CA-01-2

강의 대본

안녕하세요 여러분 자 오늘부터 우리가 복소 해석에 대한 부분을 들어가도록 하겠습니다 복소수나 복소함수에 대한 형태로 접근해야 되는 부분이 굉장히 많습니다 실제로 뭐 단순하게 단순한 복소수에 대한 어떤 그 경우만 보고도 우리가 풀 수 있는 문제들도 있지만 더 나아가서는 굉장히 고급적인 내용들도 많이 포함되는 경우가 많습니다 자 그런데요 자 이러한 것들 전부 다 알기 위해서는 복소함수론에 대한 부분을 조금은 알 필요가 있습니다 자 오늘부터 그 내용을 하나씩 하나씩 살펴보도록 할게요 자 그렇게 되려면 복소수라고 하는 녀석의 정의에 대한 부분을 한번 보아야 되겠죠. 너무나도 어이없이 그러한 단위들이 발생하게 되었는데요. 복소함수를 들어가 복소수에 대한 기본적인 내용들을 보면서 우리가 여러 가지 중요한 용어들을 한번 정리해 볼까 합니다. 이제 복소수에 대한 걸 먼저 한번 가지고 시작해 보도록 할게요. 이제 우리는 복소수란 개념을 한번 접근을 해 보겠는데요. 복소수라고 하는 녀석 자체는 말이죠. 복소수라는 말이 영어로 뭡니까? 이게 complex 넘버예요. 여러분 우리 풀이의 앞에 시간에서 우리가 편미방도 마찬가지지만 우리가 풀이 해석할 때 복소에서 많은 내용들이 나왔어요. 근데 복소수라고 하는 녀석 자체가 굉장히 복잡합니다. 그래서 이름 자체가 컴플렉스야. 이름 자체가 컴플렉스이기 때문에 사실상 그렇게 많이 나오진 않습니다. 그러나 우리가 학교 중간고사나 기말고사 칠 때는 복소수 빼놓고는 거의 안 나올 정도로 굉장히 중요한 부분을 차지하고 교수들도 이 파트를 굉장히 자신의 지식적인 부분에 대해서 자랑거리로 삼을 때 많이 쓰긴 합니다. 그렇다고 다 아는 것도 아니고요. 굉장히 어려운 내용입니다. 공학에서 따지는 복소수 같은 그렇게 여러분 힘들어할 필요는 없습니다. 복소함수에 대한 기본적인 내용과 어느 정도의 고급적인 부분을 다 다룰 수는 있겠지만 그러나 수학에서 다루는 복소 해석학 전체를 다룰 필요는 없습니다. 우리는 이제 공학 수학이니까 얼마만큼 우리가 문제 푸는 데 가장 적용되어진 해석학을 배우느냐에 달려있기 때문에 우리가 특별히 해석학이라기보다는 그냥 복소함수에 대한 부분과 어떤 적분에 대한 부분을 포커스를 맞추도록 하겠습니다. 복소수라고 하는 complex number예요. 사실상 이거는 어떻게 해서 발생했느냐에 너무나도 어이없는 부분이죠. 방정식을 풀다보니까 x² equal 마이너스 1이라고 하는 것을 풀어야 될 경우가 나오더라. 근데 우리가 알다시피 제곱이 마이너스 1 되는 경우는 없다 이거죠 실수범위에서는 없어요 실제는 실제 범위에서 없다 실수범위에서 없다는 뜻인거죠 그래서 그러다보니까 우리가 뭡니까 이런 것에 대한 정의를 해서 뭔가를 해석해야 될 필요를 느꼈다 이 말이죠 그것을 우리가 해석하자고 만든 사람이 너무나도 어이없게 그냥 단순하게 얘기한 거예요. 뭐 저 가짜 수니까 가짜 수라고 한번 써보지라고 해서 만들어진 거예요. 그래서 이걸 만들어낸 사람은 카르다노라고 하는 수학자이죠. 사기꾼도 되고 부동산 중개업자도 되고 철학자 되고 그림도 그리고 하여튼 별 5만 직업이 다 가지고 있습니다. 이 카르다노에 의해서 우리가 여기에 대한 정의를 하게 되는데 정의입니다. 정의. 정의는 우리가 증명하는 거 아니에요. 그냥 믿고 따라가는 거예요. 뭐냐면 이거는 이러한 숫자는 없을 테니까 x² equal 우리가 이렇게 되는 것이 없다 해서 우리는 뭐라고 합니까? 여기다 루트에다가 마이너스 1을 적으라고 실제는 존재하는 수가 아니다 해서 imaginary number라고 쓰죠. 그냥 한글로 쓰겠습니다. 영어로 쓰지 않고 그래서 뭐? 가상의 수라는 뜻에서 허수라고 쓴다 이 말이야. 허수라고 썼기 때문에 허수에 대한 게 가짜 수예요. 가짜 수. 가짜 수이기 때문에 이걸 우리는 다른 말로 imaginary number에 앞에 있는 문자 i를 따서 우리 이제부터 i라고 결정을 하게 됩니다 이게 가짜 수야 가짜 수 허수이기 때문에 뭐가 없다라는 거죠 대소관계 그러니까 누가 크고 누가 작다라는 대소관계라고 하는 것도 만들어낼 수가 없겠고 그 다음에 이 숫자의 부호도 사실은 결정하면 안됩니다 부호도 없죠 숫자가 아닌데 무슨 부호가 있어 그래서 플러스 마이너스의 값도 없다라는 것입니다 자 그래서 우리는 복소수에 대한 어떤 단위 자체 형태를 봤는데 자 이걸 우리는 이제부터 우리가 어떻게 쓰냐면 예를 들어서 복소수 z라고 씁니다 보통 z라고 쓰고 X, Y라고 일단 먼저 써보도록 할게요. 실제 이게 원래 이렇게 나오는 것은 우리가 복소평면이라고 하는 녀석에서 우리가 접근을 좀 해줘야 되는데 이 복소평면이라고 하는 녀석 자체는 우리가 다른 말로 뭐냐면 아르강 평면이라는 다이어그램이라는 말을 쓰기도 해요. 아르강 선도라는 말을 쓰기도 합니다. 이거를 주창은 아르강에 대한 어떤 이름을 따서 우리 아르강 선도라는 말을 쓰는데요. 복소평면이라고 하는 것은 지금까지 나온 이 숫자라고 하는 녀석이 지금 현재 허수라고 하는 숫자가 아니니까 우리가 했던 해석을 할 수가 없어요 근데 우리가 지금 하려고 하는 건 다 뭡니까 해석학이죠 이 해석학이라고 하는 것은 analysis는 어디서 주로 나오냐면 해석학은 주로 데카르트에 의해서 많은 발전과 움직임이 발생을 합니다 데카르트의 해석학은 뭐냐면 좌표를 도입하는 거예요 이 해석학의 정체는 좌표 좌표를 도입하는 겁니다 그 좌표를 도입해서 하다보니까 좌표를 가지고 만들어야 되는데 허수는 지금 숫자가 아니니까 좌표에다 대입을 할 수 없죠 그래서 우리는 이 좌표 평면이라고 하는 녀석 자체에다가 우리는 뭐 한다라는 거죠 이 좌표 평면에다 우리는 뭐? 바로 이 복소수라고 하는 개념을 쓴 녀석 다시 말해서 허수 개념을 가지고 있는 녀석을 우리가 대응을 시켜야 된단 말이죠 대응을 시킬 거다라는 거예요 자 이걸 대응시키기 위해서 만들어놓은 녀석이 대응하자라는 뜻에서 만든게 복소평면이다 이거예요 그니까 복소평면은 결론적으로 어떻게 돼? 좌표평면 특히 직각좌표계라고 주어져 있는 직각좌표계 이 직각좌표계에 나와있는 이 평면에다 그대로 적용하는 거라고 생각해 주면 되겠다 그래서 우리가 x,y라고 적혀있죠 이 녀석은 결국에는 x 플러스 iy라는 형태로 표현을 하는데 자 그러면 우리가 여기 복소평면을 한번 그려보도록 하겠습니다 자 여기서 자 그러면 여기가 지금 x하고 y라고 적혀있던 녀석이 우리가 일반적으로 아는 좌표평면이에요 xy평면 직각좌표계라고 하죠 그래서 카르테시안 그죠 데카르트란 말이잖아요 카르테시안이 이 카르테시안이라고 하는 녀석이 뭡니까 데카르트의 이런 뜻이죠 그죠 카르테시안 코어디네이트 데카르트 좌표계 직각좌표계입니다 자 그런데 직각 좌표에 한 점을 딱 찍어놓고 여기서 얼마입니까? x, y라고 우리는 적어주더라. 여기다 놓다 보니까 허수에 대한 개념을 접근하기 위해서 우리는 이쪽을 뭐라고 한다? 허수축이라는 말을 쓰고 허수축이란 말을 쓰고 여기를 뭐라고 합니까 실수축이다라는 말을 쓰지 자 이렇게 해서 두 개를 써 놓고요 여기 있는 단위 자체를 우리는 어떻게 이제 대응을 시킨다 라는 거죠 x 플러스 iy 라고 씁니다 허수이기 때문에 위치라는 게 존재하지 않아요 부호가 존재하지 않습니다 그래서 이것을 우리가 여기다 대응시키려니까 양의 범위에 있고 y에 대한 부분을 양의 범위로 해서 음의 범위를 잡으려니까 여기다 더하기 빼기를 붙여놓은 거예요. 두 개를 합한 건 아니죠. 이렇게 해서 x 플러스 iy라고 써놓은 상태에서 여기를 우리는 뭐라고 합니까? 실수부분이라는 말을 쓰고 이렇게 된 걸 다 Z라고 앞으로 씁니다. 그래서 이미의 Z라는 말이죠. 계속 다 X 플러스 IY로 쓰면 돼요. 실수부분이라고 쓰고 뭐야? Real number, 그쵸. Real 부분이죠. Z라고 우리는 씁니다. 자, 그 다음 여기 있는 녀석은 I가 붙어있죠. 여기 있는 우리는 뭐라고 합니까? 허수부분이라는 말을 쓴단 말이지. 허수부분이라는 말을 쓰고 뭐? Imaginary number Im 쓰고 Z라고 쓰자는 자, 이렇게 해서 두 가지를 써서 우리 실수부분, 허수부분이라는 말을 쓰게 됩니다. 그렇다면 만약에 if 우리가 뭡니까? if 만약에 y가 0이 될 때를 우리는 뭐라고 하죠? 이걸 뭐죠? 실수라고 쓰면 되겠죠. y가 0이면 실수예요. 만약에 x가 0인 상태가 됐을 때 여기 y는 0이 아닌 상태를 얘기합니다. 여기는 y가 0이 아닌 상태를 얘기하고요. 허수 부분이 존재하죠. 이런 걸 우리는 뭐라고 한다? 순허수다라는 말을 쓴다라는 것이 이렇게 해서 두 개로 표현합니다. 그렇다면 여기다 찍어놓고 보면 이게 두 점짜리 잖아 그럼 보세요 z라고 우리가 하나로 표현해서 복소수라는 말을 쓰고 허수와 실수 부분이 합쳐진 걸 우리 뭐라고 한다고 복소수라고 한단 말이야 실수 부분도 어려운데 허수까지 합쳐는 걸 복소수라고 하는데 그러다 보니까 자세히 보니까 xy로 쓸 수 있죠 여러분 이건 뭡니까 바로 이변수로 해석하면 되는 거예요 그래서 실제 우리가 z라는 복소수를 하나로 잡아놨지만 점을 찍었기 때문에 벡터라고 생각하면 됩니다. 벡터에 대한 개념으로 접근할 수 있는 겁니다. 실제 x,y가 일변수처럼 만들어져 있지만 x,y는 점으로 찍을 수 있기 때문에 벡터로 해석하겠다는 거예요. 여기서 나오는 모든 내용은 뭐하고 똑같다는 얘기야? 벡터 해석학하고 똑같은 거예요. 그린 정리 다 기억나죠? 거기랑 같은 겁니다. 고민할 필요 전혀 없어요. 벡터 미적분학 알죠? 여러분 알고 있어야 됩니다. 선생님이 다변수 미적분학에 다 넣어놓은 상태예요. 벡터 미적분학을 여러분들이 잘 알고 있어야 되는 부분이에요. 거기서 나오는 내용이랑 똑같은 내용이 되겠습니다. 그러면 여기에 x,y라고 해서 x 플러스 iy라고 적혀있는 녀석을 가만히 들여다본다면 여기서 이런 식으로 해서 뭘 만들다? 접근할 수가 있겠죠. 그러면 여기를 이렇게 갔을 때 우린 뭘 쓸 수 있다? 이렇게 해서 가서요. 쭉 가서 붙어주겠죠. 그래서 벡터로 해석하면 됩니다. 이 z라고 놓고요. 이 녀석의 z의 크기라고 하는 걸 이제 잡을 수 있겠죠. z의 크기는 뭐가 됩니까? 바로 두 점 사이에 그래. 루트 x제곱 더하기 y제곱이다라는 식으로 표현할 수 있겠네요. 자 요건 머릿속으로 잘 기억해 주면 되겠습니다 자 여기다 보면 우리가 이런 내용들을 표현할 수 있겠고요 그러면 이 i라고 하는 녀석 자체를 이제부터 우리 뭐라고 한다고 허수단위라는 말을 쓴다 이 말이죠 허수단위 자, 허수 단위라고 쓰고 이제부터 i에 대한 계산을 다 해낼 수 있겠죠. 그래서 우리가 i 제곱이라고 하면 마이너스 1 될 것이고요. i 3승은 어떻게 됩니까? 왜 i 제곱이 마이너스 1 되는 거니까 i 3승은 뭐가 돼? 마이너스 i가 될 거고 i의 4승은 얼마 됩니까? 1이 되겠죠. 자 그래서 i라고 하는 녀석은 요렇게 만들어졌어요 그러면 i부터 시작해 쭉 보면 얘네들을 다 더하면 합은 어떻게 된다? i와 -i 죽고 그 다음에 이거와 이거 같이 죽게 되겠죠 자 이렇게 해서 모든 합은 0이에요 그러면 i의 3승에다가 i의 4승, i의 5승, i의 6승은 얼마냐 이것도 0이죠 그렇죠 왜냐하면 이것도 i의 얼마입니까? 제곱을 묶어주면 i 더하기 i 3승 더하기 i 얼마 됩니까? 제곱이 i 얼마? 제곱에다가 여기 i 3승에다가 i 4승 이렇게 되니까 여기가 0이에요. 여기서 여기까지 몇 개? 하나, 둘, 셋, 네 개입니다. 허수 단위는요. 네 개를 일단 뭐합니까? 기준에서 이걸 묶어 가서 전부 다 얼마 돼? 합은? 0이 된다라는 사실을 기억해 줘야 되겠습니다. 머릿속으로 반드시 기억해 줘야 돼요. 그러면 이제 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈에 대한 셈을 할 수 있게 연산을 한번 해볼 수 있겠습니다. 그러면 이제 z1이라고 하는 녀석을 내가 x1 더하기 iy1이라고 할게요. 자 X1 더하기 IY1이라고 쓰고요 Z2라고 하는 녀석을 X2 더하기 IY2라고 봅시다 자 이 두 가지가 만들어졌는데 합을 한번 해볼까요 그럼 Z1 더하기 Z2는 자 계산을 할 때 정의를 보세요 이 둘을 우리는 뭐라고 쓸 수 있다라는 거죠? 말 맞다나 뭐 x1, y1이라고 하는 놈과 여기가 뭐 x2, y2라는 놈으로 보니까 이거 벡터잖아 벡터의 합은 각자 더해주면 되는 거죠 그래서 x1 더하기 x2에다가 더하기 i에 뭐 y1 더하기 y2가 되겠죠 자 이런식으로 나와서 우리 그냥 이거 두개 더 해주면 되겠다는 사실을 알았구요 빼기도 마찬가지입니다 빼기도 우리가 바로 x1 빼기 x2에다가 플러스 i에다 y1 빼기 y2가 되겠죠 자 이렇게 되고 이제 곱셈만 좀 주의합시다 곱셈은 z1 곱하기 z2 라고 하는 녀석 자체를 우리 한번 해석해 본단 말이죠 자 x1 플러스 iy1 이라고 하는 놈과 그 다음에 x2 플러스 iy2 라고 하는 놈으로 표현할 수 있는데 자 그 결과를 해보면 x1x2 더하기 i에 x1y2 가 되구요 더하기 x1x2 빼기 y1y2에다가 더하기 i에 x1y2 더하기 y1x2다라고 하는 걸로 표현할 수 있겠죠. 여러분 이 모양 자체를 잘 기억해놓고 만약에 이걸 좌표계로 써서 x1, x2에다가 곱하기 x1에다가 이렇게 쓰네 그러면 X1에다가 Y1에다가 곱하기 X2에다가 Y2를 이렇게 곱해놓고 나면 이걸 우리가 생각할 때 뭐 한다고요? 이렇게 곱이 되는 걸 복소수에 대한 우리가 곱으로 좌표계를 표현한다면 바로 이와 같은 형태가 된다 X1X2에다가 뭐가 돼요? Y1Y2를 곱해서 빼는 것이고 i배 얼마든지 반대쪽이죠 그래서 이런 식으로 쓴다면 예를 들어서 우리가 그렇다면 한번 써볼까요? i 제곱은 마이너스 1이라는 뜻인데 i 제곱이라고 쓰면 어떻게 됩니까? i 제곱은 i를 두 번 곱한 거잖아 그러면 i가 우리가 좌표계로 쓰면 얼마야? 0,1이죠 1i니까 1에다가 곱하기 0,1 맞아요? 자 요렇게 쓸 수 있다 이 말이 지금 요렇게 써버리면 0,1,0,1은 요렇게 이렇게 곱하면 얼마야? 0이죠 빼기 요렇게 해도 0이에요 이제 보세요 0 곱하기 1 빼기에다 얼마? 자 얼마? 1 곱하기 0이 되죠. 자 여기다가 얼마? i라고 써주고요. 더하기. 어떻게 쓰나요? 이번에는 이렇게 되지요. 양쪽 끝에 대한 부분 있죠? x1, y2예요. 그러니까 여기 이렇게 가는 거면 0 곱하기 1이 되겠고요. 마이너스에다 이렇게 되면 얼마입니까? 1 곱하기 0인가요? y1에다가 x2를 곱하는 거예요. 그러니까 여기다가 이걸 곱하는 거죠. 그리고 여기다 적힌 건 x1에다 x2를 곱하는 거죠. 그럼 이렇게 두 개 곱해요. 그 다음 y1에다가 y2를 곱하는 겁니다. Y1, Y2, Y1, Y2, Y1, Y2 자, 여기는 지금 현재 얼마? x1, x2예요. x1, x2라고 하는 것은 이렇게 곱하는 거죠. 이렇게 곱하면 얼마? 0 곱하기 0이죠. 자, 1 곱하기 1이 되는 거예요. 그러니까 두 개의 이건 0이니까. 결론 남는 건 얼마 돼? 이 녀석이 어떻게 돼? 이건 죽어버리고 얼마죠? 마이너스 1이다. 이렇게 된다는 거죠. 자, 곱셈에 대한 식은 이렇게 판단할 수 있다는 것만 기억해 주고 자, 나눗셈은 여러분 z1 나누기 z2는 아무래도 분모가 제로가 되어선 안 된다는 조건만 가지고 있으면 되겠죠 그래서요 밑에는 얼마 됩니까? x2에다가 더하기 i y2가 되겠고 위에는 x1 플러스 i y1이 되겠죠 자 equal 계산한다고 친다면 자 어떻게 된다? 밑에 쪽은 얼마? 이렇게 되는 걸 분모 실수화를 해야 되겠죠. 그래서 밑에다가 x2 플러스 iy2에다가 괄호 열고 x2 마이너스 iy2 분에 x1 더하기 iy1에다가 x2 마이너스 iy2라고 해주면 되겠죠. 그러면 결과론적으로 이 식은 어떻게 된다? 자 밑에는 밑에를 가만히 들여다보면 x2에다 이렇게 합니까? x2의 제곱에다가 마이너스 ix2y2 플러스 ix2y2 죽어버리고 마이너스 얼마? i제곱의 y2의 제곱 x1, x2에다가 그 다음 얼마 되죠? 이쪽으로 하면 마이너스인데 플러스 얼마 됩니까? y1, y2 되고요. 그 다음에 플러스에서 마이너스 i 이거 붙고 그 다음에 얼마 플러스 붙으니까 플러스에다 얼마 i 써버리면 x2, y1에다가 마이너스 얼마? x1, y2 이렇게 쓸 수 있겠죠. x1, y2에 마이너스 붙고 i에다 x2, y1이 되니까 이렇게 만들어질 거예요. 이거는 여러분 알다시피 마이너스 1이니까요. 그래서 지금 제일 먼저 얼마? x제곱 더하기 y제곱이라고 하는 녀석에 여기 나오는 녀석 x2의 제곱 y2의 제곱이죠? 그리고 분자에 나와 있는 녀석은 얼마? x1 x2 플러스 y1 y2에다가 플러스에다가 i 묶어주고 x2의 제곱 더하기 y2의 제곱에 x2 y1에다가 얼마 됩니까? 마이너스 x1 y2에요. 이렇게 해서 우리는 하나 만들어낼 수 있겠죠. 그러면 여기 밑에 나오는 녀석 자세히 들여다보면 뭐 하나 알 수 있죠. 만약에 우리가 Z라고 하는 녀석 자체를 보면 어떻게 쓴다고? 이 녀석의 크기가 얼마였어요? X제곱 더하기 Y제곱이었죠. 알아둬야 되죠? 그러면 결론은 Z의 제곱이 이렇게 된단 말이야 그러면 여기 자세히 보세요 여기서 이렇게 만들어진 것은 우리가 X 플러스 IY라고 하는 녀석에다가 얼마? X 마이너스 IY를 곱하면 똑같은 얘기죠 자 요거에 대한 얘기도 하겠지만 실제 요렇게 된 것을 곱하는 형태를 나타내는 건 뭐랑 같다라는 겁니까? 추후에 보겠지만 Z에다 뭐? Z바를 곱한 거랑 같죠? 근데 이게 벡터라 그랬잖아. 벡터니까 얼마? Z도트, Z바랑 같죠? 선형대수에서 선생님이 얘기했던 복소수끼리 만들어진 성분을 가진 벡터에 대한 내적은 뒤쪽은 반드시 거기에 대한 켤레를 곱해준다. 뭐 뒤쪽에 켤레 얘기를 잠시 하겠지만 충분히 여러분 이해할 수 있는 내용이 되겠죠? 뭐 어려운 얘기는 전혀 아닙니다. 우리가 뭐 예를 들어서 문제를 한 번 본다고 치면 예를 들어 z1이라고 하는 녀석 자체를요 8-3i 그 다음에 여러분들이 한 번 해보세요 z2라고 하는 녀석은 만약에 9-2i 뭐 이런 식으로 해서 이 녀석을 다 곱하고 더하고 빼기를 한 번 해보세요 그러면 우리가 z1이라고 하는 걸 어떻게 잡고? 8,3이라고 잡고 z2라고 하는 것은 9,-2로 잡은 채 지금까지 배웠던 내용을 그대로 이용해주면 되겠죠 그렇죠 그래서 여기서 우리가 이제 어떤 뭐죠 여기가 실수 부분 여기가 무슨 부분? 허수 부분이다라는 얘기를 우리가 알 수 있다라는 거야 자 이제 우리는 Z바라고 하는 게 나왔으니까 Z바에 대한 생각을 좀 해보도록 합시다 저쪽에 가서 한번 해볼게요 아주 쉬운 내용들이지만 중요한 내용들입니다 뒤에 있는 녀석들에게 근간을 이루는 것이기 때문에 반드시 여러분들이 머릿속으로 숙지하고 따라와 줘야 됩니다 Z1이라고 하는 것을 한번 보도록 할게요. Z1 Z2에서 이제 뭐라고 쓴다? Z라고 하는 녀석 자체를 예를 들어서 내가 X 플러스 IY라고 둔다. 이게 기본적인 앞으로 문제 풀 때 Z 뜨면 복소수 뜨면 전부 X 플러스 IY로 놓는 거예요. 그럴 때 여기다가 우리가 Z바에다가 X 마이너스 IY라고 하는 걸 씁니다. 자 x 플러스 i y x 마이너스 i y를 썼을 때 여기를 두 개를 가만히 비교한다면 어느 부분을 허수 부분의 부호에다가 허수 부분에다 뭘 곱한 겁니까? 마이너스 1을 곱한 거죠. 그 허수 부분의 부호를 바꾼 겁니다. 자 만약에 순 허수일 때는 당연히 되지만 이게 만약에 실수로 구성된 거면 여기다 마이너스를 곱해봐야 순 허수에 대한 부분 아니 허수 부분만 마이너스 곱하니까 변화가 없겠죠. 자 이렇게 해서 곱해진 이 녀석을 이제부터 뭐 위에다 이렇게 바를 쓰기로 약속을 합니다 그쵸? 선형대수도 많이 봤고 앞에서도 많이 했어요 우리가 그래서 여기로 이렇게 만드는 녀석을 우리는 뭐라고 한다? 켤레복소수라고 고등학교 때 배웠고 대학에서 뭐? 공액복소수다라는 말을 쓴다라는 거죠 Complex Conjugate 그쵸? 앞부분을 열심히 들었던 학생이면 충분히 따라올 수 있는 내용이 됩니다. 공액복소수라는 말을 써요. 이 두 가지는 반드시 허수 부분에 대한 부분만 마이너스 붙였습니다. 그러면 이게 결론은 이 둘과 Z와 Z바는 만약에 뭐에 따라서 보면 기하적으로 본다면, 기하적으로 그림으로 본다면 뭐에 대한 대칭이죠? 바로 실수축에 대한 대칭이죠. 실수축 대칭입니다. z와 z bar라고 하는 것은 실수축 대칭이에요. 그러면 여기서 여러 가지 성질을 알아보겠는데요. z 곱하기 z bar가 뭐였습니까? 이거 z의 제곱이었죠. 그렇죠? 알겠습니까? z 곱하기 z bar는 z의 뭡니까? 제곱이 되는 겁니다. 두 번째 우리가 이런 식으로 나타나는 것도 있겠지만 우리가 만약에 어떻게 z랑 z bar가 똑같다면 Z랑 Z bar가 똑같다면 당연히 여기서 우리 뭐를 알 수 있다? Z는 뭐가 되죠? 실수가 됩니다. 그렇죠. Z가 실수일 때 이런 결과가 나오는 것이고요. 만약에 우리가 세 번째 Z하고 Z bar라고 하는 녀석을 계산해서 푸는 내용을 이렇게 봤는데 여기다 이렇게 곱하니까 이런 결과가 나오는 거랑 똑같죠. 그래서 Z를 두 개를 뭐 한다? 두 개를 내적처럼 생각해도 됩니다. 그래서 이 두 가지를 일단 우선적으로 좀 알아놓고 보도록 하겠습니다. 이걸 잘 기억하고 허수에 대한 부분을 우리가 알 수 있는 내용들이 되겠습니다. 알았죠? 그렇다면 z 곱하기 z bar가 되는데 저기서 우리가 이제 참고로 어떤 복소수가 하나 있는데요. z를 예를 들어서 내가 1 플러스 i라고 적혀있다라고 찾을 때 이 z에다 선생님이 i를 한번 곱합니다. z에다가 i를 곱하게 되면 어떤 일이 벌어지냐면 1 플러스 i에다가 i를 곱하면요. i 더하기 i 제곱이 됩니다. 그 말은 이게 i에다 얼마 돼요? 마이너스 1이 되는 거죠. i에다 i 마이너스 1이 됐기 때문에 우리가 이게 무슨 뜻인지 그림 한번 그려볼까요? 그림을 그린다면 이렇게 그림을 그린다면 여기가 실수축이고요. 여기가 현재 허수축이 됩니다. 허수축이고 실수축이 되어 있는 상태에서 처음에 1 플러스 i예요. 1 플러스 i라고 하는 건 여기다 1을 찍고요. 여기다 1을 찍습니다. 그러면 이렇게 해서요. 여기다가 점을 하나 찍어서 얼마? 1 플러스 i라고 썼는데 여기다가 이렇게 쓰고 나면 어떤 결과가 나오냐면 보세요. 마이너스 1 플러스 i예요. 그러면 이게 지금 이쪽으로 해서 마이너스 1이 됐다는 말은 여기랑 똑같은 거리만큼 떨어져서 여기가 오죠. 마이너스 1 플러스 i라고 하는 건 뭡니까? 바로 여기 있는 점이에요. 그렇다면 이거 자세히 봅시다. 아주 중요한 얘기를 하려니까. 여기서 이렇게 된 녀석을 벡터처럼 생각했을 때 요런 아이디어가 나온다고 했을 때 우리는 이쪽으로 우리가 뭡니까 이런 식으로 해서 만들어졌죠 자 그러면 이렇게 주어진 상태를 두 개를 본다라고 쳤을 때요 이거는 어떻게 될 것이냐 자 여기서 1 플러스 i다. 마이너스 1 플러스 i라고 만들어진 녀석이 요만큼의 간격을 자세히 보면 하나 곱하니까요. 하나 더 곱해볼까요? 여기다 지금 z에다가 얼마? i를 곱한 녀석에다 다시 i를 곱했어요. 두 번 i를 곱하면 i 제곱 마이너스 1을 곱하는 거죠. 그쵸? 그러면 마이너스 z에요. 마이너스 z바라는 게 무슨 뜻이냐면 마이너스 1, 마이너스 i입니다. 마이너스 1, 마이너스 i는 이렇게 와서 어떻게 됩니까? 이 자리에 오게 되죠. 그러면 이거 한번 볼까요? 두 라인을 가만히 들여다본다고 한다면 이렇게 돼 있어요. 여기는 보세요. 얘가 지금 이렇게 돌아온 게 몇 도야? 180도 돌아온 거죠. 근데 이건 지금 각도가 똑같은 형태에서 이건 당연히 몇 도라고 우리가 볼 수 있다? 여기는 몇 도다? 90도죠 90도 그쵸 그러니까 결론은 우리 뭘 할 수 있어야 재밌는 현상을 알겠네요 바로 뭐죠 우리가 복소수 z에다가 어떤 복소수 z에다 곱하기 뭐 i를 곱하는 순간 이거 곱할 때마다 다 뭐가 된다고 한번 곱할 때마다 어떻게 되니 반시계 방향으로 반시계 방향으로 우리는 뭘 할 수 있다? 90도 뭐가 된다? 회전한다라고 하는 사실을 우리가 알아 놓을 수 있겠죠. 그래서 i를 곱할 때마다 우리는 뭐가 된다고? 반시계 방향으로 기하적으로 뱅글 뱅글 뱅글 돌아간다라는 겁니다. 그래서 4 × 90도 그래서 90도 4번 돌면 자기 자신으로 돌아온다 이런 얘기죠. 1을 곱한 거니까요. 그것도 머릿속으로 우리가 기억해 주길 바라겠습니다. 이렇게 해서 우리는 전체적인 내용을 한번 꼭 보려고 하는데 여기서 우리가 이제 조식을 가지고요. 만약에 Z에다가 Z바를 더한 상태는 어떻게 됩니까? 2X가 되죠. Z에다 Z바를 더하면 2X예요. 그러면 양쪽에다 2를 나누면 우리가 뭐를 알 수 있어요? 아 X라고 하는 녀석은 뭡니까? 2분의 1에 Z 플러스 얼마? Z 바가 되겠죠. 이것이 뭐에 해당합니까? 바로 Z의 실수 부분이 되겠습니다. Z의 실수 부분은 2분의 1이 Z 플러스 Z 바가 되겠고요. 그리고 Y는 어떻게 됩니까? Y는 두 개의 Z에다 Z를 얼마 합니까? 바를 뺍니다. Z에서 Z바를 빼버리고 나면 얼마? 2iY가 생기니까 2로 나누는 것이 아니고 2i로 나눠주면 되겠습니다. 이것도 굉장히 중요해요. 잘 알아둡시다. Imaginary part of Z가 됐죠. 두 개가 뭡니까? 실수 부분은 이렇게 적혀있고 허수 부분은 이렇게 된다. 우리가 계산하면 당연히 다 알겠지만 예를 한번 들어볼까요? 우리가 충분히 이해할 수 있을 것입니다. Z1이라고 하는 녀석은 4 플러스 얼마? 3i. 예를 들어 Z2라고 하는 걸 뭐라고 둘까요? 2 플러스 5i Z1을 이렇게 두고 이렇게 한번 볼게요 Z1을 4 플러스 3i Z2를 2 플러스 5i 라고 놓는다 라고 쳤을 때 우리가 이 내용 자체를 한번 따져 볼까요 일단 여기서 우리가 이게 지금 Re(Z)라고 하는 녀석은 얼마입니까 4죠 Re(Z)가 4가 되는데 이 녀석에서 우리가 뭡니까 Z1 bar 라고 하는 녀석은 4-3i 에요 자 여기는요 어떻게 됩니까? imaginary number 그쵸? 허수 부분은 얼마입니까? 이거는 5다 이 말이지 자 이게 5니까 여기서 Z2의 켤레는 어떻게 됩니까? 2-5i에요 이 두 가지를 자세히 생각한다면 우리가 Re(Z1)이라고 하는 녀석은 어떻게 될 것이냐? 2분의 1이 얼마? Z가 4-3i Z켤레 얼마? 4-3i 역시 이렇게 하면 얼마 2가 된다는 걸 알 수 있겠고요 자 그리고 4입니까? 8이니까 얼마? 4가 되죠. 그리고 imaginary number 그러니까 Z2의 허수 부분은 2i 분의 1에다가 여기는 얼마? 2 플러스 5i에다가 마이너스에다 얼마 돼? 2에다 마이너스 5i가 됐죠. 아니죠. 플러스 2에다 5 마이너스 2 Z2 bar이니까 두 개를 빼주는 겁니다. 얼마? 여기다가 빼버리니까 2 플러스 5i에다가 마이너스 2 더하기 5i죠. 10i니까 얼마 돼? 5가 된다는 사실을 알 수 있습니다. 이렇게 해서 우리가 문제 풀 때 이게 그냥 우리는 허수 부분 실수 부분은 4하고 3이고 그 다음에 2하고 5다라고 하면 되지 뭐하러 이 짓 합니까? 나중에 복소 선적분할 때 굉장히 중요하니까 알아둬야 될 필요가 있습니다. 알겠죠? 머릿속으로 꼭 기억해 놓도록 할게요. 이제 우리 여기 x 플러스 iy라고 적혀있는 녀석 자체를 어디다가 x,y라고 하는 어떤 점에다가 대응을 했잖아요 이 점에다가 대응을 했다라고 하는 건 우리한테 뭐를 설명합니까 대응을 한 상태니까 결론적으로 따지면 이게 점에 대한 좌표의 형태로 표현할 수 있다라는 것이죠 그래서 이런 것들을 가지고 우리는 이제부터 회전에 대한 개념을 갖고 우리는 극좌표계라고 하는 걸로 가봅니다 여러분 다 알죠 극좌표계로 가보도록 합니다 극좌표계로 간다면요 우리가 잘 알고 있는 내용들을 보겠는데 극좌표계로 간다라고 쳤을 때 이런 아이디어를 한번 써볼 수 있겠습니다 x 플러스 iy라고 하는 건 극좌표계로 써본 다음에 우리가 이렇게 쓸 수 있겠죠 허수축 실수축이 됩니다 0은 허수축, 실수축 자 이럴 때 위에 어떠한 점이 하나 있습니다. 그쵸? 여기 있어요. 그러면 얘 복소수도 어차피 벡터처럼 해석할 수 있다라고 했으니까 x 플러스 iy 있죠? 그럼 여기서 이런 식으로 해서 이렇게 해서 가주겠습니다. 그러면 자 여기를 잡았을 때 이 복소수 z의 뭡니까? 크기죠. 이 크기를 우리는 r이라고 쓰도록 하겠습니다. r 크기에요. z에 얼마 됩니까? 크기를 우리는 r이라고 쓴다라는 것이고 당연히 그건 어떻게 됩니까? 원점에서의 거리죠. 그러니까 x 제곱 더하기 y 제곱이다 이 말이지. 자 이 뜻을 우리한테 뭐를 설명하냐면 Z는 X 플러스 IY라고 하는 녀석인데 빼기 원점을 뺀거랑 똑같죠 그러면 요건 뜻이 뭡니까 Z라고 하는 임의의 점에서부터 어디까지 원점 사이의 거리죠 거리 빼서 절댓값 붙인거니까 그래서 이렇게 된다라고 하는 것은 알아둘 필요가 있습니다 그럼 당연히 우리가 응용을 해보면 Z2-Z1 이렇게 써놓으면 이 녀석 어떻게 됩니까 이렇게 쓸 수 있죠 X2 플러스 얼마 이 결과에 따라서 써본다면 얼마? x2-x1이라고 쓰고 더하기 i에다 y2-y1이라고 쓰는 놈의 이거랑 똑같죠. 이 녀석은 결론은 뭘 뜻하는 거다? 하나의 어떤 복소수로 본다면 x2-x1에다가 더하기 y2-y1이라고 써주고 이거에다가 뭐를 써주면 된다? 이렇게 쓰면 되니까 어떤 의미의 Z라고 하는 녀석을 X 플러스 IY가 아니라 얘로 놓고 푸는 거랑 똑같죠. 그래서 원점 사이의 거리에 해당하니까 당연히 뭐가 됩니까? Z2 마이너스 Z1이라는 녀석의 크기는 루트에다가 얼마 됐죠? X2 마이너스 X1의 전체 제곱 더하기 Y2 마이너스 Y1의 전체 제곱이다라고 쓰면 벡터하고 똑같은 내용이 되는 겁니다. 알겠어요? 예를 들어서 예를 들어서 Z에다가 1 플러스 i 이렇게 되면 어떻게 돼요? 뭘까요 이거? 이게 무슨 뜻일까 이거? 쉬운 내용이죠. 뭐예요? Z라는 어떤 임의의 복소수잖아. 임의의 복소수인데 점이라고 생각하고 그 점에서부터 1 플러스 i까지 거리예요. 그러면 이게 뭐야? 1로 일정하단 말이야. 그러면 1 플러스 i는 1 콤마 1이라고 하는 어떤 점이 있을 거 아니야. 그 점으로부터 어떤 Z까지 거리가 1로 일정하니까 뭡니까 이거? 그렇죠? 원입니다. 원 알았어요? 중심은 어디고? 중심은 1 플러스 아이 이해되겠죠? 반지름은 얼마? 1이 되는 겁니다 점이라니까 점 1 플러스 아이 점이야 그 반지름은 얼마 됩니까? 1이죠 할 수 있겠어요? 이 아이디어 그래서 우리가 점사의 거리로 해석하면 되겠고요 이쪽으로 돌아가는 녀석 자체를 가만히 들여다본다면 얘는 이렇게 해서 이 중심 실수축을 중심으로 반시계방향으로 이렇게 돌아가죠 우린 이걸 세타라고 쓰고요 세타라고 쓰고 이걸 우린 뭐라고 하냐면 편각이라는 말을 쓰는데 amplitude, 진폭 말을 쓰기도 하고요 또는 뭐냐면 argument라고 써요 편각 argument라고 쓰고요 앞글자 따서 arg라고 씁니다 근데요 원래 이걸 여러분 이렇게 small arg z라고 써요 자 이유는 뭔지 좀 이따 볼 거예요 arg z라고 하는 건 z의 편각이라는 뜻입니다 이게 세타예요 근데 여러분 잘 알다시피 선생님한테 미적분학 들은 분들은 알겠지만 이 극형식 극좌표계라고 하는 녀석과 극좌표계라고 하는 녀석과 바로 우리가 일반적으로 알고 있는 직각좌표계 자 이 둘은 1대1 대응이 되는가? 아니죠 왜냐면 여기 있는 점은 뱅 돌아와서 세타가 두 바퀴 한 바퀴 돌아도 똑같은 점이 되니까 1대1 대응이 되지 않습니다 그러다보니까 답이 무수히 많아요 세타에도 얼마든지 2k파이만큼 더해도 다 똑같은 값이 되니까 이런 건 어떻게 됩니까 Z가 여러 개가 나온다 해서 이런 건 뭐라고 하냐면 다가함수라고 해요 실제 다가함수는 우리가 함수로 취급하지 않잖아. 단일값으로 해석한다는 말이죠. 어떤 값을 넣건간에 여러 개를 넣을 수 있지만 그래서 이 다가함수가 문제가 발생하기 때문에 우리가 뭐한다? 1 대 1 대응을 시키기 위해서 1 대 1 대응을 시키기 위해서 이제는 우리가 이 각이라고 하는 세타를 어떻게 잡느냐 한번 보세요. 각이라고 하는 것을 여기 축이 하나 있을 때 각이라고 하는 녀석을 그냥 딱 2파이까지만 잡습니다 그런데요 180도가 어떤 각을 잡을 때 어떤 두 직선이 이룬 건 180도 넘어갈 순 없잖아 그래서 180도를 기준으로 잡아서 어떻게 잡냐면 각을 이제부터 여기서 출발해서 이렇게 돌아옵니다 여기는 지금 이제 들어가고요 여기는 들어가지 않도록 이렇게 돌리는 거죠 그럼 우리가 세타라고 하는 녀석은 이렇게 돌아가니까 어떻게 쓸 수 있어요? 세타는 마이너스 파이에서 어디까지? 파이까지 가는데 여기 넣든 여기 넣든 관계없어요 근데 여기도 일단 넣읍시다 이렇게 해서 쓸 수 있겠죠 그러면 마이너스 파이 넣고 파이는 집어넣지 않으면 이 안에서 다 일대일로 되겠죠 자 이렇게 해서 우린 세타를 요렇게 만들어냈구요 이제부터 이걸 뭐? 대문자라고 쓰고 이렇게 씁니다. 달라요. 대문자 ARG Z라고 쓰고요. 이걸 주치 세타라고 쓴다라는 겁니다. 소문자 ARG라고 쓰면 그냥 편각이라는 뜻인데요. 이건 우리가 편각은 편각인데 대문자라고 쓰는 건 뭐냐면 주치라고 합니다. 주치 범위라는 말을 써요. 이 점은 안됩니다. 주값 범위 알았습니까? 주치 범위라고 해서 이런 결과를 갖게 됩니다. 이걸 이제 우린 잘 기억해 줘야 돼. 일대일 대응을 만들기 위해서 이 범위만 우리는 따지게 됩니다. 그리고 대문자라고 써줘요. 대문자라고 쓰지 않으면 여러 개를 다 써줘야 됩니다. 그래서 r이라고 쓰고요. 우리 주축 범위 한 바퀴 도는 걸로 잡도록 합니다. 그래서 여기서 우리가 이제 잘 알고 있는 너무나도 잘 아는 내용을 설명하려고 합니다. 그래서 그러다 보니까 우리는 뭘 쓸 수 있죠? 양쪽으로 뚫렸다 보니까 얼마? r cosθ가 되고요. r 뭐가 됩니까? sinθ라고 표현할 수 있겠죠. 그래서 우리는 이제 뭡니까? x 플러스 iy라고 쓴 것을 r cosθ 플러스 얼마? i sinθ라고 쓸 수 있겠죠. 그래서 우리는 r이라고 하는 걸 써서 코사인세타 플러스 아이사인세타라고 쓰게 됩니다. 그렇죠. 그래서 우리는 이렇게 써주고요. 이것을 우리는 뭐라고 한다? 복소수의 극형식이라고 하죠. 폴라 폼. 그렇죠? 라고 합니다. 이해할 수 있겠죠? 여러분 다 아는 내용이야. 그래서 우리는 여기를 r 곱하기 이거 뭐라고 쓴다? Exponential iθ, 지수형으로 표현하게 되죠? 이런 형태로 표현한 거 뭐? Euler 항등식으로 표현한 겁니다. 여러분 이미 앞에서 다 했던 내용일 거야. 모양 잘 기억하세요. Euler 항등식이에요. 이제부터 우리는 극형식이라고 하는 걸 Euler 항등식으로 표현해서 여러 가지 조건식을 연구하게 됩니다. 그렇기 때문에요 우리는 이번 시간에 복소수에 대한 기본적인 내용들을 한번 봤고요 자 조금만 기다려주시면 다음 다시 다음의 부분에서 더욱 더 상세하게 나가도록 하겠습니다.