1강 - 미분기하학의 소개와 공간의 벡터

안녕하세요 여러분 박재호 선생님입니다 자 이제 미분기하학 시간이 왔습니다 미분기하라고 하는 것은 역시 말 맞더라 지오메트리 땅을 잰다라고 하는 것이죠 기하가 그 지오메트리 땅을 재면서 만들어진 그 지오메트리 라고 하는 녀석을 해석적인 방법 특히 미적분학을 이용해서 우리가 우리가 전체적인 성질을 파악하는 녀석이 바로 미분기하학이 되어 있습니다 이제 미분기하학에 대한 부분을 우리가 한번 시작해 보도록 할게요 시작해 보도록 하겠습니다 자 우리가 기하라고 하는 이 녀석 자체가 지오메트리 그리고 미분기하학 뭐 이 정도 있겠죠 뭐 다른 것도 있을 수 있겠습니다마는 사영기하학도 있고 여러 가지 있어요 근데 특징적으로 한 세 가지 정도를 우리가 생각해 볼 수 있겠습니다 자 그러면 우리가 기하라고 하는 녀석을 보는 내용 중에서 한 세 가지 정도 우리가 해석을 할 수 있겠는데요 이때 우리는 위상적인 부분으로 기하를 따지는 것 어떤 기하학적인 형상을 따지는 것을 위상기하라고 하고 데카르트 평면에 대해서 나온 좌표평면계나 좌표계를 이용해서 다루는 것을 우리는 뭐 해석기하라고 하죠 그리고 미분 캘큘러스 특히 캘큘러스라고 하는 녀석을 이용해서 이게 원래 캘큘레이터 잖아요. 그러니까 계산을 중심으로 하는 미적분학입니다. 이런 캘큘러스를 이용해서 기하적 성질을 다루는 미분기하라고 합니다. 그래서 미분기하 같은 경우는 미분을 이용하기 때문에 당연히 어떻게 됩니까? 연속적인 부분을 가지고 해석을 하게 될 것입니다. 미분되지 않는 녀석에 대해서 별로 생각할 필요가 없다는 것입니다. 미분기하니까요. 미분기하인데 특별히 우리는 이 미분기하에서 기하적인 현상 중에서 우리가 특히 뭐 곡선, 커브라든지 그 다음에 곡면에 대한 부분의 성질을 우리가 따지게 될 것입니다. 그래서 곡선과 곡면의 성질을 따지게 되겠지만 이 곡선과 곡면 중에서 특히 우리는 바로 E3, 3차원 유클리드 공간 속에 들어가 있는 곡선과 곡면의 성질을 우선적으로 따지는 것으로 우리가 보도록 하겠습니다. 4차원 이상은 우리가 선형대수에서 얘기하고요. 특별하게 얘기할 필요는 없고 눈에 보이는 형태, 기하가 기하라고 하는 것이 내 눈에서 정확하게 판단이 가능해야 되는 부분이죠 그래서 3차원 유클리드 공간에 대한 부분으로 우리가 속에 들어가 있는 곡면과 곡선에 대한 기하학적 성질을 우리가 판단하는 것으로 미분기하를 시작하도록 하겠습니다 자 그래서 미분기하라고 하는 녀석을 봤을 때 우리가 곡선과 곡면의 성질을 따지는데요 자 우리가 곡선과 곡면에 선생님 지금 감기가 걸려가지고 목이 좀 아파서 그런데 조금 이해를 좀 해주십시오 곡선과 곡면의 기하학적 성질을 한번 다뤄보도록 하겠습니다 자 곡선과 곡면의 기하학적 성질을 다룰 때 기하학적 형상이죠 다룰 때 우리가 두 가지 형태로 나눌 수 있겠습니다 첫 번째는 뭐냐 두 번째는 뭐냐 첫 번째는 우리가 소역 작은 영역이라는 말을 쓰기도 하죠 그래서 우리가 국소적 성질이라고 하는 것을 다루는 것 로컬 프로퍼티 국소적 성질을 다루는 것 광역적 성질을 다루는 이 두 가지 형태로 나눌 수 있겠습니다. 이 국소적 성질을 다루는 것에서 우리가 작은 small 소역적에 대한 부분이라고 소역적 성질이란 말을 쓰기도 합니다. 그리고 광역적이란 부분은 우리가 라지 대역적 이런 말을 쓰기도 하죠. 대역적 성질과 작은 영역 소역적 성질로 나눌 수 있겠습니다 그러면 이 두 가지가 지금 현재 어떤 형태를 가지고 나눠지느냐 소역적 성질 바로 국소적 성질이라 로컬 프로퍼티라고 하는 녀석은 말입니다 어떤 점을 따지는 거예요 어떤 점에 대한 부분 국소적인 부분을 따지는데 어떤 특정점 곡선이나 곡면 기하적 형상 기하적인 형상이 있겠죠 곡선이 됐든 간에 곡면이 됐든 간에 기하적 형상 위의 한 특정점 한 특정점이 있겠죠 그 특정점에 대해서 우리가 어떤 기하적 성질을 판단하는데 이 한 특정점에 의해서 나타나는 기하적 형상의 한 특정점에서 나타나는 기하적 성질이 바로 그 주변에 근처에 근방에 나와죠 근방에 있는 주변에 있는 점에 의해서 영향을 받는 경우 근방에 있는 점에 의해서 영향을 받는 경우, 이런 경우가 되는 것이 바로 우리가 small, 국소적 성질이라고 하는 것을 갖는 작은 영역이라고 볼 수 있습니다. 기하적 형상 위에, 기하적 형상 위에 있는 한 특정점이 있을 텐데 그 특정점에서의 기하적 성질은 바로 그 근방에 있는 점에 의해서 영향을 받는 종속적인 거라는 거죠. 여기에 의해서 이 녀석이 영향을 받는 거예요. 이런 것도 작은 영역의 어떤 특징 또는 국소적 특징이라는 말을 씁니다. 대표적인 예를 한번 들어보겠는데요. 어떤 예를 들어볼 것이냐. 어떤 곡선이 하나 있다고 보겠습니다. 어떤 곡선이냐면 예를 들어서 선생님이 원을 하나 그려볼게요. 원을 한번 그려봅시다. 원을 한번 그려볼 텐데요. 어떤 동그란 원이 하나 있다고 보겠습니다 자 원을 하나 이렇게 그렸을 때요 자 이런 원이 하나 있다고 쳤을 때요 자 이 원에서 뭘 볼 것이냐면 좀 이따가 하나 자 원을 봤을 때 여기 위에 어떠한 이런 곡선이 하나 이렇게 통과해서 지나간다고 보겠습니다 그래서 여기서 곡선이 이렇게 하나 와서요 그리고 위에 이렇게 딱 하나 만나고 그 다음에 이런 식으로 해서 간다고 보겠습니다 자, 이 곡선을 우리가 감마라고 하는 어떤 경로라고 보고요 이 곡선 감마가 있을 때에 여기에 한 점이 P, Q가 있고요 자, 여기 한 점 P가 있고 그 다음에 여기 한 점 Q가 있습니다 Q, 그 다음에 여기 Q라고 보고요 그 다음에 여기 가운데 들어가 있는 여기 만나는 점 있죠 여기 만나는 점을 우리는 뭐로 볼 것이냐면 R이라는 점으로 보겠습니다 자, 그렇다면요 이 P와 Q, R을 동시에 지나가는 원을 이렇게 하나 그렸다 이거야 그러면 이때 우리는 P와 Q가 R로 향해서 이렇게 해서 다가간다고 보겠습니다. 이렇게 쭉 다가가면서 극한점을 형성하면서 쭉 따라갔을 때 최종적으로 어디서 만나냐? R에서 만나겠죠. 그러니까 이 두 녀석이 이쪽으로 쭉 가면 여기 부분에 이렇게 P가 있고 여기에 Q가 있다고 봅시다. 그러면 이 두 점을 지나고 이 점을 지나는 걸 이렇게 그리다 보면 최종적으로 가까이 가면 어떤 그림이 나오는지 대충 알겠죠? 바로 이러한 그림이 나올 것이다라는 겁니다. 그림 하나 그려볼게요. 미분기하학의 소개와 공간의 벡터 이런 원이 하나 발생하겠죠. 얘가 쫙 따라가다 극한적인 형상을 따지면 극한적으로 쫙 따라가다 여기 탕 이렇게 만난다는 말이죠. 여기 딱 만날 것이다. 여기 중심이 하나 있을 것이고 이렇게 중심이 하나 있겠죠. 이렇게 있다고 친다면 이렇게 만나서 이렇게 형상이 만들어질 것이다. 이 안에 들어가 있는 이런 식으로 생긴 그림 좀 이상한데? 안에 이렇게 생겨져 있는 이 녀석, 이 원은 바로 이 Q와 P라는 점이 극한을 따라서 쭉 이 곡선 위를 따라서 극한 마지막에 형성되는 점인 뭐 극한점 R에 의해서 만들어지는 어떤 원이라고 볼 수 있겠죠. 그렇죠. 그래서 이 원 자체는 결론은 어디에 영향을 받는다? 이 영역에 의해서 영향을 받을 것이고 이것의 존재는 어떻게 됩니까? PQ라고 하는 두 점에 의해서 PQ라고 하는 이 점과 이 점에 의해서 이 점도 역시 영향을 받는 점이 될 것이다. 그래서 결국에는 여기 나온 원은 이 원에 의해서 영향을 받을 것이고 여기 있는 원 위에 있는 이 PR이라고 하는 점은 주변에 있는 어떻게 됩니까? 곡선 근처에 있는 점 P와 Q에 의해서 영향을 받는 극한점이 된다라는 사실을 알 수 있겠죠. 이때 우리는 이러한 것들을 뒤에서 차후에 또 보겠지만 이런 원을 뭐라고 한다? 곡률원이라는 말을 쓰죠. 그쵸? 자 그래서 곡률원이란 말을 쓰고요. 이 곡률원이라고 하는 녀석의 가운데 중심이 이렇게 하나 있을 것이죠. 곡률 중심이라고 하고, 자 그리고 이 녀석과 어떻게 됩니까. 여기서 이까지 점 R까지 거리를 요렇게 해서 하나 잡아놓고 이 거리 r을 우리 뭐라고 한다. 곡률반경, 곡률반지름이라고 하죠. 자 뒤에서 보겠지만 우리 곡률반경은 항상 일정합니다. 원 위에 어떤 점에서든 그쵸? 원 위에 이 곡률이라고 하는 녀석 자체가 커버처. 그쵸? 커버처라고 씁니다. 그쵸? 카파라고 쓰고요. 커버처가 되겠죠. 그래서 이 곡률이라고 하는 녀석 자체라고 하는 녀석은 원 위에 어떠한 점에서든 항상 일정합니다. 나중에 보게 될 거예요. 그래서 이렇게 곡률반지름에 붙어있는 R이라든지 이 카파라고 하는 녀석이 바로 뭡니까? 주변에 있는 조금에서 영향을 받는 형태인 바로 국소적 성질이라고 하는 것을 우리가 만족한다는 걸 알 수 있어요. 그래서 대표적인 국소적인 성질 중에 하나 바로 뭡니까? 곡률이 되는 겁니다. 이 부분이 있는 반면에 우리가 여기 나와 있는 녀석 있죠. 광역적 성질이라고 하는 것. 이 광역적 성질은 뭘 광역적 성질이라고 하냐면 전체의 기하 모형의 특성이 전체 모형의 특성을 가지고 판단한다. 그 자체가 일부분을 보는 것이 아니라 전체적인 모형을 다 판단했을 때 나타나는 어떤 특징이라고 볼 수 있습니다. 예를 한번 들어볼게요. 선생님 이제 몸이 감기가 많이 걸리다 보니까 혓바늘이 많이 돋아나고 발음이 조금 이상하더라도 이해를 좀 해주시기 바라겠습니다. 자 뭐를 볼 거냐면 여기 한번 보세요. 여러분들 자주 보던 어떤 그림을 하나 그려볼게요. 이렇게 하나 그림을 그리도록 하겠습니다. 그리고요. 자 이렇게 한번 볼까요? 그림 자체가 영 엉성하네. 자 여기서 이렇게 되어 있습니다. 이 모양이 이렇게 해서 안으로. 자 그리고요. 안쪽으로 이렇게 되어 있고 그 다음에 그림 자체를 봅시다. 색칠을 이 부분으로 해볼까요? 그림이 이해 되겠습니까? 이렇게 그리면 좀 더 낫겠네. 이렇게 해서 만들어 놓고 나면 조금 더 이해하기 쉬우려나. 이게 모양 자체가 안쪽으로 조금 이렇게 말려 있는 상태예요. 그래서 이런 식으로 해서 이렇게 미분기하학의 소개와 공간의 벡터. 미분기하학의 소개와 공간의 벡터. 메비우스 띠는 여기 위에 한 점 P를 잡고 여기 주변에 있는 녀석을 보지 않고 전체적인 성질을 볼게요. 메비우스 띠가 가지고 있는 대표적인 기하학적인 형상이 뭐냐면 미분기하학의 소개와 공간의 벡터. 미분기하학의 소개와 공간의 벡터. 미분기하학의 소개와 공간의 벡터. 이게 왜 띠가 하나밖에 없냐면 여러분 알죠? 여기 있는 P라고 하는 점 자체를 한 바퀴 움직입니다. 내가 여기를 이렇게 해서 윗면을 따라서 이렇게 딱 따라가면 따라가면 어떤 일이 벌어지죠? 얘가 따라가면 이렇게 해서 와서 뒷면을 가지. 이 면에 이 뒷면을 가요. 뒷면을 돌아서 이 뒤쪽 면에 있는 이 면으로 올라오죠. 그러니까 얘가 가면 뒤쪽으로 이렇게 해서 옵니다. 오다가 여기 오는 순간 이제부터 안쪽으로 이렇게 들어가죠. 그쵸? 뒤로 왔다가 이렇게 오는거에요. 그쵸? 그 다음에 이게 안으로 들어가게 되면 어떻게 되냐면 이 뒤쪽으로 이렇게 해서 요렇게 가죠. 요렇게. 그쵸? 맞습니까? 요렇게 해서 안쪽으로 기어들어가는거에요. 결론은 무슨 말이냐면 여기 있는 녀석 자체가 바깥면에서 출발했는데 얘가 쭉 가다가 뒷면으로 왔다가 다시 이 안쪽으로 이렇게 해서 오다보니까 바깥쪽에 있는 녀석, 그니까 내가 여기서 출발했는데 나중에 한바퀴 돌고나니까 이 안쪽으로 기어들어온거에요. 그쵸? 그러다보니까 메비우스 띠라고 하는 것은 뭐가 됩니까? 대표적인 뭐가 됩니까? 한면성을 가지고 있어요. 이거는 전체 광역적인 성질을 봤을 때만 알 수 있습니다. 왜냐하면 말이죠. 여기 주어져 있는 녀석을 만약에 여기에 있는 단면만 그러니까 여기 있는 녀석 이 단면만 내가 본다고 친다면 이거는 바로 한면성을 가지고 있는 건 아니죠. 왜냐면 이 면하고 이 면 양쪽 두 개 있잖아. 그러니까 양쪽 두 면 다 있으니까 여기를 바깥면 여기 안쪽면 두 개 나왔어요. 그러니까 어떻게? 양면이라고 하는 건 투 사이드 그쵸? 양면성을 가지고 있어요 그러니까 양면성이라고 하는 것은 광역적 성질이 아닙니다 알았습니까? 단편적으로 한 부분만 본다면 당연히 앞부분 뒷부분 두 개로 나눠져 있지만 실제 전체를 보고 나면 어떻게 됩니까 이게 돌아가면서 한 면밖에 없네요 다시 여기 있는 녀석이 다시 안으로 들어가는 거죠 얘가 이렇게 해서 뒤로 들어가면 어떻게 됩니까 이 앞으로 들어와서 이쪽으로 오니까 당연히 다 제자리로 오죠 그러니까 결론적으로 따진다면 이 뫼비우스띠라고 하는 녀석은 두 바퀴를 돌면 제자리에 돌아오는 한면성을 가지고 있다라는 것입니다. 이런 것이 대표적인 뭐가 된다? 광역적 성질을 지닌다라는 것이에요. 이와 같은 형태로 우리는 뭘 할 수 있다라는 거죠? 바로 미분기하에서 다루는 형태를 봤을 때 이런 광역적 성질이 있느냐 아니면 이렇게 만들어진 뭐가 됩니까? 소역적 성질이 있느냐 대역적 소역적 성질이 있느냐를 따라서 우리가 표현할 수 있는데요. 이런 한면성과 양면성이 관련된 것이 바로 뭐에 해당한다는 것이죠? 바로 광역적 대역적 성질에 해당한다라는 것입니다. 일단 우리는 여기 나와있는 이 곡률, 곡률에 해당하는 뭡니까? 작은 영역에서 출발해서 어떻게 되니? 큰 영역으로 우리는 확장시켜 나갈 것입니다. 그래서 여기에 결과를 가지고 이쪽에다 이제 적용하는 어떤 연습을 해 볼 거다 이 말이야. 유클리드 3차원 유클리드 공간 벡터 해석학 때 배웠던 사람이 있겠죠? 벡터라고 하는 녀석에 대해서 일단 먼저 복습을 하고 지나가도록 하겠습니다. 벡터 중요한 내용이죠? 여러분들 잘 기억해야 됩니다. 그러면 이제 3차원 공간에서의 E3에서의 우리가 벡터라고 하는 녀석을 보도록 하겠습니다. 단순하게 빨리 우리가 한번 훑고 지나가겠는데요 이 벡터라고 하는 녀석 자체는 뭐와 구분되는 값이다? 스칼라와 구분되는 값이다 이거죠 스칼라와 구분된다 라고 하는 것은 이 스칼라는 여러분 알다시피 뭐죠? 매그니튜드 뭐죠? 크기만 존재하는 것이고 벡터는 거기다 뭐가 되는 이 크기와 바로 뭐죠? 방향까지 같이 존재하는 것이다 라는 거야 자 그런데 여러분도 알다시피 크기와 방향과 크기 두 가지를 비교한다라고 친다면 여기에서 선생님이 뭔 얘기했냐면 도대체 언급한 내용은 전부 다 크기에 대한 부분만을 언급하고 크기와 방향을 언급했단 말이야 다른 어떠한 얘기도 없어요 알았습니까 다른 어떠한 얘기도 없기 때문에 우리는 뭐 크기만 같으면 같은 것이고 크기와 방향이 같으면 다 뭐 같은 것이다 라고 해석할 수 있습니다 그래서 우리는 벡터라고 하는 것은 크기와 방향만이 주어져 있는 어떤 정체다 이 말이죠 벡터를 표현할 때 우리는 뭘 씁니까? 바로 이 벡터를 딱 한마디로 얘기해서 벡터는 선생님이 항상 선형대수에서 강조했죠. 벡터는 뭐라고 쓰면 됩니까? 유향선분이라고 생각하면 돼요. 뭐라고 한다고? 유향선분이라고 하면 됩니다 유향선분 방향이 존재하는 선분이에요 방향 direction 방향이라고 하는 것이 존재하죠 그리고 선분이라는 말 자체에서 뭐라고 할 수 있습니까? 크기가 존재한다는 사실을 알 수 있겠죠 그러면 화살표를 찍어서 표현할 수 있을 것이다 그러면 여기 나와 있는 이 녀석 자체를 뭐라고 한다 스타트 포인트 그쵸 시점 그 다음에 여기를 뭐 엔딩 포인트 종점이라고 말을 쓸 수 있겠다 시점과 종점이 만들어졌을 때 요만큼의 거리를 만들었다는 건 이게 바로 거리에 해당한다는 거죠. 선분의 크기에 해당한다. 그러면 이렇게 만들어진 벡터를 다 알겠지만 한번 쭉 모르는 사람들이 있어 한번 정리를 해 줄게요. A라는 벡터가 됐을 때 이렇게 쓰고 우리가 보통 이걸 볼드처럼 이렇게 두껍게 쓰기도 하죠. 요렇게 쓰기도 하고요. 그 다음 대문자 A라고 쓰기도 합니다. 또는 우리가 고딩 때 많이 봤던 뭐 이 위에 바 부분에 화살표를 써서 표현하기도 하죠. 선생님은 이렇게 쓰기도 하고 이렇게 쓰기도 하고 요거는 웬만하면 생략합니다 왜냐면 이 볼드 그리기가 귀찮단 말이죠 그래서 이렇게 쓰기로 약속을 보통 하겠습니다 자 그렇다면 이렇게 주어진 상태에서 우리가 이제 무엇을 할 것이냐 그러면 이 말 자체에서 여기까지 가는 벡터 이렇게 적혔을 때요 크기는 당연히 여기 있는 부분을 크기라고 하는 것이고 방향은 뭘 방향이라고 한다 요렇게 만들었을 때 수평에 대한 부분 그래서 이쪽에 대한 각도를 우리는 방향이라고 하겠죠. 이 방향이라고 하는 놈을 결정할 수 있습니다. 그러나 여기도 분명히 얘기했다시피 크기라고 하는 것과 방향만 같으면 다 똑같은 벡터예요. 왜? 거기에 대한 언급밖에 없어요. 그 말은 여기 말고 여기쯤에 왔다 이거지. 여기쯤에 왔는데 이렇게 잡혀있고 그 다음에 이쪽으로 이런 식으로 해서 있더라. 자 이렇게 있는데 여기 있는 녀석과 여기 있는 녀석이 같고요 여기가 똑같은 세타로 주어져 있다면 이 두 벡터는 어떻다는 얘기야? 같은 벡터다 그 말은 우리한테 뭐를 설명하죠? 고등학교 때부터 열심히 들었던 얘기 뭡니까? 바로 벡터라고 하는 녀석은 뭐가 된다? 시점과는 무관하다 이거죠 아 시작하는 점하고는 무관하다 시점과는 무관하다고 하는 사실을 알 수 있겠네요. 미분기하에서 우리가 아주 중요하게 다루는 것이 벡터입니다. 그래서 이런 결과를 우리가 얘기할 수 있겠고요. 그러다 보니까 이 벡터라고 하는 녀석에 대해서는 지네끼리 연산도 할 수 있을까라는 생각을 할 수 있겠죠. 그런데 일단은 우리가 벡터라고 하는 것을 이렇게 만들어 놓은 상태에서 시점이라고 하는 것을 갖다 놓고 해석을 하려니까 해석이 잘 안 돼요. 이런 해석이 안 돼서 우리는 뭐합니까? 이렇게 시점이라고 하는 것은 뭔가 구별을 하기 위해서 구분을 위한 어떤 장치를 우리가 한번 다뤄야 되겠죠. 그 구분이라고 하는 것이 바로 데카르트 형님께서 열심히 주장했던 뭡니까? 해석적인 방법. 바로 뭐죠? 좌표계를 도입하는 겁니다. 그래서 어떤 기준을 찾는 거잖아. 그래가지고 쭉 가다가 어떻게 됩니까? 어떤 기준을 하나 이렇게 잡는 거죠. 잡아가지고 이렇게 기준을 잡았어요. 자 이렇게 쓰면 이제 우리의 2차원이라고 하죠 직선 2개 자 이렇게 만들어졌다고 했을 때 이 시점과는 무관하니까 요 녀석을 딱 잡아당겨서 여기다 붙이는 거죠 여기다 붙여버리면 갖다 쓰려면 어떻게 됩니까 요 놈의 그림이 바로 이와 같은 그림이 나오겠죠 자 이렇게 해서 이렇게 자 요렇게 만들어질 수 있겠고요 당연히 여기 있는 각과 여기 있는 각은 어떻다? 같아야 된다 그죠 원점이라고 하는 놈에다가 우리가 시점을 갖다 꼽고 나니까 어떻게 됩니까 요 녀석을 이제 해석하는데 되게 편해지더라 라는 겁니다 이때 우리는 가만히 보니까 여기 나온 종점이라고 하는 것을 자세히 들여다 보니까 알아? 요게 뭐랑 같다? 이 좌표 평면에서의 뭐에 해당한다는 거죠? 하나의 위치에 해당한다라고 하는 사실을 알겠죠 아하 이 종점이 바로 위치를 표현하는구나 라는 뜻으로 해석할 수 있겠고 그래서 우리는 located, 위치벡터라는 말을 쓰기로 합니다. 위치벡터라고 하는 것은 뭐라고? 바로 시점이 어디에 가 있을 때, 원점에 가 있을 때 우리는 위치벡터라는 말을 써요. 그럴 때 이렇게 놓고 나니까 뭐가 됩니까? 위치니까 뭐가 되죠? 좌표라고 표현할 수 있겠죠. 또는 뭐라고 쓸 수도 있다? Point. 점이죠 점 자 그래서 이제 벡터가 위치벡터 시점이 바로 원점이 되었을 때는 우리가 이 종점이 위치에 해당하므로 이 벡터를 뭐한다 그냥 점과 동일하게 해석해도 됩니다 그렇죠 그래서 우리가 a1, 얼마 a2라고 하는 녀석을 이렇게 표현해도 이것도 뭐가 된다 이 평면상에서 하나의 벡터다 라고 할 수 있겠고요 이때 A1, A2라고 하는 녀석은 뭡니까? 이 벡터 A의 성분, 컴포넌트다 라는 말을 쓴다 라는 것이죠. 자 이렇게 해서 우리는 이제 점으로 이제 벡터를 표현하는 방법을 배웠습니다. 이제 우리는 이러한 벡터를 가지고 어떻게 됩니까? 정의를 연산에 관한 정의를 우리가 해줘야겠죠. 그래서 벡터의 합과 차이에 대한 부분을 한번 설명해 보도록 하겠습니다. 저쪽에 가서 한번 보도록 할게요. 아 선생님이 지금 감기 걸려가지고 혀에 바늘이 돋다 보니까 아 이거 뭐 발음이 조금 이상한데 이해를 좀 해주시기 바라겠습니다. 자 그러면 자 이제 벡터라고 하는 녀석을 점으로 해석할 수 있다 시점을 모르셨을 때 원점으로 두었을 때 라고 하는 것을 우리가 알기 때문에 이제 이것을 바탕으로 해서 우리가 벡터의 연산에 대해서 한번 해보도록 하겠습니다 그래서 우리가 벡터 연산을 한번 보도록 할게요 자 벡터의 연산 자 벡터의 연산은 바로 우리가 이제 정의를 하기를 자 벡터의 연산을 정의하도록 하겠습니다 자 벡터의 연산은 첫 번째 우리가 뭘 볼 것이냐 벡터의 합을 한번 보겠죠 자 벡터의 합을 봅시다 벡터의 합을 볼 때 우리가 정의하기를 우리가 어떤 형태로 쓸 수 있다? a라는 벡터와 b라는 벡터가 평면상에 존재한다면 이 평면에서의 점은 두 개의 성분밖에 없죠. 우리가 성분 두 개 있는 걸 몇 차원? 2차원이라고 하잖아요. 차원이라고 하는 것은 기저축에 대한 개수라고 생각하면 된다고 했습니다. 그래서 벡터의 합이라고 하는 녀석은 a 더하기 b 이렇게 쓴다고 쳤을 때 성분으로 표시한다면 a1, a2 더하기 얼마? 그 다음에 B1, B2라고 쓸 수 있겠고 그 결과에 따라서 우리는 벡터의 합을 뭐? A1 더하기 B1 그리고 A2 더하기 뭐? B2라고 해석할 수 있겠죠. 이렇게 해서 벡터의 합이라고 하는 파트를 우리가 한번 볼 수 있겠습니다. 그러면 이걸 가지고 우리는 어떤 성질을 보자. E3 3차원 가면 하나 더 붙겠죠? 하나 더 넣어주면 되겠습니다. 여기서 우리는 벡터의 합에서 나오는 여러 가지 성질들을 한번 보도록 할게요. 자 이 성질 되게 중요한 성질입니다 첫번째 우리는 뭘 쓸 수 있다 바로 교환법칙에 대한 걸 보겠습니다 a벡터 더하기 b벡터는 b벡터 더하기 a벡터가 됩니다 벡터 연산의 정의에 의해서 우리가 참이 된다는 사실을 알 수 있겠죠? a에서 b를 더하면 b에서 a를 더하면 똑같은 내용이잖아요. 그래서 이렇게 된다고 하는 걸 알 수 있겠네요. 그런데 이걸 성분으로 표시하지 않고 우리가 다이어그램 그림으로 한번 그래프 해석을 한번 해볼까요? 벡터의 합을 벡터의 합을 바로 그래프로 표현해 보도록 하겠습니다. 그래프, 고등학교 때 배운 학생들이면 벡터에 대한 부분을 심도 있게 조금 더 본다고 생각하고 따라오기 바래요. 벡터의 합을 그래프로 표현하는 방법은 두 가지가 있죠. 하나는 뭡니까? 평행사변형법이라고 하는 것이 있고요. 평행사변형법이라고 하는 것이 하나 있고 그리고 뭡니까? 삼각형법이라고 하는 것이 하나 있습니다. 자 평행사변형법이라고 하는 것을 하나 보고 삼각형법을 하나 보겠습니다 이때 이 평행사변형법은 바로 뭡니까 시점을 일치시키는 거죠 시점을 일치 시점을 일치시킨다는 것이고 삼각형 뭐가 됩니까 삼각형법은 바로 변위 디스플레이스먼트 뭡니까 시작점과 도착점을 그대로 다이렉트로 연결한 것에 대한 부분을 해석하는 겁니다 그러면 바로 벡터의 합이라고 하는 녀석을 평행사변형법으로 표시한다고 한다면 우리가 이렇게 해서 벡터가 하나 놓여졌다고 보겠습니다. 그리고 이걸 A벡터로 두고요. 여기다 우리가 이렇게 만들어진 녀석을 휘면 안 되겠죠. 이렇게 만들어진 녀석을 우리가 B벡터라고 보겠습니다. 이 두 개를 합해 보겠는데요. 선생님 뭐라고 그랬습니까? 벡터라고 하는 녀석 자체는 시점에 무관하니까 여기 나오는 이 시점을 이렇게 당겨서 여기다가 갖다 붙일 수 있겠죠? 그렇죠. 붙여서 시점을 일치시킵니다. 그러면 이 식 자체가 바로 이와 같은 벡터의 두 개의 형태로 나눠질 것이다. 자 그러면 여기 똑같죠 만약에 길이가 같고 방향이 같다면요 자 방향이 같다 그러면 똑같죠 그래서 요 녀석을 가지고 우리가 이제 b벡터가 되겠죠 a벡터가 되겠고 b벡터가 되겠습니다 그러면 평행사변형법의 정의는 뭡니까 여기 주어진 녀석을 나란하게 시점과 무관하니까 시점과 무관하니까 얘를 위로 올려도 똑같은 얘기밖에 안 나오잖아 그치 그래서 이렇게 해서 올려도 같은 벡터가 나오는 겁니다 그쵸 이렇게 자 이렇게 하나 나오고요 그리고 여기 있는 녀석도 시점과 무관하니까 땡기면 이렇게 같은 벡터가 나오겠죠 자 이렇게 해서 두 개를 벡터를 만들어 놓고 나면 어떻게 됩니까? 같은 벡터예요. 이럴 때 우리는 바로 뭐죠? 평행사변형법은 벡터의 합을 뭐합니까? 이 대각선으로 정의를 하죠. 그러면 여기 나오는 녀석 자체를 우리는 어떻게 쓴다? a벡터 더하기 b벡터라는 말로 표현할 수 있겠다. 이게 뭡니까? 평행사변형법이 되겠다는 것이에요. 그러면 이렇게 주어진 평행사변형법이라고 하는 녀석은 교환법칙이 성립하는지에 대한 부분을 볼게요. 첫 번째, 이 녀석은 지금 뭐에 대한 거다? 교환법칙이 성립한다. 현대대수에 연결되는 부분이죠. 잘 알아둡시다. 교환법칙이 성립하는 겁니다. 그러면 말 되죠? 왜 말 되는지 알지? 자 보세요. a벡터 더하기 b벡터는 요거하고 요거를 더했을 때 대각선이 a 플러스 b에요. 그럼 a벡터 더하기 b벡터가 이거죠. 근데 여기가 지금 B예요. 여기가 A죠. 이렇게 해서 A고 이렇게 B를 더한 거랑 똑같네요. 근데 B에서 보세요. 얘하고 얘하고의 대각선이면 이거하고 이거하고의 대각선이라도 할 말 없지. B하고 A의 대각선이나 A하고 B의 대각선이나 무슨 차이가 있어요. 그렇죠? 여기서 이번에는 여기 나타난 식에서 여기 부분의 아랫부분을 제외한 이 영역, 위쪽 부분을 한번 보겠습니다. 이쪽 부분을 보면요. 뭐가 나옵니까? 올라갔는데. 그리고 이쪽으로 갔죠. 이렇게 해서 두 개가 만들어지고 이 결과에 따라서 어떻게? 이 녀석이 이렇게 된다는 거죠. 그렇죠? 그랬을 때 이게 A벡터 더하기 B벡터예요. 여기가 B벡터고요. 여기가 A벡터입니다. 자 이렇게 해서 모양이 삼각형꼴로 나타났다 해서 우린 이걸 뭐한다? 삼각형법이라고 합니다. 이 삼각형법은요 바로 시점에서부터 시점에서 뭐가 돼? 종점까지를 바로 다이렉트로 연결한 뭡니까? 변이죠. 변위, 위치변화입니다. 이동거리가 아니죠. 위치가 어떻게 변했는지는 다이렉트 직선에 관련된 내용이 되겠습니다. 그래서 우리가 이거 변위벡터라고 하는 것을 우리가 확인할 수 있겠습니다. 그래서 삼각형법은 꼬리를 물고 달리고 그다음에 평행사변형법은 뭡니까? 두 개의 시점을 일치시켜서 표현한다라고 하는 것이죠. 그랬을 때 이 모양을 변위라고 보면 우리가 이제 뭡니까? a가 있고요. 그다음에 b가 있고요. 만약에 c가 있다고 봅시다. 세 개의 벡터가 있다 그러면 꼬리를 물고 지나간다면 바로 여기에 나타나 있는 이 녀석이 뭐에 해당한다? 여기 바로 뭐? a벡터 더하기 b벡터죠. 자 그리고요 a벡터 더하기 b벡터가 나온 상태에서 그러면 요 녀석은 어떻게 되느냐 요거는 요렇게 만들어진 녀석이 아 이거 삐딱하네 이거 자 여기서 용납이 안 돼요 자 이렇게 봅시다 이렇게 되면 똑같네 그치? 자 이렇게 해서 A벡터 더하기 B벡터라고 만들어진 녀석에다 C를 딱 더했죠. 그럼 삼각형이잖아요. 그러면 여기 나와있는 이 녀석은 뭐가 된다? A벡터 더하기 뭐? B벡터 더하기 C벡터라고 하는 형태로 표현이 가능하다 입니다. 자 이 경우는 A벡터 B벡터를 먼저 한 녀석을 했으니까 이렇게 쓸 수가 있겠죠. 그런데 이번에 여기서 우리가 뭘 쓸 수 있냐면 만약에 B와 C를 먼저 더하면 역시 삼각형법 잡으면 되겠죠? 자 이렇게 돼요. 그러면 여기 나온 녀석은 B하고 C를 더했으니까 이렇게 따져주면 되겠죠. 그러면 이번에 여기에 나타난 B하고 C가 뭉쳐진 녀석에다가 이제 A가 얘죠. A에다가 어떻게 됩니까? 이 둘을 더해볼게요. 그러면 여기다 여기를 더하면 당연히 또 이거 나오죠. 이건 뭐가 됩니까? A벡터라고 하는 놈에다가 어떻게 되죠? B벡터와 C벡터를 더한 녀석과 동일하더라라는 것이죠. 그래서 우리는 이 벡터의 성질 중에서 합성질 중에서 두 번째 나오는 아주 중요한 내용이 나옵니다. 뭡니까? 바로 무슨 법칙이 적용된다? 결합법칙이라고 하는 내용이 성립한다. 이거나 그림으로 봐도 당연히 알 수 있겠죠. 물론 이런 기하적인 해석을 하지 않고 여기 나오는 것처럼 성분 표시하면 당연히 덧셈에 대해서는 다 다뤘으니까 쉽게 이해할 수 있을 거라고 생각합니다. 그렇다면요. 자 이렇게 만들어져서 우리가 무슨 법칙이 성립한다고 얘기하지? 바로 결합법칙이 성립한다 이 결합법칙 교환법칙 성립, 결합법칙 성립 세 번째는 뭘 볼 것이냐 우리가 0이라고 하는 놈에다가 더하기 a라고 하는 놈을 하면 항상 a가 자기 자신이 나온다 이걸 우리가 성분으로 표시한다면 어떻게 됩니까 평면으로 따지면 a1, a2가 되니까요 어떻게 됩니까 A1, A2 자기 자신이 되죠 이거는 우리가 고등학교 때, 중학교 때, 중학교 때 초등학생이 되거나 이건 뭐라고 합니까? 덧셈에 대한 항등원이라는 말을 씁니다 내가 다 나오는지 모르겠네 덧셈에 대한 항등원이라고 하는 걸 먼저 볼 수 있겠습니다 벡터의 덧셈에 대한 항등원이다 자 벡터의 덧셈에 대한 항등원이다 라는 말을 쓸 수 있습니다 뭘 해도 자기 자신이 나오니까 그쵸 그럼 이 0벡터가 무엇이냐 라고 하는 녀석에 대해서 우리가 또 알아볼 필요가 있겠네요 0벡터 한번 봅시다 0벡터는요. 바로 벡터의 크기가 존재하지 않는 것을 얘기하는 거죠. 그렇죠? 점입니다. 알았습니까? 크기가 존재하지 않는 것. 0벡터라고 하는 것은 0,0이죠. 그러니까 뭐가 됩니까? 하나의 원점에 해당한다는 것만 기억하면 되는데 실제로 이게 원점이 아니라 뭡니까? 벡터가 뭐라고 했죠? 자, 보세요. 여기서 봐봐. 이게 원점이라는 말을 할 수 없는 게 0벡터는 시점과는 무관하다 이렇게 되죠 자 그러면 여기 한번 보세요 여기를 지금 더해가지고 저기에 나왔다라고 하는건데 0벡터가 아니라 보세요 예를 들어서 내가 이런식으로 해서 벡터가 만들어져 있다 볼게요 그러면 요렇게 요렇게 해서 요게 됐지 그럼 요게 a가 되고 요게 얼마? b가 될거 아니야 요게 a 플러스 b에요 자 이게 이렇게 됐다면 요 a라는 녀석이 실제 만약에 여기 a라고 하는 녀석이 예를 들어서 이게 뭐 a1 콤마 얼마 a2라고 쳤다 보자 그러면 여기 있는 시점이 뭐 예를 들어서 내가 1 콤마 2라고 딱 적혀 있다면 여기 벡터 끝은 뭐가 돼야 될까 바로 a1 얼마 더하기 1에다가 얼마 a2 더하기 2가 돼야 되죠 왜 그러냐면 여기를 내가 뭐라고 생각했을 때 원점이라고 생각했을 때 원점 여기를 원점이라고 봤을 때 여기가 위치잖아요 자 그러면 여기가 제로니까 a1-0 a2-0 가니까 a1, a2가 되는건데 시점 자체가 이렇게 됐다 말하면 뭐한거지 바로 평행이동 했다는 뜻이죠 자 여러분 오해하면 안돼요 평행이동 했다는 뜻이기 때문에 뭘 얘기할 수 있다? 그걸로 여기 나와있는 이 벡터 있죠 벡터 이 벡터는 이렇게 해석하면 돼요 뭐라고 생각하면 되죠? 바로 평행이동량이라고 생각하면 되는 거예요 됐나? 평행이동량 그게 보다 일반적인 거야 예를 들어서 우리가 A벡터가 예를 들어서 1,2 이렇게 나왔다 그러면 원점을 기준으로 하는 위치 벡터일 때는 1,2라는 점을 뜻하는 것이지만 바로 A벡터 그냥 1,2라고 적혀있으면 시작점이 얼만지는 모르지만 거기서 이만큼 미분기하학의 소개와 공간의 벡터 기억 꼭 하세요. 그러면 우리가 여기서 뭘 얘기할 수 있다? 0,0이라고 딱 적혀있다는 말은 뭐가 됩니까? 평행이동량이 평행이동하지 않았다. 제자리에 머물러있다라고 보면 되겠습니다. 그러나 지금 우리가 위치벡터에 대한 경우를 많이 얘기하기 때문에 원점이라고 생각해도 관계없죠. 여기서 이렇게 해서 덧셈에 대한 부분을 봤고요. 이제 한 네 번째 뭡니까? 네 번째는 A벡터에다가 더하기 에 대한 부분을 한번 보도록 하겠습니다. 이것은 우리가 성분으로 따지면 뭐라고 쓸 수 있어요? A1, A2 이건 우리가 알죠? 에다가 A1, A2를 쓰면 정의에 따라서 더하면 얼마? 0,0이 돼야 되죠. 0벡터가 됩니다. 이렇게 해서 우리가 표현할 수 있겠죠. 좀 더 정확하게 얘기한다면 이렇게 써야 된다 이 말이야. 그래서 이렇게 해서 4개 만들어 놓은 상태에서 여기는 뭡니까? 바로 벡터 a의 덧셈에 대한 뭐라고 한다? 역원이라는 말을 쓰죠. inverse. 알 것이다. 그러면 여기서 역원이라고 하는 말이 나왔을 때 여기 나와 있는 이 녀석이 중심이 돼야 되죠. 바로 마이너스가 곱해진 녀석이 무엇을 의미하는지에 대한 관심을 좀 가져야 됩니다. 그래서 우리가 벡터라고 하는 것을 마이너스를 넣으면 크기가 음수가 될 수는 없잖아. 크기가 음수가 될 수 없는데 성분으로 따져보면 당연히 방향이 반대쪽으로 가는 벡터다 라고 하는 걸 알겠지만 일단 우리가 기하적 성질로 해석한다고 친다면 어떤 벡터 a에다가 우리가 마이너스를 곱했다고 하는 것은 뭐가 됩니까? 성분으로 따진다면 2차원에서는 a1 얼마? a2라고 쓸 수 있겠죠. 자 그래서 우리는 요거 어떻게 됩니까 요 모양 자체는 마이너스 a1에다 얼마? 마이너스 a2가 되죠 자 그래서 이 형태를 보면 우리가 원점 대칭 정도 된다라고 하는 걸 알겠는데요 그래서 우리가 마이너스를 곱했다라고 하는 것은 우리한테 뭘 뜻한다? 크기가 마이너스 될 수 없으니까 방향에 마이너스를 곱했다라는 거죠 방향이 뭐가 된다는 거죠? 원점 대칭 그러니까 반대가 된다라는 거죠 반대 방향 방향이 반대 방향이다라고 하는 것을 우리가 또 얻어낼 수 있겠습니다. 그러다 보니까 이것도 역시 우리가 평행사변형법이나 이런 걸 가지고 또는 삼각형법을 표현할 수 있겠죠. 제일 먼저 우리가 A벡터라고 하는 것을 썼다라고 친다면 이게 A벡터고요. 그다음에 이쪽으로 B벡터가 있다고 보겠습니다. 모든 물리적인 현상이 빠지지 않죠? A벡터와 B벡터를 이렇게 놓는다면 우리가 뭘 쓸 거다? A벡터에다가 마이너스 B벡터가 뭐냐를 보고 싶다. A벡터와 마이너스 B벡터를 본다라고 친다면 어떻게 해석할 수 있다? A벡터라고 하는 녀석에다가 덧셈으로 뭡니까? 마이너스 B벡터를 계산하는 거랑 똑같죠. 마이너스 B벡터라고 하는 것은 여기서부터 길이가 어떻게 됩니까? 똑같고 방향이 반대인 벡터를 하나 그린다 이거지. 이렇게 그려놓고는 어쩌면 어떻게 해? 마이너스 B벡터. 길이가 다 같아야 돼. 오늘 그림 좀 안 되는 것 같네. 답답한데. 그래서 이런 식으로 나오면 A, B벡터는 어떻게 됩니까? 여기고 이거죠. 그럼 여기서 우리 뭘 쓴다? 평행사변형법을 사용하는 거죠. 이렇게. 이런 식으로 해서 벡터를 하나 만들 수 있겠다. 이렇게 만든다면 여기가 A벡터, 여기가 마이너스 B벡터. 두 개를 더하면 어떻게 됩니까? 결과는 바로 이와 같은 형태로 표현할 수 있다는 것이죠. 그래서 여기 얼마? A벡터 더하기 얼마죠? 마이너스 B벡터라고 해서 표현할 수 있습니다. 그러니까 역원이 존재한다는 것이죠. 이때의 벡터를 우리가 저렇게 나오는 자 첫 번째 우리가 A라고 쓸게요 A1을 뭐라고 쓰냐면 벡터의 성질 중에 합의 성질 뭐? 교환법칙이 성립한다 라고 하는 것과 그 다음에 A2 성질 두 번째 뭐죠? 결합법칙이 성립한다 그 다음에 세 번째 A3가 뭐가 되죠? 바로 역원이 아닌 항등원이 존재한다 물론 벡터의 합에 대해서 잘 정의가 되어야겠죠? 그 다음에 A4 네 번째는 뭐라고 쓸 수 있다? 역원이 존재한다 우리가 대수에서 벡터들이 가지고 있는 성질들 중에서 이 A2, A3와 A4를 합해서 이걸 다 만족할 때 우리는 뭐라고 합니까? 이때 이 벡터들을 뭐라고 하죠? 군이라고 합니다 그냥 알아두세요 그룹이라고 해요 군 아벨군의 정의는 뭐? 교환법칙이 성립하고 군의 성질을 가지고 있다 그랬어요. 그래서 그룹의 성질은 뭐라고? 어떤 연산, A와 B랑 합하는 연산이죠. 연산이 잘 정의되어져 있고요. 그때 그 연산끼리 결합법칙이 성립하고 항등원 존재하고 역원이 존재할 때, 닫혀있을 때 우리는 뭐? 아벨, 뭐죠? 군이라는 말을 씁니다. 알겠습니까? 반군, 세미그룹 이런 것도 있지만 미분기하식 아니면 현대대수에 대한 부분은 볼 필요는 없으니까요. 이쪽에 소식 관심 있는 사람은 보도록 하십시오. 이렇게 해서 네 가지에 대한 성질, 군에 대한 성질을 갖는데 여기서 우리는 이제 뭐가 됩니까? 바로 합에 이어서 우리는 두 번째로 합이 1번인가요? 2번이 어떻게 됩니까? 벡터의 스칼라 배에 대해서 한번 보도록 하겠습니다. 이미 마이너스 곱한 걸 한번 봤는데요. 숫자 스칼라 배를 곱한 녀석에 대해서 성립을 하는 것을 본 다음에 우리는 최종적으로 이 벡터가 바로 체, 필드라고 하는 것이 된다라고 하는 것을 한번 보여줄 겁니다. 전체적으로 우리가 한번 다 복습하는 내용이고요. 앞에 했던 성질적인 부분 뒤로 가서 굉장히 재밌는 것들이 많이 나오니까 여러분 반드시 외워두고 여러분들 복습하는 거 잊지 말도록 하시고 머릿속에 반드시 집어넣고 공부라고 하는 것은 최선을 다합니다. 특히 미분기하는 굉장히 어려운 과목입니다. 공간적 지각력이 많이 요구되기 때문에 여러분 계속 그려보고 생각하고 그려보고 생각하고 잊지 말도록 하세요. 잠시 쉬었다 되돌아오도록 하겠습니다. 기상캐스터 배혜지