13강. 미분과 도함수

네, 이번시간에는 도함수 미분에서의 도함수에 대해서 한번 배워볼 거예요. 우리가 지난시간까지는 어떻게 비유를 들어서 말로만 구체적인 예시를 들지 않고 미분이나 적분에 대해서 배웠었죠. 이번 시간부터 구체적으로 미분에 대해서 나가보도록 하겠습니다. 일단 미분을 한다라는 거의 의미는 뭐냐면요. 특정 점에서의 기울기를 구한다라고 볼 수도 있고 어떻게 보면 도함수를 구한다라고 볼 수도 있어요. 그래서 우리가 도함수다라는 그 용어 자체를 제대로 알고 넘어가야 되는데요. 일단 우리가 함수가 뭐라 그랬어요. 어떤 특정 값과 요인들 사이에 관계라고 그랬죠. 근데 여기서 그 특정값이라고 하는 게 미분된 형태 그거를 도함수라고 의미를 해요. 그래서 임의의 점의 기울기를 수식으로 표현을 한 거죠. 우리가 함수를 표현하는 방법 몇 가지 있다고 그랬어요. 표로 표현할 수도 있고 그래프로 표현할 수도 있고 수식으로 표현할 수도 있다고 그랬죠. 도함수라고 하는 거는 여기서 수식형태로 표현이 된 어떤 모함수의 미분된 함수, 그거를 즉 도함수라고 합니다. 그러면 적분이라는 것은 또 뭘까요. 적분이라고 하는 건요. 어떤 구간의 포인트를 누적하는 거라고 했죠. 그래서 만약에 우리가 그래프의 형태라고 했으면 그래프의 면적이 즉, 적분에 해당이 돼요. 그러면 우리가 적분을 구하기 위해서는 어떻게 돼요. 일일이 다 면적을 하나씩 하나씩 더하는 게 아니라 어떤 함수의 적분된 형태를 우리가 공식처럼 외우고 있죠. 그거를 이제 정적분이라고 하고 그 정적분을 어떤 구간에 대해서 우리가 취하면 그게 이제 부정적분, 혹은 그래프의 넓이 이런 식으로 되는 거예요. 마찬가지로 미분에서 나온 도함수는 우리가 미분을 실제로 모든 그래프에 대해서 점을 찍어서 기울기를 구하는 형태로 미분을 구할수도 있겠지만 우리가 알고싶어하는 모든 일반적인 점에 대해서 이거를 다 수행하기가 어렵잖아요. 그래서 우리가 일반적인 우리의 모함수 f(x)가 수식 형태로 존재를 했을 때 그거의 도함수를 이렇게 f'(x)형태로 우리가 알고 있는 다항함수의 적분, 삼각함수 적분 지수함수의 적분, 아니 지수함수의 미분 이런 거를 이용해서 도함수를 구해놓고 여기서 우리가 원하는 점을 대입을 해서 어떤 특정 점의 기울기를 구하는 것, 그런 식으로 미분이 구체적으로 진행이 될 거예요. 우리가 지금까지는 미분의 의미를 파악하는 데 노력을 했다면 이제부터는 우리가 실제 자연과학대학에서 수학을 진짜 전공한 학생들이 아니라 공대에서 수학을 배우는 학생들이잖아요. 그러니까 원리같은 것을 너무 깊게 들어가지 않을 거예요. 이제부터는 바로바로 팍팍 공식 외우는 거 들어가는 거에 익숙해지셨으면 좋겠습니다. 그래서 여기서 함수의 기울기, 함수의 기울기를 구하는 과정에 대해서 한번 알아볼 거예요. 도함수라는 것은 어떤 점마다의 기울기를 의미해요. 예를 들어서 우리가 f(x)라는 것은 뭐냐면요. 어떤 x라는 요인에 대해서 우리가 원하는 그 함수 값을 의미해요. 그러면 도함수라는 것도 말이죠. f'(x)라는 것도 이 요인, 이 x에서의 변화율을 의미하는 거예요. 우리가 원하는 함수 값이 이 x라는 지점에서 조금 증가했을 때 얼만큼 증가하고, 조금 감소했을 때 얼만큼 감소하는지 그런 거를 의미하는데 여기가 a나 b, 이런 상수가 아니라 x라는 변수, a도 올 수 있고, b도 올 수 있고 c도 올 수 있는 그런 변수가 놓여졌다는 얘기는 일반적인 형태의 모든 구간에서의 함수 미분이 된 함수라는 것을 의미하는 거예요. 그래서 예를 들어서 우리가 기울기라고 하는 거는 이런 곡선이 있다고 생각해봅시다. 그럼 기울기라는 건 말이죠, 우리가 면적을 구할 때 항상 어떤 구간이 필요했듯이 기울기라는 것도 항상 두 점이 필요해요. 왜냐, 얼마만큼 변화했을 때, 이 요인이 얼마만큼 변화했을 때 이 함수값이 얼마만큼 변화하는지 그게 기울기란 말이에요. 그럼 변화를 하려면 이 변화를 하는 우리가 지켜봐야 되는 두 포인트가 최소한 필요하거든요. 그래서 이 포인트와 여기서 올라간 이 포인트 그리고 올라가면 이 포인트 사이에 이렇게, 이런 것들이 기울기란 말이죠. 그런데 우리가 기울기를 구하기 위해서는 두 점이 필요하다고 했었는데, 우리가 늘 말하죠. 특정 점에서의 기울기는 어떻게 될까요. 접선의 기울기는 어떻게 될까요. 이런 식으로 우리가 고등학교 때 문제가 굉장히 많이 나왔었어요. 그래서 이 접선의 기울기라는 것은 어떤 의미를 지니는가. 이거를 이제부터 알아볼 거고요. 도함수라고 하는 것도 제가 기울기라고 말씀 드렸는데 이 x의 부적정분처럼 a부터 b까지라는 어떤 두 개의 구간이 들어가지 않고 하나의 점만이 대입될 수 있는 변수잖아요. 그래서 즉, 이말인 즉슨 내가 기울기라고 얘기해서 미분은 기울기라고 하지만 실제 도함수는 기울기라고 하는데 두 구간이 들어가지 않아. 왜일까요. 이거를 이해하기 위해서는 극한을 이해할 필요성이 있어요. 미분에는 극한의 개념이 들어가거든요. 극한이라는 것은 뭐냐면 우리가 어느 지점에서 어느 지점으로 한없이 가까이 갈 경우에 과연 어떻게 되는가를 보는 거예요. 그래서 지금 우리가 도함수, 미분을 해서 어떤 a지점에서의 기울기를 구하는 그 극한에 의한 미분의 정의의 식은 이 위에식과 아래식 이 두 가지로 표현이 될 수가 있는데요. 일단 위에식이 어떤 의미인지 그래프를 통해서 한번 살펴볼게요. 우리 그래프가 가장 간단한 걸로 2차함수 이렇게 생겼다고 생각을 해봅시다. 우리가 a라는 지점이 어디, 이렇게 있었어요. 근데 f(a+h)는 어딜까요. h라는 것 만큼 a에서 떨어진 이 지점이 a+h가 되겠죠. 그리고 이게 이제 h가 되겠고요. 그럼 f(a)는 어디에요. f(a)는 여기고 f(a+h)는 이 값이 되겠죠. 이 점을 의미하는 게 아니라 이 점의 함수값인 여기가 f(a), 여기가 이제 f(a+h) 네, 이렇게 될 거예요. 그러면 이 lim이라고 쓴 건요. h가 0으로 가는 이 극한을 여기에 적용을 하는 그 어떤 연산자에 불과해요. 그래서 이런 식으로 h가 0으로 갈 때를 생각해보면 이 간격이 굉장히 좁아질 때를 의미하는 거죠. 이 간격이 굉장히 좁아질 때, 이 간격분의 이 간격, 즉 여기서도 이게 계속 이쪽으로 다가오겠죠. 그러니까 결과적으로 h가 0으로 간다는 건요. 여기에서 여기 약간 오른쪽에 있는 애랑 그 사이에 기울기를 의미하는 거예요. 엄밀히 말하면 이 점에서의 기울기는 아니지 않느냐라고 여러분들이 반문하실 수가 있는데 수학적으로는 이런 식의 약간의 가정들이 많이 들어가서 살짝 이렇게 우리가 대충 생각하고 넘어가는 그런 거를 좀 받아들여야 될 때가 있어요. 그래서 이거를 정확하게 따지려면 여러분들 수학과로 가셔야 되고 우리가 공대에서는 이 약간 옆에 있는 애와 얘 사이의 기울기를 그냥 얘의 기울기다라는 식으로 우리가 받아들여주셨으면 좋겠어요. 물론 약간 왼쪽에 있는 놈에서 이쪽으로 다가갈 수도 있거든요. 이 h를 -h라고 써서 -h가 0으로 가는 형태로 그거 역시 a에서의 기울기 a에서의 도함수의 값이라고 받아들였으면 좋겠습니다. 또 하나의 공식이 더 있어요. 이거 같은 경우에는 우리가 a를 대입하고 시작하는 게 아니라 f(x)와 f(a) 사이에 기울기를 구하는 건데 x가 점점 a로 갈 때를 의미해요. x가 왼쪽에서 a로 갈 수도 있고 오른쪽에서 a로 갈 수도 있어요. 근데 우리가 미분 가능한 점이라는 건요. 왼쪽에서 다가갔을 때랑 오른쪽에서 다가갔을 때의 값이 똑같을 때 미분가능하다라는 식으로 이야기를 하거든요. 그렇기 때문에 우리가 이거를 플러스에서 a로 갈 때 마이너스a로 갈 때, 이런 식으로 표현을 안 하는 거예요. 그래서 아래쪽의 의미는 어떤 건지 살펴볼게요. f(x)라는 것은 오른쪽에서 다가갈 수도 있고 왼쪽에서 다가갈 수도 있는데 일단 어딘지 모르는 이 그래프 위에 어떤 점, 그게 바로 x예요. 그리고 여기서 a라는 것은 우리가 여기서 얘기를 했었죠. 그러면 이게 x가 맨 처음에 왼쪽에 놓였을 경우에는 여기서 이렇게 쭉 다가겠네요. 쭉 다가갈 때 이 값, 이 값은 이제 뭐냐. x-a, 여기서 여기 뺀 것. 그 거리 분의 f(x)에서 f(a), f(x)는 뭐예요, 이거죠. 이 높이 차이, 즉 이것 차이 분의 이것 차이가 이제 그 기울기가 될 거예요. 그래서 기울기라는 형태는 이런 식으로 구해서 쓸 수도 있고 이런 식으로 구해서 쓸 수도 있어요. 그래서 이 공식에 대해서는 나중에는 여러분들이 고등학교 때 수능할 때는 이거를 굉장히 많이 봤어요. 그래서 고등학교 때 미분적분 안 배우고 공대오신 친구들을 위해서 지금 말씀드린 거고요. 사실 이미 공대에 진학한 이상은 이 극한 값을 통해서 우리가 어떤 수식의 미분값을 유도할 일은 많이 있지 않아요. 그래서 여러분들은 이거는 그냥 이런 원리로 동작한다까지만 아시고요. 구체적으로 여러분들이 실제로 사용할 때는 공식을 외우는 거에 집중하셔서 그거를 바로바로 적용을 할 수 있게 거기에만 집중해주시면 좋을 것 같아요. 일단 우리가 배운 김에 한번 더 써먹어 봐야겠죠. 우리가 x²에 대해서 미분을 하면 뭐예요. f'(x)는 2x가 되겠죠. 우리가 다항함수의 도함수는 n이 앞으로 나오고 그다음에 n-1승 이런 식으로 된다고 알려져 있어요. 이거는 외우세요, 제가 유도를 해드리기는 할 테지만. 그래서 우리가 생각해봅시다. 이런 식으로 x²이 되어 있는데 이거의 기울기는 어떻게 될까요. 기울기가 맨 처음에 완만하겠죠. 우리가 똑같은만큼을 여기서 이렇게 증가한다고 했을 때 여기서는 이만큼 y값이 증가하고 여기서는 이만큼 증가하고, 이만큼 증가하고, 점점 증가하는 값이 커지죠. 여기는 여기였고, 여기는 여기고 여기는 여기고, 여기는 여기고. 점점 이 간격이 빠르게 증가하는 것을 보실 수가 있죠. 즉, 이 말은 여기 기울기가 점점 증가하고 있다는 말이에요. 그러면 기울기가 증가를 해서 이 f'(x)는 2x라는 그래프는 어떻게 생겼어요. 이런 식으로 생겼죠. 이거 자체가 기울기를 의미를 하는데 x가 증가할수록 f'(x)인 기울기가 점점 증가하고 있는 거예요. 그럼 한번 이 수식에다가 우리가 x²을 대입을 해서 실제적으로 이 f'(a)가 2a가 나오는지 한번 확인을 해봅시다. 그러면 맨 처음에 lim h가 0으로 가고 여기서 h분의 (a+h)², 마이너스 a를 대입하면 a²입니다. 우리가 a+h의 제곱은 뭐죠. h분의 a²+2ah+h²-a²인데 a²이랑 a²이랑 날라가고요. 그다음에 h가 분자 분모에 두 개가 있네요. h도 날라갑니다. 그러고 나서 h를 0으로 가져간다고 해요. 그럼 h가 0이면 우리가 남아있는 거는 2a만 남아있죠. 그래서 우리가 f'(x)가 2x면 f'(a)는 얼마예요, 2a가 되겠죠. 어떤 식으로 되는지 대충 이해하시겠죠. 우리가 그동안 외우고 사용했던 공식도 사실 이런 개념적으로 따져봤을 때도 우리가 외웠던 공식이 맞다라는 것만 체크하고 앞으로 외운것만 사용하는 걸로. 그리고 x³에 대한 거 여기 옆에 있죠. x³ 같은 경우는 a+h의 세제곱이 나오기 때문에 약간 수식으로 쓰면 복잡해지고 길어질 수 있어요. 여러분들이 한번 직접 해서 확실하게 3x²이 나오는 것을 보시고 그러면 이제 앞으로 n까지 커지더라도 이 공식을 믿고 쓸 수 있게 되는 거고 기울기가, 아까는 기울기가 똑같이 x²이나 x³이나 둘다 증가를 하지만, 이거는 이 기울기가 증가하는 속도가 더 빨라져서 이거의 기울기 함수 자체도 2차함수 모양으로 이렇게 나올 거예요. 그래서 그거를 여러분들이 실질적으로 그려서도 확인해보고 이런 식으로도 확인해보고 해야 여러분들이 어떤 공식을 외웠을 때 약간 헷갈릴 때가 있을 때 다시 언제든지 유도할 수가 있는 거예요. 그래서 이런 거를 한번씩 해보는 거를 절대 시간낭비라고 생각하지 마시고 연습문제로 들어가기 전에 개념에 대해서 자기 손으로 한번씩 적용해 보는 시간 갖고 넘어가셨으면 좋겠습니다. 그다음에 이제 여러가지 함수들이 있을 거예요. 삼각함수 우리가 sinx에 대해서 미분하면 어떻게 되죠. cosx죠. 그리고 지수함수는 e의 2x에 대해서 미분하면 2곱하기 e의 2x, 이런 식으로 될 거예요. 그래서 이거 같은 경우에는 지수함수의 도함수 공식을 외우고 있어도 되고 합성함수의 미분에 대해서 알고 있어도 되지만 지금 단계에서 여러분들이 그 공식 외우고 있는 거를 바로 적용을 하는 거는 어떻게 보면 제대로 기초를 닦지 않고 선행학습을 한 초등학생, 중학생들이 하는 거랑 마찬가지인 거예요. 여러분들은 지금 아무리 바쁘더라도 단 5분만 투자해서 이거를 직접 우리가 앞에서 했던 lim a+h 마이너스 a 나누기 h 이거에서 h를 0으로 보내는 거, 그 행위를 sinx에 대해서도 해보시고 e에 대해서도 해보시고 직접 한번 해보시면 좋을 것 같습니다.