7-2. 각운동량(Angular Momentum)

이번에는 극좌표계에서의 운동방정식을 각운동량을 이용해서 한번 유도해 볼게요. 원래 극좌표계에서 운동 방정식을 구하는 것은 수업 시간에서 한번 다뤘었는데요. 이것을 그대로 각운동량을 이용해서도 계산해 볼 수가 있거든요. 그런데 바로 각운동량을 이용해서 계산은 해보기 전에 원래 했던 방법 그대로 다시 한번 유도를 해 볼게요. 다시 하는 이유는 이 극좌표계에서의 운동방정식이 비단 여기에서만 질점의 운동에서만 쓰이는 게 아니라 강체의 움직임에서도 이 극좌표가 굉장히 많이 사용되기 때문이에요. 아마 앞으로 지금 수업 시간이 끝나면 머지않아서 2차원이나 3차원 사이에서의 운동을 다루게 될 텐데요. 그때 가장 많이 다루게 되는 좌표계가 극좌표계예요. 그렇기 때문에 굉장히 중요하기 때문에 꼭 다시 한번 염두에 두고 공부하시라는 의미로 복습을 해보고 넘어가도록 하겠습니다. 일단 뭔가 동역학식을 구한다는 것은 제가 Kinematics와 Kinetics 구해서 그것을 연결하는 작업이라고 말씀드린 적이 있잖아요. 그렇기 때문에 일단 Kinematics를 먼저 구하고 Kinetics를 구해 보도록 하겠습니다. 먼저 Kinematics를 구하려면 좌표계를 삽입을 해줘야 되잖아요. 근데 우리가 극좌표계에 대해서 이 문제를 풀려고 하는 것이기 때문에 극좌표계를 이렇게 삽입을 해 볼게요. 이 기준점으로부터 물체를 향하는 방향이 er^ 방향이 당연히 될 거고 r벡터가 될 거고 그다음에 여기서 90도만큼 돌아간 방향이 eθ^ 방향이 되겠네요. 그러면 이 삽입한 좌표를 가지고 Kinematics를 구해야 되는데 Kinematics를 구한다는 뜻은 결과적으로 가속도를 구한다는 뜻이잖아요. 근데 가속도는 속도로부터 유도될 수가 있고 속도는 변이로부터 유도될 수가 있기 때문에 먼저 변이를 한번 써보도록 할게요. 변이는 지금 여기 기준점으로부터 물체까지의 길이가 r이라고 나와 있기 때문에 변이 r벡터는 길이 r에 er^ 방향을 나타낸 벡터가 될 거예요. 그럼 이 녀석을 미분해주면 속도 벡터가 나오잖아요. 미분하면 v벡터가 나올 텐데 이거 미분하는 방법은 앞엣것 먼저 r 미분해주고, 시간에 대해서. 그럼 r닷이 될 거고 er^ 옆에 붙을 거고 그다음에 r 그대로 써 주고 이 er^ 미분해주면 되죠. er^ 미분해주면 θ닷에 eθ^이 나오게 될 거예요. 그런 다음에 다시 한번 이걸 미분해주면 가속도가 나오겠죠. 이 가속도를 구하는 과정은 말 그대로 이거 미분하고 다시 미분하고 다 더 해주면 될 텐데 그 과정은 복잡하고 지루하니까 그냥 생략하도록 하고 결과만 쓰도록 할게요. 그 과정이 잘 생각이 안 나시는 분들은 다시 한번 책이나 지난 강의를 찾아보시면 좋을 것 같고요. r투닷 - rθ닷²의 er^이고요. 그다음에 + θ 방향 같은 경우에는 (rθ투닷 + 2r닷θ닷)e^ 이런 식으로 쓸 수가 있겠네요. 그다음에 a 벡터, 그러니까 극좌표계에서 Kinematics를 구하는 식은 가속도를 구하는 식은 반드시 암기를 하도록 부탁드릴게요. 왜냐하면 앞으로 굉장히 많이 쓰일 식이기 때문에 계속 이렇게 유도하고 그럴 시간이 부족할 거예요. 그렇기 때문에 앞으로는 외워서 바로 쓰도록 하겠습니다. 어쨌든 Kinematics를 이런 식으로 구할 수 있고 결과적으로 보면 r 방향의 가속도는 이런 식으로 나오죠. ar 같은 경우에는 r투닷 - rθ닷² 이렇게. 그리고 θ 방향 같은 경우에는 rθ투닷 + 2r닷 θ닷을 의미하게 되겠네요. 그리고 Kinematics를 구했으니까 Kinetics를 구해주면 되는데 Kinetics라는 건 힘과의 관계를 구하는 거잖아요. 힘이 어떻게 다 더 해 줄 수 있냐는 것을 구하는 건데 지금 이 그림을 보면 작용하고 있는 힘이 하나도 안 그려져 있잖아요. 우리가 그냥 가상적으로 이 녀석한테 힘이 이런 식으로 작용하고 있다고 생각해 볼게요. 아무렇게나 커다란 힘도 하나 작용하고 있고 이 힘들이 가상적으로 작용하고 있다고 상상할 때 결과적으로 이 힘들을 다 더하면 어떤 합력 하나가 이런 식으로 생길 거 아니에요. 그리고 이렇게 생긴 합력은 다시 r 방향의 블록과 θ 방향의 블록으로 나누어 볼 수가 있을 거예요. 결과적으로 가상적으로 그렇게 존재한다고 생각을 하고 Fr을 다 더한 값을 구해 보면 결과적으로 F = ma니까 질량 곱하기 ar의 er^ 방향이야 이렇게 쓸 수가 있겠죠. 마찬가지로 θ 방향도 maθeθ^이라고 쓸 수 있을 거고요. 그럼 이런 걸 바탕으로 Dynamics를 구할 수 있을 것 아니에요. Dynamics를 구할 수 있을 텐데 색을 좀 바꿔서 쓰도록 하죠. Dynamics를 구해보면 ∑Fr r 방향의 모든 힘을 다 더한 값은 질량 m 그대로 써주고 ar은 이거잖아요. Kinematics에서 구한 거가 r투닷 - rθ²에 er^을 대준 거라고 쓸 수 있겠고요. 마지막으로 Fθ 방향은 maθ인데 aθ는 이거잖아요. rθ투닷 + er닷θ닷에 eθ^이라고 다시 써줄 수가 있겠네요. 그래서 극좌표계에서 운동방정식은 이런 식으로 결과적으로 구해볼 수가 있겠네요. 다들 기억하고 계시죠. 혹시 기억이 안 나시면 꼭 외워두셔야 돼요. 극좌표계에서의 Kinematics, Kinetics, Dynamics는. 어쨌든 이런 식으로 구할 수 있는데 이것을 우리가 지금까지 배웠던 각운동량을 이용해서 한번 계산을 해보도록 할게요. 근데 말씀드렸다시피 각운동량은 θ 방향의 움직임만 고려하는 물리량이기 때문에 이 r 방향에 대한 F는 구할 수가 없고요. θ 방향에 대한 힘만 구할 수 있을 거예요. 어쨌든 한번 구해 보도록 하겠습니다. 일단 각운동량을 외워야 되니까 각운동량의 정의부터 써볼게요. O점을 중심으로 한 각운동량은 r벡터 x 운동량 mv벡터를 내적한 값이죠. 그런데 이 v벡터라는 녀석은 r벡터를 시간에 대해서 미분한 값이니까 r에 닷을 써주기로 할게요. 그리고 극좌표계를 도입했으니까 이 r벡터를 극좌표계로써 한번 서술해 볼게요. r벡터는 뭐가 될 거냐 하면 길이 r에 er^을 곱해준 값이 되겠죠. 그리고 다시 x 질량은 m이니까 그대로 이렇게 써주기로 하고 r벡터의 닷. 그러니까 속도 벡터는 이게 지금 변이 벡터잖아요. 근데 속도 벡터는 이 녀석을 그대로 시간에 대해서 미분하면 되는 거니까 그러면 r닷er^ + rθ닷eθ^이라고 써 줄 수가 있겠네요. 그래서 지금 이 녀석은 아까 우리가 r벡터에서 v벡터를 유도했듯이 그냥 이 녀석과 똑같은 값이에요. 똑같은 것 한 거예요. 다시 와보면 이 녀석을 외적을 해주기로 할게요. 근데 외적하면 지금 이 항과 이 항 외적하고 이 항과 이 항을 외적 해주면 되는데, er^과 er^은 서로 같은 녀석이니까 결과적으로 외적 하면 0이 돼 버리겠죠. 그래서 이 녀석은 지금 고려할 필요가 없고, 0이 될 테니까. 이 녀석과 이 녀석만 외적 해주면 될 거예요. 그럼 외적 해 봅시다. 외적 해보면 일단 상수항부터 추려놓으면 r 하나 있고 m 하나 있고 rθ닷 있으니까 m 먼저 써주고 r 두 개 있으니까 r²이죠. 그리고 θ닷 있으니까 θ닷 하나 있고. 그다음에 문제는 er^과 eθ^을 외적하는 건데 우리가 좌표계를 지금 여기가 er^이고 이 방향이 eθ^이라고 잡았잖아요. 이 두 녀석을 외적 해주면 이렇게 칠판을 뚫고 나오는 방향으로 어떤 새로운 벡터가 생기잖아요. 그래서 그 벡터를 이 빨간색 분필이라고 한다면 이 벡터를 우리가 k^이라고 앞으로 써주기로 할게요. 원래 xyz 해서 z축 좌표는 보통 k^이라고 쓰잖아요. 그래서 이 녀석이 xyz에 대응된다고 생각해보면 뚫고 나오는 방향은 z에 해당되니까 k^이라 써줄 수 있을 거예요. 어쨌든 er^ 방향과 eθ^ 방향을 외적시키면 k^이라는 칠판을 뚫고 나오는 방향으로의 새로운 벡터가 생길 거고요. 그래서 기본적으로 각운동량의 정의에서부터 시작을 해서 극좌표계를 도입했을 때 그런 식으로 써 줄 수 있겠다까지 유도가 되었네요. 그런데 문제는 뭐냐 하면 우리는 이 운동방정식을 이용해서 Kinetics를 즉 Dynamics를 구해 보는 거잖아요, θ 방향의. 그럼 어떻게 하면 되냐 하면 우리가 배웠던 사실을 이용하면 돼요. 어떤 사실이냐 하면 운동량을 시간에 대해서 미분해주면 바로 O점에 대한 모멘트가 나왔잖아요. 그래서 미분해주면 O점에 대한 어떤 모멘트가 생길 거예요. 그런데 이 모멘트라는 녀석은 정의가 어떻게 되냐 하면 r벡터와 Fθ 방향으로의 모든 힘의 합을 외적한 값이잖아요. 원래 기준점이 여기고 어떤 물체가 여기 있어서 어떤 봉으로 연결되어 있는데 이 θ 방향으로 힘이 작용하고 있으면 r벡터와 F벡터를 외적 해서 모멘트를 구하는 게 원래 모멘트의 정의잖아요. 그래서 각운동량을 미분한 값은 모멘트가 나오는데 모멘트는 rxFθ 방향이라고 써줄 수가 있을 거예요. 그럼 이제 이걸 연결 시켜주면 되죠. 우리가 H0벡터는 mr²θ닷k^이라고 구했는데 이 녀석을 미분해주면 일단 질량 m은 그대로 있고, 상수잖아요. 이 r²을 미분해줄 수 있을 거예요. r² 미분해주면 2r에 r닷θ닷이 나오겠죠. 그리고 이번에 θ를 미분해주면 r²과 θ투닷이라고 나오게 될 거예요. 그다음에 k^는 그대로 있을 거고요. 왜냐하면 시간에 대해서 k에선 계속 이게 좌표축이 이렇게 돌아가더라도 좌표 축이 이런 식으로 다시 돌아가게 되더라도 k^는 그대로 칠판을 뚫고 나오는 방향을 그대로 하고 있기 때문에 그 k^은 시간이 되도 변하지 않으니까 미분해줄 필요가 없어요. 그래서 이렇게 구할 수가 있고요. 그다음에 이 녀석을 구해보도록 할게요. r벡터는 우리가 아까도 썼듯이 r에 er^으로 쓸 수가 있고요. 그다음에 x Fθ 방향은 어떻게 쓸 수 있냐 하면 질량 m에 가속도 aθ 방향에 이렇게 쓰지 말고 그냥 Fθ를 다 모은 값이 Fθ벡터 그러니까 이 작용하는 힘에 대해 어떤 물체가 있는데 그 물체에 작용하는 힘들을 다 합쳐서 θ 방향만 뽑아낸 그 힘의 값이 Fθ라고 하고 그 방향을 eθ^이라고 써보도록 할게요. 이상한 게 떴네요. 이것을 잠깐 연기를 시키고요, 죄송해요. 이렇게 하고 그다음에 이 녀석을 다시 외적 해 보도록 할게요. 외적 해주면 r과 Fθ는 상수니까 이런 식으로 다시 나오게 될 거고 그다음에 er^과 eθ^을 외적 해주면 역시나 k^으로 나타나게 되겠죠. 그러면 뭐냐 하면 이 녀석과 이 녀석이 같다는 결과가 나오는 거잖아요. 근데 r 양변에 다 있으니까 r만 다 캔슬을 시켜주면 결과적으로 어떤 식이 나오냐 하면 Fθ는 m(2r닷θ닷 + rθ투닷)이라는 결과를 구할 수가 있겠네요. 이 결과를 보면 이게 F 방향의 힘이 되는 건데 여기서 아까 구했듯이 F 방향에서의 힘은 m(rθ투닷 + 2r닷θ닷)이라는 결과와 똑같은 결과가 나온 거잖아요. 그래서 이 극좌표계에서 운동방정식은 이런 식으로 구할 수도 있지만 각운동량을 이용해서도 똑같이 구해야 된다는 사실을 확인해볼 수가 있겠네요. 이런 사실을 바탕으로 문제 하나를 풀어 볼 텐데요. 사실 결과는 결국 이거예요. 똑같은 결과가 나온다는 건데, 증명이 중요한 게 아니고 이런 극좌표계 운동방정식. 물론 갑자기 각운동량을 공부하는데 갑자기 튀어나와서 어색한 감이 있긴 하지만 그렇다고 이 내용이 어디 뜬금없이 다른 데서 또 들어가기에는 되게 애매한 성질이 있어요. 그래서 어쩔 수 없이 여기에 넣긴 했는데 이런 사실을 바탕으로 문제 하나를 더 풀어 보도록 하겠습니다. 그래서 방금까지 공부한 사실들을 바탕으로 문제 하나를 풀어 볼 텐데요. 문제가 사실 되게 애매해요. 그니까 방금 우리가 배운 내용은 극좌표계에서의 운동방정식을 하나 구해봤고 그 운동방정식이 각운동량을 이용해서도 구해질 수 있다는 사실을 확인해 본 건데 결과적으로 그렇게 확인해 본 사실이 쓸 일은 거의 없거든요. 그냥 결과가 중요한 거지. Fθ와 Fr이 결국엔 그런 식으로 써질 수 있다는 사실이 중요한 거지 그 유도되는 과정 자체가 중요한 건 아니라서 이 문제도 사실 방금 그 각운동량을 이용해서 힘을 구하기 위해 필요한 유도 과정을 사용하는 것보다는 결과를 이용한 문제가 될 거예요. 그렇기 때문에 어떻게 보면 연관성이 없지 않나. 오히려 예전에 애초에 극좌표계에서의 Kinematics와 Kinetics를 다룰 때 들어가야 될 문제가 아니지 않나 생각이 들긴 하는데 어쨌든 복습한다는 마음을 갖고 한번 문제를 풀어 보도록 하겠습니다. 어떤 문제냐 하면 O점에 어떤 로드가 봉이 달려있어요. 봉이 달려 있어, 이렇게 자유롭게. O점이 제 관절이라고 한다면 얘가 이렇게 자유롭게 움직일 수 있는 거예요. 움직일 수 있는데 어떤 질량이 있는 물체가 이 막대에 끼워져 있어요. 끼워져있어서 자유롭게 움직일 수 있는 거예요. 어떤 거냐 하면 제 팔이 이 봉이라고 한다면 제 팔 위에 어떤 막대가 이렇게 껴서 제가 이렇게 움직이면 얘가 이렇게 왔다 갔다 할 것 아니에요. 이렇게 움직이고 있는 어떤 물체가 있는데 이 봉이 회전하는 각속도가 일정하대요. 그러니까 여기 보시면 나와 있지만 각속도가 10이면 10, 20이면 20 이런 식으로 변하지 않고 계속 일정하게 운동을 하고 있대요. 운동하고 있으면 이 녀석이 만약에 봉이 맨 처음에 이렇게 있었는데 이렇게 움직이면 이 녀석은 원심력 때문에 밖으로 튕겨져 나갈 거 아니에요, 점점. 그래서 움직이고 있을 때 어느 순간 이 B 지점에 도착했대요. B 지점은 원점 O에서부터의 거리가 r이고요. 그래서 B 지점에 도착했을 때 B 지점에서 이 녀석이 가지는 어떤 속력이 있을 것 아니에요. 그래서 그 속력을 구해보라는 게 첫 번째 문제고 두 번째 문제는 이게 움직인다는 것은 결국 어떤 힘을 받기 때문에 움직인단 뜻 아니겠어요. 근데 그 힘은 누가 주는 거겠어요. 이 봉이 얘한테 힘을 가해주기 때문에 움직이고 그러는 것일 거잖아요. 그렇기 때문에 이 녀석이 B점에 도달했을 때 그때 받는 힘도 구해보라는 게 문제가 되겠네요. 조금 더 구체적으로 설명하자면 B 지점에서의 모든 속력을 다 구하라는 게 아니고 Vr 방향의 속력을 구하래요. 즉, 이쪽 방향으로 향하는 속력만 구해보라고 하고 B 지점에서는 가해지는 힘을 구하라고 하는데 이 녀석이 지금 힘이 이쪽 방향으로도 받을 수도 있고 이쪽 방향으로도 받을 수 있다고 하잖아요. 근데 문제를 보면 자유롭게 움직이는 상자가 움직이는데 마찰을 안 받고 움직인대요. 마찰 안 받고 움직이니까 결과적으로 이쪽 방향으로는 r 방향으로는 작용하는 힘이 하나도 없이 그냥 마찰이 없고 봉은 θ 방향으로만 움직이는 거니까 θ축으로만 힘을 가할 수 있지 r 방향으로 전혀 힘을 가하지 못하는 거잖아요. 그렇기 때문에 이 B에서도 가해지는 힘을 구하라고 문제가 나왔지만 결과적으로 이건 θ 방향으로 작용하는 힘을 구하라는 문제라고 우린 이해할 수 있을 거예요. 일단 문제를 바로 풀어 보도록 할게요. 이거는 근데 AB 이렇게 문제가 나뉘어 있긴 하지만 A를 풀고 B를 풀어야 되는 것이 맞긴 맞는데 A만 한 번에 다 풀어 놓고 또 B를 다시 다 풀어보고 이런 게 아니어서 한 번에 두 개를 그냥 다 풀어보도록 할게요. 왜냐하면 쭉 유도하다 보면 그냥 두 개를 다 풀어버릴 수 있거든요, 한 번에. 그래서 시작해 보도록 하겠습니다. 일단 좌표계를 삽입해야 되는데 우리가 당연히 극좌표계를 배웠으니까 극좌표계를 놓으면 되겠죠. 그래서 이렇게 삽입해 주도록 하고 이 방향은 er 방향이고 eθ 방향이라고 써줄 수 있겠네요. 그러면 제가 마지막으로 한 번만 더 유도해 드릴게요. 그만큼 중요하기 때문에 r벡터는 r과 er^이라고 쓸 수 있을 거고 그다음에 v벡터는 r닷과 er^과 rθ닷과 eθ^이라고 쓸 수 있을 거예요. 그다음에 a벡터 같은 경우에는 가속도는 (r투닷 - rθ닷)er^에 (rθ투닷 + 2r닷θ닷)에 eθ^이라고 써줄 수가 있겠죠. 저렇게까지 구할 수 있고, 그다음 이 상자가 받는 힘을 r 방향으로 받는 힘을 Fr이라고 하고 θ 방향으로 받는 힘을 Fθ라고 써볼게요. 물론 r 방향은 힘을 받지 않는다고 제가 말씀을 이미 드렸지만 일단 써놓도록 할게요. 그리고 이것을 이용해서 Kinetics를 구해보면 Fr 방향은 질량 m 곱하기 가속도 중에서 r 방향 가속도를 써주면 되겠죠. 그래서 m에 r투닷 - rθ닷²이라고 쓸 수 있을 거고요. 마찬가지로 Fθ 같은 경우에는 이거를 써주면 되겠죠. m에 rθ투닷 + 2r닷θ닷이라고 써줄 수 있겠네요. 굳이 방향까지 써주고 싶다면 벡터 해서 er^eθ^ 이런 식으로 써줄 수 있을 거고요. 근데 쓰나마나 그게 그거죠. 그런 다음에 여기까지 해서 동역학식을 구했고 이제부터 한번 문제 조건들을 적용해 보도록 할게요. 제가 아까 말씀드렸다시피 이 녀석이 운동을 하는데 r 방향으로 받는 힘은 전혀 없어요. 마찰력도 작용하지 않고, 봉은 θ 방향으로만 힘을 작용해주기 때문에 r 방향으로 작용해줄 수가 없기 때문에 r 방향에 대한 힘은 결과적으로 0이 되어야만 해요. 0이 된다는 뜻은 뭐냐 하면 r투닷과 r과 θ닷²이 같다는 뜻이죠. 그리고 또 하나 생각해 봐야 될 게 뭐냐 하면 지금 이 봉이 일정한 각속도로 움직이고 있는 거잖아요. 그러니까 이 각속도 θ닷이 항상 일정하단 뜻이에요. 즉, 상수라는 뜻이죠. 상수니까 한 번 더 미분하면 이 녀석은 0이 될 거 아니에요. 각속도는 0이 되겠죠. 그렇기 때문에 이 Fθ에서 지금 각각 속도 값을 포함하고 있는데 이 녀석 항은 결과적으로 사라지게 될 거예요. 그래서 Fθ는 질량 m과 er닷θ닷만 포함한 값을 지니게 되겠네요. 여기까지 기본적으로 세팅을 해봤고요. 이걸 토대로 문제를 풀어 보도록 하겠습니다. 일단 A 문제 같은 경우에는 B 지점에서의 r 방향으로 속도를 구하래요. 그러면 여기에 속도식 보면 r 방향 속도는 r닷이잖아요. 그러면 문제의 답으로 그냥 r닷 이렇게 쓰실 거예요? 이러면 바로 틀려 나가겠죠. 왜냐하면 지금 문제에서 주어진 문자 조건은 각속도가 일정하다는 사실밖에 없어요. 즉 θ닷이 θ0닷이라는 각속도가 일정하다는 조건밖에 없기 때문에 이러한 사실을 나타내서 r닷을 표현해야 되는 거지 단순히 그 v벡터의 r 방향의 속도가 r닷이라고 나왔다 이렇게 쓰면 바로 틀린 게 되겠죠. 그리고 이렇게 할 거면 굳이 이걸 구하지 않고 이렇게 썼겠죠 제가 바로 이게 만약 답이라고 한다면. 때문에 이 r닷이라는 녀석을 이 θ0닷이라는 문자로 표현해줘야 되는데 그럼 어떻게 표현할 수가 있냐 하면 이게 정말 중요해요, 정말. 어떤 조건 인용할 거냐 하면 제가 r투닷은 r과 θ닷²과 같다는 사실을 말씀드렸잖아요. 이건 정말 중요하니까 잘 기억해 두셔야 돼요. r투닷은 dt²의 d²r이잖아요. 이게 r을 두 번 미분했다는 뜻이잖아요. 이것을 조금 더 풀어쓰면 어떻게 쓸 수 있냐 하면 d dt dr dt라고 쓸 수 있을 거예요. 일단 이것만 보면 r을 한번 미분했다는 뜻이잖아요. 그럼 속도가 될 텐데 속도를 다시 한번 미분하면 가속도가 되니까 r투닷이 되는 거잖아요. 이렇게 썼다 치고 다시 한번 이 녀석을 축약해 볼게요. dt 이 녀석은 시간에 대해서 한번 미분한 거니까 r닷이라고 쓸 수 있겠죠. 그런데 미적분에서 배운 연쇄 법칙을 잘 떠올려보면 이 dt를 여기로 보내버리고 dr을 이런 식으로 추가를 해 줄 수 있을 거예요. 왜냐하면 이것을 놓고 계산해 보면 dr과 dr과 결국 사라질 거니까 합치면 다시 dtr 여기로 오게 될 거고 결과적으로 이 식과 같아지는 거잖아요. 그래서 이 식은 다시 이런 식으로 확장해볼 수가 있다고요. 이거 정말 중요한 개념이고 꽤 어려운 문제, 좀 난이도 있는 문제들을 풀 때 굉장히 문제 어려움을 확 줄여주는 어떤 공식이라고 공식이라고 하긴 좀 그렇지만 어떤 테크닉이라고 볼 수 있기 때문에 꼭 잘 기억해 주시기 바라고요. 어쨌든 이런 식으로 쓸 수가 있고요. 그다음에 잘 살펴보면 일단 dr닷과 dr은 그대로 쓸게요. 이렇게 써놓고 보면 이 녀석은 뭐가 될까요. dr을 즉 변이 r을 시간에 대해서 미분한 거기 때문에 뭐가 되냐 하면 r닷이 될 거예요. 그러면 결과적으로 우리가 뭘 한 거냐 하면 r투닷을 이런 식으로 바꿀 수 있다는 뜻이에요. 근데 이 문제 조건에서 r투닷은 rθ닷²이었잖아요. 그러면 이 녀석은 r과 θ닷²이라고 이렇게 연결 시켜 줄 수 있겠네요. 이 상태에서 분모에 있는 dr을 이쪽으로 이항을 시켜 줄게요. 그러면 어떻게 정리를 할 수 있냐 하면 r닷과 dr닷은 rθ닷²과 dr이라고 쓸 수 있겠네요. 근데 여기서 다시 rθ닷은 상수니까 이렇게 0이야. 상숫값이라고 써주도록 할게요. 그럼 이 녀석 이제 적분할 수 있겠죠. 적분하면 초기 상태에서부터 나중 상태까지 적분 할 수 있을 거예요. 그래서 초기 위치는 문제에서 나와 있진 않았는데 우리가 임의로 r0라고 할게요. 그리고 B 지점에서의 어떤 값을 구하고 싶은 거잖아요. B 지점에서의 변이는 그냥 r이었으니까 r이라고 쓰고 축 위치는 r0라고 쓸게요. 마찬가지로 초기 위치의 속도는 r0닷이라고 쓸 수 있을 것이고 결국 B 지점에서 대해서 속도는 역시나 r닷이라고 쓸 수 있을 거예요. 그럼 이 녀석은 어떻게 적분할 수 있냐 하면 다시 위에다 쓸게요. 이 녀석 적분하면 2분의 1 r닷을 rdr닷에 대해서 적분한 거니까 결과적으로 r닷²이 될 텐데 지금 인덱스들이 r0부터 r닷까지니까 r닷²에서 - r0닷²이라고 쓸 수 있을 거고요. 이것도 마찬가지로 θ닷0²은 상수이기 때문에 그냥 내버려 두면 되고 r만 적분해주면 2분의 1 r²에 - r0²이 될 거예요, 그리고 θ0닷² 붙여주고. 그럼 이 상태에서 2분의 1, 2분의 1 똑같이 있는 애니까 그냥 이렇게 지워버리고 A 문제에서 우리가 구하고 싶은 것은 Vr이잖아요. Vr은 여기서 써있듯이 r닷이었으니까 r닷은 여기서 계산해낼 수가 있겠죠. 그러면 r²은 r0닷² + (r² -r0²)θ0² 이렇게 쓸 수 있을 거고 그런데 우리는 제곱이 아니라 그냥 이것만 구하고 싶은 거기 때문에 결과적으로 이 녀석에 루트를 씌워주면 Vr이라는, B 지점에서의 물체 상자가 갖는 r 방향으로의 속도로 구할 수 있는 거예요. 이렇게 해서 A 문제를 풀 수 있겠고요. B번 문제를 보면 B 지점에서 상자가 받는 힘을 구하래요. 근데 상자가 받는 힘은 r 방향은 0이어서 없었고 결과적으로 Fθ밖에 없었는데 Fθ로의 힘은 m(2r닷θ닷)이었어요. 그래서 다시 써보면 Fθ는 m(2r닷θ닷)인데 좀 정리해서 쓰면 2mθ닷r닷이 되겠죠. θ닷은 상수니까 그냥 0 이렇게 첨삭 붙여 주고 그다음에 2mθ0닷에 r닷은 이거잖아요. 이 녀석을 옆에 붙여주면 결과적으로 B 지점에서 물체가 받는 힘도 계산해 볼 수 있을 거예요. 그래서 이런 식으로 B 지점에서 상자가 갖고 있는 속도와 받는 힘도 구해 볼 수가 있었네요. 근데 여기서 가장 중요한 개념은 다 중요하지만 이 테크닉 이 테크닉을 꼭 기억해두시길 바랄게요. 가속도가 주어졌을 때 가속도를 이런 항으로 바꿔 줄 수 있다는 사실 이렇게 해서 문제를 간단하게. 어떻게 보면 처음 접하시는 분들은 되게 개념이 헷갈리실 수도 있는데 충분히 익숙해지고 나면 간단하게 구할 수 있거든요. 만약에 이 식을 안 쓰고 그냥 문제를 풀면 문제가 엄청 길어져요, 풀이 과정이. 그렇기 때문에 강력한 툴이기 때문에 꼭 기억하고 계시길 바랍니다. 아마 나중에 강체에 해당되는 문제를 풀게 되면 이 식이 종종 등장하게 될 텐데요. 그럴 때 굉장히 또 강력한 힘을 발휘하거든요. 그래서 이번 시간까지 각운동량에 대한 총체적인 이론들이라든지 문제들을 간단하진 않았지만 다 다뤄봤고요. 다음 시간부터는 처음부터 시작해서 여태까지 했던 문제들을 우리가 간단하게 다뤘던 내용들을 정리하자면 어떤 내용이었냐 하면 질점이 하나가 있어요. 그래서 그 질점이 어떻게 움직이는지를 해석해 본 거예요. 그럼 다음 시간부터 어떤 걸 다룰 거냐 하면 질점이 하나가 아니라 여러 개가 있어요. 두 개가 될 수도 있고, 세 개가 될 수도 있고 무한개가 될 수도 있는데 질점이 굉장히 여러 개가 있을 때, 엄청 많을 때 그 물체들을 어떻게 해석할 수 있을지에 대해서 해석을 해보도록 하겠습니다. 그러면 오늘 강의 마치도록 하겠습니다.