10강 - 연립방정식 Ⅰ

안녕하세요 선형대수학 10번째 강의를 시작하도록 하겠습니다 이번 시간에 우리는 연립방정식에 대해서 배워볼 건데요 여기서 말하는 연립방정식은 1차 연립방정식을 말합니다 우리는 간단한 형태의 연립방정식을 초등학교 때부터 배워오고 있었어요 그래서 그 내용은 처음에는 좀 쉽다고 생각할 수도 있지만 이제 우리가 선형대수학을 어느 정도 배웠으니까 연립방정식을 그동안 알고 있던 방법이 아니라 선형대수학의 시각에서 새로운 관점으로 접근을 해볼 겁니다. 따라서 이 수업은 연립방정식에 대한 것이지만 이 수업을 제대로 알아듣기 위해서는 지난 시간에 배웠던 모든 것들이 다 필요하다고 생각하시면 됩니다. 차원정리도 있고 바로 지난 시간에 9강에서 배웠던 Change of Basis, 기저 변환에 대한 내용도 필요합니다. 내용이 잘 생각 안 나시는 분은 앞에 강의를 돌려보셔도 괜찮고요. 그 내용이 필요하다 싶은 부분에서는 제가 다시 다 한번씩 짚고 넘어갈테니까 뭐 굳이 그렇게 하시진 않으셔도 상관없습니다. 네 그럼 들어가보도록 하겠습니다. 초등학교 교실 분위기가 나라고 동물 그림들을 붙여놨는데요. 여긴 두루미가 있고 여긴 거북이가 있습니다. 둘 다 오래 사는 동물들이죠. 얘는 500원짜리에 있는 자 그러면 우리가 처음에 연립방정식에 대해서 배울 때는 흔히 이렇게 두 종류의 동물을 갖다 놓고 이렇게 배웠습니다. 두루미와 거북이가 있을 때 이놈들을 전부 다 세봤더니 합쳐서 100마리가 있었어요. 네, 그리고 이 동물들의 다리를 전부 다 세봤더니 다리가 354개. 그런 다리 수가 나왔습니다. 네, 이때 문제는 이 동물 중에 두루미가 몇 마리, 거북이가 몇 마리 있냐 이것이 문제입니다. 이것을 간단하게 방정식으로 나타내면 이렇게 되겠죠? 두루미의 마리수가 x, 거북이의 마리수가 y라고 할 때 두 동물을 합치면 100마리가 있다고 했으니까 이렇게 되죠? 그리고 두 동물의 다리수를 전부 합치면 354개가 된다 했는데 두루미는 한 마리당 다리가 2개가 있고 거북이는 한 마리당 다리가 4개가 있으니까 네, 이렇게 방정식을 쓸 수 있어요. 우리가 하고자 하는 것은 이 두 방정식을 동시에 만족시키는 x와 y 값을 찾는 것이고요. 이것을 우리가 연립방정식을 푼다라고 흔히 얘기를 하죠. 네, 그러면 연립방정식을 흔히 우리가 풀던 방법대로 한번 풀어볼게요. 먼저 두 식이 있을 때 두 식을 1번, 2번식이라고 하죠. 그러면 이제 2번식에다가 2분의 1을 곱해봐요. 즉 2번식을 2로 나눠봐요. 네, 이렇게 식이 나왔죠? 그럼 이제 두 식에 x라는 것이 공통되게 포함이 되어 있으니까 이 식에서 이 식을 빼볼게요. 이것을 1번식, 이것을 변화된 2' 이런 식이라고 하면 여기서 이것을 빼볼게요. 네, 그러면 y는 77, 즉 거북이가 77마리, 77마리 있다는 결과가 나오고요. 따라서 이 결과를 그대로 1번식에 대입하면 연립방정식 Ⅱ 지금 공통된 항이 잘 보이지 않죠? 여기는 x, y, 여기는 2x, 4y니까요. 그래서 둘 중에 하나를 골라서 적당한 숫자로 곱해요. 또는 적당한 숫자로 나눠요. 그렇게 해서 두 식을 이렇게 공통된 항이 보이게 x라는 항이 보이게 만든 다음에 한 식에서 한 식을 빼든지 해서 이렇게 한 문자만 남겨요. 그렇게 해서 한 문자에 대해서 값을 구하고 이제 이것을 원래 식에 넣어서 나머지 문자로 구하는 이런 것이 연립방정식을 푸는 일반적인 방식이죠. 이것을 한번 그래프로 그려보면 네, x와 y의 평면이 있어요. 이때 x 플러스 y는 100이다. 거북이와 두루미를 합쳐서 100마리가 나왔다 하는 것은 네, 네. 두루미와 거북이의 숫자가 x, y라고 했을 때 x마리, y마리가 있다고 했을 때 그 거북이와 두루미의 숫자를 나타내는 x, y라는 점의 위치가 이 직선상에 있다는 뜻이죠. 이 식 선상이에요. 이 식도 마찬가지로 이렇게 그래프로 나타내 보면 네, 이렇게 되고요. 이것을 그래프상에 나타내면 네, 대충 이렇게 되겠죠? 이 양 끝점의 좌표는 이렇게 식에서 직접 얻을 수도 있고 또는 x를 0으로 두었을 때 y값은 이렇게 4y는 354 해서 여기는 88.5 그리고 이 점의 좌표값은 y를 0으로 두어서 이렇게 그러면 x는 354를 이등분하는 값 177 이렇게 나타낼 수 있고요. 그러면 우리가 구하고자 하는 거북이와 두루미의 마릿수는 이 두 개의 직선이 교차하는 이 점이라는 걸 알 수 있어요. 이 점의 좌표를 알아보니 23, 77 이렇게 나왔다는 거예요. 지금 그림을 정확하게 그리지 않다 보니까 23하고 77이 거의 비슷한 크기가 됐는데 그림을 제대로 그리면 이렇지 않겠죠? 그럼 적당히 봐주세요. 그러면 우리는 이제 연립방정식이 주어졌을 때 이것을 어떻게 푸는지에 대해서 얘기를 해봤고 또 그 연립방정식의 해가 의미하는 바가 무엇인지 그래프를 이용해서 나타내봤어요. 그런데 연립방정식의 해가 항상 존재하는 것은 아니죠. 그리고 또 항상 딱 하나만 존재하는 것도 아니에요. 다른 예를 들어볼게요. 이번엔 토끼를 준비했어요. 거북이를 데리고 올게요. 이렇게 거북이와 토끼가 있을 때 마찬가지로 이 동물들의 마릿수를 세보고 또 다릿수를 세볼게요. 이것이 아까 두루미와 거북이의 마릿수와 다릿수를 센 것이 첫 번째 연립방정식이라고 생각을 하면 공식들을 한번 써볼게요. 네, 두 번째 경우에요. 거북이와 토끼가 있어요. 이 동물들의 마릿수를 전부 세보니까 100마리가 나왔고, 다릿수를 전부 세보니까 400개가 나왔어요. 자, 이때 거북이와 토끼가 각각 몇 마리씩 있는지 알 수 있을까요? 네, 알 방법이 없죠. 이것을 연립방정식으로 한번 써볼게요. 거북이나 토끼나 둘 다 다리는 4개씩 달렸죠. 네, 이렇게 두 개의 식이 나오는데 사실상 두 개의 식은 같죠? 네, 두 번째 식을 4로 나눠주면 그냥 첫 번째 식이 되죠. 따라서 이 식을 만족시키는 x와 y는 아주 많이 있죠. x와 y가 거북이와 토끼의 마릿수 해가지고 자연수라고 생각을 하면 자연수의 개수는 뭐 거북이 0마리, 토끼 100마리부터 시작해서 거북이 100마리, 토끼 0마리까지 해가지고 101개의 쌍이 나오는데 그렇게 생각을 하지 말고 이것을 그냥 방정식이라고 실수 안에서 모두 그 값을 가질 수 있는 방정식이라고 생각을 하면 해는 무한히 많이 나오죠. 이것을 그래프로 한번 그려볼게요. 이것이 첫 번째 식을 나타내는 그래프고요. 그러면 두 번째 식을 나타내는 그래프는 두 개의 그래프의 직선이 정확히 일치하는 것을 알 수가 있죠. 이런 경우에 우리는 한 개의 교차점을 잡을 수가 없고 이 직선상에 존재하는 모든 점들이 다 이 방정식을 만족시킨다고 할 수 있고 따라서 이 해는 무한히 많다고 얘기를 하고요 또는 어떤 딱 한 개의 해를 정해서 말할 수가 없다라고 해서 부정이라고 얘기를 하기도 합니다 네, 그럼 세 번째 경우를 들어볼게요. 마찬가지로 거북이와 토끼가 있어요. 네, 이번에는 거북이와 토끼를 합쳐서 100마리가 있는데 이 다릿수가 500이 됐다고 누가 얘기를 했어요. 이 조건을 만족시키는 거북이와 토끼의 마릿수를 구할 수가 있을까요? 네. 그것을 만족시키려면 이 두 방정식을 동시에 만족을 시켜야 돼요. 그런데 이 두 방정식을 동시에 만족시키는 x와 y가 존재할 수가 있을까요? 절대로 없죠. 두 번째 방정식을 4로 나눠주면 x+y는 125가 되는데 첫 번째 방정식은 x+y가 100이라고 얘기를 하고 있으니까 두 방정식은 서로 모순이 되고 두 방정식을 동시에 만족시키는 x와 y는 존재하지 않게 되죠. 이런 경우는 우리가 해가 존재하지 않는 연립방정식이라고 얘기를 하고요. 해가 존재하지 않는다는 것을 그래프로 나타내면 어떻게 될까요? 첫 번째 식을 나타내는 그래프는 이렇게 100, 100을 지나는 직선이 돼요. 그리고 두 번째 식을 나타내는 그래프는 125, 125를 지나는 직선이 돼요. 즉, 두 직선은 이렇게 평행하고 두 직선의 교점 같은 것은 존재하지 않는다는 뜻이에요. x와 y가 자연수가 아니라 모든 실수로 범위를 확장시켜도 이 평행선을 이렇게 쭉 이쪽으로 그으나 이쪽으로 쭉 그으나 교점 같은 것은 존재하지가 않아요. 이런 경우를 우리는 방정식의 해가 존재하지 않는다. 그리고 어떤 숫자를 x와 y에 넣어도 이 방정식을 만족시킬 방법이 없다고 해서 불능이라고 표현을 하기도 합니다. 네, 이렇게 우리는 첫 번째 경우에서 연립방정식의 해가 딱 한 개 존재하는 경우에 대해서도 알아봤고 또 연립방정식의 해가 무한히 많이 존재하는 경우에 대해서도 알아봤고 해가 아예 존재하지 않는 경우가 있다는 것도 알아봤어요. 네, 우리는 아까 해가 무한히 많은 연립방정식의 경우에 대해서 살짝 알아봤는데요. 그러면 이제 이 경우를 조금 더 자세히 예를 들어가면서 살펴봅시다. 우리가 연립방정식을 두 세트를 한 번 푼다고 생각해보세요. 첫 번째 경우에요. x, y, z라는 어떤 실수가 있어서 이제 이 흰색으로 쓴 방정식과 노란색으로 쓴 방정식 두 개를 동시에 만족시켜야 된다고 생각을 해보세요. 첫 번째 방정식은 x+y+z=1, 이 방정식이죠. 그러면 이 방정식을 만족시키는 x, y, z의 집합을 x, y, z 3차원 공간에 표시를 해보면 네, 이렇게 1, 1, 1 점을 지나는 평면이 돼요. 정확히 표현하면 이 점은 1, 0, 0, 이 점은 0, 1, 0, 이 점은 0, 0, 1 이렇게 좌표값이 나오겠죠? 그러면 이제 이 평면이 나오는데 노란색 방정식을 만족시키는, 이 방정식을 만족시키는 점들의 집합은 이 공간상에서 어떻게 나올까요? 이 노란색 방정식을 2로 나눠주면 첫 번째 방정식과 똑같게 되죠. 즉 이 노란색 두 번째 방정식을 만족시키는 점들의 집합은 이것과 마찬가지로 똑같은 평면으로 나타난다는 뜻입니다. 따라서 그것들을 노란색 분필로 나타내보면 이렇게 아까와 똑같은 평면이 되고 두 방정식을 동시에 만족시키는 x, y, z는 이 평면 위에 있는 모든 점들의 집합이라는 것이죠. 이 평면 위에 어떤 점 x, y, z가 있으면 그 점의 좌표 x, y, z는 이 두 방정식을 동시에 만족시킨다고 이야기를 했습니다. 그러면 이 방정식은 어떨까요? 첫 번째 이 흰색 분필로 쓴 식이 똑같으므로 이 흰색 분필로 쓴 첫 번째 식을 만족시키는 영역은, 만족시키는 x, y, z 점의 집합은 아까와 똑같이 평면이 되겠죠? 그러면 이 두 번째 식을 만족시키는 x, y, z의 집합은 어떻게 될까요? 이것을 z의 존재를 무시하고 x+y=1이 되는 점들의 집합을 한번 생각해보면 이것은 2차원 평면상에서는 이렇게 나타나게 되죠. 모든 x, y를 뜻하는 거니까 선을 더 길게 그릴 수도 있고요. 이렇게요. 그럼 이제 z는 어떤 값이 되든 상관없으니까 이 x, y축 위에다가 z축을 이렇게 수직으로 세운다고 생각하면 이 분필이 z축이면 이 z축을 수직으로 세운다고 생각을 하면 x, y를 만족하는 점들은 x와 y의 좌표가 이 선 위에 있기만 하면 되고 z좌표는 뭐든 상관없으니까 이런 형태로 되겠죠? 여기다 한번 그려볼게요. 연립방정식 Ⅰ 이 흰색 평면과 이 노란색 평면, 두 평면 모두 위에 있는 점들의 집합이 이 두 식을 둘 다 만족시키겠죠. 그것은 바로 이 노란색 선이죠. 두 평면이 공간상에서 교차하는 선이요. 즉, 이 연립방정식과 이 연립방정식의 차이는 둘 다 무한히 많은 해를 갖고 있긴 하지만 이 첫 번째 연립방정식은 이 평면 위에 있기만 하면 방정식이 만족된다는 것이고 따라서 이 무한히 많은 해들은 다 이 평면 위에 있는 점들의 집합이라는 것이고요. 이 경우에는 이 직선 위에 있는 점들의 집합이 이 방정식을 만족시킨다라는 것입니다. 따라서 얼핏 생각하면 둘 다 무한히 많은 해를 갖고 있긴 하지만 이 방정식이 이 방정식보다 더 많은 해를 갖고 있다라고 생각을 할 수도 있어요. 왠지 평면 위에 있는 점들의 개수는 직선 위에 있는 점들의 개수보다 많을 것 같죠? 그냥 많다고 어렴풋이 생각을 하셔도 좋습니다만 입 밖으로 내면 안 돼요. 왜냐하면 평면 위에 있는 점들의 개수와 직선 위에 있는 점들의 개수는 사실 똑같거든요. 두 개의 무한집합이 개수가 똑같다는 것은 무슨 뜻이냐면 무한집합 A, 무한집합 B가 있을 때 A에서 B로 가는 bijection, 전단사 함수를 만들 수 있다는 뜻이에요. 즉 각각의 원소들을 서로 1대1 대응을 시킬 수 있다는 거예요. 유한집합 두 개의 원소의 개수가 같다는 것은 두 원소를 서로 이렇게 짝지어질 수 있으면 성립을 하죠. 무한집합에서도 마찬가지예요. 그래서 집합론에 대해서 좀 배우시거나 이렇게 평면 위에 있는 점들의 개수와 직선 위에 있는 점들의 개수는 같다는 것을 알 수 있게 돼요. 그러면 제가 굳이 왜 이런 걸 얘기를 했느냐? 그래도 왠지 이 평면 위에 있는 점들은 2차원 평면 위에 있고 이 직선 위에 있는 점들은 1차원 직선 위에 있으니까 어쩐지 두 해 집합의 성질이 다를 것 같다 라고 얘기를 할 수 있죠. 이 점을 기억해 두세요. 이렇게 우리는 방정식의 해가 존재하는 경우, 존재하면 딱 하나 존재하는 경우, 무한히 많이 존재하는 경우, 또 무한히 많이 존재하는 경우에서도 좀 나뉜다는 것을 이렇게 봤고요. 또는 해가 아예 존재하지 않는 경우도 있다는 것을 봤습니다. 그러면 어떤 1차 연립방정식이 주어졌을 때 우리는 그 해가 무엇인지, 또 그 해는 또 다른 해는 없는지, 무한히 많은지, 무한히 많다면 얼마나 무한히 많은지 어떻게 알 수가 있을까요? 우선 1차 연립방정식을 가장 일반적인 꼴로 써보겠습니다. 문자들이 아주 많죠? 이 연립방정식의 안에 들어있는 식의 개수는 m개고요. 우리가 구해야 되는 미지수는 x1부터 시작해서 xn까지 미지수의 개수는 n개입니다. 지금까지 봤던 거북이와 두루미 문제 또는 거북이와 토끼 문제 또 방금 봤던 이런 평면 공간 위에 점을 이용한 연립방정식 문제 이런 것들을 다 보면 다 이런 꼴로 쓰임을 알 수 있을 거예요. 그래서 가장 일반적인 꼴로 써봤는데 이렇게 a11에서 amn까지 이 계수들과 이 미지수를 적당히 곱하고 더해서 어떤 값이 나왔다라고 하는 것이 연립 1차 방정식이 가장 일반적으로 쓸 수 있는 꼴이고요. 그렇다면 이것을 우리는 좀 배운 사람이니까 행렬을 배웠으니까 이렇게 쓸 수 있겠죠. 이렇게 m 곱하기 n 행렬을 이 계수들을 이용해서 A라고 딱 만든 다음에 이 행렬과 이 미지수 열 벡터를 곱했더니 이렇게 b1에서 bm까지 나오는 우리가 알고 있는 숫자로 만들어진 열 벡터가 나왔다. 이렇게 얘기를 할 수 있고요. 이 행렬을 A행렬이라고 하고 이것을 b벡터라고 하고 이것을 x벡터라고 했을 때 우리가 하려고 하는 것은 A와 b가 알려졌을 때 즉 이 계수들의 집합과 이 계수들의 집합이 알려졌을 때 이 미지수들의 값을 구하는 것이 우리의 목적이 되겠죠. 즉 이 x를 구하는 것이 우리의 목적이 되겠죠. 또는 좀 더 고급화시켜서 선형사상의 언어로 이야기를 하면 이렇게 쓰여진 A라는 행렬은 어떤 벡터스페이스 V에서 W로 가는 선형사상이 있을 때 선형사상 L이 있을 때 그리고 이들의 차원이 각각 n차원, m차원일 때 여기서 여기로 가는 선형사상 L을 나타내는 방법이 이 행렬 A라고 얘기를 할 수가 있죠. 베이시스가 v1에서 vn까지 그리고 w1에서 wm까지 갈 때 이 베이시스들이 서로 연관 관계를 갖고 있다면 베타의 j번째 원소, 즉 Vj라는 것을 선형사상에 넣었더니 이렇게 되더라 라고 한다면 우리는 이 선형사상을 나타내는 행렬이 A라고 할 수가 있는데요. 지난 시간에 배운 방법대로 다시 쓰면 L이라는 선형사상을 베타와 감마라는 기저로 나타내 봤더니 A라는 행렬이 나왔다. 이렇게 쓸 수 있겠죠. 어쨌든 그렇게 되면 이제 우리가 하고자 하는 것은 어떤 V라는 벡터를 L에 넣어 봤더니 이런 꼴의 W의 원소가 나왔다. W의 원소는 모두 wi들의 선형결합으로 나타내줄 수 있으니까 그 선형결합의 계수들이 b1에서 bm까지 나왔다. 라는 것이 알려졌다고 칩시다. 그러면 이제 처음에 넣어줬던 v는 어떤 벡터인가? 다시 말해서 v를 vi들의 선형결합으로 나타내면 그 계수는 무엇인가? 즉 그 좌표는 그 벡터 v의 베이시스 베타를 기저로 한 좌표는 무엇인가? 를 묻는 것이 연립일차방정식을 푸는 것이라고 할 수가 있습니다. 그 물음에 답하려면 연립일차방정식을 풀어야 되죠. 그러면 이 계수들은 엄청나게 복잡할 수도 있어요. 이 행렬이 100 곱하기 100 이런 무지막지한 사이즈일 수도 있고요. 지금까지는 그냥 2 곱하기 2, 2 곱하기 3 이런 귀여운 사이즈만 풀었었죠. 그러면 아무리 많은 행과 열을 가진 행렬이라도 우리가 충분한 시간만 주어진다면 풀 수 있게 해주는 어떤 정해진 방법, 어떤 정해진 알고리즘 그런 것은 없을까요? 그러면 우리가 어떤 선형 연립방정식을 쓸 때 이것을 크게 두 종류로 분리를 할 수가 있는데요. 첫 번째가 바로 이런 AX는 B꼴로 나타나지는 방정식. 이 오른쪽에 있는 이 b라는 벡터가 0벡터가 아닌 일반적인 방정식 그리고 Ax는 0꼴로 이 우변에 있는 벡터가 전부 0벡터인 이런 좀 특수한 방정식, 이 두 개로 나눌 수가 있어요. 이 두 개를 부르는 명칭은 각각 이것을 갖다가 비동차방정식, 이거는 동차방정식, 영어로 하면 non-homogeneous equation, homogeneous equation, 이렇게 얘기를 해요. 네, homogeneous라는 말은 어떤 혼합물이 균질하게 섞여있다라는 뜻일 수도 있고, 어떤 대상이 동등하다, 이런 의미를 가질 수도 있는데요. 그러면 이 단어가 왜 이런 두 방정식을 나타내는데 사용이 되었을까요? 한번 생각을 해보면 그냥 보통 방정식은 이렇게 x1에서 xn까지의 어떤 함수가 0이다. 이런 식으로 많이 나타내는데요. 이 방정식의 첫 번째 줄을 보면 이런 식으로 쓸 수가 있죠. 자 그러면 모든 방정식의 항들은 다 어떤 미지수의 1차항인데 이 마지막 항만 어떤 미지수하고도 연관되지 않은 그냥 0차항이죠. 따라서 1차항과 0차항이 섞여있다고 해서 비동차방정식이라고 얘기를 할 수가 있고 동차방정식의 경우에는 오른쪽에 있는 b벡터가 전부 0일 경우에는 이렇게 방정식의 모든 항이 똑같이 일차항이다 해가지고 동차방정식이라고 쓸 수가 있습니다 그래서 영어로도 이럴 경우에는 비동차방정식 non-homogeneous equation 차수가 같지 않다 이런 경우에는 동차방정식 homogeneous equation 차수가 모두 같다 이렇게 얘기를 하고요 뭐 이런 점은 그냥 헷갈리지 말라고 말씀드리는 거니까 너무 깊이 기억하지는 않아도 돼요 네, 그러면 동차방정식에 먼저 주목을 하겠습니다. 동차방정식은 비동차방정식과 비교해서 어떤 특별한 성질을 가지는데요. 그 특별한 성질이 바로 해집합이 벡터 스페이스를 이룬다는 것입니다. 네, 그게 무슨 뜻이냐면 어떤 x라는 벡터가 Ax는 0, 이런 걸 만족을 한다면 그 x들을 모아놓은 해집합이 벡터 스페이스의 성질을 가진다는 것인데요. 다시 말씀을 드리면 이렇게 어떤 x1, x2가 해이면 x1 플러스 x2도 해라는 것이고 어떤 x가 해이면 거기에 상수배를 한 cx도 AX1이 0이고 AX2가 0이면 이 두 개를 합친 것도 0 더하기 0해서 0이 될 테니까 x1 플러스 x2는 마찬가지로 이 방정식의 해가 되겠죠. 해집합에 속하게 되겠죠. 이것도 마찬가지로 ax가 0이면 x에 c라는 상수를 곱한 이 벡터도 이 방정식을 만족을 시킬테니까 cx도 해집합에 속한다는 것을 알 수가 있죠. 사실 이렇게 따질 필요가 없이 우리는 이미 이것과 비슷한 어떤 집합을 배웠는데요. 그게 뭐죠? 이것은 보면 어떤 x라는 벡터를 a라는 행렬이 나타내는 선형사상을 작용시켰을 때 그 선형사상의 함숫값이 0이라는 것이죠. 그러니까 x가 ax는 0이라는 것을 만족시킨다는 것은 무슨 뜻이냐면 x가 a라는 행렬로 만들어진 선형사상의 커널의 원소라는 것이죠. 이렇게 쓰기도 하고 표기법을 조금 덜 엄격하게 쓰면 그냥 커널a 이렇게 쓸 수도 있고요. 그리고 이 커널이라는 것은 지난 시간에 배웠듯이 벡터 스페이스이죠. 커널이 벡터스페이스라는 것을 증명할 때도 이것과 똑같은 과정을 거치고요. 따라서 AX는 0꼴로 나타내지는 동차방정식의 해집합이 벡터스페이스라는 것을 알았고 그것이 벡터스페이스인 이유는 이 해집합이 A라는 행렬로 나타내지는 선형사상의 커널과 같기 때문임을 알았습니다. 자, 그러면 이건 이 정도 보고요. 그러면 비동차 방정식의 해집합은 어떻게 나타내질까요? 일단 이 비동차 방정식의 Ax는 B꼴로 나타내지는 방정식의 어떤 해가 있다고 생각을 해보세요. 네, 라는 어떤 해가 있어요. 우리가 어떻게 운 좋게 구했어요. 자, 그러면 이것만 해일 것이냐? 아니에요. 이것 말고도 다른 해가 있을 수가 있어요. 어떤 게 있을 수가 있냐? x0는 혼자 해가 되는 것이 아니라 반드시 이렇게 어떤 같이 원소가 붙어서 x0 플러스 xk도 해가 될 수 있어요. 여기서 xk라는 것은 아까 배웠던 커널 LA의 원소, 동차방정식의 해집합의 원소가 돼요. 자, 그러면 이런 꼴로 나타내진 벡터가 Ax는 B꼴이라는 이 방정식의 해가 되면, 그냥 계산해보면 알 수 있어요. 이 벡터의 왼쪽에 A라는 행렬을 작용시켜 볼게요. 그러면 얘 혼자밖에 안 남아요. 왜 그럴까요? a 하고 xk를 곱하면 그냥 제로가 되버리죠. 그리고 이것은 b벡터죠. 따라서 이 x0에만 a를 곱했을 때 b벡터가 되는 그런 벡터가 아니라 이것도 왼쪽에 a를 곱했을 때 b벡터가 되는 그런 벡터이다. 따라서 이것도 이 비동차방정식의 해이다라고 얘기를 할 수가 있게 되죠. 자, 그러면 어떤 비동차 방정식의 해의 일반적인 꼴이 이런 식으로 쓰인다고 했을 때 해집합은 우리가 어떤 식으로 쓸 수가 있을까요? 이런 식으로 쓸 수가 있습니다. 이렇게요. x0 플러스 커널 LA를 보면 조금 이상하죠? 어떤 집합의 원소와 그 집합을 더하고 있죠. 이건 무슨 뜻일까요? 직관적으로 생각을 해보면 네, 보이시나요? x0 플러스 xk 꼴로 나타내지는 모든 벡터들, 단 xk는 커널 LA의 원소이다. 이것을 짧게 줄여 쓴 것이에요. 일반적으로 이렇게 어떤 벡터와 벡터 스페이스를 그냥 직접 더한다는 것은 이런 식으로 쓰면요. 이것은 곧 이런 식으로 이해하면 되겠어요. 자, 그러면 비동차방정식의 일반해는 이런 꼴로 쓸 수가 있다고 했는데 이 모든 논의들은 다 x0라는 어떤 특수한 해가 존재함을 가정을 하고 한 얘기였죠. 만약에 이런 x0 자체가 존재하지 않는다면 그냥 말 그대로 이 해집합은 공집합이 되버리고 말겠죠. 자, 그러면 이제 비동차방정식의 해집합이 이런 식으로 쓰임을 알았고 또 우리가 보통 다루는 실수체 위에서의 벡터스페이스에서는 이런 벡터스페이스가 무한집합이니까 우리가 연립방정식의 해가 무한히 많이 나오는 경우가 있지만 그 중에서도 뭐 약간 다른 경우가 있을 수 있을 것이다 라고 한 얘기 기억나시죠? 그 경우를 다시 한번 볼게요. 여기 두 경우가 보이시죠? 아까 한 번 짚고 넘어갔던 건데요. 이 두 방정식의 공통된 해는, 즉 이 연립방정식의 해집합은 뭐였죠? 기억 안 나신 분? 이 점, 이 점, 이 점, 이 세 점을 지나는 평면 전체에 즉, 이 평면 안에 들어있는 모든 점들은 다 이 연립방정식의 해가 될 자격이 있다. 이렇게 얘기를 했었죠. 반면에 이 방정식을 만족시키는 해는 이 아래 지나가는 이 직선, 이 직선 안에 있는 모든 점들이 이 방정식을 만족시킬 수 있는 해이다. 이렇게 얘기를 했죠. 똑같이 무한, 무한 이렇게 무한히 많은 해를 가지고 있지만 뭔가 달라보이죠? 이거는 평면에 있는 점의 수만큼 무한히 해가 많고 이거는 직선에 있는 점의 수만큼 무한히 해가 많으니까 말이죠. 하지만 두 해집합의 경우 해집합의 원소의 개수는 제가 같다고 얘기를 해드렸는데요. 그러면 뭐가 다를까요? 네, 네. 이 방정식의 해집합은 이런 식으로 나타납니다. 여기서 A하고 B는 모든 실수가 될 수 있고요. 네, 이게 그러면 뭐죠? 아까 비동차 방정식의 해집합을 이런 식으로 나타냈었죠? 즉, 여기 보이는 이 100이라는 벡터가 이 방정식을 만족시키는 어떤 특수해라는 것이고 뒤에 보이는 이것은 이것을 다르게 쓰면 이렇게 되는데 이 두 개의 벡터로 스팬되는 스페이스, 그 스페이스가 바로 kernel LA라는 것이죠. 여기 보이는 이 두 벡터는 그냥 제가 우연히 찾아낸 것이 아니라요. 이 벡터는 이 점에서부터 이 점으로 이은 벡터이고요. 그리고 이 벡터는 이 점에서 이 점으로 이은 벡터예요. 이렇게 이렇게요. 이 두 벡터가 스팬하는 스페이스에다가 이런 특수해를 더해주면 바로 이런 평면이라는 해집합이 되죠. 이것도 마찬가지로 어떤 특수해에다가 어떤 스페이스를 더해주는데 이 스페이스는 하나의 벡터로만 스팬 되는 스페이스이죠. 이것이 특수해고 이것이 이 커널 LA를, 즉 커널을 스팬하는 한 개의 벡터이죠. 즉 이 해집합과 이 해집합의 다른 점은 둘 다 똑같이 무한히 많은 해를 가지고 있는 해집합이지만 어떤 특수해 플러스 커널의 꼴로 이 해집합을 나타냈을 때 이 커널이라는 벡터 스페이스의 차원이 다르다라는 것으로 이 둘의 차이를 설명을 할 수 있겠습니다. 이렇게 비동차 방정식과 동차 방정식의 성질의 다른 점을 설명을 드렸습니다. 동차 방정식이 비동차 방정식하고 구별이 나는 또 하나의 성질은 우리가 해가 적어도 딱 한 개 있을 거라고는 예상을 할 수 있다는 겁니다. 해가 아예 없는 경우는 없어요. 그 적어도 한 개 예상할 수 있는 해가 무엇이죠? 네, 그냥 0이죠? X 자리에다가 그냥 0을 넣으면 이런 꼴의 동차방정식은 그냥 성립을 하게 돼 있어요. 이런 꼴에 0, 0, 0, 0 벡터를 넣어주면 여기에 넣어주면 어떤 행렬과 0벡터를 곱해주면 그냥 0벡터가 될 테니까요. 그래서 이 해는 당연하게 존재하는 해라고 해서 trivial solution, 자명한 해라고 얘기를 해요. 지난 시간에, 아마 전에 커널에 대해서 설명을 했을 때 아마 한 번 얘기를 했을 거예요. 다시 한 번 얘기를 할게요. 그러면 우리가 어떤 동차방정식을 만났을 때 궁금해하는 것은 이 trivial solution 말고도 non-trivial solution, 당연하지 않은 해가 존재하느냐 하는 여부겠죠. 당연하지 않은 해라는 것은 당연히 이렇게 0과 다른 해, 적어도 하나의 미지수가 0이 아닌 그런 해를 말하는 것이겠죠. 뭐 비자명해라고 할 수도 있고 자명하지 않은 해 네 그러면 이제 우리는 어떤 특별한 조건 하에서 non-trivial solution이 반드시 존재함을 얘기를 할 거예요. 그 조건이란 것은 바로 이 n이, 즉 여기 있는 space의 차원인 n이 이 m보다 큰 경우, 즉 이 그림에서 보는 것처럼 이 행렬이 세로보다 가로가 더 길 경우 이런 것이 성립을 해요. 이 경우는 어떤 경우죠? 식하고 미지수로 나타났을 때 식의 개수보다 미지수의 개수가 더 많은 경우에 속하죠. 식의 개수는 m개이고 미지수의 개수는 n개이니까요. 그럴 경우 반드시 적어도 하나의 non-trivial solution이 존재한다는 것을 보여드릴게요. 보이고 말고 할 것도 없어요. 정리 하나만 있으면 돼요. 그 정리가 바로 제가 처음에 얘기했던 차원정리, Dimension Theorem이에요. Dimension Theorem이 뭐였죠? 기억을 해보죠. 이 경우에는 이렇게 좀 특수한 경우지만 보다 일반적인 경우 어떤 n차원 스페이스에서 m차원 스페이스로 가는 선형사상이 존재할 때 여기선 이 선형사상이 행렬이죠. 그 선형사상이 존재할 때 그 선형사상의 커널과 이미지의 디멘전을 합치면 n이 된다는 것이었죠. 여기 있는 n이라는 것은 이 벡터 스페이스의 차원을 얘기하죠. 그러면 이 정리를 그대로 여기에 적용을 시켜보면 이렇게 되고요. Dimension Image LA는 무엇이죠? 이렇게 행렬을 선형사상이라고 생각했을 때 그 선형사상의 이미지 즉 그 함숫값들이 모임을 이뤄서 어떤 벡터 스페이스를 이뤘을 때 그 벡터 스페이스의 차원을 Dimension of Image LA 이렇게 얘기를 하는데요. 그 차원은 이런 조건 하에서는 많아봤자 그냥 M이에요. 많아봤자라는 것은 가장 좋은 여건이 발생해서 이 선형사상 LA의 이미지가 target space, 즉 RM을 꽉 채운 경우를 말하는 것이죠. 그런 경우라 하더라도 기껏해야 M이에요. 그럼 이렇게 된다는 것은 무슨 뜻이냐? 이 kernel의 dimension이 1 이상이라는 것이죠. 0보다 크다는 것이죠. 즉, 이 선형사상의 kernel이라는 것은 아까 얘기한 것처럼 동차방정식의 해집합을 이야기하는 것이니까 동차방정식의 해집합은 벡터 스페이스를 이루고 그 벡터 스페이스의 차원이 0 차원이 아니라 적어도 1 차원이다. 적어도 1 이상의 어떤 차원을 가진 벡터 스페이스가 이 동차방정식의 해집합이라고 하는 것은 0 이외에도 그 벡터 스페이스에는 어떤 다른 원소가 있다는 것이고 그 다른 원소가 바로 non-trivial solution이죠. 그래서 이것을 옛날 초등학교 선생님들은 흔히 뭐라고 얘기를 하냐면 식보다 미지수의 개수가 더 많으면 답은 무조건 존재하게 되어있다. 이렇게 얘기를 하곤 했죠. 그런데 이것은 안타깝게도 동차방정식에서밖에 성립을 하지 않아요. 비동차방정식에서는 이렇게 성립을 하지 않죠. 성립을 하지 않는다는 것은 간단한 예를 들어보면 알 수가 있어요. 네, 거북이와 토끼와 그리고 한 마리 더 강아지가 있어요. 네, 그러면 이 세 마리의 동물의 마리수를 x, y, z라 놓고 연립방정식을 써볼게요. 이 동물들의 마리수를 전부 합쳤더니 또 100마리가 나왔어요. 그리고 이 동물들의 다리 개수를 전부 다 합쳐봤더니 500개가 나왔어요. 이것을 만족시킬 수 있는 x, y, z가 존재할까요? 네, 존재하지 않죠. 이 식을 4로 나눠주면 x, y, z를 합하면 125라는 결과가 나오는데 앞에 있는 식과 모순이죠. 그런데 이 식은 분명히 식의 개수는 2개이고 미지수의 개수는 3개란 말이에요. 그러면 식의 개수보다 미지수의 개수가 더 많다고 해서 반드시 해가 존재한다는 것은 아니라는 걸 알 수 있어요. 해가 존재하려면 식의 개수보다 미지수의 개수가 더 많고 또 동차방정식인 경우에 이렇게 우리가 얘기를 할 수 있다는 것을 알았어요. 자, 이제 어떤 방정식이 해가 무엇인지 알아내는 것도 어렵고 또 해가 있는지 없는지 알아내는 것도 만만치 않은 일이라는 것을 알아냈죠. 그런데 저는 방금 계속 얘기를 하기를 어떤 연립방정식의 해를 우리가 충분한 시간과 노력이 주어진다면 알 수 있는 어떤 정해진 방법 어떤 정해진 알고리즘이 있다고 얘기를 했어요. 그것을 지금 소개를 할게요. 만약에 여러분들 앞에 이렇게 복잡한 방정식이 하나 던져졌다고 생각을 해보세요. 이 방정식은 어떤 연립방정식이 이런 꼴로 나타나는 걸 갖다가 다시 적으려다가 그냥 손이 아파서 적질 못했어요. 위에 행렬식만 봐주세요. 이 방정식은 방정식의 개수가 5개이고 미지수의 개수는 x1부터 x10까지 무려 10개예요. 이것을 행렬꼴로 나타내 봤더니 이렇게 됐어요. 네, 이 행렬의 의미는 무엇이죠? 첫 번째 행만 따져보면 1 곱하기 x1 더하기 2 곱하기 x2 더하기 3 곱하기 x4 더하기 2 곱하기 x7 더하기 1 곱하기 x8 더하기 7 곱하기 x9 더하기 7 곱하기 x10은 b1이다. 하는 식으로 5번을 이렇게 반복을 해서 하나의 연립방정식을 우리가 구할 수가 있을 것이고 그것이 바로 이 행렬식이 나타내는 바이겠죠. 네, 그럼 이걸 풀려면 일단 이것을 연립방정식의 형태로 한번 적어본 다음에 이 방정식들끼리 서로 막 더하고 빼고 막 대입하고 하면서 난리를 치면서 어떻게든 이 방정식을 조금이나마 단순화를 시키려고 하겠죠. 이것은 마치 이런 간단한 방정식에서도 이 x와의 x 플러스 y는 100, 이 x 플러스 4y는 354 이 방정식은 아까 전에 두루미와 거북이를 가지고 풀었을 때의 그 방정식이죠. 이런 간단한 걸 풀 때도 우리는 이것을 두 번째 행을 먼저 2로 나눠서 2로 나눠서 이렇게 바꿔주고 이제 이 두 개를 여기서 여기서 서로 빼서 y라는 미지수만 남기고 이런 것을 했죠? 네, 이제 이것을 방정식 꼴에서 일일이 하지 말고 이 연립방정식을 간단히 쓰면 행렬꼴로 쓸 수 있다는 것을 우리가 알고 있으니까 이런 식으로요. 이것을 한번 행렬꼴로 써볼게요. 이렇게요. 1, 1, 2, 4 매트릭스를 x, y 벡터에 곱하면 100, 354라는 벡터가 된다. 이렇게요. 그럼 이것을 아까 했던 이 두 번째 행을 2로 나눈다. 이 연산을 생각을 해보면 마치 이 행렬을 이 행렬로 바꾸는 것이라고 우리가 생각을 할 수가 있겠죠. 이 두 번째 행을 갖다가 2로 나눠서 이렇게 하는 거예요. 네, 그럼 이제 이걸 갖다가 이 두 행을 서로 빼서 또 다른 이런 행렬식을 만들고 이런 식으로 계속 이걸 반복을 하면 어떤 간단한 행렬식이 나온다고 행렬을 이용한 식이 나온다고 우리가 생각을 할 수가 있어요. 그럼 이제 x하고 y도 거추장스러우니까 x하고 y도 빼고 이런 식으로 1, 1, 2, 4 가운데 칸막이 하나 치고 100, 354이다. 이렇게 한 다음에 이 행들을 서로 더하고 빼고 서로 어떤 상수를 곱하고 할 수 있는 그런 대상으로 둔다면 이제 이것들을 적당히 정리해서 간단한 꼴의 이런 행렬로 정리하는 것이 연립방정식을 푸는 것이라고 할 수 있어요. 참고로 이것을 풀면 이 결과는 아까 결과가 x가 23 y가 77 이렇게 나왔었죠. 즉 이것을 풀면 이 결과는 이렇게 나와야 된다는 뜻이에요. 이렇게 하면 이 1, 0, 0, 1 단위 행렬과 x, y 벡터를 곱하면 23, 77 벡터가 나와야 된다. 이런 꼴로 이것이 정리가 되어야 된다는 뜻이에요. 그러면 이것과 마찬가지로 이렇게 복잡한 행렬도 이런 식으로 단순하게 고쳐서 이 행들을 서로 더하고 빼고 적당한 숫자를 곱하고 어쩌고 저쩌고 하다 보면 깔끔한 꼴로 정리가 될 것이다 라고 생각을 할 수가 있죠. 도대체 어디까지 정리를 해야 우리가 만족을 할까요? 어떤 연립방정식의 해를 이쯤이면 이제 구할 수 있겠다 라고 만족을 할 수 있는 그런 가장 깔끔한 꼴을 우리가 소개를 해드리겠습니다. 이쪽을 보세요. 이것도 마찬가지로 5 곱하기 10 매트릭스인 건 분명하지만 연립방정식 Ⅰ 우리가 이제 방정식의 해를 내기에 충분히 깔끔한 그런 정리된 행렬이라고 할 수 있을까라고 생각을 할 수 있는데 이것을 우리가 눈에 익숙한 방정식의 꼴로 쓰면 이 행렬이 충분히 깔끔한 행렬이라는 것을 알 수 있게 됩니다. 이것을 이 행렬을 X1에서 X10까지의 미지수 벡터와 곱한 것의 결과가 B1'에서 B5'까지 이렇게 나온다고 했을 때 이것을 방정식 형태로 고쳤으면 이렇게 됩니다. 이렇게요. 그러면 이제 우리는 이 연립방정식의 해를 구할 준비가 다 됐어요. 이 연립방정식의 해는 무엇이냐? 얘기를 하기 전에 먼저 이 행렬의 특징을 잘 보세요. 이 행렬은 모든 행이 0 말고는 0, 0, 0 하다가 0이 아닌 원소는 항상 1로 시작하죠. 이렇게요. 이 깔끔한 꼴의 첫 번째 조건이 바로 행이 1로 시작하거나 아니면 0, 0, 0, 0 하다가 1로 시작한다. 이것이 첫 번째 조건이에요. 두 번째 조건은 이렇게 모든 행의 원소가 0으로 깔려있는 이 제로행, 0행은 맨 아래에 깔려있다는 것이고요. 세 번째는 이 아까 제가 가르쳤던 이런 시작하는 1들을 보세요. 이 1을 갖다가 우리는 최초의 1 또는 영어로 하면 leading one 이렇게 얘기를 하는데 이 행렬에는 최초의 1이 하나, 둘, 셋, 네 개가 있죠? 이 최초의 1들이 있는 열을 보면 제1열 제3열 제6열 제8열 이렇게 4개의 열이 있는데 이 열들에는 최초의 1 말고는 아무것도 없어요. 다 0이에요. 다시 말해서 어떤 행렬이 첫 번째 조건, 두 번째 조건, 세 번째 조건 이 세 개의 조건을 만족하면 우리는 이 행렬이 충분히 깔끔하게 정리됐다고 얘기를 해요. 첫 번째 조건이 모든 행은 1로 아예 시작을 하거나 0이 계속되다가 1로 시작되는 이것이 첫 번째 조건이고 두 번째 조건은 모든 원소가 0으로 이루어져 있는 이런 0행은 맨 아래에 다 깔려있다. 이것이 이렇게 중간쯤에 나타나면 안 된다라는 것이고요. 세 번째 조건이 이 최초의 1이 나타나는 이 열을 보면 이 열에는 이 최초의 1 말고는 모두 다 0이다. 이것이 세 번째 조건이에요. 이 세 개의 조건을 만족시키면 우리는 이 행렬이 충분히 깔끔하다고 얘기를 했는데 충분히 깔끔하다는 게 무슨 뜻이냐? 이런 꼴의 방정식이 있으면 우리는 방정식의 해를 곧바로 알 수 있느냐? 알 수 있어요. 자, 보세요. 자, 일단 이 행렬에서 최초의 1이 있었던 열을 생각을 해보면 열들은 1열, 3열, 6열, 8열이죠? 그것에 해당하는 미지수들을 한번 여기서 잡아내봐요. 이렇게 4개가 있죠? 자, 그러면 이제 이런 최초의 1에 엮인 미지수들과 다른 미지수 X2, X4 이런 것들의 차이를 생각을 해봐요. 그 차이는 무엇이냐? 이렇게 최초의 1에 엮이지 않은 다른 미지수들의 값이 정해져 버리면 이 최초의 1에 엮여있는 이 X1, X3, X6, X8 4개의 미지수의 값들은 꼼짝없이 다 결정이 되어버려요. 네, 보세요. 첫 번째 식을 보면 이 미지수들의 값이 다 정해져 버리면 b1'의 값도 우리가 알고 있으니까 x1이 딱 결정이 돼 버리죠. 이 두 번째 식도 세 번째 식도 네 번째 식도 다 마찬가지가 되죠. 따라서 우리는 이 방정식의 해집합을 이렇게 적을 수 있습니다. X라는 벡터가 R10, 10차원 공간에 속하는데 단 이때 다른 원소들에는 제약이 걸려있지 않고 이 원소들에만 제약이 걸려있어요. 어떻게? 이렇게요. x1에는 이런 식으로 제약이 걸리게 되죠. x3에는 x3는 이런 식으로 제약이 걸리게 되고 마찬가지로 x6, x8도 마찬가지로 이런 식으로 제약이 걸리게 되죠. 제약이 걸리지 않은 원소들은 모두 자유롭게 어떤 값이든 가질 수가 있어요. 이것이 바로 이 방정식의 해집합이에요. 그런데 한 가지 놓친 게 있죠. 맨 마지막 식은 어떻게 할까요? 이 방정식의 해집합은 만약에 b5'이 0이면 그냥 이렇게 되고 이렇게 되고 b5'이 0이 아니면 다른 모든 방정식들을 만족을 시켰더라도 이 마지막 식의 조건을 만족을 시키지 못하니까 어떤 미지수를 넣어도 0은 b5'이라는 식을 만족시키지 못하니까 이 해집합은 그냥 공집합이 돼요. 이렇게요. 따라서 우리는 이 행렬을 충분히 이렇게 깔끔한 꼴로 이 세 가지 조건을 만족시키는 깔끔한 꼴로 정리를 하면 이 해집합에 대해서 모든 걸 알 수 있어요. 일단 이 해집합이 공집합이냐 아니냐 이 여부는 이 맨 아래로 깔린 0행에 해당하는 이 결과값 여기서는 b5가 되죠? 이것이 0이냐 아니냐를 체크해보면 돼요. 이것이 0이면 그럼 0행 곱하기 이 미지수들 해가지고 0이 나왔다 그럼 당연한 사실이다 하고 넘어가고 이거는 그냥 없는 투명인간처럼 없는 식처럼 취급을 해버리면 돼요. 만약에 여기서 b5 이 0행에 해당하는 이 결과값이 0이 아닌 것이 나왔다 하면 아 이거 나 못 푼다 공집합이다 그냥 해가 공집합이다 이 해는 존재하지 않는다 하고 그냥 넘겨버리면 그만이에요. 따라서 일단 해집합이 공집합이냐 아니냐를 판별할 수 있어요. 그리고 그 후에는 이제 공집합이 아니란 걸 알았을 때는 이 최초의 1에 엮인 원소들만 이렇게 제약이 걸려있고 다른 원소들은 자유롭게 결정이 될 수 있다라고 써서 답을 제출하면 돼요. 참 편리한 행렬이죠? 이런 꼴의 행렬을 갖다가 우리가 행들을 서로 더하고 빼고 행의 적당한 숫자로 곱하고 하는 연산을 해서 만들어진 간소화된 사다리꼴 모양의 행렬이다. 이렇게 사다리꼴 모양으로 생긴 행렬이라고 해서 행간소사다리꼴행렬이라고 얘기를 해요. 영어로 말하면 row reduced echelon form 행간소화 사다리꼴이란 뜻이에요. 행간소화 사다리꼴 형태 이런 행렬이 우리가 만들 수 있기만 하면 이 방정식의 해집합에 대한 모든 것을 이렇게 알 수 있어요. 자, 그러면 한 가지 의문이 드는 것이 어떤 행렬이 이렇게 주어지더라도 이것을 적당히 행끼리 바꾸거나 방정식의 두 순서를 바꾸는 것은 해집합의 성질에 아무런 영향을 미치지 않죠. 또는 이렇게 적당한 숫자를 곱하거나 적당한 숫자로 나눠주거나 두 식을 이렇게 더하거나 해서 행렬의 언어로 말하면 두 행을 바꾸거나 두 행들을 여기 있는 건 그대로 놔두고 여기 있는 건 이것과 이것을 더하는 방식. 이런 것을 취하거나 아니면 행의 몇 배를 숫자를 곱하거나 하는 방식으로 해서 항상 이렇게 row-reduced echelon form 행간소 사다리꼴을 만들 수 있느냐 하는 것이에요. 다시 말하면 한 가지 빼놓은 것은 이렇게 두 개를 행을 바꿀 때는 이 두 개도 이렇게 바꿔줘야 되죠. 이 두 개를 더할 때는 이것은 그대로 놔두고 이것을 이 두 개를 더한 행으로 대체할 때는 이것도 마찬가지로 b1은 그대로 놔두고 b1 플러스 b3로 이 원소를 고쳐줘야 되죠. 제가 아까 말한 것은 마치 이것처럼 이렇게 두 개의 식이 있을 때 둘 중 한 식을 이렇게 고치고 나면 이제 무엇을 했죠? 네, 두 식을 더하거나 빼거나 했죠? 그러면 이제 우리는 두 식을 더하거나 빼거나 할 수 있는데 한 식은 그대로 놔두고 다른 한 식을 여기에서 이것을 뺀 식으로 대체한다. 이런 식으로 얘기를 해요. 그럼 이런 것을 할 때 이 식만 좌변만 이렇게 움직일 것이 아니라 우변도 반드시 177에서 100을 뺀 값 77으로 이렇게 대체를 시켜야 되죠. 이것이 그 얘기예요. 이런 방식을 써서 항상 row-reduced echelon form을 만들 수 있느냐 하는 것이 의문일텐데, 만들 수 있어요. 사실은 이 오른쪽에 보이는 row-reduced echelon form, 행간소 사다리꼴이 이 행렬을 정리해서 만든 거예요. 여러분도 한번 이 행렬을 직접 정리를 해보시면 이런 꼴이 나타나는 것을 알 수 있을 거예요. 제가 손으로 했다면 모를까 컴퓨터로 다시 한번 확인을 했기 때문에 틀림없습니다. 그러면 이제 숙제로 이것을 내줄게요. 이것을 어떻게 정리하면 이렇게 되는지. 그럼 어떻게 정리하는지에 대한 방법 정도는 가르쳐줘야겠죠? 네, 그냥 두루미와 거북이의 계산을 할 때처럼 똑같이 하면 돼요. 이렇게 행들이 있을 때 첫 번째 원소들이 전부 0 아니면 1이 되도록 모든 행을 적당한 숫자로 나눠줘요. 이것은 2로 나눠야 될 것이고 이것은 그대로 놔둬도 될 거예요. 자, 이렇게 하면 모두 첫 번째 원소가 0 아니면 1이 될 텐데 이제 이 1이 최초의 1이 되도록 이것들을 이것은 가만히 놔두고 이 두 번째 행은 두 번째 행에서 첫 번째 행을 뺀 것으로 대체를 해요. 마치 이것처럼요. 이 0이 있는 것은 가만히 놔두고 이 네 번째 행도 네 번째 행을 첫 번째 행에서 뺀 것으로 대체를 해요. 그렇게 하면 앞에 열은, 맨 앞에 열은 여기 있는 1 말고는 전부 1, 0, 0, 0, 0 하는 식으로 0이 다 될 것이고 이 1이 leading 1, 최초의 1이 되겠죠? 자, 그렇게 하면 이제 첫 번째는, 첫 번째 열은 완성이 됐을 것이고 이것을 계속 반복을 하다 보면 이런 꼴의 행렬이 나와요. 다음 강의를 보시기 전에 혼자 스스로 아까 보여줬던 그 복잡한 행렬이 어떻게 이렇게 간단한 꼴의 행렬이 되는가에 대해서 스스로 계산을 해보시고 계산을 해보시다 보면 모든 행렬은 이렇게 아까 말씀드렸던 과정을 반복하기만 하면 row-reduced echelon form이 되는구나 라는 것을 스스로 느낄 수 있으실 거예요. 오늘은 강의 최초로 숙제라는 게 생겼어요. 이제 우리는 연립방정식에 대해서 얘기를 했고, 연립방정식을 풀기 위해서는 어떤 주어진 행렬을 row reduced echelon form, 행간소 사다리꼴로 고쳐야 된다는 것을 다음 시간에는 연립방정식에 대해 더 깊이 알아보겠습니다. 감사합니다.