1강 - 벡터 스페이스

여러분 안녕하세요. 저는 여러분과 함께 선형대수학을 공부할 김석현이라고 합니다. 오늘부터 선형대수학 강의를 시작하게 되었는데요. 여러분 중에서는 선형대수학을 한번 배워 보시고 다시 한번 복습을 하고 싶으신 분도 있을 것이고 또 완전히 선형대수학이 무엇인지 모르시는 분들도 있을 것입니다. 그리고 수학에 대한 감각이 탁월하신 분도 있을 것이고 왠지 수학은 조금 나와 안 맞는다고 생각하시는 분들도 있을 것입니다. 저는 이 수업을 모든 분들을 위한 수업으로 생각을 하겠습니다. 즉 선형대수학을 처음 배우는 분들도 쉽고 재미있게 배울 수 있도록 모든 자세한 과정들을 다 이야기할 작정이고요. 그러면서도 너무 수업이 지루해지지 않도록 깊이 있는 내용들을 하나하나씩 다 짚고 넘어갈 예정입니다. 우선 여러분이 공부하게 될 과목명은 선형대수학인데요. 대수학은 숫자 3=x, 4=y 이런 식으로 문자를 가지고 수학을 하는 것이라고 익히 알고 있을 텐데 그렇다면 선형이라는 것은 무엇을 뜻하는 것일까요. 선형이라는 것은 이런 좌표 공간에서 그래프의 모양을 뜻한다고 생각하시는 것이 가장 쉽습니다. y=ax 이런 식으로 했을 때 이것과 비교되는 선형적이지 않은 그래프는 선형적이지 않은 함수는 이런 것이 있죠. y=ax² 이 그래프와 이 그래프의 결정적인 차이가 무엇인지 아시겠나요. 이 그래프를 한번 보죠. 우리가 만약 다른 두 x값을 가지고 있다고 생각을 해 봅시다. x1, x2가 있어요. 이 지점과 이 지점, 그러면 우리는 이 지점에서의 함숫값을 알 수가 있고 이것을 ax1이라고 하고 이 지점에서의 함숫값도 ax2라고 알 수가 있죠. 그러면 이 2개를 더했을 때 이것의 함숫값은 익히 알듯이 이렇게 나올 텐데 이것은 각각의 함숫값을 계산한 다음에 더한 것과 같습니다. 이런 식으로요. 즉 이 함수에 대해서 알고 싶으면 이 2개를 더했을 때 나타나는 함숫값을 직접 계산할 수도 있고 아니면 각각 함숫값을 계산을 한 다음 나중에 더하는 방법을 취할 수도 있다는 것입니다. 그런데 이런 선형적이지 않은 함수에서는 이런 장난을 칠 수가 없어요. 이런 행동을 할 수가 없어요. 한번 보죠. 이것을 함수에 한 번 통과를 시키고 나면 이렇게 되는데 이것이 이것과 같습니까. 그렇지 않죠. 따라서 이런 비선형함수에 대해서 알고 싶으면 이런 비선형함수의 함숫값에 대해서 우리가 전혀 모르는 모르는 지점에 대해서 알고 싶으면 x1과 x2를 안다고 해도 그 지점에서의 함숫값들로만은 이 지점에서의 함숫값을 알 수가 없다는 뜻입니다. 따라서 이런 선형함수가 비선형함수에 비해서 조금 더 예측이 쉽고 또 다루기가 쉽다는 것을 알게 되죠. 우리가 공부할 선형대수학은 예측이 쉬운 선형함수만을 대상으로 합니다. 그래서 쉽다고 생각하실 수도 있는데요. 그렇게 쉽지만은 않을 것입니다. 이 선형대수학 강의를 시작하고 진행을 하면서 저희가 대충 건드리게 될 주제들은 지금은 이 의미들에 대해서 다 알 필요는 없어요. 그냥 한번 쭉 짚고 넘어가 주는 겁니다. 우리는 벡터들에 대해서 주로 다루게 될 텐데 이 벡터들의 모임인 벡터스페이스에 대해서 공부하게 될 것이고 이 벡터스페이스를 다른 벡터스페이스로 옮겨 주는 선형함수 또는 선형사상에 대해서 공부를 할 것이고 이 2개에 대해서 배운 내용을 바탕으로 연립방정식을 풀게 될 것입니다. 그리고 앞에서 배운 내용들을 토대로 행렬에 대한 특징을 나타내는 행렬식 그리고 대각화 특성다항식, 벡터스페이스 안의 내적 그리고 행렬의 여러 가지 분해정리 나중에는 Jordan Canonical Form이라는 것까지 얘기를 할 텐데요. 여러분은 혹시 선형대수학이 벡터스페이스뿐만 아니라 행렬에 대해서 다루는 것이라고 들었을 텐데 그럼 행렬은 언제 배우느냐고 생각하실 수 있는데요. 이 선형함수가 곧 행렬입니다. 여러분은 이제 선형함수와 행렬이 서로 다르지 않은 같은 존재라는 것을 알게 될 것입니다. 우선 이것들에 대해서 다 아실 필요는 전혀 없고요. 이 강의를 쪽 따라가다 보면 자연스럽게 아시게 될 것입니다. 선형대수학 첫 번째 수업은 벡터스페이스에서부터 시작합니다. 벡터스페이스라는 것은 벡터들이 모여 있는 공간이라는 뜻입니다. 그래서 우리 말로 쓸 때 벡터 공간이라는 말을 많이 쓰고요. 그러면 벡터라는 것은 무엇인가. 여러분은 중학교, 고등학교 때 또는 대학 물리학 시간에 벡터에 대해서 배운 기억이 있을 것입니다. 설명을 하기 위해서 모형들을 가져왔어요. 이렇게 보시다시피 크기가 있고, 길이가 있고, 방향이 있는 화살표를 벡터라고 합니다. 이게 끝이에요. 벡터는 크기와 방향에 대해서 제가 말씀을 드렸는데 벡터라고 생각할 수 있는, 직관적으로 와 닿을 수 있는 물리량이 뭐가 있을까요. 우선 이 점을 원점으로 했을 때 위치가 있겠죠. 그리고 또 크기가 있고 방향 있는 것, 속도. 속도, 가속도, 힘 등등 여러 가지를 벡터라는 수학적인 실체로 단순화시킨 다음 계산을 합니다. 그러면 벡터를 이 원점에서부터 시작해서 어떤 끝점까지 가는 위치를 표시하는 화살표라고 생각을 하고 이야기를 진행하겠습니다. 벡터들 간에는 덧셈이 가능하다는 것을 아마 배우셨을 거예요. 다시 한번 짚고 넘어가겠습니다. 이런 벡터A가 있고 위에 그려진 이 화살표는 이 양이 벡터라는 뜻입니다. 또 다른 벡터B가 있습니다. 그러면 이것들을 위치라고 생각을 하면 어떤 원점에서부터 어떤 점이 여기에서 여기까지 움직인 다음 다시 여기에서 여기까지 움직인 상황을 볼 수 있습니다. 생각을 할 수가 있고요. 그러면 최종 위치는 여기서부터 여기까지 움직인 것이 될 텐데요. 그러면 이것을 하나의 큰 벡터C라고 생각할 수가 있겠죠. 어떤 점이 여기에서 여기까지 움직였다가 다시 여기로 움직이는 것을 C라는 한 벡터로 그냥 나타날 수 있으므로 우리는 이 상황을 A벡터와 B벡터를 더했더니 C벡터가 되었다고 표현합니다. 이렇게 A벡터과 B벡터가 서로 꼬리에 꼬리를 물고 있을 때는 간단하게 C벡터를 알 수가 있는데 이 벡터가 둘 다 처음 시작점에서 출발하는 것을 그려 놨다면 이 C벡터는 어떻게 알 수 있을까요. 평행사변형 방법이라는 것을 생각할 수 있죠. 여기에 A벡터가 있고 여기에 A벡터가 있고 여기에 B벡터가 있으면 이 B벡터는 A벡터의 끝점으로 이동해서 이렇게 이동을 할 것이니까 여기에 평행한 벡터가 있는 것을 생각하고 여기 있는 B 벡터, 여기 있는 B 벡터, 여기 있는 A 벡터가 이쪽으로 이동을 했다고 생각하고 평행사변형을 그려 줍니다. 그러면 이 평행사변형의 대각선이 2개의 합 벡터, C벡터가 되는 것을 알 수 있어요. 이 평행사변형에서 또 하나 우리가 알 수 있는 사실은 벡터를 더하는 데는 순서가 상관이 없다는 거예요. 여기 있는 C는 A벡터에서 B벡터가 더해진 것이라고도 볼 수 있지만 평행사변형을 보다 보면 B벡터가 여기 있고 여기에 A벡터가 더해진 것이라고 볼 수도 있죠. 따라서 여기에서 이런 등식을 알 수 있게 됩니다. 이것이 벡터의 덧셈의 성질이에요. 그러면 벡터에는 덧셈이라는 연산만 있을까요. 벡터에는 또 다른 상수배라는 연산이 있습니다. 여기에 이런 짧은 벡터가 하나 있어요. 이 벡터를 A벡터라고 했을 때 이 벡터에 아무 숫자를 하나 구해서 예를 들어서 숫자 3이라고 하죠. 3⨉A를 짧게 써서 3A 이렇게 숫자와 벡터를 곱하면 이것을 어떻게 정의할까요. 눈치가 빠르신 분이면 알겠지만 이것은 A+A+A 해서 A벡터보다 길이가 3배 더 긴 또 다른 벡터 방향은 같지만 길이만 3배인 다른 벡터를 뜻하는 표현이 되죠. 3배는 안 되는 것 같은데 대충 넘어가 주세요. 이렇게 벡터에 상수를 곱하면 이것을 길이를 늘이는 것이라고 생각할 수 있는데요. 그러면 이 길이 늘리기라고 보통 여러분이 기억하기 좋으라고 이렇게 썼는데 사실 꼭 늘리기가 아닐 수도 있습니다. 벡터에 어떤 숫자 C를 곱해서 CA라는 새로운 벡터를 만들었을 때 이 C가 아까 3 같은 경우에는 3배 늘어나지만 그럼 만약 2분의 1 같은 경우에는 길이가 반밖에 안 되는 또 다른 벡터가 되겠죠. 그럼 0을 곱하면 어떻게 될까요. 답은 이것입니다. 아예 시작점에서 출발해서 움직이지 않는 길이는 0이고 방향은 정의조차 할 수 없는 영벡터가 된다는 것입니다. 영벡터는 보통 0 위에 벡터를 표시해서 나타내는데 가끔 등장하게 될 테니까 잘 기억을 해 두시고요. 그러면 아예 음수를 곱해 버리면 어떻게 될까요. -1을 곱하면 어떻게 될까요. 눈치가 빠르신 분은 아시겠지만 원래 벡터A와 마이너스를 곱한 -A벡터는 두 벡터가 더해져서 영벡터가 돼야 되죠. 따라서 처음 출발점에서 시작했다가 다시 어딘가로 움직이니까 다시 처음으로 돌아왔다. 이런 영벡터가 되었다는 것을 생각해 보면 원래 벡터가 이 화살표라면 -A벡터는 길이는 같고 방향은 완전히 반대인 이런 벡터가 되겠죠. 여러분은 이제 벡터의 덧셈과 상수배, 이 두 가지 연산에 대해서 알게 되었습니다. 다 아시는 분은 한 번 더 짚고 넘어간다고 생각해 주시고요. 방금 벡터들의 덧셈 그리고 벡터에 상수를 곱하는 두 가지 연산에 대해서 얘기를 했는데요. 그럼 이것들이 우리가 흔히 좌표라고 부르는 것과 어떤 연관성이 있는지 한번 짚고 넘어가겠습니다. 우리가 보통 이렇게 벡터가 있으면 벡터 그 자체를 그대로 그냥 생각을 하기보다는 꼭 이렇게 좌표를 그어서 생각을 하는 경우가 많은데요. 2차원상의 벡터는 2개의 좌표축을 그어서 생각해 보면 이 끝점의 좌표를 x, y라고 하면 이것이 이 벡터의 모든 것을 나타내는 정보가 다 들어 있죠. 이 안에는 길이도 있고 벡터의 길이를 이렇게 표현한다면 피타고라스의 정리에 의해서 여기서 여기까지의 길이는 두 성분의 제곱의 합의 제곱근으로 나오게 되고요. 어떤 벡터가 있을 때 이 벡터의 길이를 보통 이렇게 많이 씁니다. 그리고 방향은 이 x와 y의 비율에 의해서 또 결정이 되죠. 그러면 2개의 벡터가 있다고 생각하고 이 두 벡터가 더해진다는 것이 어떤 의미인지 한번 생각을 해 보겠습니다. 아까 말씀드린 2개의 벡터A와 B가 있어요. 이것들의 성분은 각각 이런 좌표 위에 올려놨을 때 이렇게 x 방향 성분, y 방향 성분이 다 있다고 생각을 해 봅시다. A 벡터의 경우에는 Ax라는 x 방향 성분이 있고 Ay라는 y 방향 성분이 있어요. B의 경우에도 마찬가지로 여기서 여기까지의 길이가 Bx라는 성분, By라는 이 작은 성분 2개가 있어요. 그러면 여기서부터 출발해서 여기까지 가는 C라는 2개 합 벡터는 어떤 성분을 가지게 될까요. C의 x 방향 성분은 이 두 x 방향 길이를 더한 것과 마찬가지가 되고 y 방향 성분도 이 두 y 방향 길이를 더한 것과 마찬가지가 됩니다. 이렇게 두 벡터를 더한다는 것은 두 벡터의 성분들을 더하는 것과 마찬가지가 된다고 생각할 수 있습니다. 그러면 상수배도 크게 다르지 않겠죠. 상수배는 여기서 직접 설명하겠습니다. 저쪽에서 설명할게요. 이런 작은 벡터가 하나 있을 때 x 방향으로 Ax, y 방향으로 Ay 성분을 가진 벡터가 있을 때 이것을 방향을 그대로 유지시킨 상태에서 길이만 C배만큼 길게 한 또 다른 벡터가 있다면 이것을 가로 성분과 세로 성분, x 성분과 y 성분은 똑같은 비율대로 C배만큼 늘어났을 것이므로 이렇게 성분들에 각각 C만큼 곱한 것과 같게 됩니다. 우리는 이렇게 덧셈과 상수배에 대해서 기하학적인 모형을 통해서 성질을 알게 되었는데요. 벡터의 덧셈이라는 것은 성분으로 나타냈을 때 각각의 성분끼리 더한 것을 벡터의 덧셈이라고 할 수 있고 각각의 성분 상수배만큼 곱셈을 한 것을 벡터의 상수배라고 할 수 있는 것을 알았습니다. 여기에서 성분에 대해서 쭉 얘기하다 보니까 한 가지 주의해야 될 것이 있는데요. 저는 맨 처음에 이야기를 시작할 때 여기에 벡터를 놓고 그다음에 좌표계를 그어서 벡터의 성분을 알아냈습니다. 그러면 이것 말고 또 다른 좌표계를 그리는 것도 가능하겠죠. 흰색 선은 무시하시고 노란색 선만 주목해서 보시면 여러분은 새로운 좌표계에 의해서 새로운 성분을 만나 보실 수 있습니다. 즉 벡터라는 실체는 하나로 고정되어 있지만 이것을 어떤 좌표계를 쓰느냐에 따라서 x, y라고 표현할 수도 있고 x', y'이라고 이렇게 다른 숫자로 표현할 수도 있다는 것입니다. 따라서 이 둘이 만약 같은 벡터를 나타내는 다른 두 가지 방법이라면 우리가 같은 대상을 가지고 다른 2개의 언어로 말할 때 이 둘 사이에 통역이 필요한 것처럼 이 둘 사이에도 서로 변환이라는 게 필요할 수 있겠죠. 이것에 대해서는 나중에 말씀드리겠습니다. 다만 지금 기억하셔야 할 것은 벡터라는 실체가 하나 있어도 이것에 대해 좌표로 나타낼 수 있는 방법은 여러 가지가 있고 따라서 이 좌표가 이 벡터를 나타낸다고 말을 하기 위해서는 우리가 좌표계를 딱 고정을 시켜야 된다는 것입니다. 누군가는 흰색 좌표계에 의해서 계산을 하고 있는데 다른 사람은 노란색 좌표계에 의해서 계산을 하고 있고 이 두 사람이 이 사실에 대한 서로의 대화 없이 그대로 계산 결과를 주고받으면 서로 맞지 않는다고 싸우게 되겠죠. 이것을 기억하시기 바랍니다. 벡터스페이스는 V라는 어떤 집합인데 이 안에는 무수히 많은 원소들이 있어요. 무수히 많을 수도 있고, 유한할 수도 있고, 없을 수도 있고 등등 어떤 집합이 있다고 일단 생각을 해 보세요. 이 안에 있는 원소들을 벡터라고 얘기합니다. 이 v라는 원소는 큰 V이라는 집합 안에 들어가는 원소이고요. 보통 벡터를 얘기할 때 물리 시간에는 그리고 지금까지 얘기하기로는 어떤 문자 위에 화살표를 많이 그려서 이야기를 했지만 지금부터는 수학과에서 쓰는 스타일대로 화살표를 생략하고 그냥 소문자로 v, w, u 같은 것들이 나오면 이것들을 벡터라고 생각하시면 되겠습니다. 벡터스페이스 v에 대해서 이 안에 들어가는 이런 원소들이 있을 때 우리는 일단 덧셈에 대한 성질 4개를 댈 수 있습니다. 네 가지의 성질들을 지금부터 쪽 나열하겠습니다. 이 네 가지 성질들을 잘 봐주세요. 우선 첫 번째 성질은 벡터 3개를 더한다고 했을 때 앞에 2개를 먼저 더하고 뒤엣것을 더하나 뒤에 2개를 먼저 더하고 앞엣것을 더하나 마찬가지라는 것입니다. 이 덧셈을 그냥 숫자들의 덧셈이라고 본다면 굉장히 당연한 것입니다만 이 덧셈을 처음 보는 연산이라고 생각하고 연산이 가지고 있는 어떤 특징이라고 생각을 한다면 이 1번을 굳이 이렇게 써 준 이유에 대해서 아시게 되겠죠. 이것들은 벡터들 간의 덧셈이라는 연산이니까 우리가 잘 알고 있는 다른 그냥 덧셈과 같아야 될 필요가 없어요. 예를 들어서 여러분은 수학 시간에 이런 예제를 보셨을 거예요. a와 b 사이에 별표라는 연산을 가지고 a⨉b+b² 이런 식으로 정의를 하자고 한 다음 이 연산에 대해서 여러 가지 성질들을 얘기하는 것이죠. 그러면 이 연산에 대해서는 이런 성질도 성립하기 힘들 것이고 이런 성질도 성립하기 힘들 거예요. 따라서 벡터들 간의 덧셈에서 이런 성질이 성립한다는 것은 당연한 것이 아니라 우리가 더 벡터들 간의 덧셈에 대해서 잘 알고 난 다음에야 비로소 확신할 수 있는 그렇게 당연한 것은 아닌 성질이라고 생각하시면 되겠습니다. 두 번째는 벡터들 간의 덧셈은 서로 순서를 바꿔도 상관없다는 것이고 3번은 이런 기호들이 약간 낯설 수도 있는데 하나하나 설명해 드릴게요. 이것은 어떤 원소가 존재한다는 뜻입니다. 여기 E자를 거꾸로 써 놨는데 이것은 존재한다는 뜻의 EXIST의 첫머리 글자입니다. 그래서 0이라는 원소가 벡터스페이스 안에 존재를 하는데 이것은 어떤 성질을 가지고 있냐 하면이라는 뜻입니다, 이 s.t.라는 말이. 이 st는 영어의 such that, such that이라는 문구의 앞글자를 딴 것입니다. 이런 표현은 수학을 하다 보면 굉장히 많이 쓰이는 표현이니까 관용적으로 줄이는 방법을 다 마련해 두었고요, 수학자들이. 그래서 저도 이런 방법이 쓸 것입니다. 이 문장을 다시 한번 말씀드리자면 우리가 이런 벡터스페이스를 골랐을 때 이 벡터스페이스 안에는 반드시 0이라는 원소가 존재한다. 이 0이라는 원소의 성질은 왼쪽에 더하든 오른쪽에 더하든 물론 2개는 똑같겠죠. 2번 성질에 대해서 모든 벡터 v를 자기 자신으로 만들어 준다. such that for, 이것을 쓰면 더 좋겠네요. for all v in V 벡터스페이스 안에 있는 모든 벡터 v에 대해서 0이라는 것을 더하면 그냥 V가 된다. 이 0이라고 쓴 것이 무엇인지 잘 알 수 있겠죠. 아까 살짝 등장했던 영벡터죠. 처음에 출발점에서 그냥 끝나 버리고 길이는 0이고 아무 데로나 방향을 우리가 정의를 할 수 없는 영벡터예요. 이 영벡터를 뜻하는 것이라고 생각하시면 되겠습니다. 그리고 4번은 이런 for all이라는 말도 사람들이 잘 쓰기 싫어해서 그냥 이렇게 all의 맨 앞글자 a를 거꾸로 뒤집어서 해 놓으면 그냥 all이라고 생각하세요. 모든 벡터 v에 대해서 이것과 짝지어 주는 어떤 -v라는 다른 벡터가 존재해서 이것의 성질은 무엇이냐 하면 이것과 이것을 더하면 0이 된다. 영벡터, 아까 3번에서 말했던 0이 된다. 이런 성질을 가진 -v벡터가 존재한다는 것이죠. 그래서 이 성질을 쭉 쓸 때는 순서를 바꿔서 쓰면 곤란해져요. 4번을 3번보다 먼저 쓰면 이 0은 어디서 나온 것이냐고 물어볼 수가 있거든요. 여기 -v벡터는 뭘 말하는 걸까요. 이것을 v벡터라고 한다면 -v는 이 2개를 더해서 0 벡터가 되는 즉 크기는 같고 방향만 반대인 이런 벡터를 말하는 것이겠죠. 그렇다면 덧셈에 대한 네 가지 성질들을 얘기했으니까 상수곱에 대해서도 또 네 가지 성질들이 있습니다. 이것에 대해서 얘기를 하겠습니다. 여기서 벡터스페이스의 여덟 가지 성질이라고 했으니까 1, 2, 3, 4로 적었으니까 5, 6, 7, 8을 적으면 되겠죠. 이렇게 5, 6, 7, 8. 벡터스페이스의 상수 곱에 대한 네 가지 성질을 적어 봤는데요. 첫 번째 식의 의미는 a와 b 2개의 상수를 먼저 곱한 다음 이것을 가지고 v의 상수 곱을 하나 v의 b로 먼저 상수 곱을 한 다음 a로 상수곱을 하나 같다는 것을 의미하는 거고요. 6번은 두 상수를 더한 다음 곱을 하나 각각 곱한 다음 더하나 같다는 것. 그리고 7번은 6번에서 말했던 성질이 숫자와 벡터를 바꿔서 숫자에 벡터 2개를 더한 것을 곱하나 숫자에 벡터 2개를 각각 곱해서 더하나 같다는 것. 그리고 8번은 마지막으로 숫자 1이라는 것을 벡터에 곱하면 그냥 자기 자신이 나온다는 것을 이야기하는 거예요. 이것들을 연산에 관련된 용어로 이야기하자면 1번과 5번은 괄호를 치는 순서 즉 연산을 하는 순서에 따라서 연산의 결과가 달라지지 않는다. 이것을 결합법칙이라고 하고요. 2번, 덧셈의 순서를 바꿔도 결과가 달라지지 않는다는 것을 교환법칙이라고 하고. 6번, 7번, 이렇게 덧셈과 곱셈이 서로 이런 관계를 가진다는 것을 분배법칙이라고 하죠. 그리고 3번, 4번은 가만히 보면 어떤 연산을 했을 때 연산을 해도 먼저 원소와 결과가 달라지지 않는 어떤 하나의 딱 고정된 원소가 존재한다는 것을 나타내는데요. 이것을 항등원이라고 합니다. 제가 얘기하는 것을 일일이 다 적지 않은 이유는 그냥 듣고 넘기시라는 의미에서 그런 거예요. 그리고 항등원이 존재하면 원래 원소와 다른 것을 연산해서 항등원이 나오게 하는 이런 다른 원소가 존재한다는 것을 역원이 존재한다고 하죠. 제가 지금까지 말씀드린 덧셈에 대한 네 가지 성질 그리고 곱셈에 대한 네 가지 성질, 합쳐서 여덟 가지 성질을 모두 만족하는 어떤 집합을 벡터스페이스라고 하고 이것들의 원소를 벡터라고 합니다. 그러면 제가 계속 숫자, 숫자 하면서 벡터에 어떤 상수를 곱했는데 이 숫자는 어떤 숫자여야 될까요. 우리가 벡터스페이스에 대한 논의를 쪽 전개하기 위해서는 이 숫자상에서 덧셈, 곱셈, 뺄셈, 나눗셈 이 사칙연산이 모두 성립할 수 있어야 됩니다. 따라서 정수만으로 이루어진 벡터스페이스는 성립을 할 수 없고요. 정수에서는 덧셈과 곱셈, 뺄셈은 마음대로 할 수 있어도 나눗셈은 할 수가 없잖아요. 그래서 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 마음대로 가능한 집합이 우리가 알고 있는 것이 어떤 것이 있죠. 유리수 Q, 모든 정수와 정수 나누기 정수 꼴을 이렇게 분수들이 속해 있는 집합이죠. 그리고 실수 R 복소수 C 이렇게 허수까지 포함한 이런 것들이 있게 되죠. 이렇게 유리수, 실수, 복소수처럼 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 이 사칙연산이 자유롭게 되는 숫자의 집합을 Field 또는 우리말로 체라고 합니다. 따라서 우리가 어떤 벡터스페이스를 말할 때는 벡터스페이스 자신뿐만 아니라 어떤 체, 어떤 Field 위에서 이 벡터스페이스가 성립이 됐는가를 얘기해야 되고요. 마지막으로 딱 한 가지만 짚고 넘어가겠습니다. 벡터스페이스도 집합인 이상 어떤 부분집합을 가질 수 있습니다. 여기 있는 모든 원소가 여기에 속한다는 것인데요. 그러면 이 부분집합도 벡터스페이스가 될 수 있겠죠. 그러면 이 부분집합이 벡터스페이스가 되려면 어떤 조건을 만족해야 될까요. w1, w2라는 2개의 원소가 이 W라는 집합 안에 속한다고 생각해 봅시다. 그러면 이것들 간의 연산은 이 연산의 성질들이 모두 여기 있는 것들을 따르는 것은 맞겠죠. 이 연산 구조는 모두 V에서부터 주어진 것이니까요. 따라서 우리가 체크해야 될 것은 오로지 딱 두 가지. 이 집합이 덧셈 연산에 대해서 닫혀 있는가. 이 2개의 벡터를 더해도 이 안으로 들어가는가. 어떤 상수 C에 대해서 그리고 W의 원소 w에 대해서 cw가 이 안에 속하는가. 이 두 가지를 체크해 보면 되겠습니다. 이렇게 체크 과정을 마무리하면 비로소 이 W가 벡터스페이스 V 안에 속하는 또 다른 벡터스페이스라는 것을 알게 되고 그럴 때 우리는 그냥 이런 집합에 속하는 기호가 아니라 집합에 속하는 기호를 이렇게 쓰는 분도 있겠습니다만 이런 기호가 아니라 숫자처럼 부등호를 써서 나타내고요. 이 경우에 W는 V의 subspace, 즉 부분 공간. 부분집합이면서 벡터스페이스라고 얘기합니다. subspace라는 단어가 여기에 등장했으니까 잘 기억하시고요. 그러면 우리는 오늘 좀 길긴 했지만 벡터의 덧셈과 상수곱이라는 연산 그리고 벡터스페이스가 되기 위해서 필요한 여덟 가지 조건들 그리고 subspace에 대해서 알아보았습니다.