13강 - 행렬식 Ⅰ

안녕하세요. 선형대수학 13강을 시작하도록 하겠습니다. 지난 시간까지 우리는 3강에 걸쳐서 연립방정식에 대해서 공부를 했었는데요. 연립방정식은 보통 m개의 식과 n개의 미지수를 가지고 우리가 공부를 했죠. 그러면 이 연립방정식을 나타내기 위해서는 m 곱하기 n 직사각 행렬이 필요한데요. 좀 특수한 경우를 들어서 미지수의 개수와 식의 개수가 같을 경우 그럴 경우에는 n 곱하기 n 정사각행렬으로 이 문제를 나타낼 수가 있겠죠. 그리고 n 곱하기 n 행렬이 역행렬을 가질 경우에는 즉, 가역행렬일 경우에는 문제가 굉장히 단순해짐을 알았어요. 어떤 비동차 방정식도 해를 가지고 어떤 동차 방정식도 non-trivial solution은 가지지 않고 딱 한 개만의 trivial solution을 가지게 되죠. 그러면 어떤 주어진 n 곱하기 n 정사각 행렬이 역행렬을 가지는지 아니면 역행렬을 가지지 않는지 알아내는 것이 굉장히 중요할 텐데요. 그런 역행렬을 가지는지 여부 또 여러 가지 성질들을 한 번에 알 수 있는 그 행렬에 대해서 많은 것을 결정해주는 그런 것을 지금부터 공부를 해보도록 하겠습니다. 그것이 바로 n 곱하기 n 행렬의 행렬식, 이번 강의의 주제입니다. 아까도 말씀을 드렸다시피 A라는 행렬이 있으면 n 곱하기 n 정사각 행렬일 때 이것이 비가역인지 가역인지 아는 것이 굉장히 중요하다고 했었죠? 그래서 이 행렬에 대해서 이 행렬의 성질을 결정해준다 라고 해서 Determine을 해준다 그래서 영어로 하면 Determinant라고 하고요. 우리말로 번역을 했을 때는 행렬식이라고 번역을 했는데 저는 솔직히 이 번역보다는 결정자 뭐 이런 번역이 이렇게 번역을 한다면 조금 더 마음에 들려고 했어요. 행렬식이라고 하면 행렬을 이용해서 나타낸 식, Ax=b 꼴의 식 뭐 이런 것을 흔히 생각하기 쉽지 않아요. 하지만 일단 행렬식이라는 용어를 계속 쓰도록 하겠습니다. 그러면 우리는 아까도 계속 말씀했다시피 어떤 n 곱하기 n 정사각 행렬이 비가역인지 가역인지 가려내고 싶은데요. 이것을 가려내는 아주 좋은 방법을 제가 소개를 해드릴게요. 소개를 해드리기에 앞서서 이것을 배워야 됩니다. Multilinear Form 다중선형함수라는 것에 대해서 배워보겠어요. 이것은 무엇이냐면 A라는 어떤 행렬이 있을 때 이것을 제1열, 2열 쭉쭉쭉 해서 n열까지 열별로 이렇게 쭉 찢어요. 그렇게 하면 n개의 n차원 벡터가 이렇게 나오겠죠. 이 n개의 n차원 벡터들의 순서쌍이라고 이 행렬 A를 볼 수 있을 텐데요. 이것을 갖다가 하나의 숫자로 대응을 시키는 그런 함수 ml이 있다고 생각을 해보세요. 이거는 다중선형함수라고 쓰긴 했지만 선형함수는 아니에요. 행렬들도 서로 더하고 빼고 또 상수배를 할 수 있으니까 행렬 전체의 집합을 벡터스페이스라고 생각을 할 수 있을 텐데 그리고 이 숫자의 집합을 벡터스페이스라고 할 수 있을 텐데 벡터스페이스에서 벡터스페이스로 가는 함수니까 아 이 함수는 선형함수이겠구나 리니어 폼이겠구나, 리니어 트랜스포메이션, 리니어 맵 이런 것이겠구나 라고 생각을 하실 수 있는데 아닙니다. 절대 아닙니다. 다중선형함수는 선형함수가 아닙니다. 헷갈리실까봐 그냥 이 번역을 지울게요. 멀티 리니어 폼이라는 이름으로 계속 부를게요. 그러면 멀티 리니어 폼은 어떤 성질을 가지느냐? 이것은 첫 번째 열을 주목을 하면 첫 번째 열에 대해서 선형함수예요. 자, 보세요. x2에서 xn까지 이런 벡터들은 가만히 놔둔 채 이 첫 번째 성분에 x1 플러스 x1'이라는 벡터를 넣었다고 생각을 해보세요. 이 행렬을 n개의 벡터로 찢어서 분해를 해봤더니 x1에서 xn까지 이런 벡터가 되었고요. 이것을 어떤 하나의 숫자에 이렇게 대응을 시키는 거예요. 자, 그러면 이런 거를 넣어봤더니 이것은 이것과 이것의 합으로 나타나더라 하는 것이 바로 멀티리니어폼의 성질입니다. 다른 뒤에 성분들은 전부 다 고정이 된 채로 첫 번째 성분에 대해서만 이 함수의 성질이 선형함수의 성질을 나타내죠. 덧셈에 대해선 이렇다 치고 상수배에 대해선 어떨까요? 상수배에 대해서도 똑같이 이렇게 c배를 하면 앞에 c가 딱 튀어나오도록 이렇게 첫 번째 성분에 대해서 첫 번째 벡터에 대해서 선형함수의 성질을 나타냅니다. 그리고 이 성질이 모든 벡터들 첫 번째 뿐만 아니라 두 번째, 세 번째, n번째에 이르기까지 모든 벡터들에 다 적용이 된다면 이 함수를 우리가 multilinear form이라고 부르게 됩니다. 이것이 바로 multilinear form의 성질이고요. 제가 아까 multilinear form은 선형함수가 아니다. 그런 의미로 번역을 아예 지워버렸는데요. 그것을 가장 극명하게 드러내주는 예가 바로 이것입니다. 어떤 행렬에다가 c라는 상수를 곱했어요. 이것의 multilinear form의 값은 어떻게 될까요? 이것이 만약에 선형함수라면 그냥 c배 곱해준 만큼으로 나오겠죠. 하지만 이것은 모든 벡터에다 다 c씩 이렇게 곱해준 거랑 똑같이 되니까 어떻게 되겠어요? 여기서도 c배, 여기서도 c배 이렇게 쭉 해가지고 c배한 것이 n개가 되니까 c의 n승 곱하기 multilinear form의 a의 값 a의 multilinear form의 값 이렇게 나오겠죠. 저는 여기서 multilinear form에도 수많은 많은 종류들이 있음을 얘기를 해드리고 싶습니다. 마치 어떤 벡터 스페이스에서 벡터 스페이스로 가는 선형함수가 무수히 많은 것처럼요. 저는 무수히 많은 그러면 이 멀티리니어 폼 중에서도 어떤 특별한 성질을 가진 멀티리니어 폼이 있는데요. 그것이 바로 alternating form, 교대 다중선형 함수입니다. 역시 번역이 우리를 헷갈리게 하니까 그냥 지워버릴게요. alternating이라는 말은 교대, 이렇게 왔다갔다 한다는 뜻이고요. 건전지처럼 전류가 한쪽으로만 흐르는 것을 DC, Direct Current라고 하고요. 반면에 가정용 전기처럼 전기가 막 왔다갔다 하는 거예요. 그것을 교류라고 하고, 아까 DC는 직류라고 하고 교류는 Alternating Current 이렇게 얘기를 하죠. 이렇게 alternating이라는 말이 들어가면 이렇게 막 왔다갔다 교대한다는 것을 생각을 하시면 되겠습니다. 참고로 가정용 전기는 60Hz라고 보통 이렇게 쓰게 되는데 이 말은 1초에 60번 왔다갔다 하는 전기라는 뜻이고요. 물리 공부는 어쩌면 다른 강의에서도 할 줄 모르니까 일단 지금은 선형대수학에 집중을 하고 alternating 폼은 어떤 성질을 가지느냐 이렇게 x1에서 xn까지의 벡터가 이렇게 있었는데 얘네 둘이 자리를 바꿨어요. 자리를 바꾸면 어떻게 되느냐 자리를 바꾸기 전에 alternating form의 값에 마이너스를 붙인 것하고 똑같이 돼요. 멀티리니어 form의 모든 성질은 다 만족하면서 이 성질이 하나 추가가 된 거예요. 예를 들어보면 이렇게 1 2 3 4 5 6 7 8 9 이렇게 된 행렬이 있다고 쳐봐요. 이 행렬에 어떤 Alternating Form이 있을 때 이 Alternating Form의 값은 우리가 아직 뭔진 모르죠 아까 말씀드렸다시피 Multilinear Form에 수많은 종류가 있는 것처럼 그 부분집합인 Alternating Form에도 수많은 종류가 있으니까요 이 값이 뭔진 모르지만 우리가 한 가지 알고 있는 사실은 얘네 둘이를 바꾸면 앞에 Minus가 붙는다 하는 것입니다 이것이 alternating form의 정의예요. 마찬가지로 이렇게 첫 번째, 두 번째를 바꿨을 때 뿐만 아니라 그냥 임의의 두 벡터, 예를 들어서 n이 10일 때 그러면 10 곱하기 10 행렬이 되겠죠? 그러면 1번 벡터부터 10번 벡터까지 있을 때 이 중에 예를 들어서 3번 벡터, 7번 벡터 두 개를 뽑아내서 두 열을 바꿨다. 이렇게 하면 이렇게 임의의 i, j열을 맞교환한 새로운 행렬을 a행렬로부터 만들어서 그것을 a'이라 했으면 alternating form의 값은 a'의 alternating form의 값은 이렇게 a의 원래의 alternating form의 값의 마이너스를 붙인 것하고 똑같이 됩니다. 그러면 한 가지 궁금증이 생기는데요. 두 개를 바꿔도 소용이 없을 때 두 개를 바꿔도 같은 행렬이 됐을 땐 어떻게 할까요? 이렇게요 이렇게 두 개의 열이 같은 어떤 행렬이 있을 때 이것의 alternating form의 값은? 네 이거 두 개를 바꿔도 그냥 똑같이 되는데 이게 마이너스가 됐죠 자 이게 뭘 뜻합니까? 네 이것도 어떤 숫자고 이것도 어떤 숫자예요 그런데 어떤 숫자에 마이너스를 했는데 자기 자신이 됐어요 이렇게 됐어요. 이게 무슨 뜻이에요? x가 0이라는 뜻이죠. 이렇게 어떤 행렬이 있을 때 그 행렬이 두 개의 열이 같을 때 이 행렬의 alternating form의 값은 무조건 0이 됩니다. 두 개의 열이 같으면 alternating form의 값은 0이 된다. 하는 것을 기억을 해두시고요. 그러면 흔히 이 정의가 alternating form이라는 이름에 좀 더 걸맞고 이것은 이것에 따라서 나오는 성질일 뿐이다 라고 생각을 할 수가 있는데 아니에요. 이것을 그냥 정의라고 생각을 할 수도 있고 여기에서부터 이렇게 이 성질이 나올 수도 있어요. 여기서 여기로 가는 건 아까 설명을 했는데 이렇게 두 열이 같으면 어떤 a의 alternating form의 값이 무조건 0이 된다. 이 정의로부터 이 성질이 나오려면 이게 나올 수 있을까요? 나올 수 있어요. 자, 보세요. 어떻게 이렇게 이렇게 첫 번째 열, 두 번째 열의 벡터가 둘 다 x1 플러스 x1 프라임 이렇게 되어있는 행렬이 있다고 생각을 해보세요. 이것을 멀티리니어 폼의 성질을 따라서 쫙 찢으면 4개의 항이 나와요. 이렇게 4개의 항이요. 그런데 두 열이 같으면 alternating form의 값이 무조건 0이라고 우리가 정의를 했으니까 이거 0이에요. 이거 0이에요. 이거 0이에요. 따라서 이거 두 개의 합이 0이어야 돼요. 그러면 이거 두 개의 합이 0이라는 건 무슨 뜻이죠? 자, 칠판을 보지 않고 설명을 하니까 이런 일이 생겨요. 자, 이게 0이고 이게 0이고 이게 0이에요. 그러면 빨간색 분필로 다시 표시를 할게요. 이것과 이것의 합이 0이어야 돼요. 왜냐하면 파란색 분필로 표시를 할게요. 이 세 개가 그냥 0이니까요. 자, 그럼 이거 두 개의 합이 0이란 건 무슨 뜻이에요? 이 두 개는 서로 x1하고 x1'이 바뀐 관계를 가지고 있죠. 따라서 두 개의 벡터가 바뀌면 부호가 마이너스가 된다라는 성질이 딱 튀어나왔죠. 따라서 이렇게 진술하는 것과 alternating form은 두 개를 바꾸면 마이너스가 된다. 이렇게 진술하는 것과 alternating form은 두 열이 같으면 0이 된다. 이렇게 진술하는 것은 같은 명제가 됨을 기억하시면 되겠습니다. 네, 그러면 alternating form의 정의를 알았으니까 이제 우리가 어떤 alternating form을 특정하는 방법, 그 alternating form의 모든 함숫값을 어떤 일부의 함숫값들만 이용해서 알아내는 방법을 알려드릴게요. 이게 무슨 뜻이냐면 여러분들이 선형함수를 처음에 배웠을 때 생각을 해보면요. 이렇게 2차원 공간에서 2차원 공간으로 가는 선형함수 L이 있어요. L의 일반적인 x, y 이런 벡터를 넣었을 때의 함숫값은 선형함수만이 가지고 있는 고유한 성질을 이용해서 이렇게 다 분해를 할 수가 있죠. 이렇게 된다는 것은 무슨 뜻이냐면 우리가 모든 벡터에 대해서 선형함수의 함숫값을 다 알 필요가 없이 딱 두 개의 벡터에 대해서만 선형함수의 함숫값을 알면 된다는 뜻이죠. 이것과 이것, 두 값만 알면 우리는 임의의 x, y 벡터에 대해서 모든 함숫값을 알게 되죠. 마찬가지의 논리를 alternating form, 방금 배운 alternating form에 적용을 시켜봅시다. 어떤 alternating form이 있을 때 여기에 n 곱하기 n 매트릭스가 이렇게 주어졌어요. 이것을 이런 식으로 단계적으로 찢어서 이 alternating form이 가진 성질을 이용해서 어떤 일부의 함숫값만으로 이 모든 행렬에 대한 함숫값을 다 아는 방법은 없을까요? 네, 일단 n 곱하기 n 행렬을 바로 부딪히는 건 좀 어려우니까 2 곱하기 2 행렬부터 이렇게 해볼게요. 네, 2 곱하기 2 행렬 a, b, c, d가 있어요. 이것을 가지고 일단 첫 번째 열부터 생각을 해보면 alternating form은 multilinear form이기도 하고 multilinear form은 모든 열에 대해서 선형함수로서의 성질을 가진다 라고 했으니까 아까 선형함수 이것을 x와 y로 이것을 이용해서 분해를 했던 것처럼 첫 번째 열을 기준으로 a와 c를 기준으로 분해를 하면 이렇게 됩니다. a 곱하기 행렬식 I, 행렬식 I, 행렬식 I, 행렬식 I, 행렬식 I, 행렬식 I, 행렬식 I, 행렬식 I, 행렬식 I, 행렬식 I, 행렬식 I 일단 눈에 거슬리고 지워버리고 싶은 게 있죠? 네, 이거랑 이거요. 아까까지 계속 목에 힘줘가면서 설명하던 게 뭐냐면 alternating form은 이렇게 똑같은 열이 두 개가 있으면 바꿔도 그냥 마이너스니까 0이란 말이에요. 따라서 시원하게 지워버릴 수가 있습니다. 0, 0. 이 두 개만 가지고 이제 설명할 수가 있는데 이거는 일단 그대로 놔두고 이걸 생각을 해보면 이것은 이 두 열을 바꾸면 단위 행렬의 alternating form의 값이 되죠. 그리고 마이너스, 두 개 바꿨으니까요. 자, 그러면 마이너스 부호 빼고는 요거랑 요거랑 같게 되고 따라서 이것으로 묶을 수가 있어요. 네, 이렇게 우리는 어떤 alternating form, 네 그러면 alternating form의 정의를 알았으니까 이제 우리가 어떤 alternating form을 특정하는 방법, 그 alternating form의 모든 함숫값을 어떤 일부의 함숫값들만 이용해서 알아내는 방법을 알려드릴게요. 이게 무슨 뜻이냐면 여러분들이 선형함수를 처음에 배웠을 때 생각을 해보면요. 이렇게 2차원 공간에서 2차원 공간으로 가는 선형함수 L이 있어요. L의 일반적인 x, y 이런 벡터를 넣었을 때의 함숫값은 선형함수만이 가지고 있는 고유한 성질을 이용해서 이렇게 다 분해를 할 수가 있죠. 이렇게 된다는 것은 무슨 뜻이냐면 우리가 모든 벡터에 대해서 선형함수의 함숫값을 다 알 필요가 없이 딱 두 개의 벡터에 대해서만 선형함수의 함숫값을 알면 된다는 뜻이죠. 이것과 이것, 두 값만 알면 우리는 임의의 x, y 벡터에 대해서 모든 함숫값을 알게 되죠. 마찬가지의 논리를 alternating form, 방금 배운 alternating form에 적용을 시켜봅시다. 어떤 alternating form이 있을 때 여기에 n 곱하기 n 매트릭스가 이렇게 주어졌어요. 이것을 이런 식으로 단계적으로 찢어서 이 alternating form이 가진 성질을 이용해서 어떤 일부의 함숫값만으로 이 모든 행렬에 대한 함숫값을 다 아는 방법은 없을까요? 일단 n 곱하기 n 행렬을 바로 부딪히는 건 좀 어려우니까 2 곱하기 2 행렬부터 이렇게 해볼게요. 행렬 A, B, C, D가 있어요. 이것을 가지고 일단 첫 번째 열부터 생각을 해보면 alternating form은 multilinear form이기도 하고 multilinear form은 모든 열에 대해서 선형함수로서의 성질을 가진다 라고 했으니까 아까 선형함수 이것을 x와 y로 이것을 이용해서 분해를 했던 것처럼 첫 번째 열을 기준으로 a와 c를 기준으로 분해를 하면 이렇게 됩니다. a 곱하기 행렬의 alternating form 값과 c 곱하기 행렬의 alternating form의 값, 이 두 개를 더한 것이 이것의 값이겠죠. 그러면 이것을 가지고 마저 분해를 해볼게요. 이 두 번째 열에 대해서도 선형함수로서의 성질은 그대로 유지가 될 테니까요. 그럼 이렇게 이렇게 되는데 이렇게 4개의 항이 나왔죠? 4개의 항 중에 여러분들이 일단 눈에 거슬리고 지워버리고 싶은 게 있죠? 이거랑 이거요. 아까까지 계속 목에 힘줘가면서 설명하던 게 뭐냐면 alternating form은 이렇게 똑같은 열이 2개가 있으면 바꿔도 그냥 마이너스니까 0이란 말이에요. 따라서 시원하게 지워버릴 수가 있습니다. 이 두 개만 가지고 이제 설명할 수가 있는데 자 이거는 일단 그대로 놔두고 이걸 생각을 해보면 이것은 이 1, 2를 바꾸면 단위 행렬의 alternating form의 값이 되죠 그리고 마이너스 두 개 바꿨으니까요 자 그러면 마이너스 부분을 빼고는 이거랑 같게 되고 따라서 이것으로 묶을 수가 있어요. 이렇게 우리는 어떤 alternating form의 단위 행렬에서의 값만 알게 되면 2 곱하기 2 행렬에서는 모든 a, b, c, d 꼴의 행렬의 alternating form의 값을 알게 돼요. 자, 똑같은 논의를 3 곱하기 3 행렬로 확대를 시켜서 생각을 해봅시다. 자, 그러면 a, b, c, d, e, f, g, h, i 이렇게 생긴 행렬의 3 곱하기 3 행렬의 alternating form의 값을 알고자 하면 첫 번째 열을 기준으로 다 이렇게 찢어줘요. 자, 설명은 생략을 할게요. 위에 이렇게 점점점 해준 거는 제가 그냥 b, c, d, e, f, h, i를 쓰기 다 귀찮아가지고 이렇게 한 거예요. 이게 잘 이해가 안 가시면 위에 화면하고 번갈아서 보시면 이해가 될 거예요. 자, 그러면 이 세 덩어리의 항 중에 첫 번째 덩어리만 한번 우리가 분석을 해볼게요. A라는 것은 앞에 크게 묶이고 이제 두 번째 열을 기준으로 선형함수의 성질을 적용을 시키면 B, E, H 여기는 A열이라고 써져 있는 게 빠졌네요. 네, 이렇게 되는데요. 자, 아까하고 마찬가지로 이렇게 똑같은 열이 두 개가 반복되는 게 있죠. 그럼 어떻게 해요? 지워야죠. 네, 이렇게 A는 E와 H 두 개가 곱해진 이런 항들만 가지고 계속 전개를 계속해 나가겠죠. 자, 그러면 이 전개를 계속하다 보면 어떻게 될까요? 이 행렬값들은 전부 다 1, 1, 1, 0 이런 것들만 섞인 행렬들만 나올 것이고 앞에 이 행렬의 원소들이 조금씩 빠져나오겠죠? 이런 식으로 첫번째 열, 두번째 열, 세번째 열 계속 반복을 해가면서 선형함수의 성질을 적용시키면 어떤 결과가 나오느냐 n 곱하기 n 행렬에서는 일반적으로 이런 꼴이 나옵니다. 이 식을 바로 이해하실 필요는 없어요. 계속 예를 들어가면서 설명을 해드릴테니까요. 어떤 n 곱하기 n 정사각 행렬의 alternating form의 값은 첫 번째 열을 가지고 전개를 했을 때 묶이게 되는 원소를 갖다가 이렇게 a 이렇게 써야 돼요. a i1 1 이런 식으로 써줬어요. 이게 무슨 뜻이냐? 여기서 i1에서 in까지의 숫자들은 각각 1에서 n까지의 숫자를 의미해요. 1에서 n까지의 숫자를 이렇게 뒤죽박죽해서 섞어놔서 i1에서 in까지의 숫자가 됐다고 생각을 하세요. 그리고 이 i1이라는 것은 무엇이냐? 맨 처음에 이 첫 번째 열을 가지고 선형함수의 성질을 이용해서 전개를 했을 때 나타나는 맨 처음 항이에요. 무슨 뜻이냐면 여기를 보세요. 3 곱하기 3 행렬을 전개할 때는 a를 가지고 이렇게 쭉 나뉘는 항도 있을 것이고 d를 가지고 쭉 나뉘어서 이렇게 묶이는 항도 있을 것이고 g를 가지고 이렇게 되는 항도 있을 거예요. 아까 그 표기법을 그대로 사용하면 이 a는 1행 1열의 원소 D는 2행 1열의 원소 G는 3행 1열의 원소 이렇게 제 1열의 원소들이 전부 행번호는 다르지만 제 1열의 원소들이 전부 이렇게 각 항들을 처음에 묶어주는 숫자 역할을 하고 있죠 그러면 A11로 묶인 이것을 계속 따라가면 이것은 지워졌으니까 됐고 E는 2행 2열의 원소 H는 3행 2열의 원소 이렇게 제2열의 원소들이 하나씩 나오고 있죠. 그런데 1행의 원소가 한 번 쓰였는데 1행의 원소는 다시는 나오지 않죠. 왜냐하면 다시 나왔다가는 같은 열이 돼서 0이 돼서 없어지니까요. 그냥 얘는 포함을 할 필요가 없는 거예요. 따라서 1열의 원소가 a, i1 행 1열의 원소 이렇게 됐으면 뒤에 나오는 항들은 a, i2 행 2열의 원소 라고 할 때 이 i2는 i1과 같을 수가 없어요 왜냐하면 한 번 쓰였으니까요 한 번 쓰인 게 또 나왔다가는 이 alternating form의 성질에 의해서 같은 두 열이 나와서 그냥 이 항은 0이 되버리니까요. 포함을 시킬 필요가 없어요. 자, 이런 식으로 1열부터 시작해서 2열, n열에 이르기까지 행의 숫자를 하나씩 이렇게 이렇게 왔다갔다 하면서 바꿔주는 것을 생각을 해보세요. 그렇게 하면 이 앞에 나온 i1에서 i2, in까지 이 숫자의 집합들은 이 숫자의 집합들은 앞에 한 번 나온 게 다시는 나올 수 없으니까 i1에서 한번 써먹은 숫자가 i2에서는 나올 수 없고 i1, i2에서 한번씩 써먹은 숫자가 i3에서는 나올 수 없고 이렇게 n개의 숫자가 늘어서 있으니까 이것은 마치 아까 말했듯이 1에서 n까지의 숫자를 마구 뒤섞어서 배열한 것과 같다. 이렇게 생각을 할 수가 있어요. 그렇게 해서 전개된 항이 여기 있다고 생각을 해보세요 이런 항은 몇 개가 나올 수 있죠? n개의 숫자를 뒤섞을 수 있는 가짓수니까 이렇게 n개의 숫자가 제1열부터 제n열까지 곱해진 n개의 숫자가 있는 항이 n 팩토리얼 개 있어요. 그리고 이것들이 다 더해지는 거예요. 더해지는데 얘네들만 더해지는 게 아니라 이 뒤에 있는 이것이 같이 곱해져서 더해져야 되죠. 마치 아까 2 곱하기 2 행렬에서 ad 뒤에는 alternating form 1001의 값이 달라붙고 bc 뒤에는 alternating form 0110의 값이 달라붙은 것처럼요 그런데 다만 보면 이거를 두 개를 바꾸면 이렇게 마이너스 부호가 되고 이거하고 이거하고 똑같아지니까 이렇게 단위행렬의 alternating 폼의 값으로 전부 다 묶을 수가 있을 거라고 생각을 할 수가 있죠. 다만 여기 있는 부호는 달라질 수가 있어요. 아까는 그냥 단순히 합이라고 했는데 아까 제가 아까 그냥 단순히 합이라고 했는데 여기에 뒤에 alternating 폼의 값이 곱해지는 걸 생각을 해보면 이렇게 부호가 바뀔 수도 있죠. 똑같은 숫자로 묶기 위해서 부호가 바뀔 수도 있죠. 자 그러면 일단 이런 꼴로 나온 항은 뒤에 어떤 매트릭스의 alternating form이 나타나는가를 생각해보면요. EI1에서 EIN까지 EI라고 하는 단위벡터의 표기법은 많이 보셨을 거예요. 이 i라고 하면 n행 1열 단위벡터인데 모든 항이 다 0이고 딱 하나의 항만 1인, 딱 하나의 원소만 1인 그런 단위벡터예요. 이때 1의 위치는 위에서부터 세서 n번째, 즉 n번째가 아니라 i번째, 즉 제 i행이 1인 그런 단위벡터에요 자 그러면 맨 왼쪽에는 이 i1 즉 위에서부터 세서 i1번째 원소가 1인 그런 단위벡터가 여기 맨 왼쪽에 있겠죠 이것은 아까 2 곱하기 2 행렬을 할 때 c는 표기법에 의해서 2행 1열 원소이고 따라가면서 곱셈을 했고 뒤에는 이렇게 이렇게 이렇게 이렇게 순으로 1 1 1 1을 쓴 나머지는 전부 0인 행렬의 Alternating Form의 값 이렇게 이 하나의 항을 n!개 항 중에 하나의 항을 완성했다 하는 것이죠 그리고 우리가 희망하는 것은 여기서 0, 1, 1, 0 행렬을 갖다가 1, 2개만 뒤집어서 단위 행렬을 만든 것처럼 이것도 1열, 2열, 3열, 4열을 어떻게 잘 몇 번이건 뒤집으면 앞에 플러스건 마이너스건 어떤 부호를 남기고 이것도 단위 행렬의 alternating 폼의 값에 뭐 어쨌든 플러스든 마이너스든 부호 곱하고 이렇게 나타낼 수 있는 것을 희망을 합니다. 희망을 합니다. 그리고 그렇게 될 수 있고요. 실제로. 그래서 일단 김식은 나중에 마시고 먼저 써주면 이것을 적당히 어떻게 섞어서 플러스건, 마이너스건 나올 테니까 이 플러스하고 마이너스는 물론 i1에서 iN까지 이 숫자의 배열에 따라서 달라지겠죠? 이것은 이런 꼴로 쓰여질 수 있어요. 이게 무슨 뜻이냐? 어떤 alternating form의 값은 이렇게 단위 행렬에서의 값 하나만 지정되면 전부 다 지정이 된다는 거예요 그리고 이 단위 행렬에서의 값이 1인 그런 Alternating Form을 생각을 해보면 이것만으로 이 alternating form은 특정이 되버렸죠 다른 alternating form은 1이 아니고 다른 값이겠죠 어쨌든 이게 1이 되는 alternating form을 우리는 determinant 결정자라고 행렬식이라고 합니다 이렇게요 이런 경우에 이 Alternating Form의 값은 Determinant of A 영어로 쓸 때는 det A 이런 식으로 쓰게 돼요 자, 우리는 방금 Alternating Form의 아주 중요한 성질을 하나 발견을 했었죠 이렇게 Alternating Form은 여러 개의 벡터를 한 데 모아서 이것의 함수값을 구하는 것이라고 할 수 있는데 이렇게 똑같은 두 개의 벡터가 들어가면 이 함수값이 자동으로 0이 된다는 것입니다. 예를 들어서 설명을 드리면 이렇게 행렬의 alternating form의 값을 구하면 이렇게 같은 열이 두 개가 있으면 자동으로 0이 된다는 것이죠. 꼭 첫 번째, 두 번째 열일 뿐만 아니라 두 번째, 세 번째 또는 몇 번째라도 똑같은 열이 두 개가 있으면 이렇게 0이 된다는 사실을 알 수가 있습니다. 그러면 이 성질로부터 도출되는 두 개의 중요한 성질이 있어요. 첫 번째 저는 아까 계속 a라는 행렬이 가역인지 비가역인지 알아내는 방법을 소개한다고 했었고 그 방법의 하나로 alternating form을 소개를 했는데요. 이것이 그 결과입니다. a라는 행렬이 가역 행렬이 아니면 비가역 행렬이면 즉 역행렬을 갖지 않는 행렬이면 a의 alternating form의 값은 자동으로 0이 된다는 것입니다. 왜 그럴까요? 보세요. a가 비가역이면 a의 열들을 쭉 찢어서 만든 n개의 열벡터들은 서로 선형종속이라고 했었죠 이 두 말이 동치라고 했었죠 그러면 그 말은 무슨 뜻이냐면 모두 0은 아닌 어떤 c1에서 cn까지의 숫자가 존재해서 c1 a의 첫 번째 열 이렇게 쭉 cn a의 n번째 열 이렇게 선형결합을 한 값이 0 0벡터가 된다는 뜻입니다. 자 그러면 모든 숫자가 다 0은 아니라고 했으니까 이 중에 적어도 하나는 0이 아닌 숫자가 하나 있을 것이고 일반성을 잃지 않고 c1을 그 0이 아닌 그 숫자라고 생각을 해보겠습니다. 그렇게 하면 우리는 a1을 이런 식으로 다른 A2에서 AN까지 다른 열들의 선형결합으로 나타낼 수가 있죠. 이것은 선형독립에 대해서 공부를 할 때 많이 해봤었죠. 그러면 어떻게 되느냐? 그 다음부터는 예를 들어서 설명을 해드리겠습니다. 이렇게 A라는 행렬이 있는데 자세히 보시면 이 첫 번째 열 6, 7, 12 이 열이 두 번째 열과 세 번째 열의 선형결합으로 나타나요. 이 첫 번째 열은 두 번째 열을 두 배 한 것과 세 번째 열을 한 배 한 것, 자기 자신으로 이렇게 두 개를 더하면 이게 나타나요. 2 더하기 4는 6, 2 더하기 5는 7, 6 더하기 6은 12, 그렇죠. 네, 그러면 이런 행렬이 있다 치면 이것의 alternating form의 값은 alternating form도 multi-linear form이니까 첫 번째 열에 대해서 선형사상의 성질을 적용시킬 수가 있고 이렇게 분해를 할 수가 있어요. 뒤에 1, 2, 3, 4, 5, 6은 변하지 않고 첫 번째 열만 이렇게 바꿔주었죠. 그러면 제가 아까 계속 강조를 하기를 똑같은 열이 두 개가 있으면 alternating form의 값은 자동으로 제로가 된다고 했어요. 그러니까 이건 그냥 제로가 돼요. 이런 원리로 한 열이 다른 열들의 선형결합으로 나타내질 수 있다면 이 행렬의 alternating form의 값은 자동적으로 제로가 되고 아까 한 열이 다른 열들의 선형결합으로 나타내질 수 있는 경우가 무슨 경우에요? 모든 이 열들이 이것들을 다 모아놨을 때 선형종속인 경우죠. 선형종속인 경우는 a가 비가역인 경우죠. 따라서 우리는 a가 비가역이면 alternating form의 값이 0이라는 걸 알았어요. 그러면 이제 이 명제를 알았으니까 어떤 a라는 행렬이 주어졌을 때 alternating form의 값이 0인 경우와 0이 아닌 경우 두 가지 경우가 존재하게 되겠죠? 그러면 0이 아닌 경우에는 우리가 확실히 a는 선형독립이다 하고 얘기를 할 수 있어요. 왜냐하면 a가 선형종속이었다면 절대로 이렇게 되지 않았을 테니까요. 그런데 a의 alternating form의 값이 0이라고 해서 우리는 a가 선형종속이라고 자랑스럽게 말할 수는 없어요. 왜냐하면 선형종속이면 이 값이 0이라고는 알고 있지만 역이 성립하는지는 아직 잘 모르거든요. 아까 한 말을 정리하면 a의 alternating form의 값이 0이 아니면 a는 가역이라고 a의 열들은 선형독립이라고 얘기를 할 수 있습니다. 반면에 A의 alternating form의 값이 0이면 우리는 아직은 잘 모릅니다. 자, 여기까지 명심해 두시고요. 두 번째 성질을 알아보도록 하죠. 두 번째 성질은 어떤 행렬이 주어졌을 때 그 행렬에 한 열의 다른 열의 상수배를 더하더라도 그 행렬의 값은 변하지 않는다는 것입니다. 이것은 예를 들어서 설명을 해드릴게요. a라는 행렬이 1, 1, 2, 1, 2, 4, 3, 7, 5 이런 행렬이 있다고 쳐보세요. 그러면 이걸 토대로 a'라는 새로운 행렬을 만드는데 두 번째, 세 번째 열은 바꾸지 않고 이렇게 첫 번째 열만 바꿨어요. 첫 번째 열을 어떻게 바꿔줬느냐? 원래 있던 첫 번째 열에서 두 번째 열에 2배를 이렇게 더해줬어요. 그렇게 해서 만들어진 이라는 열벡터를 여기에 세로에 넣어줬어요. 여기서 여기로 가는 과정은 그냥 두 번째 열의 2배를 첫 번째 열에 더해줬다라고 생각을 하면 되는 거예요. 그러면 이렇게 만들어진 a'이라는 행렬의 alternating form의 값은 이것은 아까 했듯이 multi-linear form의 성질에 의해서 이 두 번째 항을 보면 같은 열이 중복이 되는 행렬이므로 이것은 그냥 0이 됩니다. 따라서 이것과 이것은 같게 되고 새로 고쳐 만든 a'라는 행렬의 alternating form의 값은 원래 a라는 행렬의 alternating form의 값과 같게 됩니다. 아시겠죠? 그러면 아까 했던 것처럼 alternating 폼의 멀티리니어 폼으로서의 성질을 계속 이용해서 어떤 주어진 행렬의 alternating form의 값을 더 간단한 행렬들의 alternating form의 값으로 나타내는 것을 한번 해보겠습니다. 이 말은 무슨 뜻이냐면 이렇게 L이라는 선형사상이 있을 때 x, y 벡터를 어떤 벡터로 보내는 선형사상이 있을 때 이것을 우리가 x, y 모든 벡터에 대해서 이 선형사상의 함숫값을 알 필요가 없이 이렇게 0, 1 벡터에 대해서만 선형사상의 함숫값을 알면 이렇게 이런 선형사상의 성질을 이용해서 x, y 모든 벡터의 선형사상의 함숫값을 알 수 있는 것을 생각을 해보면 alternating form에서도 비슷한 일을 할 수 있을 것이라고 우리가 기대를 하는 것입니다. 자, 그러면 이제 제일 간단한 2 곱하기 2 행렬의 케이스부터 알아보도록 하겠습니다. 자, A, B, C, D 이렇게 4개의 성분을 가진 2 곱하기 2 행렬이 있으면 이것의 alternating form의 값은 자, 이 첫 번째 열에 대해서 linear transformation의 성질이 성립하므로 이렇게 나타낼 수 있습니다. 여기서 했던 것처럼 첫 번째 열을 이렇게 a 곱하기 1 0 더하기 c 곱하기 0 1 이렇게 분해를 해서 선형사상의 성질을 적용을 했죠. 이것을 하고 나면 이제 두 번째 열에 대해서도 똑같은 일을 할 수가 있습니다. 그렇게 하면 4개의 항이 생기게 되는데요. 이 중에서 제거해야 되는 항이 두 개가 있습니다. 어느 걸까요? 이것과 이것이죠. 왜냐하면 alternating form은 이렇게 두 개의 열이 똑같을 경우에 무조건 그 값이 0이 되는 것을 규칙으로 하고 있으므로 이렇게 두 개의 항은 없어지고 두 개의 항만 남게 됩니다. ad를 계수로 하는 두 개의 항이요. 그리고 이 두 개의 항도 하나로 묶어줄 수가 있는데 자세히 보면 이것은 단위행렬의 alternating form의 값이죠. 이것은 그대로 놔두고 이것은 행렬의 alternating form의 값인데요. 이것은 이 두 열을 바꿔주면 이렇게 이런 단위행렬이 되므로 이 값은 이 값에 마이너스를 붙여준 것과 똑같은 값이라고 할 수 있습니다. 따라서 이것을 이렇게 써줄 수가 있어요. AD-BC 곱하기 0 1 1 0 단위 행렬의 alternating form의 값. 생각을 해보면 우리는 이 a, b, c, d 행렬의 alternating form의 값을 알고 싶으면 이렇게 단위 행렬에서의 alternating form의 값 하나만 알고 있기만 하면 나머지는 ad-bc를 곱해서 자동적으로 알 수 있게 되겠죠. 그러면 이런 것을 3x3 행렬에 대해서도 똑같이 해보도록 하겠습니다. 이렇게 성분이 9개가 있는 3x3 행렬이 있어요. 아까 했던 것하고 똑같이 하기만 하면 돼요. 우선 첫 번째 열에 대해서 선형사상의 성질을 적용을 시킵니다. 그렇게 하면 이렇게 두 번째, 세 번째 열은 바꾸지 않은 채로 첫 번째 열만 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1 이런 행렬들로 바꾸고 앞에 계수를 a11, a21, a31 이렇게 첫 번째 열의 계수들로 뽑아내서 쓸 수가 있습니다. 자, 그렇게 하면 이렇게 세 개의 항이 생겼는데요. 이제 첫 번째 항부터 우선 보겠습니다. 아까 뽑아낸 3개의 항을 이렇게 써줄 수가 있어요. 두 번째, 세 번째 항은 여백이 부족해서 쓰지 않았고요. 첫 번째 항만 보시면 돼요. 첫 번째 항은 우선 아까 뽑아낸 계수 a11이 있고요. 이제 아까 그 행렬을 이 행렬을 두 번째 열에 대해서 선형사상의 성질을 적용시키기만 하면 돼요. 그렇게 하면 두 번째 열이 100, 010, 001 이렇게 된 행렬로 전부 다 바꾼 다음에 앞에 계수들을 두 번째 열의 계수들 a12, a22, a32를 각각 이렇게 뽑아내서 써주기만 하면 돼요. 그런데 이것들 중에서도 없애야 되는 항이 하나가 있죠. 이게 뭘까요? 바로 얘예요. 이렇게 두 개의 열이 똑같은 이것이 있으면 alternating form의 값은 무조건 제로가 되기 때문에 이 항은 볼 것도 없이 그냥 없애버립니다. 자, 그렇게 하면 이렇게 두 개의 항이 남았어요. 두 번째 항, 세 번째 항에서도 비슷한 일들이 벌어지겠죠. 각각 세 개의 항이 새로 생겼는데 그 중에 하나씩은 이렇게 없어지겠죠. 자, 그러면 이렇게 남은 두 개의 항을 다시 전개를 하는 걸 생각을 해보면 이 항은 마지막으로 세 번째 열에 대해서 선형사상의 성질을 적용을 시키면 이것, 이것, 이것 이렇게 a13, a23, a33 세 개의 계수가 앞으로 빠져나오면서 또 세 개의 항이 추가적으로 생기게 되겠죠 그런데 저는 왜 한 개의 항밖에 쓰지 않았을까요? 네, 나머지 항들은 전부 다 앞에 나왔던 열들이 똑같이 나오기 때문에 또 0이 되버리죠. 예를 들어서 A13을 계수로 하는 항은 이런 식으로 첫 번째 열, 세 번째 열 이렇게 똑같은 열이 두 개가 나오기 때문에 그냥 0이 되버리죠. 이렇게 하나의 항만이 살아남고 이 아래에서도 하나의 항만이 이렇게 살아남아요. 그러면 이 과정들을 두 번째 덩어리, 세 번째 덩어리에 대해서도 계속 반복을 시키면 어떤 결과가 나올까요? 아까와 마찬가지의 과정을 계속 반복을 하면 첫 번째 열, 두 번째 열, 세 번째 열에 대해서 연속적으로 선형사상의 성질을 적용을 시키면서 이렇게 행렬의 원소를 계수들로 앞으로 뽑아오는 과정을 반복을 하면 A의 alternating form의 값은 이렇게 나타내집니다. 아까 그 행렬을 A행렬이라고 하면요. 이렇게 첫 번째 열, 두 번째 열, 세 번째 열로 가면 1, 1, 1 단위 행렬의 alternating form이 앞에 나오고 앞에 나오는 계수는 a11, a22, a33 이렇게 나오죠? 이것이 하나의 항이고요. 이것 말고도 수많은 다른 항들이 있는데 자, 보세요. 첫 번째 열, 두 번째 열, 세 번째 열을 계속 따라가면서 alternating form의 성질, 즉 각 열마다 선형사상의 성질이 있다는 것을 계속 적용을 시켜나가면 파란색으로 쓴 열의 번호는 자, 빨간색으로 행의 번호, 파란색으로 열의 번호를 썼어요. 이렇게 aij 이렇게요. 그러면 파란색으로 쓴 열의 번호는 1번, 2번, 3번 계속 이렇게 늘어갈 거예요. 아래 모든 항들이 다 이렇게 생겼죠? 네, 그리고 빨간색으로 쓴 행의 번호는 처음에 1을 택했으면 나중에는 어떤 번호도 될 수 있는데 1은 다시 될 수가 없어요. 왜냐하면 alternating form의 값이 0이 되버리거든요. 그래서 1을 택했으면 다음에는 다른 거로 가야 되는데 한번 2로 가보자. 그 다음에는 3으로 가보자. 이렇게 해서 이 첫 번째 항은 행이 1행, 2행, 3행을 따라갔다는 증거예요. 그리고 옆에 나오는 이 행렬은 1, 0, 0을 갖다가 1이라고 그러고 0, 1, 0을 갖다가 2라고 그러고 0, 0, 1을 갖다가 3이라고 했을 때 1, 2, 3 행 순서대로 우리가 따라갔다는 증거예요. 자, 그러면 그런 식으로 이렇게 3가지 숫자를 따라가는 방법에는 몇 가지가 있을까요? 이렇게 3 팩토리얼 해서 6가지가 있어요. 그래서 이런 항에서부터 여섯 번째 항에 이르기까지 열은 1, 2, 3 계속 이렇게 증가를 하지만 행은 1, 2, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 3 이런 식으로 3개의 숫자를 섞는 방법에 우리는 6가지가 있다는 것을 이렇게 순서대로 써보면 알 수 있을 텐데요 이렇게 3개의 숫자로 만들 수 있는 3자리 수를 크기순으로 배열한다고 생각하면 돼요 이렇게 6개의 항들이 나오고 옆에도 마찬가지로 6개의 행렬들이 나와요. 정확히 말하면 그 행렬의 alternating form의 값들이 나와요. 예를 들어서 이 세 번째 항을 생각해보면 이 세 번째 항에 해당하는 순열은 2, 1, 3이니까 2번 벡터, 1번 벡터, 3번 벡터를 차례대로 늘어놓은 행렬이 나오겠죠. 이렇게요. 자, 그러면 아까 했던 것처럼 이 모든 행렬들을 전부 다 열을 바꾸는 것만으로 1, 1, 1 단위벡터의 alternating form 값으로 바꿀 수 있을까요? 행렬의 열을 일일이 바꾸는 것은 골치가 아프니까 이렇게 숫자 카드를 바꾸는 것과 똑같다고 생각을 하시면 돼요 여기 1, 3, 2라는 순열에 해당하는 이 행렬은 이런 배열과 똑같은데 한 번만 교환을 해주면 1, 2, 3 순서대로 늘어선 이런 단위행렬이 되겠죠. 따라서 이 행렬의 alternating form의 값은 한 번 바꿀 때마다 마이너스가 하나씩 들어가므로 단위행렬의 alternating form의 마이너스가 됩니다. 네, 이런 식으로 부호를 하나씩 우리가 붙여나갈 수 있어요. 자, 213은 어떨까요? 213이라는 배열을 마찬가지로 이거 하나만 바꾸면 한 번만 교환을 하면 123이 되니까 이것의 부호도 마이너스예요. 마이너스를 붙였다는 것은 이 alternating form의 값이 이 값에 마이너스 1배, 즉 마이너스 붙인 것하고 똑같다는 소리예요. 자, 그러면 이건 어떨까요? 2, 3, 1 2, 3, 1이라는 배열이 있으면 이것은 한 번 바꾸면 3, 2, 1 두 번 바꾸면 1, 2, 3 이렇게 되죠. 그 말은 한 번 바꾸면 마이너스가 되는 변화를 두 번 겪었으니까 그냥 곱하기 해가지고 이것과 이것은 같아요. 따라서 이것의 부호는 플러스가 됩니다. 삐딱하게 쓰니까 플러스가 마치 곱하기 1처럼 보이죠? 혼동을 막기 위해서 "-1", "-1", 이런 식으로 써주겠습니다. 이렇게 "-1", 이라고 썼던 것은 이 값이 이것의 "-1배", 라는 소리예요. 그래서 처음부터 끝까지 쭉 부호를 다 붙여보면 자기 자신이니까 당연히 플러스, 마이너스, 마이너스, 플러스, 3하고 1, 두 개 바꾸면 되죠? 마이너스 이것은 플러스, 플러스가 돼요. 왜냐하면 3, 2, 2를 갖다가 3, 1, 2를 갖다가 생각을 해보면 한 번 바꾸고 2번 바꿔야 123이 되니까요. 이런 식으로 여기 나온 모든 행렬들의 alternating form의 값은 단위 행렬의 alternating form의 값에다가 마이너스 1 또는 플러스 1을 곱한 것과 같다는 결론이 나오고, 따라서 이것들을 전부 이 행렬은 생각하지 않고 이 숫자 곱하기 이것, 이렇게 나타낼 수 있어요. 물론 여기서 나온 마이너스 1, 플러스 1 이런 것들은 앞에 다 반영을 시켜서 마이너스 이것을 플러스를 마이너스로 고치죠. 마이너스, 이런 식으로 다 부호들을 바꿔서 이항 곱하기 이 단위 행렬에서의 alternating form의 값, 이렇게 나타낼 수가 있어요. 그러면 방금 a의 alternating form의 값을 나타낸 것을 조금 더 쉽게 새로운 기호를 도입해서 나타내 보겠습니다. 이렇게요. 이것은 epsilon symbol이라고 불리는 기호입니다. 이름은 정확히 아실 필요는 없고요. 그냥 정의만 아시면 돼요. 여기에 들어가는 i, j, k는 각각 1, 2, 3 숫자 중에 하나예요. 숫자가 중복돼서는 안 되고 숫자는 반드시 이렇게 섞이기만 해야 돼요. 그러니까 i, j, k 순열을 만드는 데는 6가지 방법이 있겠죠. 아까 늘어놓은 방법들이요. 이 엡실론 심볼의 값은 플러스 1 아니면 마이너스 1 둘 중에 하나로 정해지는데요. 플러스 1로 정해지는 경우는 짝수 번의 맞교환으로 1, 2, 3이 만들어지는 경우에요. 여기서 짝수 번이라고 하면 0번도 포함하죠. 그래서 ε1, 2, 3은 그냥 플러스 1이에요. 반면에 마이너스 1이 나오는 경우는 홀수 번의 맞교환으로 1, 2, 3이 만들어지는 경우에요. 그래서 1, 3, 2라는 순열의 ε의 값을 생각해보면 아까 했던 것처럼 1, 3, 2 이 배열이 있으면 이렇게 맞교환을 한 번 해줘야 1, 2, 3으로 돌아오므로 한 번은 홀수 번이죠? 그러니까 이렇게 됩니다. 이렇게 6개의 순열에 대해서 전부 다 ε 심볼의 값을 정해줄 수 있고요. 이렇게요. 그러면 아까 alternating form의 값을 나타낸 것을 이 기호를 통해서 나타내면 a의 alternating form의 값은 i, j, k 3개의 숫자를 1, 2, 3의 순열로 섞을 때 이 파란색으로 쓴 열의 번호는 1, 2, 3으로 변하지 않고 이 앞에 빨간색으로 쓴 행의 번호 i, j, k만 가능한 모든 6개의 순열 1, 2, 3에서부터 3, 2, 1에 이르기까지 이렇게 쭉 변하고요. 이 뒤에는 부호를 고정해주기 위해서 epsilon i, j, k라는 기호가 들어가게 되고 이 모두가 1, 1, 1 이런 단위 행렬의 alternating form의 값으로 묶이게 됩니다. 이것은 시그마에 따라서 i, j, k에 따라서 달라지지 않으니까 이렇게 괄호로 다 묶을 수 있겠죠. 즉 이게 무슨 뜻이냐면 3 곱하기 3 행렬에 한해서, 아까 2 곱하기 2 행렬에서도 마찬가지였지만, 어떤 행렬의 alternating form의 값은 단위 행렬에서의 그 alternating form의 값을 알아내기만 하면 이렇게 자동적으로 정해진다는 것입니다. 그리고 아까 했던 epsilon의 정의를 이런 식으로 다르게 쓸 수도 있는데요. 이것은 플러스 1이 나오는 경우는 1, 2, 3으로부터 짝수 번의 교환을 통해서 i, j, k가 생성될 때라고도 볼 수 있고 마이너스 1이 나오는 경우는 1, 2, 3으로부터 홀수 번의 교환으로 i, j, k가 생성될 때라고도 볼 수 있어요. 두 정의는 약간 다르지만 결과는 같아요. 이것은 처음에 i, j, k부터 시작해서 1, 2, 3으로 바꾸는 거고 제자리로 돌아오는 거고, 이것은 1, 2, 3으로부터 시작해서 어떤 뒤죽박죽 섞인 순열로 가는 거죠. 예를 들어서 ε가 마이너스 1이 되는 과정을 다시 생각해보면 아까 말했던 것을 1, 2, 3으로 돌리는 방법도 있겠지만 거꾸로 1, 2, 3에서부터 시작을 해서 한 번의 교환을 통해서 1, 3, 2 이렇게 만들 수가 있으니까 홀수 번의 교환으로 1, 3, 2를 만들었으니까 1, 3, 2의 ε 심볼의 값은 마이너스 1이다. 이렇게도 이야기를 할 수 있는 거예요. 그러면 이것을 임의의 n 곱하기 n 행렬에 대해서 일반화를 시킬 수 있을까요? 그러면 자, 그러면 아까 여기서 3 곱하기 3 행렬에 대해서 했던 것을 n 곱하기 n 행렬로 일반화를 시켜 볼게요. a라는 정사각 행렬이 n 곱하기 n 행렬이에요. 그러면 이제 우선 ε i1에서 in까지 이 숫자들은 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8에서 n까지 이 숫자들을 뒤섞은 것이고요. 이 i1에서 in까지 이 순열에 대해서 ε 기호를 정할 수가 있어요. 이렇게요. 이것은 +1인 경우도 있고 -1인 경우도 있는데, +1인 경우는 1에서 n까지의 똑바로 정리된 순열이 짝수 번의 맞교환을 통해서 이렇게 되는 경우하고, -1이 되는 경우는 이렇게 똑바로 정리된 순열이 홀수 번의 맞교환을 통해서 이렇게 되는 경우에요. n이 7인 경우를 묘사를 하기 위해서 이렇게 빨주노초파남보 카드를 준비했는데요. 1번에서 7번까지요. 그러면 여기다가 제가 적절한 맞교환을 가해 보겠어요. 우선 4하고 5가 맞교환의 대상이 되었고요. 또 7하고 2 마지막으로 7하고 5 이렇게 해서 1, 5, 3, 7, 4, 6, 2 이런 순열이 생겼어요. 자, 그러면 저는 아까 맞교환을 몇 번 했죠? 네, 3번 했죠? 즉, 이런 순열의 ε 심볼의 값은 홀수번에 맞교환을 했으니까 -1이란 말이에요. 자, 이런 식으로 n개의 숫자가 있으면 n 팩토리얼 개의 순열에 대해서 이렇게 플러스, 마이너스를 정해줄 수가 있겠죠. 그러면 이제 아까하고 마찬가지로 열의 자리에는 1에서 n까지 이렇게 순서대로 써주고 행의 자리에는 i1에서 in까지 하나의 순열이 주어질 때마다 이렇게 행의 번호를 바꿔가면서 항을 만들어서 n개의 행렬 원소들을 곱해서 항을 만들어요. 그리고 부호는 여기 있는 엡실론 심벌이 정해줄 거고요. 이런 항들이 n 팩토리얼 개가 더해지겠죠. 마지막으로 n차원 단위 행렬에서의 alternating form의 값이 이렇게 곱해지면 완성이 돼요. 즉 n 곱하기 n 행렬에서도 alternating form의 값은 이렇게 단위 행렬에서의 값만 알면 이런 작업을 통해서 알 수가 있게 됩니다. 자 그럼 우리가 이렇게 임의의 자연수 n에 대해서 Epsilon i1에서 iN까지 1에서 N까지의 숫자의 모든 순열의 플러스 또는 마이너스 부호를 붙여주는 이 Epsilon Symbol이라는 것에 대해서 얘기를 했고 그것을 이용해서 Alternating Form의 값을 이야기를 했는데요. 그러면 한 가지 짚고 넘어가야 될 사실이 있습니다. 이 Epsilon Symbol은 잘 정의되는가 하는 것입니다. 이것을 체크하기 위해서는 세 가지 점을 짚고 넘어가야 되는데요. Epsilon Symbol의 정의는 먼저 이 순열들이 어떤 순열이라도 1, 2, 3, 4, 5, 6부터 n까지 이 잘 정리된 순열에서부터 몇 번의 맞교환을 통해서 모두 만들어질 수 있다는 가정으로 시작을 했습니다. 그런데 과연 그게 사실일까요? 그러니까 어떤 순열도 여러 번의 맞교환만으로 만들어질 수 있을까요? 예를 들어서 이것을 보시면 7, 4, 1, 6, 2, 5, 3 이것이 있는데 이것을 과연 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7로부터 오로지 두 개의 숫자들을 맞교환하는 것들을 반복하는 것만으로 만들어질 수 있을까요? 이 물음에 대한 정답은 그렇다입니다. 왜냐하면 거꾸로 생각을 해보면 돼요. 이 숫자를 이렇게 써 놓고 마치 책을 정리하듯이 이것을 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7로 정리한다고 생각해보세요. 이것을 보시면 먼저 1을 첫 번째 자리로 돌려놔야겠죠? 그러면 7과 1을 교환해줍니다. 그러면 이렇게 됐죠? 자 그럼 이제 2를 맨 앞으로 바꿔야겠죠? 다음은 3 다음은 4 다음은 5와 6 이렇게 5번의 맞교환만으로 1,2,3,4,5,6,7이 완성이 됐죠 그러면 이 순서를 쭉 이렇게 써 봐요 아까 완전히 정리되기 직전에 이렇게 됐었죠? 그리고 한 번의 교환만으로 이렇게 되었죠 자 그럼 이 순서를 그대로 반복을 하면 그대로 거꾸로 반복을 하면 어떤 순열이라도 1234567 이렇게 완전히 정리된 순열로부터 만들어질 수 있음을 알 수 있게 됩니다 따라서 첫 번째 물음에 대한 정답은 그렇다 입니다 자 그러면 2번 질문. 이 ε 심볼의 ± 값을 결정시켜주는 데는 이 교환의 횟수가 굉장히 중요한 역할을 했는데요. 아까 저는 딱 5번만으로 교환을 모두 완료했죠. 그러면 두 번째 물음은 그 맞교환의 횟수는 순열이 한 번 정해지면 유일하게 결정되냐 하는 것입니다. 즉, 저는 여기서부터 출발해서 여기까지 가는데 5번이 걸렸으므로 아까 그것을 거꾸로 반복을 하면 1,2,3,4,5,6,7을 5번의 맞교환만으로 7,4,1,6,2,5,3 이렇게 만들 수 있다는 뜻인데요 자 그러면 1,2,3,4,5,6,7을 이렇게 만드는데 무조건 5번만 걸릴까요? 그건 당연히 아니죠 왜냐하면 이렇게 가장 빠른 길을 알고 있는 사람은 5번에 끝낼 수도 있지만 그냥 아무렇게나 섞어보다가 이런 순열이 나오기를 기다리는 사람에게서는 100번도 어쩌면 걸릴 수가 있겠고 200번도 걸릴 수가 있겠고 그렇겠죠 예를 들어서 큐브를 맞추는 걸 생각을 해보면 잘 맞추는 사람은 1분만에 맞추고 하지만 정말 못 맞추는 사람은 1시간, 2시간이 걸려도 맞추지를 못하죠 똑같은 겁니다 따라서 2번 질문에 대한 대답은 그렇지 않다입니다. No. 자 그러면 이제 정말 중요한 건 3번 질문이죠. 맞교환의 횟수가 유일하지 않다는 건 알겠다. 하지만 이 ε 심볼의 값은 맞교환의 횟수가 그렇게 중요한 건 아니지. 정말 중요한 건 그 맞교환 횟수가 짝수였냐 홀수였냐 하는 것이다. 맞교환 횟수의 홀짝성은 유일하게 결정되는가 하는 것입니다. 만약에 홀짝성이 유일하게 결정이 된다면 어떤 사람은 이걸 맞추는데 5번 걸릴 수도 있고 어떤 사람은 전혀 계획없이 움직여서 107회가 걸릴 수도 있고 341회가 걸릴 수도 있지만 이 맞교환 횟수는 무조건 홀수가 된다는 것입니다. 만약에 이 질문에 대한 대답이 그렇지 않다면 이 맞교환 횟수가 반드시 홀수가 될 필요 없이 짝수가 될 수도 있다는 소리입니다. 이렇게 짝수 번 섞어도 1234567에서부터 7, 4, 1, 6, 2, 5, 3 이런 순열이 나올 수 있다 라는 소리입니다 만약에 이 질문에 대한 대답이 그렇지 않다면 이 엡실론 심볼은 정의조차 되지 않습니다 그렇죠? 그럼 이 질문에 대한 대답은 무엇일까요? 네 다행히도 그렇다 입니다 Yes 네 1번, 2번 질문에 대한 대답은 비교적 쉽게 했는데 3번 질문에 대한 대답을 하기 위해서는 조금 머리를 굴려야 됩니다. 그래서 3번 질문에 대한 대답을 하기 위해서 새로운 변수를 정의하겠습니다. 그것이 바로 역전수라는 것입니다. 역전수, 영어로는 number of inversion 이렇게 얘기를 하는데요 여기서 역전수라는 건 역전의 수를 말하는 겁니다 역전의 수는 무엇인가 이런 순열이 있을 때 원래는 작은 것부터 큰 것 순서대로 정렬이 돼야 되지만 보다 보면 이렇게 1번 7번 이렇게 7번이 1번 앞에 있죠. 또 4번이 1번 앞에 있죠. 이런 식으로 큰 수가 작은 수 앞에 있는 쌍의 개수를 역전수라고 합니다. 그렇게 큰 수가 작은 수의 앞에 있는 것을 역전이라고 하고요. 그렇게 일어난 모든 역전들의 횟수의 합을 구한 것이 바로 역전수입니다. 그러면 연습삼아 이 순열에는 역전수가 무엇인지 한번 세보도록 하겠습니다. 1번을 기준으로 보면 1보다 큰 수이면서 앞에 있는 것들 2개가 있죠? 2를 기준으로 하면 2보다 큰 수이면서 이 앞에 있는 것들 3개가 있죠? 3보다 큰 수이면서 3 앞에 있는 것들 4개가 있죠? 5보다 큰 수이면서 5 앞에 있는 것들 6번에 대해서는 하나 7에 대해서는 셀 수가 없죠. 7보다 큰 수는 어차피 이 수열에는 없으니까요. 그래서 이거를 다 더하면 역전수가 나오게 됩니다. 이 경우에는 13이 되겠네요. 제가 지금부터 주장하려고 하는 것은 이 역전수의 홀짝성과 맞교환 횟수의 홀짝성이 같다는 것입니다. 이 역전수는 순열이 하나 주어지면 무조건 이렇게 유일하게 계산을 할 수가 있죠 여기서는 역전수가 13으로 홀수이죠 제가 주장하는 것은 이 13이 홀수이면 이 순열에서 이 똑바로 정리된 순열로 가는 횟수 또는 똑바로 정리된 순열에서 이 주어진 순열로 가는 횟수는 여러가지 다른 방법이 있을 수도 있겠지만 누군가는 5번 누군가는 17번 누군가는 수많은 횟수 이렇게 갈 수 있겠지만 이 모든 횟수가 다 이거하고 똑같이 홀수가 된다는 사실입니다 만약에 이 순열의 역전수가 짝수였으면 이 섞는 방법의 횟수는 무조건 짝수가 되어야 하고요 네, 그 사실을 지금부터 증명을 해드리도록 하겠습니다. 자, 여기 1, 4, 7, 6, 5, 2, 3 순열이 보이시죠? 이것은 이 교환의 중간 단계에 있는 순열을 하나 표현해 본 것입니다. 자, 그러면 역전수에 대해서 이야기를 하기 위해서는 이 맞교환에는 어떤 것들이 있는지 알아보아야 합니다 그리고 그 맞교환을 할 때마다 역전수가 어떻게 바뀌는지 그것에 대해서 알아보도록 하겠습니다 먼저 교환에는 이렇게 바로 옆에 붙어 있는 것을 i, j를 j, i로 바꾸는 것처럼 바로 옆에 있는 걸 맞교환하는 방법이 있습니다 예를 들어서 여기 보시면 6, 7을 갖다가 바꿔서 7, 6을 만든다 하는 방식으로 말이죠 자 그러면 이렇게 교환을 했을 때 이 전체 순열의 역전수는 어떻게 변화할까요? 우선 우리가 고려해야 될 것은 이렇게 바꾸는 거에 바깥쪽에 있는 것들은 고려를 할 필요가 없어요 그렇죠 여러분들이 버스를 기다릴 때 이렇게 줄을 서 있으면 자기 앞에서 뭐 사람들이 새치기를 하건 말건 뒤에서 새치기를 하건 말건 별 신경을 안 쓰죠 어차피 내가 버스를 기다려야 될 사람의 수는 똑같으니까 오로지 신경을 쓰는 경우는 내 뒤에 있는 사람이 앞으로 가거나 앞에 있는 사람이 뒤로 가거나 할 때죠 그럴 때서야 비로소 자기 앞에 서 있는 사람들의 숫자가 변하니까 말이죠 자 그러면 6하고 7을 바꾸더라도 이 4와 7의 역전이 일어나는지 1과 7의 역전이 일어나는지 이런 것들은 전혀 바뀌지 않아요 자 그러면 이 안에 것들만 신경을 쓰겠습니다 이 옆에 붙어있는 걸 두 개를 바꾸면 아까 7, 6이 역전이었는데 6, 7이 돼서 역전이 하나 없어졌죠 반대로 만약에 이런 식으로 놓여있는데 이걸 바꿨으면 아까 6,7이 역전이었는데 7,6이 되므로서 6,7이 역전이 아니었는데 7,6이 되므로서 역전이 하나 더 생기게 되죠 따라서 바로 옆에 있는 걸 바꾸면 역전수는 플러스 1이 되거나 또는 마이너스 1이 됩니다 따라서 홀짝이 바뀌게 됩니다 원래 역전수가 홀수였으면 짝수가 되고 짝수였으면 홀수가 됩니다 두 번째 경우요 이렇게 바꾸고자 하는 숫자 사이에 i하고 j 사이에 k라는 숫자가 하나 껴있어요. 이 상황에서 7, 6, 5에서 7하고 5를 바꾸는 경우를 생각을 해보는 거예요. 6이라는 숫자가 껴있죠. 이번에도 역시 바깥에 있는 숫자들은 고려를 할 필요가 없게 되겠죠. 7과 5를 바꾼다고 생각을 해봅시다. 자 그러면 얘네들 사이에 역전수의 변화만 일어나니까 7과 6사이 6과 5사이 이것들을 일단 확인을 해보죠 자 일단 7과 6은 역전이었고 6과 5는 역전이었어요 이렇게 하면 5와 6은 역전이 아니고 6과 7은 역전이 아니죠 올바른 순서죠 따라서 6과 관련된 역전수는 2가 줄어들었어요. 따라서 6과 관련된 역전수는 역전수의 홀짝을 바꾸지 않아요. 처음에 홀수였으면 그대로 홀수고 처음에 짝수였으면 그대로 짝수예요. 근데 역전수의 변화가 일어난 쌍이 하나 더 있죠. 바로 바꾼 자기 자신이죠. 아까 7과 5일 때 역전이었는데 5와 7일 때 역전이 아니게 돼서 역전수가 하나 줄어들었죠. 즉 이렇게 사이에 하나가 껴 있을 때는 하나 껴 있는 숫자와 관련된 역전수는 홀짝을 바꾸지 못하고 이렇게 5, 6, 7 순서대로 숫자 순서대로 이렇게 자라나고 있을 때 이럴 때는 뭐 플러스 2가 되거나 마이너스 2가 되고요. 그래서 홀짝이 바뀌지 않고 유일하게 홀짝을 바꾸는 것은 바꾸는 이 두 개 5와 7 자기 자신밖에 없죠? 이 순서가 5, 6, 7 순서가 아니라 6, 5, 7 순서였어도 상관이 없어요. 이때 6하고 7을 바꾼다고 생각을 해보면 6하고 5는 역전이었고 5하고 7은 역전이 아니었죠? 5하고 6은 역전이 아니게 됐고 7하고 5는 이제 역전이게 됐어요. 따라서 가운데 있는 숫자 5와 관련된 역전수는 변하지 않았어요. 0이에요, 변화가. 다만 변한 역전수는 6과 7과 관련된 역전수였죠. 아까는 6, 7이 역전이 아니었는데 지금 7, 6이 됨으로써 역전수가 하나 늘었죠. 따라서 이번에도 가운데 있는 숫자 5와 관련된 역전수는 그 변화는 홀짝을 바꾸는 데는 아무런 소용이 없고 이런 순서로 있어도 홀짝을 바꾸는 데는 아무런 소용이 없고 오로지 6과 7의 교환만이 홀짝을 바꾸게 돼요. 따라서 이 경우에도 한 번의 맞교환으로 역전수의 홀짝은 바뀌게 됩니다. 그러면 사이에 숫자가 이렇게 k1에서 kr까지 몇 개가 들어있던 간에 이번에 논의를 똑같이 생각을 할 수가 있겠죠. 이렇게 4와 6을 바꾼다고 생각을 해보세요. 그러면 4, 7, 6 이 세 개의 쌍과 4, 5, 6 이 세 개의 쌍에 대해서 아까 이 논의를 똑같이 전개를 하면 이런 경우에도 역전수의 홀짝성은 무조건 바뀌게 됩니다. 제가 이 세 가지 경우를 나누어서 설명을 했던 것은 바로 한 번 맞교환을 할 때마다 이 역전수라는 것은 무조건 홀짝이 바뀌게 돼있다 라는 소리예요. 자 그러면 생각을 해보죠. 이것의 역전수를 아까 세봤더니 홀수였죠. 13이었죠. 자 그러면 1234567에서부터 시작을 해서 몇 번의 맞교환을 통해서 여기까지 왔다고 했을 때 한 번 맞교환을 할 때마다 홀짝이 바뀌죠. 처음에는 이거 역전수가 0이었죠. 0은 짝수죠. 그러면 한 번 맞교환을 하면 홀수가 돼요. 홀짝 홀짝 홀짝 홀짝 하다가 마지막에 도착한 곳이 홀수였어요. 그렇게 되면 무슨 뜻이죠? 맞교환이 홀수번 일어났다는 소리죠. 만약에 마지막에 도착한 곳의 역전수가 짝수였으면 짝수에서부터 출발해서 짝홀 짝홀 짝홀 짝홀 하다가 마지막에 짝수가 종착지라면 짝홀 짝홀 바꾸는 것을 짝수번 했다는 소리죠. 즉 이 세 번째 질문에 대한 답은 그렇다 이고요. 이 맞교환 횟수의 홀짝성이라는 것은 바로 그 순열에 역전수의 홀짝성과 같다는 것을 우리가 설명을 드렸습니다. 자 그럼 방금까지 이 ε 심볼이 잘 정의된다는 것을 보였으니까 이렇게 alternating form의 값을 쓰는 것이 정당화 될 수 있겠죠. 자 그러면 이 수많은 alternating form 중에서 우리가 원하는 alternating form의 값을 골라내기 위해서는 어떤 Alternating Form을 특정하기 위해서는 이렇게 이 Alternating Form의 단위 행렬에서의 값만 알면 된다는 것을 알았어요. 자 그러면 이제 특별히 단위 행렬에서의 값이 1이 되는 특정한 Alternating Form을 우리가 Determinant라고 정의하도록 하겠습니다. 우리말로 하면 행렬식이라고 정의하도록 하겠습니다. 표기법은 determinant of 어떤 matrix. 이렇게 다 성분을 쓸 수도 있고 그냥 a라는 기호 하나만 쓸 수도 있어요. 이런 식으로요. 그러면 이 정의는 어떻게 바뀌게 되죠? 이것이 1이니까 없애도록 하고 이것은 이렇게 쓸 수 있겠죠. 즉 어떤 행렬 a의 determinant 값은 행렬식의 값은 n 곱하기 n 행렬이니까 i1에서 in까지 이렇게 수많은 순열에 대해서 이 순열들은 1에서 n까지 똑바로 정리된 순열을 마구 섞은 거예요. 이런 순열은 n 팩토리얼 가짓수가 나올 수가 있죠. 아까 봤던 것처럼요. 이런 행렬 원소에 대한 연산을 해준 다음에 파란색으로 쓴 열의 번호는 1에서 n까지 이렇게 증가를 시켜나가고 빨간색으로 쓴 행의 번호는 순열에 따라서 이렇게 섞어준다. 그리고 앞에 이런 식으로 엡실론 심볼로 정해진 부호를 붙여준다. 이것이 바로 determinant의 정의다 라고 할 수 있겠죠. 그러면 2 곱하기 2 행렬의 determinant는 아까 봤던 것처럼 ad-bc 이렇게 나오게 되고요. 3 곱하기 3 행렬의 determinant는 이렇게 아까 epsilon을 써서 했던 정의처럼 파란색은 1에서 3까지 그대로 이렇게 쭉 가고 빨간색은 1, 2, 3, 1, 3, 2 이런식으로 여러가지 순열에 대해서 쭉 항을 쓰고 epsilon 심볼에 따라서 minus 또는 plus 부호들을 이렇게 붙여줘서 n 팩토리얼 개의 항, 여기서는 3 팩토리얼 해서 6개의 항을 다 더해주는 것이 바로 determinant의 정의가 되겠습니다. 자, 그러면 determinant는 여러가지 성질들이 있는데요. n 곱하기 n 행렬에 모두 적용되는 성질이지만 간단하게 설명하기 위해서 3 곱하기 3 행렬에 대해서만 예를 들어서 보여드리겠습니다. determinant a는 3x3 행렬일 때 epsilon ijk 이런식으로 정의가 되는데요. 자 그러면 a의 transpose의 determinant는 어떻게 나올까요? 식으로 쓰면 i하고 j의 자리가 행하고 열의 자리가 바뀜으로 이렇게 나오게 되겠죠. 자 그러면 이것이 무엇일까라고 생각을 해볼 수가 있는데 약간 머리를 써서 a 대신에 a'이라는 행렬을 여기 넣어줍니다. a'이라는 행렬은 a의 1열과 2열을 이렇게 뒤바꿔준 거예요. a라는 행렬이 있으면 1열과 2열을 이렇게 뒤바꿔준 거예요. 그러면 이것은 이렇게 쓰여지는데 열의 번호가 바뀌었으니까 j하고 i가 되겠죠 그러면 이 i, j, k는 어차피 그냥 덧셈을 하는 인덱스니까 j를 i로, i를 j로 써도 상관이 없겠죠 이렇게 쓸 수가 있죠 그러면 i, j, k와 j, i, k는 서로 마이너스 관계에 있죠 따라서 이 앞에 마이너스 1을 빼줄 수가 있고 i, j, k가 돼줄 수가 있고 이 식과 비교를 하면 원래 행렬 A를 트랜스포즈를 한 다음에 determinant를 한 것에 minus가 붙음을 알 수 있습니다. 즉, 원래 A라는 행렬이 주어졌을 때 A를 트랜스포즈를 하고 determinant를 한다는 것은 또 다른 형태의 alternating form을 보이는 것이고요. 이것도 alternating form이에요. 어떤 alternating form의 값은 a가 단위행렬일 때의 값만 알면 유일하게 정해진다고 했죠? 단위행렬을 넣어보면 단위행렬일 때의 값이 1임을 알 수 있어요. 즉, 단위행렬일 때의 값이 1인 alternating form이니까 이것은 그냥 determinant a예요. 곱하기 1 이렇게 a의 행렬식의 값과 a transpose의 행렬식의 값이 같다는 것은 a의 행렬식의 정의를 이런 식으로도 쓸 수 있지만 이런 식으로도 쓸 수 있다는 뜻이에요. 그리고 이런 식으로 쓸 수 있다는 것은 원래 열의 번호를 123으로 고정하고 행의 번호를 ijk로 막 섞었던 것과 반대로 행의 번호를 123으로 고정하고 열의 번호를 ijk로 섞을 수도 있다는 것을 의미하고요. 그렇게 해도 똑바로 된 행렬식 값이 나온다는 것을 의미하고요. 따라서 여기에 이런 식으로 정의를 하면서 첫 번째 열, 두 번째 열, 세 번째 열을 따라가면서 이렇게 각각 선형사상의 성질을 적용시켜가면서 이렇게 써주었지만 사실은 이것은 반대로 각 행을 첫 번째 행, 두 번째 행, 세 번째 행을 이 행들에 대해서 각각 선형사상의 성질이 성립한다 라고 가정을 하고 첫 번째 행에 대해서 먼저 전개를 하고 두 번째 행에 대해서 전개를 하고 세 번째 행에 대해서 전개를 하는 식으로 계산을 해나가도 똑같은 결과가 나옴을 의미를 합니다. 그러면 행렬식의 또 하나의 성질을 살펴보도록 할게요. 이렇게 a라는 b라는 두 개의 행렬이 있는데 이 두 개를 곱해서 c라는 행렬이 나왔다고 생각을 해보세요. 그러면 이 c라는 행렬의 행렬식의 값이 determinant의 값이 궁금해지죠? 이 c라는 행렬의 성분 cij는 이런 꼴로 정의가 되고요. 따라서 determinant의 정의에 그대로 넣어보면 이런 꼴의 식이 됩니다. 좀 복잡하죠? 그러면 아까하고 마찬가지 논리를 이번에는 a행렬이 아니라 b행렬에 대해서 적용을 시켜보도록 하겠습니다. 아까 B행렬 대신에 B'이라는 새로운 행렬을 넣어주고 그러면 이 곱행렬은 C'이 되겠죠? 이 B'의 정해진 방법은 아까하고 마찬가지로 이번에는 B에 대해서 B의 첫 번째, 두 번째 열을 바꿔보는 겁니다. 여기서는 편의상 첫 번째, 두 번째 열이라고 했지만 사실 어떤 두 열을 바꿔도 상관없어요. 아까 transpose의 논의에서도 마찬가지였고요. 그러면 이렇게 새로 만들어진 C'의 determinant의 값은 어떻게 나올까요? 식을 그대로 써보면 이렇게 되고 아까 있는 식에서 1하고 2만 바뀌었죠. 그러면 이제 1하고 2의 순서를 맞춰주기 위해서 이 두 개의 항을 바꿔줬어요. 그럼 이렇게 돼요. 그러면 여기 있는 p하고 q는 어차피 그냥 summation의 인덱스이므로 상관이 없고 바뀌어도 근데 한 가지 거슬리는 게 있죠? 여기 있는 j와 여기 있는 i는 여기 있는 i와 j와 연결이 돼서 바꾸면 뭔가 좀 곤란해지죠? 역시 여기 있는 i를 j로 j를 i로 summation의 인덱스니까 바꿔주면 원래 식은 아까하고 똑같은 꼴이 되는데 앞에 있는 ε의 i와 j의 위치가 바뀌었죠. 그렇게 되면 어떻게 돼요? 이렇게 마이너스 부호가 붙게 되죠. 즉 determinant a, b라는 함수는 b라는 행렬에 대해서 alternating form으로서의 성질을 가진다 라는 것입니다. 그러면 제가 아까 계속 얘기를 했었죠. 어떤 alternating form의 특성을 완벽하게 조사하기 위해서는 그냥 b라는 행렬이 단위행렬일 때만 조사해보면 된다고 어차피 모든 alternating form의 표현은 determinant 곱하기 어떤 상수 이렇게 나오게 되겠죠? 아까 정의를 생각해보면 그럼 이 상수가 어떻게 나오는가를 알아보기 위해서 이 자리에 단위행렬을 넣어봤어요 그러면 이 상수가 그냥 determinant a라는 걸 알게 되죠 그러니까 determinant a 곱하기 b는 각각의 행렬의 determinant를 구해서 두 숫자를 곱해준 것과 같다는 결론이 나오게 됩니다. 이것이 얼마나 대단한 결과인지 잘 감이 안 오시죠? 이 결과를 이용하면 a라는 행렬이 만약에 가역행렬이라면 a⁻¹이라는 역행렬도 존재하게 되고 이 역행렬의 determinant도 정의를 할 수 있겠죠. 그 역행렬의 determinant하고 원래 행렬의 determinant를 곱하면 단위행렬의 determinant가 되니까 1이 될 텐데 그러면 두 개의 숫자를 곱해서 1이 나왔다는 건 둘 중에 어느 하나도 0이 될 수 없다는 소리죠. 자, 이 숫자는 절대로 0이 될 수 없어요. 0이 아니에요. 이렇게. 자, 그러면 아까 저는 a가 가역이라면 a의 어떤 alternating form의 값이 0이 될 수도 있고 아닐 수도 있다. 아직 우린 잘 모른다. a가 비가역이면 우리는 a의 alternating form의 값이 무조건 0이라고 할 수 있다. 라고 다소 불완전하게 a의 가역성을 가려내는 방법을 말씀드렸어요. 이것을 보시면 아까 그 결과와 조합을 하면 우리는 확실하게 말할 수 있어요. a가 가역이면 곧 determinant a는 0이 아니다. determinant도 alternating form의 일종이니까요. a의 determinant 값이 0이 아니면 a는 곧 가역이다. 두 개는 같은 말이다. 그리고 a가 비가역이면 determinant a는 0일 수밖에 없다. determinant a가 0이면 a는 비가역이다. 이렇게 determinant라는 것이 a가 가역인지 비가역인지 확실하게 골라낼 수 있는 성질이라는 것을 설명을 드렸습니다. 자, 이제 우리는 행렬식에 대해서 기본적인 사항을 알아봤고요. 자, 그런데 2 곱하기 2 행렬은 그렇다 치고 3 곱하기 3 행렬부터 행렬식을 계산하기가 좀 까다로워지죠. 실제로 9개의 숫자가 늘어서 있는 3 곱하기 3 행렬이 있을 때 행렬식을 금방 계산하는 것은 네, 아까 정의만 생각하면 굉장히 어려워요. 하물며 이것도 그런데 4x4 행렬, 5x5 행렬 이런 큰 사이즈의 행렬들은 더 복잡하겠죠. 그래서 이렇게 큰 사이즈의 행렬식을 쉽게 계산하는 방법 그리고 이 행렬식의 더 깊은 여러 가지 성질들에 대해서 다음 시간에 알아보도록 하겠습니다. 감사합니다.