32-1. Maxwell방정식 이해하기 - 1번 전기장 가우스의 법칙

여러분들 안녕하세요. 오늘은 우리가 Maxwell 방정식이라는 걸 통해서 지금까지 우리가 배웠던 거를 싹 한번 정리해 보는 시간 가지려고 해요. 방정식, Maxwell 이런 엄청 어려워 보이고 이야기 많이 들어보셨죠. 지금 영상에서는 제가 여러분들에게 수식 절대 한 개도 없이 설명해 드릴게요. 우리가 Maxwell 방정식에 대해서 이런 질문을 받을 때가 있어요. '야, 전기과면 Maxwell 방정식이지' '너 Maxwell 방정식 알아?'라고 이야기했을 때 뭐라고 우리가 대답을 할 수 있을까요? 그거 뭐 전기장이랑 자기장 성질 대충 4가지로 합친 거 아니야? 이렇게 대답할 수도 있어요. 여기까지 말하면 웬만한 일반인들 선에서 대답이 커버가 돼요. '아우, 저 자식 전기과 졸업했더니' 'Maxwell 방정식 아나보네?' 근데 이제 어디서 어쭙잖게 들어온 애가 또 물어볼 수가 있어요. '야, 그 정도는 나도 알아.' '근데 너 모르는데, 그냥 어디서 주워듣고' '아는 척하는 거 아니야?'라고 했을 때 뭐라고 대답할 수 있는가? 이건 이제 진짜 아는 사람만이 대답을 할 수 있죠. 여기서 오히려 어쭙잖게 하는 친구들은 '야, 잠깐만.' 하면서 종이랑 펜을 꺼내 가지고 방정식을 Maxwell 미분 방정식, Maxwell 방정식 적분 꼴 이렇게 쓰는 친구들이 있는데. 그렇게 해봤자 어차피 질문한 친구도 못 알아듣고 여러분조차도 그냥 수식에서 하나 틀릴 수 있고 그러면 얼마나 개 쪽이야. 그러니까 그렇게 수식으로 설명하는 게 아니라 이거에 진짜 물리적인 의미를 여러분들이 설명할 수 있게 이번 시간에 알려드리도록 하겠습니다. 일단 모범답안 첫 번째 전기장 성질 3가지랑 자기장 성질 3가지를 가지고 4가지 Equation, 4가지 방정식으로 녹여낸 게 Maxwell 방정식이야 임마. 이러면 그때 '4개인데 3개, 3개씩 나누어?' '뭔가 아나 본데?'하고 거기서 기를 팍 죽일 수가 있죠. 거기서 3가지, 3가지는 뭐냐? 전기장 성질 3가지는 이렇게 하나, 둘, 셋 이렇게 있고 자기장의 성질도 하나, 둘, 셋 이렇게 있습니다. 오늘부터 차근차근 배워나갈 거예요. 그러고 나서 혹시나 이걸로 친구가 충족이 안 된 거 같다. '4개인데 너는 뭐 6개 가지고 지금 헷갈리는 거 아니야?' 이렇게 친구가 다시 되물어 왔을 때 할 수 있는 답변 '야, 가우스의 법칙 전기장, 자기장 꼴 하나씩이랑' '그다음에 앙페르법칙, 페러데이 법칙 이렇게잖아.' 이렇게 딱 말하면 이건 진짜 아무리 물리학 교수님이 와도 반박을 못 합니다. 이런 식으로 여러분들이 공식을 쓰는 게 아니라 간단히 효율적으로 착착착 문장 형태로 말하는 게 오히려 대가들의 대화인 거예요. 실제로 교수님들이랑 교수님들이랑 어떤 프로젝트에 관련해서 대화를 하신다고 칩시다. 교수님들이 갑자기 종이 꺼내가지고 연필로 뭘 쓰면서 얘기하는 걸 보셨어요? 그냥 딱 물리적인 느낌만 이렇게 '이런 거 같지 않아? 이거 아니야?' 그러면 '어, 그렇지.' 이런 식으로 대화하시잖아요. 그런 차원의 대화가 여러분들이 이번 시간에 남겨야되는 겁니다. 수식은 시험 보러 가기 10분 전에 그냥 한 번 보고 가면 돼요. 그래서 Maxwell Equation은 총 말씀드린 것처럼 4가지가 있는데. 첫 번째는 가우스의 법칙의 전기장 두 번째 자기장에서의 가우스의 법칙 그다음 세 번째 페러데이의 법칙 네 번째 앙페르의 법칙입니다. 그래서 우리가 말한 아까 그 6가지 성질이 어떻게 들어가느냐, 6은 4로 나누어떨어지지 않은데. 그래서 첫 번째 전기장의 성질이 첫 번째 Maxwell 방정식 그다음에 첫 번째 자기장 성질이 두 번째 Maxwell 방정식 그다음에 전기장 2번과 자기장 2번이 합쳐져서 3번 Maxwell 방정식 그다음에 마지막으로 자기장 3번과 전기장 3번이 합쳐져서 4번 Maxwell 방정식입니다. 사실 전기장에 관련된 건 첫 번째고 나머지 2, 3, 4는 좀 더 자기장의 오리엔트 되어있는 자기장과 관련된 성질로 이해하시면 좋을 것 같아요. 그래서 오늘 배울 거는 첫 번째 전기장의 가우스의 법칙인 Maxwell 방정식 1번이 어떤 거고 어떻게 나왔는지 그거를 여러분이 평생 까먹지 않게 물리적인 의미로 이해 시켜드리겠습니다. Maxwell 방정식 첫 번째 식은 이런 식으로 되는 데 이거 일단 집어치우시고요. 관련된 성질, 전기장의 첫 번째 성질. 전기장은 전하가 만든다. 이거에서부터 시작이 되고 거기에 관련된 성질 4가지 이걸 통해서 끝으로 전기장에서의 가우스 법칙까지 들어가면서 이번 시간 영상 마무리 할게요. 일단 전기장이라는 거는 어떻게 우리가 전기장을 맨 처음에 얘기하기 전에 전하부터 이야기를 해야 돼요. 우리가 전하, 전기의 현상 이런 걸 어디서부터 발견했나요? 대전현상으로부터 발견했습니다. 우리가 중학교 시절에 배웠던 이 에보나이트 막대와 털가죽을 이렇게 문지르면 한쪽은 마이너스를 띠고 한쪽은 플러스를 띤다. 이런 거 우리 들었을 거예요. 근데 사실 우리가 눈으로 봤을 때는 얘네가 어디 달라붙는 것만 알았지 누가 마이너스고 누가 플러스고 이런 거를 어떻게 알았겠어요. 그래서 그걸 통해서 우리가 그 부호나 아니면 이런 것들을 알기 위해서 추가적으로 더 진행이 됐었죠. 정전기 유도 현상이라는 것까지 우리가 배웠었습니다. 정전기 유도 현상이라는 거는 어떤 전하를 띤 도체 혹은 전하를 띨 물체를 도체 혹은 부도체에 갖다 댔을 때 이렇게 전하가 한쪽으로 쏠려서 그거를 정전기가 유도 됐다라고 해서 이 둘은 붙는 그런 현상이 발생을 하게 되는 거죠. 위에서 대전현상 때 우리가 이미 붙는 건 경험을 했어요. 근데 이거 같은 경우에는 2개가 부호가 달랐기 때문에 붙는 건데 아래 같은 경우에는 얘는 부호를 띠고 있지만 얘 같은 경우에는 맨 처음에 부호를 띠지 않고 있는 그냥 고물상에서 주운 철이었고 얘 같은 경우에도 부도체에도 그냥 동네에 굴러다니고 있던 어떤 물질이었어요. 근데 그 중성을 띤 애가 이런 전하가 가까이 오니까 달라 붙는 어떤 힘, 그런 힘이 생긴다. 우리가 힘이 생긴다라는 거는 가까이 왔을 때 얘가 어떤 달라붙는 속도가 생긴다는 거죠. 그러면 어떤 운동 에너지가 생긴다는 건데. 그 운동 에너지를 만드는 그 잠재적인 에너지는 어디서 왔을까? 그거를 고민하다가 보니까 일단 힘의 크기, 힘이 뭐냐? 그것부터 알아야 되겠죠. 그래서 쿨롱이란 아저씨가 한 실험을 통해서 얻어진 게 바로 쿨롱의 힘입니다. 그것으로부터 쿨롱의 법칙이라는 게 나왔죠. 쿨롱의 법칙이라고 하는 거는 어떤 전하를 띤 두 물체 사이에 어떤 이런 거리 제곱에 반비례하고 전하량에 비례하는 힘이라는 게 존재를 한다라는 게 쿨롱의 법칙이에요. 그래서 부호가 다르면 당기고 부호가 같으면 서로 밀어냈죠. 근데 이것만으로는 우리가 충분하지 않았어요. 우리는 접촉이 없는데 도대체 어떻게 얘가 얘를 밀어내고 당기느냐? 중간에 뭐 실로 연결된 것도 아니고 말이죠. 그래서 이거를 전기장에서부터 두 개가 그냥 부호가 다르면 당긴다, 같으면 민다. 이런 식으로 한꺼번에 생각하는 게 아니라 두 개를 따로따로 분리를 했습니다. 그래서 어떤 식으로 분리를 했냐면 한 놈은 공간에 어떤 전기장이라는 여기 들어오기만 해봐라 내가 당기든지 밀 테니. 이런 식으로 거미줄처럼 어떤 그 장을 깔아놨고요. 그 안에 다른 놈이 들어와서 이 부호의 연관된 아니면 크기에 연관된 힘을 받아서 당겨지거나 밀리거나 한다. 이런 식으로 두 개를 분리해서 생각해 왔습니다. 마찬가지예요. 두 개 동시에 존재를 했지만 얘가 전기장을 만들고 얘가 얘네 집에 놀러 왔다고 봐도 결과는 마찬가지예요. 그래서 결과적으로 전기장이라는 걸 어떻게 정의를 했냐면 어떤 놈이 일단 만들고 있는데 그 전기장의 크기를 우리가 알기 위해서는 여기에다가 1C을 갖다 놓으면 돼요. +1C이요. 그럼 +1C을 놨을 때 얘가 얼마만큼의 힘을 받느냐? 그걸로 얘가 만드는 가상의 어떤 전기적인 힘을 주는 필드 그거를 전기장이라고 정의를 한 거죠. 예를 들어서 이 장의 개념이 이해가 안 간다. 그러면 여러분들이 익숙한 중력으로 말씀드릴게요. 중력 같은 것도 마찬가지예요. 물체와 물체가 있어야 당겨지는 거지 지구 혼자만으로는 아무것도 못 해요. 하지만 그거를 분리를 시켜서 지구라는 놈이 우리 지구 표면 전체에 중력장이라는 거를 발생을 시키고 있고 나라는 어떤 굉장히 보잘것없는 그런 물체 하나가 와서 중력장에 의해서 지구에게 끌림을 당한다. 라는 식으로 우리가 이해를 하는 거죠. 그래서 결과적으로 중력장이라는 거는 G라고 표현이 되고 그게 이제 1kg 당 얘가 받는 힘이니까 우리가 중력이라는 건 mg라는 식으로 거기에다가 무게를 곱해서 받는 힘을 구할 수 있게 되는 거잖아요. 마찬가지예요. 그래서 지금까지 배워왔던 대전현상 아니면 정전기 유도, 쿨롱의 법칙 그리고 전기장, 이 개념이 어떻게 Maxwell이라는 놈은 성질들을 가지고 하나의 공식으로 만들어 냈느냐? 그걸 지금부터 말씀드릴게요. 일단 얘가 하고 있는 그 주장 자체는 전기장의 가우스의 법칙 즉 전하가 만드는 전기장의 총합은 일정하다라는 거예요. 제가 말씀드린 거랑 마찬가지죠. 이렇게 있을 때 얘가 만드는 주변에 있는 그런 것들은 총합은 어쨌든 똑같을 거 아니에요. 얘가 여기에 있던, 아니면 우주에 있든, 아니면 내 책상에 있든 방에 있든, 회사에 있든 이놈에 대한 크기에 따라서 주변에 그만큼의 전기장이 발생이 되는 거잖아요. 그냥 그런 거를 이야기한 거예요. 근데 참 어렵게 이야기했죠. 그래서 얘가한 해석을 한번 따라서 생각을 해 볼게요. 일단 전기장이라는 거는 거리 제곱에 반비례합니다. 그래서 중심으로부터 멀어질 수로 전기장은 점점 약해져요. 근데 전기장은 약해지지만, 전기장의 총합은 일정합니다. 그게 무슨 말이냐면 여기에 가까이에서 전기장을 측정한다고 해 봅시다. 그러면 더 가까이니까 전기장은 세죠. 근데 전기장을 측정하는 면적이 굉장히 작아요. 그래서 두 개 곱하면 결국 똔똔이다라는 거죠. 두 번째 볼게요. 두 번째에서는 중심으로부터 멀어졌어요. 그러니까 전기장이 더 약해졌죠. 하지만 면적, 이 전기장을 다 더하는 그 면적이 넓어졌으므로 두 개를 곱하면 결국 똔똔이다. 얘도 마찬가지예요. 그러면 과연 그 똔똔, 같아지는 값은 뭐냐? 이 내부에 있는 전하량이다라고 그렇게 정의를 했습니다. 그래서 공식은 이런 꼴로 되는데. 이 앞에 있는 놈이 전기장에 해당하는 거가 되고 이 뒤에 dA라는 놈이 면적에 해당하는 놈이 됩니다. 그래서 결국 어떤 포인트에서 면적과 전기장을 다 곱한 걸 더하면 적분의 의미고요. 그 내부에 있는 전하량과 같다. 이게 바로 Maxwell 방정식 첫 번째 가우스의 법칙입니다. 제가 이거 관련해서 설명을 들으려고 인터넷에서 유튜브 다른 분들은 어떤 식으로 가우스의 법칙을 설명하시나 찾아봤는데 그 과학쿠키형이 하나 살짝 말실수하신 거를 제가 딱 하나 코렉션을, 말꼬투리를 한번 잡아보겠습니다. 그 형이 말한 거는 이 적분이 그냥 적분이 아니라 약간 동그라미 모양이 있는 Circular 적분에 대해서 말씀을 하실 때 대칭적인 어떤 면적분이라고 말씀을 하셨어요. 근데 사실 이 공식은 대칭적인 면적분을 잡지 않더라도 대칭적인 구조가 아닌 곳에서 전기장을 더한다고 하더라도 성립을 합니다. 이거는 어떤 닫혀있는 여기서 전기장이 빠져있어서 하나라도 우리가 못 세는 거 없이 다 더하면 이라는 어떤 닫힌 공간을 의미해요. 그래서 앞에 것처럼 대칭인 어떤 원을 선택할 수도 있지만 얘까지 대칭이고 얘까지 대칭이라고 할 수 있는데 얘도 대칭인가요? 3차원에서? 아니죠. 그럼에도 불구하고 이런 부피 이런 어떤 닫혀있는 상자라고 한다면 전기장이 하나도 빠져나가지 않는 상자라고 한다면 그 표면에서의 전기장을 모두 더했을 때는 얘도x3, 그리고 얘도x3 똑같습니다. 왜냐? 전기장을 만드는 어쨌든 그 소스가 안에 있는 이 플러스, 플러스, 플러스, 양전하이기 때문이죠. 결국 가우스의 법칙이 말하려는 거는 이거예요. 그러면 한 가지 응용을 해야 확실히 알았다라고 자신만만하게 넘어갈 수 있겠죠. 우리가 아까 말했다시피 안에 들어있는 전하 하나가 그 소스를 만든다고 했어요. 근데 이번에 전하가 두 개가 들어있습니다. 플러스가 들어있고 마이너스가 들어있어요. 그럼 이 경우에는 어떻게 될까요? 전기력선이라고 하는 아까부터 이 화살표가 설명이 안 되어 있었는데. 이거 같은 경우에는 전기장의 보이지 않은 거를 가상적으로 우리가 나타낸 거예요. 그래서 여기 보면 전기장이 이쪽 마이너스 쪽으로는 들어가고 플러스 쪽에서는 나갑니다. 그러면 우리가 공을 이렇게 해서 어떤 상자로 닫았을 때 이쪽 절반에서는 대충 안으로 들어가겠고 이쪽 절반에서는 대충 바깥으로 나가겠죠. 그러면 이거를 가우스의 법칙을 통해서 이 현상을 어떻게 설명할 거냐? 이거는 아까 제가 뭐라고 그랬어요? 가우스의 법칙이라고 하는 건 어떤 꽉 닫혀있는 상자에 표면에서의 전기장을 다 더하면 그 크기는 안에 있는 전하의 양과 똑같다고 했죠. 근데 지금 안에 있는 전하의 양은 플러스, 마이너스이기 때문에 0이에요. 그러면 상자를 싹 더하면 그게 0이어야 되는데. 이상하죠? 여기서는 들어가고 여기서는 나가는데. 그렇기 때문에 제가 여러분들에게 총합이라고 말씀드린 겁니다. 이것도 결국에 똔똔의 문제에요. 여기서 바깥으로 나가고 여기서 안으로 들어오니까 나간 거랑 안에 들어오는 거랑 다 양을 합치면 결국 0이라는 거죠. 그래서 가우스의 법칙, 안에 있는 전하량만 가지고 하면 결국에 모든 게 해결이 된다. 그래서 이걸 가지고 여러분들이 이 수식으로 외워서 어디서 누가 '야, Maxwell 방정식의 1번이' '가우스의 법칙이라는데 그게 뭐야?' 라고 그런 질문 하는 애는 없겠지만 누가 만약에 여러분 동생이 먼 미래에 '형, 전기과 나왔다면서 Maxwell 방정식 설명해줘.' 이렇게 말했을 때 수식을 꺼내면 뭐다? 하수다. 이때 딱 간지나게 '야, 가우스의 법칙은 어쨌든 닫힌 폐곡면의 전기장의 총합은' '그 내부에 있는 전하가 결정한다라는 거야.' 라고 대답하면 살짝 그건 중수. 그것까지도 공부는 열심히 했지만 외운 티가 너무 나잖아요. 그래서 그거를 고수의 레벨로 한 문장으로 간단하게 끝낸다고 하면 '야, 결국에 전기장은 그 안에 있는 전하가 만든다는 거야.' 이런 식으로 대충 흘리고 넘어간 다음에 '아, 모르지?' 이러면 그다음 중수 대답해 주고 그다음에 '아, 모르지?' 하면 그다음에 공식을 멋지게 딱 쓰고 끝내주면 여러분들은 그 누구가 가우스의 법칙에 대해서 아냐고 물어봐도 당당하게 안다고 대답하실 수 있을 겁니다. 그래서 오늘 Maxwell Equation 네 가지 중에 첫 번째 가우스의 법칙에 대해서 배웠고 가우스의 법칙이 어떤 전기장의 성질로부터 이끌어내온 법칙인지까지 알아봤습니다. 그래서 여러분들은 이제 누가 Maxwell 방정식에 대해서 질문을 했을 때 적어도 한 가지만큼은 완벽하게 말할 수 있을 겁니다. 여기서 챙겨야 될 건 뭐다? 수식이 아니다.