20강. 적분 시작하기

이번 시간부터 우리는 적분에 대해서 다시 한번 배워 보려고 해요. 우리가 맨 처음 강의 초반부에서 적분의 느낌을 익히기. 요런 식으로만 우리가 배웠었죠? 그래서 어떤 소닉 링을 먹는 식으로 적분은 어떤 포인트를 누적하는 개념으로 우리가 배워 왔습니다. 그래서 이번 시간부터는 우리가 진짜 대학 수학으로 가기 위해서 적분이 어떤 의미를 지니고, 그다음에 연산의 결과는 어떠한지 이런 걸 차근차근 나가는 오늘이 그 첫 번째 강의입니다. 그래서 이번 강의에서는 적분의 의미. 이거 한 번 다시 복습할 거고요. 그다음에 적분의 구성 요소를 통해서 적분 그 기호 안에 있는 애들을 하나씩 하나씩 뜯어볼 겁니다. 물론 여러분들 고등학교 졸업하셨으면 이거에 대해서 대략적으론 아실 텐데 여기서 명확하게 하고 넘어가지 않으면 여러분들 대학 수학으로 갔을 때 다시 헷갈리고 개념이 혼동이 생겨서 그때 익히는 시간이 더 오래 걸려요. 그래서 지금과 같은 간단한 곳에서 개념을 명확하게 하고 넘어가셔야 됩니다. 그러고 나서는 적분의 연산이라는 거를, 우리가 도함수가 뭐였죠? 미분이었죠? 미분의 역, 미분에 반대되는 개념으로서의 적분을 먼저 개념을 익힐 거고요. 그다음에 적분에 대해서 좀 더 구체적이고 정확하고 엄밀한 아르키메데스로부터 온 적분의 개념. 즉 구분구적법에 대해서 익히는 시간 되도록 하겠습니다. 일단 첫 번째, 적분의 의미입니다. 적분의 느낌적인 의미는 제가 뭐라 그랬죠? 어떤 포인트를 누적하는 거라고 했습니다. 왜 이런 식으로 제가 가르쳤냐면요. 여러분들이 고등학교 때 배울 때는 항상 적분은 면적. 적분은 면적, 적분은 그래프의 아래의 넓이. 맨날 이런 식으로 배웠어요. 조금 바꿔서 응용해 봤자 어떻게 배웠는지 알아요? 그냥 x축이랑 y축이랑 바꾼 다음에 요쪽의 넓이. 요런 식으로 배웠단 말이에요. 어떤 역함수의 적분, 요런 식으로 했을 때. 근데 적분이 그래프의 넓이가 항상 되는 게 아니에요. 우리 좌표계 강의에서 뭘 배웠어요? 우리가 좌표계 강의에서 좌표계를 세팅하는 두 가지 방법이 있었죠? 모든 좌표계를 다 위치로 세팅하는 방법도 있었지만 그중에 하나의 축, y축엔 y축, 3차원이면 z축, 해서 하나의 축을 어떤 함숫값으로 잡아서 세팅하는 경우가 있었잖아요. 고 경우에만 우리가 적분이라는 거는 어떤 포인트를 누적. 함숫값을 누적하는 거기 때문에 어떤 한 축을 함숫값으로 고정을 요렇게 한 경우에만 적분이 요 그래프의 넓이가 되는 겁니다. 아니 우리 예전에 좌표계에 있었던 그 손바닥 그림, 생각나세요? x축도 위치고 y축도 위치고 온도를 색깔에 따라서 표현을 했습니다. 그럼 거기서 발생한 총 열을 더할 때 여러분 그래프의 면적이라는 개념을 통해서 그 온도의 합을 구할 수 있겠어요? 전체의 열량을 구할 수 있겠어요? 구할 수 없죠? 그렇기 때문에 여러분들 제가 그때부터 강조를 드렸던 겁니다. 적분이라는 건요, 그런 식으로 그래프의 넓이. 이렇게 무조건 생각하는 게 아니라 어떤 상황에선 그래프의 넓이지만 항상 맞는 개념, 그거는 바로 함숫값의 누적, 총합입니다. 그래서 요 경우에는 우리가 함숫값을 하나의 축으로 고정을 삼았기 때문에 여기서의 그래프를 그리면 어떻게 될 수 있죠? 소닉이 여기서 이렇게 진행함에 따라서 얻을 수 있는 잠재적인 점수는 요렇게 생겼습니다. 이렇게 삼각형 모양으로 생겼죠? 그러면 여기까지 소닉이 만약에 모든 점수를 다 얻으면서 왔다. 라고 했을 때 그 점수의 총합은 뭐냐? 바로 그때서야 이 그래프의 면적이 바로 총합이 되고 이거는 우리가 적분이라는 걸 통해서 구할 수 있게 되는 거죠. 여기서 만약에 여러분들이 조금이라도 오해하고 넘어간다면 선 적분, 면 적분, 이런 벡터 미적분으로 넘어가는 데 있어서 반드시 개념에 혼동이 옵니다. 그래서 헷갈리시는 친구들은 좌표계 강의로 다시 돌아가서 좌표계를 설정하는 거에서부터 개념을 확실히 잡고 다시 돌아오세요. 그래서 우리가 적분은 그래프의 넓이. 이런 식으로 더 이상 받아들이지 않았으면 좋겠습니다. 그다음에는 적분의 구성 요소에 대해서 살펴볼게요. 우리가 적분에 대해서는 면적, 넓이, 포인트의 합. 요런 식으로 얘기를 했는데 실제적으로 우리가 수학적으로 다른 사람에게 적분이라는 거를 그렇게 긴 한국 한 문장으로 전달하는 게 아니라 어떤 기호로써 전달하기 위해 압축한, 어떤 새로운 이런 꼬부랑 S자 같은 걸 만들었어요. 그래서 이런 거를 인테그랄 기호라고 말을 하는데요. 일단 적분 변수부터 말씀을 드리겠습니다. 적분 변수라는 건 뭐냐면요. 우리가 어떤 포인트를 누적을 하는 데 있어서 그 포인트를 어떤 거에 대해서 누적을 할 것이냐. 라는 걸 의미해요. 예를 들어서 앞에 그림으로 우리가 생각을 해 봅시다. 여기에서는 소닉이 만약에 이 방향으로 진행을 하는 게 아니라 여기서 위로만 올라가는 게임이라고 해 봐요. 그럼 포인트를 얻을 수 있는 게 단 한 개도 없죠? 그러면 y 방향으로 우리가 점수를 누적한다고 했을 때 적분의 결과는 0이 되는 거예요. 근데 우리의 지금 소닉은 진행 방향이 x축 방향으로 진행을 하고 있죠? 그 x축 방향. 어떤 방향으로의 함숫값을 누적하느냐. 그게 바로 적분 변수입니다. 그래서 여기서 적분 변수는 우리가 고등학교 때는 일차원으로 항상 dx만 나왔었어요. 근데 이제 우리가 이걸 가지고 면적이나 부피를 구할 땐 dx, dy, dz, 요런 식으로 붙을 수도 있고요. 우리가 어떤 하나의 임의에, 이미 우리가 그래프의 형태로 함수를 표현한 다음에 하는, 그런 식으로 됐을 땐 x라고 하는데 이게 아니라 우리가 어떤 공간상에서 어떤 임의의 경로를 따라서 이동했을 때 얻을 수 있는 점수의 총합. 혹은 온도의, 열의 총합. 이런 걸 따질 때는 어떤 그 궤적에 따라서 접근을 한단 말이에요? 그 축은 반드시 직선일 필요가 없어요. 이렇게 꼬불꼬불 꼬불꼬불 가도 우리가 소닉 잘 생각해 보면 얻을 수 있는 점수의 합이라는 거 대충 머릿속에 그려지죠? 그런 경우에는 우리가 요거를 어떤 dl이라고 해서 요런 식으로 벡터 꼴로 표현을 하는 경우도 있습니다. 이게 바로 여러분들이 나중에서 대학 미적분학에서 배울 선적분의 개념인 거죠. 그래서 요런 놈들 이제 누구에 대해서 얘를 적분하냐에 따라서 같은 함숫값이라 그래도 결과가 달라질까? 요게 가장 먼저 여러분들이 이 기호를 봤을 때 중점적으로 맨 처음에 파악해야 되는 놈입니다. 그게 바로 적분 변수죠. 어떻게 보면 매개 변수라고 표현을 하기도 해요. 그다음에 여러분들이 관심을 가져야 될 거는 함숫값입니다. 요 함숫값이란 놈이 이 적분 변수에 대한 함수일 수도 있고 아닐 수도 있거든요. 이게 만약에 여기서 x에 대해서 돼 있는 게 아니라 그냥 상수라고 2, 이런 식으로 돼 있다고 하면 x 쪽으로 아무리 진행해도 이 2에는 도움이 안 되니까 이 2는 요 인테그랄 밖으로 빠져나올 수가 있습니다. 요런 거 우리가 함수 같은 거 할 때도 많이 봤었죠? 여러분들 만약에 선형 시스템이라고 하면 선형 함수라고 있어요, 나중에 배워요. ax+b, 뭐 요런 식으로 돼 있으면 요거를 a를 이렇게 빼서 x+b, 요런 식으로 만들 수가 있어요. 마찬가지예요. 우리의 적분도 어떤 상수 곱이나 아니면 덧셈에 대해서 똑같이 적용하는 어떤 선형 변환이기 때문에 여기서 어떤 게 곱해진다 하더라도 x와 연관이 없다면 앞으로 나올 수가 있습니다. 그래서 여러분들이 이 함숫값이라고 하는 놈을 항상 f(x), 요런 식으로 어떤 거에 대한 함수인지 주목해서 쓰는 경향이 많아요. 그래서 요것도 여러분들이 꼭 주목을 하셔야 되고요. 그다음에 마지막에 나오는 거가 바로 적분 구간입니다. 이거 같은 경우에는 우리가 적분이 두 가지 종류가 있어요. 다음 강의에서 이제 배울 텐데 하나는 정적분이고 하나는 부정적분입니다. 부정적분이라고 해 가지고 막 안 좋은, 네거티브, 이런 의미가 아니라 정해지지 않은, 인피니트한 적분을 의미합니다. 그러니까 어떤 특정 구간에 대해서 우리가 적분을 할 건데 이거에 우리가 넓이 공식에 대해서 알고 있으면 딱히 구간을 정하지 않는다고 하더라도 그 공식을 이용해서 바로 거기에서 4 대입한 거에서 2 대입한 걸 빼기만 하면 되거든요? 그 공식이라는 게 바로 이 적분에 대해서 기호에 변환을 일으키는 그 어떤 부정적분이라고 하고요. 그다음에 이제 정적분이다라고 한 거는 정해진, 어떤 구간에 대해서 적분의 결과다라고 해 가지고 정적분은 항상 구간이 존재합니다. 그래서 우리가 부정적분이라고 한다라고 하면 위에 두 개만 나오게 되고요. 그다음에 정적분이다 하면 아래 거까지 나와서 구성 요소가 총 세 개가 됩니다. 일단 제대로 된 예시나 활용은 다음 강의에서 일어날 테니까 여러분들은 여기서 이 개념들이 존재한다라는 것만 알고 이렇게 써져 있는 기호에서 각각 어떤 게 어떤 걸 의미하고 맨 처음에 봤을 때 뭘 조심해야 되는지 그거만 파악하고 넘어가시면 됩니다. 지금은 말이죠. 그래서 우리가 적분의 느낌을 조금 더 직관적으로 우리가 지금까지 배웠던 건 뭐죠? 미분밖에 없죠? 미분을 통해서 알아보도록 하겠습니다. 일단 적분이란 건 말이죠. 미분에 반대되는 개념입니다. 그래서 한국말로, 한자어로 하면 역도함수라고 말을 하더라고요. 그래서 적분은 미분의 역함수이다, 이런 식으로 얘길 하는 거죠. 우리 역함수 배웠었죠? 우리 어떤 x가 있고 여기 y가 있을 때 x에서 y로 가는 게 보통 f(x). 요런 식으로 얘기를 합니다. 그러면 역함수라는 건 뭐죠? y에서 x로 가는 게 바로 역함수죠? 마찬가지입니다. 우리가 어떤 함수를 기울기를 구했는데 그 기울기에 대한 거에 반대되는 거. 그거는 바로 그게 면적을 구하는 과정이라는 거죠. 이거에 대해서 여러분들 항상 고등학교 때 선생님들이 말하는 비유가 있어요. 어떤 물리량을 통해서 비유를 들죠. 우리가 어떤 이동 거리에 대해서 시간에 대해서 미분을 하면 그게 속도죠? 여기서부터 여기까지 내가 가는데 얼마나 빨리 가느냐? 그게 바로 속도잖아요. 속도가 빠른 놈은 빨리 가고 속도가 느린 놈은 느리게 가고. 반대로 우리가 속도에 대해서 누적을 하면 내가 1초에는 2m/s하고 2초에는 4m/s하고. 이런 식으로 하면 얘 1초 때는 2m 간 거나 다름없고 2초 때는 4m 간 거랑 다름없으니까 요런 변하는 속도로 내가 2초를 보낸다면 전체 이동한 거리는 6m가 되겠죠? 요런 식으로 우리가 어떤 미분과 적분은 서로 역함수의 관계를 가지고 있습니다. 완전히 1대1 역함수에 대응되는 거는 아니고요. 적분이 넘어갈 때 추가되는 상수항이라는 게 굉장히 자유도가 높기 때문에 완전히 1대1은 아니지만 지금 우리가 느낌만 익히는 거기 때문에 요런 식으로 받아들여서 슬슬슬슬 스타트를 한다고 생각하시면 될 것 같아요. 그래서 예를 들어서 우리가 f(x)=x²이라고 했을 때 요걸 0에서부터 2까지 적분한 그 결과를 구하시오라고 문제가 나왔다고 해 봅시다. 적분 구한 친구들은 이거 아 쉽잖아. 선생을 왜 이렇게 쉬운 것만 가르쳐? 브릿지 미적분학이라고 지금 무시하는 거야? 이렇게 생각하실 수 있는데 여러분들은 그냥 이런 공식을 쓴 거에 불과해요. 이 정확한 의미를 파악하지 않고. 이 공식은 어떻게 나왔을까요? 우리가 미분하면은 어떻게 돼요? 어떤 xⁿ을 미분한다고 했을 때 n*xⁿ⁻¹. 이런 식으로 미분의 결과가 나오겠죠? xⁿ에 대해서 우리가 미분할 때 어 여기 결과 적혀있네요. xⁿ을 미분할 때 n*xⁿ⁻¹, 그러니까 우리가 적분은 미분의 반대라고 그랬으니까 그러면 얘, 미분했을 때 요놈이 나오는 놈은 어떤 놈일까를 생각을 해 보면 일단 차수가 하나 줄어드니까 얘보다 차수가 하나 높은 놈이겠구나, 그래서 xⁿ⁺¹이겠고. 그다음에 미분으로 하면 요 앞에 차수에 해당하는 놈이 앞으로 튀어나오니까 얘가 튀어나옴에도 불구하고 앞에 계수가 1이도록 하려면 걔가 미리 분모에 깔려 있어야겠죠. 아, 그러면 요게 이제 적분이네. 하고 적분의 결과를 요런 식으로 이용을 해서 이 2에서부터 0을 대입해 가지고 ⅓2³에서 ⅓0³을 빼서 8/3. 이렇게 답을 구하는 게 여러분들이 지금까지 기계적으로 계산적으로 배웠던 고등학생 수준의 적분이 되는 겁니다. 사실 이것도 틀린 거 아니에요. 지금 잠깐만 여러분들을 좀 더 깊게 이해시켜 드리기 위해서 구분구적법에 대해서 말하려고 하는 거지 사실 여러분들이 공대 들어가고 쭉쭉쭉 넘어가려면 너무 깊게 파지 말고 이렇게 결과만 외우고 넘어가는 것도 괜찮은 방법이에요. 근데 일단은 알고 쓰는 거랑 모르고 외웠기 때문에 이거만 쓰는 거는 나중에 조금만 어려워졌을 때 활용할 수 있는 그 차이가 엄청나거든요? 그래서 여러분들에게 왜 이렇게 돼 있지에 대해서 설명하는 시간 갖도록 하겠습니다. 바로 구분 구적법입니다. 구분 구적법이라고 하는 거는 한자어인데요. 솔직히 저도 잘 몰라요. 뭔가 이렇게 구분을 해서 이렇게 쓱싹싹싹 더한다. 뭐 이런 의미인 거 같은데 이거를 제가 풀어서 한국말로 문장 형태로 말씀을 드리려면요. 일단 이 그래프가 우리가 아까 여기가 함숫값으로 되어 있다면 적분은 이 그래프 밑면의 넓이라고 말씀을 드렸죠. 그럼 여기서 되게 곡면으로 복잡하게 생긴 곡선의 면적을 구할 때 여러분이라면 어떻게 하시겠어요? 일단 우리가 알고 있는 면적을 구하는 거 뭐 있습니까? 사각형, 삼각형, 원. 이렇게 세 개밖에 없죠? 원을 가지고 이렇게 동글동글동글동글 쌓아도 물론 되겠지만 그럼 빈 공간이 굉장히 많아질 거 아니에요? 사방면에서 빈 공간이 있을 거 아니에요? 그럼 삼각형으로 쌓을까 했는데 삼각형은 또 ½*밑변*높이, 이렇게 되니까. 야, 사각형이 쉽다, 사각형으로 가자. 요렇게 해서 우리가 구분 구적법에서 사각형을 사용할 수도 있고 삼각형을 사용할 수도 있지만 일반적으로는 사각형을 통해서 우리는 고등 과정에서 많이 많이 배웠었어요. 그래서 우리가 이 공식이 어떤 식으로 나왔냐면요. 이런 어떤 함숫값을 적분을 한다는 의미는 말이죠. 우리 극한 배웠고요, 그다음에 급수 할 때 이 시그마 배웠습니다. 요 어떤 함숫값에 대해서 여기다 xₖ라고 하는 거. 이거를 급수라는 거는 모르면 어떻게 해야 되냐면요. 이거를 하나씩 하나씩 숫자를 대입해서 쓰시면 됩니다. 보니까 lim n→∞ 갔으니까 이거 무한급수네요? 무한급수에서 요거를 더하면 f(x₁)Δx+f(x₂)Δx. 이렇게 해서 쭉쭉쭉쭉 더한 거예요. 결과적으로 이게 뭐냐? Δx가 공통입니다. Δx라는 건요, 이거를 내가 얼마나 잘게 쪼갰을 때 그 쪼갠 그 윗면의 길이입니다. 그래서 우리가 x₁, x₂, 이건 뭐냐면요. x₁은 여기, x₂는 여기 x₃는 여기, x₄는 여기. 이렇게 돼서 어떤 요기서 면적을 구하려고 할 때 똑같은 간격으로 나눴기 때문에 Δx는 동일한데 그때마다 이 높이가 달라지잖아요? 근데 이 높이가 달라지는 거를 알려면 요기에서 x를 알고 그거를 함숫값에다 대입을 해야 그때서야 높이를 알 수 있겠죠? 그래서 거기서 나온 게 바로 xₖ가 여기에 위치에 어떤 값을 의미하고요. 그다음에 이 사각형의 넓이를 구하기 위해서, 높이를 알기 위해서 f(xₖ)가 이제 여기고요. 그러면 이 면적은 어떻게 되겠어요? f(xₖ)*Δx, 요런 식으로 되겠죠? 그래서 그거를 가지고 여기서부터 여기까지 싹 더하면 되는데 여기서 중요한 거. 이 Δx라는 게 항상 고정된 게 아니라 우리가 얼마나 잘게 더 쪼개느냐에 따라서 Δx가 더 작아질 수도 있겠죠? 만약에 Δx가 점점 작아지는 값이 아니라 그러면 우리가 잘게 잘게 쪼갰을 때 이 더한 값은 f(x)가 더하는 횟수가 점점점점 많아질 거 아니에요? n이 점점 커질 때마다. 그러면 이 결괏값이 내가 얼마나 잘게 쪼개냐에 따라서 달라지면 안 되잖아요? 그래서 내가 잘게 쪼갤 때마다 점점 더 작아지는 Δx라는 놈이 사실 이 분모에 어떤 n이라는 놈을 넣었기 때문에 결과적으로 우리의 무한급수의 값이 어떤 하나의 면적으로 수렴을 하게 됩니다. 그 결과를 잠깐 구경해 보실까요? 요런 식으로 될 건데요. 요 식이 요런 식과 요런 식으로 변형이 될 수 있습니다. 사실 우리가, 웃기죠? 요렇게 돼 있는 애를 구하는데 요거보다 약간 작은 면적 가지고 구하면 요 면적, 요 면적, 요 면적, 요 면적, 요 면적, 요 면적이 비잖아요? 그럼 엄밀히 말하면 아무리 잘게 쪼갰다고 하더라도 이게 같은 면적은 아니지 않나요? 라는 우리가 궁금증이 들 수 있어요. 마치 0.9999999999999가 1이 아닐까요? 라는, 1이 아니지 않을까요? 이런 고민이 드는 거와 마찬가지로요. 그래서 수학자들은 얌마, 이거 똑같은 거야. 내가 하나 더 보여 줄게라고 준비를 했습니다. 얘보다 약간 큰 놈의 면적. 요렇게 하면 여기 여기 여기 여기 여기 여기 또 다 남을 거 아니에요? 그래서 얘도 얘로 수렴하고 얘도 얘로 수렴한다면 어떤 이런 둘 중에 하나를 선택해서 한 거가 결코 남는 면적이 존재하는 거가 아니겠구나라는 생각이 들겠죠? 그래서 여러분들 여기서 나오는 공식 중에 하나가 요놈이 우리 면적보다 살짝 작은 놈. 요놈을 구한 거고요. 요놈이 요쪽 놈을 구한 겁니다. 근데 두 개 다 우리 계산 결과 급수에서 제가 공식 하나 알려 드렸을 거예요. 그 급수에서 k²에 대해서 그 n까지 더하면 어떤 식으로 나오는지 그거를 적용해서 구해 보면 둘 다 요런 식으로 나와서 8/3이라는 값으로 어떤 하나의 값으로 수렴을 하게 됩니다. 그래서 결과적으로 우리의 적분 값이 맨 처음에 우리가 이거를 미분의 역도함수 개념으로 해 가지고 뭐 하나 커지네, 그럼 밑에 깔리겠지? ⅓x³한 다음에 여기서 2부터 0이니까 2에서 0 넣어 가지고 8/3-0/3 해서 8/3 구한 거는 여러분들이 면적의 의미를 모르고 그냥 계산적으로 구했던 거고. 이제는 여러분들이 지금 일시 정지하고 이거를 단 한 번만 해 보세요. 그래서 여러분들이 진짜 요 식까지 구한 다음에 요거에서 n³, n³ 착착 날리고 n³/n³보다 적은 n²이랑 n¹은 n이 무한대로 가면 0이 되고 남는 놈이 결국 8/3이다. 되는 거를 여러분들이 확인을 한 번이라도 하신다면 다음부턴 구분 구적법에 대해서 여러분들이 굳이 깊게 들어가실 필요 없습니다. 왜냐? 여러분은 이제 공대생이니까. 그래서 우리가 오늘 여러 가지를 배웠습니다. 일단 적분의 의미에 대해서 배웠어요. 적분의 의미는 뭐다? 더 이상 그래프의 면적이 아니다. 하지만 나중에 계산할 때는 한 축의 함숫값이라고 한다면 그래프의 면적이 된다. 그래서 x축 y축이 바뀐다 하더라도 여러분들 적분의 의미만 파악한다면 xy가 아니라 무슨 ㄱㄴ이나 막 ABC 알파벳, 그리스어, 이런 게 나와도 절대 헷갈리지 않을 거예요. 그다음에 여러분들 적분 구성 요소 세 가지. 어떤 거 있다 그랬어요? 적분 변수, 함숫값, 적분 구간. 적분 구간 같은 경우에는 있을 때도 있고 없을 때도 있는데 어떤 면적을 명확하게 구하려면 적분 구간이 존재하는데 그건 바로 정적분이다, 이거 다음 시간에 나올 거고요. 그다음에 우리가 적분의 연산을 할 때는 역도함수 개념으로 연산을 하는데 역도함수는 뭐다? 아까처럼 미분을 했을 때 요놈이 나오려면은 어떻게 돼야 되는가? 하는 식으로 x², x²이 나오려면 어떻게 해야 되는가? 하고 ⅓x³, 요런 식으로 외우고 있는 공식을 사용해도 되고 미분을 통해서 거꾸로 유추해 내서 해도 되고 고런 식으로 적분의 기본 개념은 역도함수다라는 거 배웠고요. 그다음에 그거에 대해서 어떻게 구체적으로 이게 나왔는가를 살펴보기 위해서 구분 구적법이라는 거가 요렇게 나왔고 구분 구적법 이 무한급수에 대해서 의미 하나씩 파악했습니다. 요거 하나 하려고 제가 급수 때 여러분들에게 무한급수에 대해서 알려 드렸던 거예요. 그래서 요거, 여러분들이 다양한 함수에 대해서 단 한 번만 해 보고 그다음부턴 이제 무조건 역도함수나 부정적분, 정적분. 그 테이블을 이용해서 계산을 하게 될 겁니다. 이제 적분 제대로 시작하시죠.