 이렇게 a0, a1, b1, a2 등 이런 식으로 계수를 쫙 붙여가지고 어떤 무한급수를 만들어 놓은 애를 삼각함수 급수라고 합니다. 그래서 얘를 이제 sigma 이용해서 표현을 하면 이런 식으로 표현이 되는 것이죠. 그래서 a0 플러스 시그마 n은 1부터 무한대까지 이제 무한급수니까 cos 앞에는 계수를 an을 붙이고 sin 앞에는 계수 bn을 이렇게 붙이게 됩니다. 그래서 이것을 어떤 삼각함수 급수다 라고 우리가 이제 정의를 할 겁니다. 그런데 이제 그러면 얘가 우리가 지금부터 해야 될 거랑 무슨 상관이 있느냐 어떤 함수를 해석하는 것에서 어떤 관련이 있느냐라고 한다면 이제 만약에 무한급수는 수렴을 할 수도 있고 안 할 수도 있는데 이게 어떤 값으로 수렴을 하는데 그 함수가 수렴값이 f(x)라고 하는 어떤 함수로 수렴을 한다고 합시다. 그러면 이 f(x)는 다르게 표현을 하면 f(x)는 어떤 함수는 이런 식으로 sin과 cos의 합으로 다 나타낼 수 있는 것이죠. 그래서 역으로 어떠한 함수 f 가 이런 식으로 sine과 cosine의 합으로 모두 표현이 가능할 때 걔를 이러한 표현을 우리는 Fourier 급수라고 이름을 붙이게 될 것입니다. 그래서 이 Fourier 급수라고 하는 것은 굉장히 굉장히 굉장히 중요합니다. 그리고 같은 경우에는 주기가 제가 2π라고 써놨는데요. 주기가 2π인 이유는 cos x의 가장 작은 주기가 2π이고 sin x도 2π이고 cos 2x도 우리가 알고 싶듯이 얘는 주기가 π인데 그런데 2π도 주기가 되니까 그런데 아까 더한 것들의 주기, 각각의 주기가 2π, 2π, 2π면 상수배 곱한 것들의, 상수배 곱하고 더한 것들의 주기도 똑같이 2π, 2π, 2π가 되기 때문에 전체 다 더한 것도 2π가 된다. 이런 것도 알 수 있는 것이죠. 그러면 여기에서 과정인데 과정상에서 우리가 결국에 중요한 것은 푸리에 급수입니다. 어떤 함수의 푸리에 급수. 그럼 그 함수의 Fourier 급수는 그럼 이렇게 표현이 된다는 것까지는 이제 알았는데 그러면 여기에서 들어가는 이 계수들을 우리가 어떻게 결정을 해줘야 뭐 딱 f(x)는 뭐다라고 표현을 할 수 있는 것이잖아요. 그러면 이 계수를 어떻게 구하는지부터 이제 다시 시작하도록 하겠습니다. 이것도 엄청나게 엄청나게 중요합니다. 엄청 이제 이 단원을 공부하실 때 되게 많이 구하는 어떻게 보면 되게 귀찮은 이런 것이긴 한데 이 단원의 핵심이라고 보면 됩니다. 그래서 이제 맨 처음에 여기 들어가는 a0라고 하는 값은 이런 식으로 구하게 됩니다. 2π 분의 1 곱하기 적분 구간은 마이너스 π 부터 π 이 적분 구간을 이제 마음대로 바꿀 수 있는데 이제 마이너스 π 부터 π라고 지정을 하였습니다. 마이너스 π 부터 π고 f(x)를 그냥 적분을 하면 됩니다. 그리고 an은 π 분의 1에 적분 구간은 똑같이 마이너스 π 부터 π고 f(x)에 이제 an은 cos nx의 계수인데 cos nx의 계수 이기 때문에 앞에 cos nx를 곱한 다음에 곱한 것을 적분한다고 생각을 하시면 됩니다. 그리고 bn도 bn은 아까 sin nx의 계수이기 때문에 f(x)는 f(x)인데 거기에 sin nx를 곱한 것을 적분하면 됩니다. 그리고 여기서 보면 특징적인 것은 어쨌든 적분 구간, 이 세 개 다 적분 구간은 –π부터 π이고 –π부터 π, –π부터 π인데 a0는 이제 뭐 아무것도 없기 때문에 그냥 f(x)를 적분하면 되고 an은 cos nx의 계수이기 때문에 cos nx를 곱한 것을 적분하면 되고 bn은 sin nx의 계수이기 때문에 sin nx를 곱한 것을 적분하면 됩니다. 그런데 이제 거기에 a0만 다른 것도 다 π분의 1, π분의 1인데 얘만 π분의 2라고 하는 것 이거는 이제 물론 이제 그냥 이거 외워라 라고는 안 할 거고 증명도 하긴 할 건데 기본적으로 외우셔야 합니다. 이제 문제를 풀 때 이거를 모르면 이제 시작을 아예 시작을 못하기 때문에 꼭 이거는 외워주도록 하면 좋겠습니다. 자 그러면 이제 앞에서 말씀드린 저것을 이제 증명하기 전에 계수들을 정한 것을 증명하기 전에 이제 그것을 증명하는 것에 있어서 필요한 하나의 한 가지 개념을 설명하려고 합니다. 그것을 직교성이라고 하는 개념입니다. 직교성은 아까 말씀드린 삼각함수 시스템의 직교성에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 직교성은 영어로 Orthogonality가 되고 n과 m을 그냥 임의의 정수라고 하였을 때 cos nx 곱하기 cos mx를 마이너스 π부터 π까지 적분한 얘는 무조건 0이다 라고 하는 것 n과 m이 다를 때 그리고 sin nx 곱하기 sin mx를 마이너스 π부터 π까지 적분한 것은 항상 또 0이다 n과 m이 다를 때 그리고 sin nx 곱하기 cos mx를 곱한 것을 마이너스 π부터 π까지 적분한 것은 또 항상 0이다. 그리고 이것은 n과 m이 같든 다르든 상관없이 항상 0이다. 라고 하는 것이 이제 삼각함수 시스템의 직교성입니다. 직교성이라고 하는 것은 무엇이냐면 어떤 두 함수가 직교한다고 한다는 것은 우리가 선분, 직선끼리 직교한다는 것은 우리가 이제 이런 식으로 90도를 이루는구나 이런 식으로 알 수 있는데 함수가 직교한다고 하는 것은 바로바로 머릿속에 들어오지 않는 개념이죠 그래서 정의를 할 건데 어떻게 정의를 하냐면 주기함수에 대해서 주기함수가 곱한 것을 어떤 특정 주기에 대해서 적분을 했을 때 그 값이 0이 나오면 그 두 함수는 그 주기에서 직교한다 라고 말합니다. 그런데 삼각함수 시스템이 아까 말씀드릴때 1과 sin nx, cos nx들의 구성입니다. 그래서 이제 n은 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 자연수고 m도 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 자연수일 때 그래서 sin nx와 cos nx, 1로 구성된 집합을 이제 우리 삼각함수 시스템이라고 말을 하였는데 그래서 이 안에 들어있는 임의의 두 개를 선택했을 때 서로 다른 임의의 두 개를 선택을 했을 때 걔네들을 마이너스 파이부터 파이까지의 적분을 해서 곱한 것을 마이너스 파이부터 파이까지 적분을 하면은 항상 0이 나온다 라고 하는 것이 삼각함수 시스템의 직교성입니다. 그래서 보면은 cos nx와 cos mx는 여기 이 집합에서 이 집합에서 두 개를 선택하는 건데 두 개를 어떻게 선택하냐면 이것 중에 두 개를 선택을 하는 거죠. cos nx와 cos mx 단 두 개 서로 다른 거기 때문에 n과 m이 다른 거고 그래서 곱해서 적분하면 0이 나온다. 이것도 여기에서 두 개를 선택하는 거죠. 여기에서 두 개를 선택하면 sin nx와 sin mx, n과 m이 다를 때 그래서 두 개를 곱한 거를 적분하면 0이 나온다. 그리고 이거는 여기서 하나, 여기서 하나 선택을 한 거죠. 그렇기 때문에 sin nx와 cos mx는 n이 똑같다고 하더라도 두 개 다른 거기 때문에 그래서 뭘 선택하든 상관없이 곱해서 적분한 것은 0이다. 그리고 1끼리만 골라. 1과 1 이렇게 골라도 되고. 서로 다른 거긴 한데. 그럼 1과 sin nx 혹은 1과 cos nx 이렇게 선택을 한다고 해도 이제 sin nx와 cos nx는 주기가 2π이고 여러분들 다 알다시피 생긴 게 이렇게 생겼기 때문에 주기에 대해서 적분을 하면 항상 0이 나오겠죠. 그래서 이건 굳이 다르지 않는 겁니다. 그래서 1번, 2번, 3번 이렇게 세 가지가 직교성이라는 게 있다고 하는 것 꼭 기억을 해주셨으면 좋겠습니다. 그래서 그럼 이제 이 성질이 왜 성립하냐? 뭐 하나도 안 당연한데 왜 이러냐라고 이제 생각을 하실 수 있는데요. 이걸 이제 증명 간단하게 제가 1번에 대해서만 적어두었습니다. 삼각함수 뭐 덧셈공식, 곱셈공식 뭐 이런 거 있는 이제 고등학교 때 배웠었는데요. 이제 그것들을 사용하면 cos x 곱하기 cos mx는 이런 식으로 표현이 가능합니다. 1분의 2 곱하기 cos n 플러스 mx 더하기 cos n 마이너스 mx 이렇게 표현이 되고 n과 m은 정수이기 때문에 그리고 n과 m이 지금 다르기 때문에 얘와 얘는 minus π부터 π까지 적분을 하면은 항상 0이 나옵니다. 그래서 여기를 minus π부터 π까지 dx 적분을 하면은 얘를 minus π부터 π까지 dx 적분한 것이고 얘가 0, 0 나와서 0이 나오게 되는 것이죠. 그래서 똑같은 원리로 얘도 이제 삼각함수 덧셈공식 곱셈공식 그거 활용해가지고 쫙 이런 식으로 펼쳐주면 0이 나올 것이고 얘도 똑같은 식으로 이제 펼쳐주면 0이 나올 수밖에 없다라고 하는 것을 알 수 있습니다. 그래서 이제 이러한 성질을 활용을 해서 앞에서 말씀드린 계수들을 한번 찾아보도록 하겠습니다. 네 그럼 칠판 지우고 수업 시작하도록 하겠습니다. 여기 제가 방금까지 설명을 드렸던 내용을 다시 한 번 정리를 한 것인데요. 어떤 함수가 Fourier 급수로 표현이 가능하다라고 한다면 이런 식으로 표현이 가능하다라고 하는 것. a0 더하기 σn=1부터 무한대까지 an 곱하기 cos nx 더하기 bn 곱하기 sin nx 형태로 표현이 가능하다라고 하는 것이 어떤 함수의 Fourier 급수로 표현을 한 것입니다. 그때 a0와 an, bn의 계수를 구할 수 있는데 그것을 구하는 방식은 이와 같다. a0 같은 경우는 1/2π 곱하기 fx를 적분하는데 마이너스 파이부터 파이까지 an은 1/π을 곱하는데 적분구간 동일하고 대신 적분을 하는 함수가 fx 곱하기 cos nx다. 그리고 bn은 똑같은데 적분하는 함수가 fx 곱하기 sin nx다라고 하는 이런 계수를 구하는 방법. 에 대해서 설명을 드렸습니다. 그리고 직교성이라고 하는 것은 무엇이냐고 하면은 어떤 이런 삼각함수 시스템에서 두 개 서로 다른 두 개를 선택을 했을 때 걔네를 마이너스 π부터 π까지 적분을 하면은 걔네 곱한 것을 마이너스 π부터 π까지 적분을 하면은 항상 0이다. 이것도 0 이것도 0 이것도 0이다 라고 하는 것에 대해서 배웠습니다. 이것은 이제 제가 왜 그러면 a0를 이렇게 구할 수 있고 an을 왜 이렇게 구할 수 있고 bn을 왜 이렇게 구할 수 있는지에 대해서 이제 옆에서 설명을 해드릴 건데 이제 어떻게 이제 이게 어떻게 이렇게 결과 이런 결과를 나왔는지에 대해서도 알고 있어야 되지만 이러한 사실들 fx를 Fourier 급수로 표현했을 때 이렇게 된다 그리고 계수는 이렇게 구할 수 있다 그리고 직교성이라고 하는 것이 성립을 하는데 직교성이라고 하는 것은 이런 세 가지를 만족하는 것을 의미한다 라고 하는 이 세 개는 무조건 무조건 암기를 하고 계셔야 합니다. 무조건입니다. 그러면 이 계수 증명하는 걸 해보겠습니다. 계수 맨 처음에 a0가 왜 이렇게 나타나냐에 대한 증명인데요. 먼저 이 함수가 Fourier 급수로 표현이 가능하다고 가정을 합시다. 가정을 하면 2π 분의 1 곱하기 적분구간 마이너스 π부터 π까지 fx dx라고 하는 것은 fx는 이런 식으로 풀어 쓸 수 있게 되는 것이죠. 맞죠? 이런 식으로 풀어 쓸 수 있게 되는 것인데 그런데 이거는 플러스로 연결되어 있는 것이고 시그마도 어쨌든 다 덧셈이니까 적분식을 이런 식으로 변형을 할 수 있을 것입니다. 얘만 이렇게 따로 떼서 이렇게 쓴 것이고 그다음에 뒷부분은 시그마를 먼저 앞으로 빼낸 다음에 계산을 이렇게 표현을 한 것입니다. 보면 얘는 a0인 거고 그죠? minus π부터 π까지 a0라고 하는 값에 적분한 거니까 그리고 얘는 보면은 cos와 sin는 마이너스 π부터 π까지 적분을 하면 0이 되는 사실을 이제 다 알고 있겠죠. 그러니까 얘가 0이고 얘가 0이 돼서 이 전체가 0인 거죠. 그러니까 아무리 더해봤자 0을 더하면 0이니까 얘는 다 이 부분이 다 0이 되고 그래서 얘만 남아서 얘가 a0다. 근데 얘 a0라는 값이 어디서 나왔냐면 얘로부터 나온 거죠. 그래서 이제 얘를 계산하면 이렇게 된다라고 하는 것. 어떻게 보면 그냥 당연한 결과인데 근데 이게 a0라는 값을 구할 때 그럼 이걸 어떻게 써먹냐 라고 한다면 우리는 이제 fx라고 하는 맨 처음에 이 함수는 이 함수는 이런 식으로 표현이 가능하다라는 거지 이 함수는 원래 이런 식으로 우리가 표현이 되는 게 아니라 뭐 예를 들어 fx는 뭐 예를 들어 이런 식으로 표현이 되어 있는 거죠. 어떤 함수의 형태인 겁니다. 뭐 다항함수여도 되는 거고 주기함수인데 sin x와 cos x의 합으로 표현되지 않는 어떤 그러한 함수로 주어지는 거죠. 그럼 그러한 함수로 딱 주어졌을 때 이 구간에서 우리가 적분을 하면 이제 a0값을 구할 수 있다라고 하는 것입니다. 두 번째로 an을 구하는 방법을 해보겠습니다. an을 구하는 방법은 an이 왜 이런 식으로 구하는지에 대한 내용은 bn이랑 거의 유사합니다. 이건 직교성을 그대로 사용을 하고 있는 건데요. an을 보여드리고 bn은 그로부터 유추할 수 있기 때문에 생략하였습니다. an 같은 경우는 이 값이 an인데 왜 an이 되냐라고 한다면 똑같이 fx는 Fourier 급수로 표현이 가능하기 때문에 이런 식으로 쫙 풀어 씁니다. 풀어 쓰고 그 안에 cos nx를 곱해 주는 거죠. cos nx를 곱해 주면 여기에 곱해져 있고 여기에도 이렇게 곱해져 있고 여기에도 이렇게 곱해져 있습니다. 똑같은 원리로 다 이제 각각을 분리를 해서 생각을 할 건데 a0 cos 같은 경우에는 적분을 하면 0이 나오죠. 그죠? 마이너스 5부터 8까지 적분을 하니까. 그리고 그다음에 똑같이 시그마를 바깥쪽으로 빼낼 건데 그때 어떻게 빼낼 거냐면 앞에서 직교성을 할 때 얘네만 생각을 하면 얘네를 마이너스 5부터 8까지 적분을 하면 얘네가 0이 되기 위해서는 m과 n이 달라야 합니다. 얘 같은 경우에는 M과 N이 같든 다르든 상관이 없긴 한데요. 그래서 일단 시그마를 바깥쪽에서 적분 바깥으로 빼줄 건데 그 바깥으로 빼주기 전에 M이 N이 되는 경우 N은 여기서 지금 정해진 값이고 우리가 AN이라고 하는 값을 구하고 싶은 거니까 N은 지금 정해져 있는 애고 M은 여기서 1부터 무한대까지라고 하는 어떤 이런 값인 거죠. 그래서 M이 딱 N이 되는 순간 M equal N이 되는 그 순간에만 우리가 이제 따로 떼내서 생각을 하고 나머지는 다 이제 sigma 안에서 넣은 다음에 적분 밖으로 빼낸 겁니다. 그걸 이제 표현을 하면 이렇게 되는 건데요. 그러니까 이제 m equal n인 경우에만 이렇게 빼낸 거죠. 그러면 이렇게 이 파트가 m equal n인 파트인 거고 나머지 부분들은 다 m equal n이 아닌 부분입니다. 그러면 m equal n이 아닌 부분에 대해 생각을 해보면 이렇게 될 텐데 얘 곱한 거를 minus 5부터 8까지 적분하면 직교성에 의해서 0입니다. 얘 곱하기 얘도 minus 5부터 8까지 적분하면 직교성에 의해서 0입니다. 그래서 이거 전체가 0이 되는 거죠. 맞죠? 그러면 이제 이 부분만 남는데 이 부분은 이렇게 곱하고 이렇게 곱할 텐데 얘네는 계산을 생각을 해보면 얘네도 직교성에 의해서 직교성을 할 때 sin nx 곱하기 cos mx에서 n과 m이 똑같든 다르든 상관없기 때문에 얘네도 0입니다. 그래서 남는 것은 오로지 an 곱하기 cos nx의 전체 제곱입니다. 그건 이제 앞에 계수가 있으니까 이런 식으로 표현이 되겠죠. 결국 남는 게 얘네가 남는 거죠. 그럼 cos²nx는 이런 식으로 이제 바꿀 수 있기 때문에 얘네는 이제 적분을 하면은 이 Part는 또 0이 되고 2분의 1만 남으니까 답은 얘가 an이 나온다라고 하는 것을 우리가 계산할 수 있습니다. 그래서 얘가 결국 an이 되는 것이죠. 똑같이 bn도 똑같이 여기 sin nx 대신 곱하는 거잖아요. sin nx를 곱하면 여기에서 이게 cos nx 대신 sin nx가 될 텐데 그럼 얘네가 날아가고 얘만 남게 되는 겁니다. 그럼 sin²nx가 남게 되는 것이고 똑같이 an 대신에 bn이 들어가고 sin²nx가 될 텐데 sin²nx는 2분의 1-cos 2nx가 될 테니까 그럼 또 이 부분이 0이 되고 얘만 남으니까 똑같이 bn이라고 하는 결과가 나오게 될 것입니다. 그래서 이제 어떻게 이 값들을 구하게 되었는가 계수들을 어떻게 구하는가에 대해서 왜 저런 식이 나오는가에 대해서 보았습니다. 어쨌든 어떻게 되는지도 아셔야 되지만 가장 중요한 건 일단 외우셔야 합니다. 저거를 계산을 다 어떻게 하는지 그러면 이제 우리는 여태까지 한 것은 어떤 함수가 Fourier 급수로 표현이 가능하다라는 가정을 통해서 우리가 이제 Fourier 급수로 표현이 가능할 때 이제 각각의 계수를 어떻게 구하냐 이런 것들을 하는데요. 그러면 Fourier 급수로 가능한, 표현 가능한 함수가 따로 있을 거란 말이죠. 그럼 그런 함수가 어떤 것이냐 라고 한 다음에 조건을 먼저 보면 우리는 지금 여태까지 주기가 다 2파이인 것에 대해서만 보았습니다. 그리고 그 영역이 마이너스 파이부터 파이까지인 것에만 보았죠. 물론 주기가 2파이가 아니어도 됩니다. 그건 이제 다음 수업 때 배우게 될 건데 지금은 일단 2파이라고 가정을 합시다. 그리고 여기서 두 가지 가정이 들어갔네. 구분 연속이어야 되고 구분 연속이라고 하는 것은 구분은 이제 영어로 표현하면 좀 더 이해하기 쉬우실 텐데 piecewise 각각에 대해서 일부 파트, 파트별로 다 연속이어야 되고 그리고 좌우 도함수가 존재합니다. 어쨌든 이제 만약에 연속이고 연속이고 도함수가 존재하면 상관이 없는데 이제 구분 연속일 경우에 좌극한 왼쪽에서 오는 방향이랑 불연속점에 대해서 왼쪽에서 오는 방향이랑 오른쪽에서 오는 방향에서 도함수가 존재할 경우 이러면 이제 Fourier 급수로 표현이 가능하다고 합니다. 그리고 일반적으로 조금 더 생각을 해보면 문제를 접근하는 방식을 생각해보면 문제를 낼 때는 어떤 Fourier 급수로 표현이 가능한 함수만 내겠죠. 그래서 그냥 문제를 풀었을 때 이거 굳이 상관 안 하고 그냥 Fourier 급수로 표현이 가능하다라고 생각을 한 다음에 표현을 하시면 됩니다. 책에 보면 이거에 대한 증명도 나와 있으니까 궁금하신 분들 참조하시면 될 것 같습니다. 그러면 이 단원에서 가장 어쨌든 우리가 해야 할 일은 뭐였냐면 어쨌든 수학 강좌고 수학 수업이니까 문제를 풀어야 합니다. 문제를 풀어야 하는데 여기서 우리가 배운 것은 어쨌든 계수를 구하는 방법입니다. 그래서 가장 중요한 것은 우리가 a0, an, bn 이걸 어떻게 구하냐? 인 것이고 우리가 이제 공식을 다 배웠기 때문에 얘네를 실제로 다 접근하는 것을 우리가 엄청나게 많이 연습을 하셔야 됩니다. 그래서 이제 예제 한 문제 풀 거지만 뒤에 연습 문제도 꼭 풀어보셔서 이것들을 구하는데 실수하지 않고 정확하게 구하는 방법을 연습하시길 바랍니다. 그럼 예제 한 문제 풀면서 한번 구해보도록 하겠습니다. 교재에 있는 예제 1번인데요. fx가 이런 식으로 주어졌을 때 그리고 fx는 주기가 2π이다. 이때 fx를 Fourier 급수로 표현해보아라 라고 하는 문제입니다. 그래서 fx를 그림으로 나타내면 이런 식으로 표현이 가능하겠죠. 여기 값을 k라고 하고 여기를 마이너스 k. 저는 k가 양수일 때만 그림을 그린 건데 k가 음수일 때도 똑같이 x축 대칭해서 똑같이 그릴 수 있겠죠. 그러면 일단 fx의 Fourier 급수를 구하라는 문제니까 fx는 Fourier 급수로 이렇게 표현된다라고 이제 가정을 합시다. 그럼 여기서 우리가 이제 해야 될 거는 얘 계수들만 결정을 해주면 되는 거죠. 그럼 계수 결정하는 거 계산은 이제 여기 나와있는데요. a0는 공식에서 이렇게 된다라고 했습니다. 그런데 fx가 지금 이렇게 생겼으니까 마이너스 8부터 8까지 이 영역하고 이 영역 당연히 적분하면 0 나오겠죠. 그래서 얘 0입니다. 그 다음에 An. An은 이제 똑같이 공식에서 이렇게 되는데 그러면 얘를 이제 적분할 때 fx가 구간이 두 개로 나눠져 있으니까 구간을 나눠서 이렇게 씁니다. 이렇게 그렇죠? 그러면 이제 8분의 k로 묶어주면은 요런 식으로 묶일 텐데요. 여기에서 이제 0부터 8까지와 마이너스 8부터 0까지 적분을 해야 합니다. 그런데 우리가 코사인 nx가 우함수라는 사실을 알고 있기 때문에 0부터 8까지 적분한 거나 마이너스 8부터 0까지 적분한 거나 똑같다는 것을 알 수 있습니다. 그래서 똑같은 거에서 똑같은 거 예를 들어 이 결과값이 a라고 하면 이 결과값도 a인 거니까 a-a는 0이 나와야겠죠. 그래서 an은 모든 n에 대해서 0이다 라고 하는 것도 알 수 있습니다. 그러면 이제 bn 마지막 bn이 남네요. 만약에 bn도 0이라면 문제를 내지 않았겠죠. 그리고 bn도 만약에 0이면 그 함수 자체가 0인 거니까 bn은 0이 아닐 텐데 그럼 이걸 구해봅시다. bn도 똑같이 공식상에서 이렇게 주어집니다. 그러면 이것도 똑같이 f가 구간에 의해서 나눠져 있으니까 이런 식으로 표현이 가능할 겁니다. 똑같이 8분의 k로 묶으면. 그런데 sin은 우리는 기함수라는 사실을 알고 있는 거죠. 기함수라는 사실을 알고 있기 때문에 이 결과를 a라고 한다면 이 결과는 마이너스 a가 됩니다. 0부터 8까지 적분한 거랑 마이너스 8부터 0까지 적분한 거랑. 그래서 a-minus a라면 2a가 나오게 되는 것이죠. 그래서 얘의 2배를 계산한 값이 답이 되는 것이고 8분의 2k 곱하기 적분 0부터 8까지 sine nx dx가 됩니다. 그래서 sine nx dx를 계산하면 1-cos nπ가 나오고 그래서 cos nπ이기 때문에 n값에 따라서 이 값이 0이 될 수도 있고 2가 될 수도 있고 1-cos nπ라는 값이 그래서 이런 식으로 나눠서 표기를 합니다. 이런 표기가 좀 처음에는 어색할 수 있는데 이 11장을 문제를 풀다 보면은 다 이런 식으로 표기를 합니다. 이 계수값은 이런 식으로 지금은 2개로 나눠져 있는데 심지어 4개로 나눠져 있는 경우도 있으니까 이런 식의 표기에 익숙해졌으면 좋겠습니다. 그래서 어쨌든 이제 이 값들을 n에 대해서 이제 각각 대입해서 생각을 해보면 이런 식으로 나오게 되는데요. nπ분의 4k. 그래서 이거를 이제 반영을 해서 지금 a0는 0이고 an도 0이니까 bn에 대해서만 이제 서술을 해주면 되는데 그 답이 이렇게 된다. 라고 하는 것입니다. 아까 bn이 nπ분의 4k이고 n이 홀수일 때만 이런 식으로 표기가 가능하기 때문에 σn은 1부터 무한대까지 bn 곱하기 sin을 표현을 한 것이 이렇게 되는 것이죠. 정말 어떻게 보면 신기할 텐데요. 그러니까 이렇게 되어 있는 함수가 이렇게 표현이 가능하다고 하는 것. 정말 신기한 것 같습니다. 그래서 제가 그림을 그려보았는데요. 진짜 이것들의 합이 얘가 될까? 라는 생각 때문에 한번 그려보았습니다. 그래서 여기서 보시면 이렇게 하얀색을 두 개 써서 좀 헷갈릴 수 있는데 이렇게 되어 있는 것, 이렇게 되어 있는 것, 이렇게 되어 있는 것은 원래 함수입니다. 원래 함수이고 하얀색부터 시작해서 이렇게 가는 것은 제가 이렇게 하얀색으로 친 이 부분, 4K/π·sin을 그린 것입니다. 좀 사뭇 다르죠, 이거는. 그런데 파란색으로 여기서부터 4K/π·sin을 그린 것은 개략적으로 그린 것이 이 파란색입니다. 이렇게. 그리고 빨간색으로 제가 그린 것 8분의 4K에서 sin x 3분의 1 sin 3x 5분의 1 sin 5x를 그린 것이 이 빨간색입니다. 점점 이 그림과 비슷해져 간다는 것을 어느 정도 캐치할 수 있겠죠. 이 구간 이 구간 계속 똑같이 그려나가면 될 텐데 그래서 이게 여기에서 예를 들어 n은 1일 때, n은 3일 때, n은 5일 때니까 n이 점점 커지게 되면 이게 계속 진동하는 진폭이 좁아지면서 결국은 1이라고 하는 값으로 수렴을 하게 될 것이다. 저는 k는 1일 때에 대해서 그린 건데요. 이걸 굳이 바꾸면 k라고도 그릴 수 있겠죠. 그래서 점점 진동을 하다가 진폭이 작아지면서 결국은 n이 무한대로 가면 이렇게 딱 될 것이다 라고 하는 것을 이제 짐작할 수 있습니다. 그래서 되게 어쨌든 신기한데요. 근데 아까 제가 설명을 드릴 때 불연속일 때는 사실 fx라고 하는 함수가 여기 파이라고 하는 점에서 불연속입니다. 파이라고 하는 점에서 이제 파이보다 살짝 작을 때는 k라고 하는 값을 갖다가 파이보다 살짝 커지면 마이너스 k라고 하는 값을 가지면서 이 x equal 파이라는 점에서 정의가 되지 않습니다. 그럴 때는 이제 우리가 푸리에 급수로 표현을 했을 때 파이에서는 어쨌든 푸리에 급수는 연속함수니까 연속함수의 합이니까 연속함수여야 돼서 파이에서도 어떤 값을 가지게 될 텐데 그 값이 무엇이냐면 원래 함수에서의 좌극한과 우극한의 합으로 그 합을 2로 나누는 것 그 평균값으로 표현이 됩니다. 그걸 확인을 해보면 푸리에 급수 같은 경우에 지금 f0에서는 원래 함수에서는 아무런 값도 정의가 되지 않았습니다. 왜냐하면 fx가 k, -k x가 0보다 클 때 x가 0보다 작을 때 이렇게 되어 있으니까요. 이렇게 되어 있으니까 x는 0에서 정의가 안 되어 있는 것이죠. 그런데 그러면 이걸 생각을 해보면 그러면 이렇게 limit x가 0보다 큰 쪽에서 0으로 다가갈 때는 얘는 k가 되는 것이고 limit x가 0보다 작은 쪽에서 0으로 다가가는 것은 minus k가 돼서 두 개를 더한 값 0에 2분의 1도 곱해줘야 되긴 하는데 곱한 값이 우리가 f0으로 나와야 된다는 것을 알 수 있고 실제로 여기에 x에 0을 대입을 해보면 sine 0, sine 0, sine 0 다 해가지고 0이 나온다는 것도 확인할 수 있습니다. 그리고 한 가지 더 신기한 사실은 여기다 x에 2분의 pi를 대입해보시면 sin 2분의 pi, sin 2분의 3pi, sin 2분의 5pi 이런 식으로 되어가지고 뒤에 급수가 이런 식으로 분모가 홀수인 것들의 홀수 분의 1의 형태들의 합인데 그 합이 플러스 마이너스가 반복되는 이런 식으로 급수가 나타나게 됩니다. 그 값이 우리가 fx가 x는 2분의 pi 대입 k이기 때문에 k라는 값을 가지고 그 급수가 이렇게 표현이 되는데 그래서 이 급수의 합을 k 지운 다음에 4분의 pi 이렇게 넘겨주면 급수의 합이 4분의 pi라고 하는 것도 발견할 수 있습니다. 그래서 사실 이 급수의 합이라고 하는 것은 굉장히 찾기 어려운데 이런 Fourier 급수를 우리가 사용을 해서 4분의 pi라고 하는 것도 쉽게 찾을 수 있다는 것이죠. 네, 그래서 여기까지 11.1단원 수업을 하였습니다. 여기에서는 이제 계수들을 각각 구하는 것을 꼭 많이 연습을 하셔서 이제 굉장히 저걸 하는데 실수를 많이 하는데 실수하지 않고 정확하게 계산할 수 있도록 많이 연습을 하셨으면 좋겠습니다. 네, 그러면 다음 단원 11.2단원은 다음 수업 때 하도록 하겠습니다. 감사합니다.