1강. 적분 가볍게 의미 익히기

네 이번에는 고등 수험 적분과 우리가 대학교에 진학해서 배우는 그 적분과 어떤 차이점이 있는지에 대해서 한번 말씀을 드리려고 해요 그래서 일단 강의를 간단하게 요약을 하자면요 고등 수험 적분 때는 우리가 고등학교 때 미분과 적분 열심히 배웠죠 굉장히 복잡한 거에 대해서 우리가 뭐 수능까지 완전히 높은 점수를 땄다고 했음에도 불구하고 대학교에 가면은 미적분학 시간때 굉장히 어렵고 당황합니다. 그래서 왜 그런 일이 발생을 하는지 고등 수험 적분은 어떤 건지부터 차근차근 나가보도록 하겠습니다 일단 적분이라고 해서 우리가 고등학교 때 배우는 거는 이렇게 생겼어요 그래서 적분이라고 하면 뭐냐 적분이라고 하는 거는 더하는 건데 더하는 거를 어떻게 더한다 매우 잘게 쪼개서 그 잘게 쪼개진 애들을 더한다. 뭐 이런 식으로 배웠어요 그래서 주로 우리는 어떤 f(x)라는 함수라는 개념으로 뭐 함수가 이렇게 있었고요 그 함수에 대해서 이렇게 잘게 쪼개진 그것들을 이제 더 하는 식으로 해서 적분을 어떤 면적의 개념 이런 식으로 항상 배웠었습니다 그래서 그럼 이 f(x)라는 건 뭔데 라는 거는 f(x)는 항상 우리가 알고 있는 뭐 일차면 직선 이차는 포물선 삼차는 뭐 이렇게 생긴 거 뭐 그런 식으로 되어 있었고 뭐 원이면은 동그란거 아니면은 뭐 포물선 이런 식으로 f(x)가 주어진 상태에서 기계적으로 계산 하는 것만 되게 초점을 맞춰서 익혔었습니다. 그래서 우리는 면적이라는 특성을 되게 강조를 했었고요 매개 변수 같은 경우에는 f(x)라고 하면은 요 x축에 x가 정해져 있거나 아니면은 뭐 우리가 속도, 가속도, 이동거리 이런 거 할 때는 주로 시간이었었죠. 그래서 매개변수가 주로 한 개였고 일차원에서의 이야기를 주로 다뤄줬었습니다. 그래서 문제 같은 거는 뭐 이런 식으로 나왔었죠 그래서 이런 거 같은 경우에는 굉장히 막 cos도 나오고 f(x)되게 복잡하게 생기고 이런 복잡한 것 속에서 여러분들이 막 기계적으로 그 수식적인 전개를 해서 답을 찾을 수 있는가 이런거를 보통 물어보던가 아니면은 약간 물리적인 개념이 들어가서 뭐 속도를 미분하면 가속도고 가속도를 적분하면 속도고 속도를 또 적분이면 이동거리고 뭐 이런 개념을 알고 있는지 매개변수 t에 대해서 한정을 지어서 전개해 나갔었어요 자 그러면 우리가 대학에 와서 배우는 미적분학 공학 수학에서 배우는 미적분학 공학 수학에서 왜 미적분을 배우겠어요 여러분들이 공대, 기계공학, 전자공학, 어떤 과를 가던 이제 적분이 많이 쓰이기 때문인데 거기에서 쓰이는 적분은 여기에서 쓰이는 적분이랑 어떻게 포인트가 약간 다를까요? 그리고 왜 여러분들은 그걸 어렵게 생각할까요? 일단 적분이라는 것은 뭐냐하면 어떤 함수에서 함수값을 계속 더한다. 즉 어떤 포인트를 계속 더한다라고 생각하시면 되요, 예를 들어서 우리가 이런 소닉이라는 게임이 있다고 해봐요 여기서 이런 동그란 링을 하나씩 먹을때마다 이제 점수가 오르게 됩니다. 그래서 이걸 많이 먹을수록 우리가 점수가 오르는건데 그럼 이 위치에 따라서 내가 여기서부터 이렇게 진행하는 것을 x축이라고 해봅시다. 그럼 x축에 따라서 내가 어떤 점수 이 링 하나 먹을 때마다 1점씩 오른다고 해요 그럼 x가 지나갈 때마다 2점씩 먹죠 그럼 2점으로 이렇게 생긴 어떤 그래프를 여러분이 스스로 그릴 수 있어야 되고요 그러면 이 x에 대해서 여러분이 적분한 이 값은 요 포인트가 계속 누적된 어떤 이런 식의 점수가 나오게 될 겁니다. 그래서 이런 식으로 우리가 적분이라는것을 어떤 길을 따라서 매개변수는 x도 주어지지 않아요 여러분들이 어떤 공간상에서, 어떤 길을 따라서 갈 때 거기에서 누적되는 포인트 이런 개념으로 적분을 이해하시면 좋을 거 같아요. 적분을 그냥 뭐 수식적으로 x적분하면 x²+c, 뭐 x²적분하면 3분의 1 x³ 이렇게 이해하고 있는 사람은 적분을 알고 있다 말하기 조금 어렵습니다. 자 그리고 오른쪽 같은 경우는 어떤 거죠? 이거는 이제 배틀그라운드에서 우리가 자기장 영역에 들어가면은 점점 체력이 깎이는 그런 상황에 대해서 말을 하는 건데요 요 경우에는 어떤 거예요 어떤 포인트가 이제 우리의 체력을 깎는, 그 자기장에 의한 악영향 그것을 의미하게 되고요, 그럼 이 경우에는 내가 어디를 이동하지 않고 가만히 서 있기만 해도 내 체력은 쭉쭉 깎이죠? 그래서 이거 같은 경우에는 매개변수가 시간, 시간에 따라서 내 체력이 감소하는 것입니다. 그래서 우리가 시간에 대해서 적분을 이야기할 때 우리가 그런 것만 이야기했었어요 뭐 속도를 적분하면 이동거리 뭐 이런 것만 했었는데 그것뿐만 아니라 시간에 따라서 변화하는 어떤 것 그래서 이런 상황을 가지고 여러분들이 매개변수를 스스로 잡아서 적분을 할만한 그 그래프를 여러분들이 만들 수 있어야 합니다. 요 경우에는 매게변수가 t가 되는 거고요 자 그래서 하나씩 우리가 이 상황 속에서 대학교 미적분학이다 라고 하면 어떤 느낌인지 느낌을 말씀 드리도록 하겠습니다. 일단 이거 보기 전부터 여러분들이 알고 있어야돼요 아 어떤 공간 속에서 이런 식으로 점수 체계가 분포를 할 때 여러분의 뭐 이동거리, 선적분이라고 하는 개념이 나오는데요 여러분들이 여기서 만약에 딱 이 방향으로 이동을 하는 게 아니라 방향키를 자기 멋대로 할 수 있죠? 내가 만약에 이렇게 이동했어, 그러면은 여러분의 어떤 하나의 직선인 x축을 통해서 이동을 한 게 아니라 어떤 선을 따라서 이동을 한 거 잖아요 이런 경우에 이소닉이 총 얻게 되는 점수는 얼마인가? 이런 느낌의 개념의 적분이 많이 들어 갑니다. 그러면 여러분들은 이 경우에 어떻게 하겠어요? 이 선을 따라가겠죠, 그래서 이 선을 조금씩 따라가면서 여러분들이 얻는 링의 양을 구하겠죠 그러면 여기서 조금 갔을 때 맨 처음에 2점 먹었죠 2점 먹었습니다. 그다음에 여기 갔을 때는 링이 하나도 없어요 그럼 0이네요, 그러고 나서 여기오면 다시 얼마에요? 뭐 2점 먹죠, 2점 먹고, 여기오면 다시 0이고 여기가면 다시 1점이네요 그럼 여러분의 그 점수를 위한 그래프는 2, 0, 2, 0, 1 이런 식으로 생겻고 여기는 이제 x라고 해도 되지만, 어떤 l이라는 이동하는 그 변위에 대한 게 매개변수로 들어오게 됩니다. 그러고 나서 이거는 이제 f(l) 뭐 이런식 으로 되겠죠 그래서 여러분의 총 얻는 점수는 f(l)dl 이런 식으로 해서 이 l의 방향, 선을 따라서 가면서 점수를 총 더하면 얼마인가 라는 걸 계산하는 그런 문제, 이런식 으로 여러분들이 직접 적분을 위한 함수도 설정을 해야 되고 매개변수도 설정을 해야 되는 그런 게 이제 대학 미적분학에서의 적분입니다. 자, 그리고 두번째 위치에 따라서 하는데 방금 전 같은 경우에는 우리가 어떤 한쪽으로 어떤 포인트가 분포되어 있는 상황이었습니다. 근데 지금과 같은 상황에는 포인트 분포 자체도 이차원 안에서 분포가 되어 있을 수 있죠? 그럼 이 경우에 우리가 이런 식으로 생각을 할 수가 있어요 여기로 만약에 쭉 직진한다 라고 했을때 얻을 수 있는 점수라는 것은 매개변수를 여기를 x축이라고 해서 만약에 우리가 고등학교 때 했던 것 처럼 직진한다고 하면은 여기서부터 이 모양대로 우리 그래프가 생길 수 있겠죠? 이런 식으로 생기고, 이런식으로 생겼어요 그래서 여러분들이 얻을 수 있는 총적분을 한다 그럼 그냥 이것의 면적을 구하는 그런 식으로 했겠죠, 고등학생이라면 근데 우리가 대학교에 왔을 때는 어떤 선적분 그러니까 선적분이라고 해서 무조건 일차원적인 게 아니라 이런 면적 안에서 선적분을 진행한다고 해요 그럼 선적분이란 것을 한다고 하는 것은 선을 따라가면서 거기서 얻을 수 있는 총 포인트의 합을 구하는 거기 때문에 이런 식으로 그래프가 그려지지 않고요 여러분들이 실제로 이동하는 이동하는 경로를 따라서 거기에 있는 그래프의 총합을 구해야 합니다. 그래서 보통 문제에서 어떤 식으로 선은 주어져요 선이 어떤 함수의 형태로 주어지는 경우도 있고요 아니면 직접 그림의 형태로 주어지는 경우도 있는데요 만약에 여기서 우리가 소닉이 갔을 때 점프점프 하면서 모든 것을 먹는 경우는 잘 없죠? 그냥 한 번에 뭐 이런 식으로 이렇게 뛰어서 왔다고 해봐요 그래서 이런 선을 통해서 우리가 총 얻을 수 있는 점수는 몇이냐 그런 상황이 주어졌다고 했을 때, 그럼 여기서 쭉 따라 왔을때 0점, 0점 가다가 여기서 한 번에 한 2점 정도 먹었고요 그다음에 쭉 0점, 0점 오다가 1점, 1점 먹었다고 칩시다 1점, 1점 그러면 이 경우에 이제 소닉이 얻을 총 점수는 이 면적이 되겠죠 우리가 만약에 다른 선을 통해서 이동했다고 가정을 해봅시다. 다른 선을 통해서 이동했다고 가정을 하면은 똑같은 이런 상황 속에서 적분의 결과가 달라지겠죠 그래서 만약에 우리가 흰색으로 다시 또 다른 구간을 표시한다고 하면은 이렇게 여기서 직진해서 가다가 여기서 점프를 이렇게 했다고 생각을 해봅시다. 그러면은 맨 처음에 이렇게 쭉쭉 올 때는 1점씩 먹을 거예요 1점씩 쭉 먹다가 이 비어 있는 공간에서 0점을 먹게 되고 그다음에 여기서 올라갔다가 내려올 때 뭐 한 번에 이렇게 좀 많이 먹었어 3점을 먹고, 2점, 1점 이렇게 내려왔다고 해 봅시다. 그러면 소닉이 얻을 수 있는 점수는 이런 면적이 되겠죠 아까랑 다른 면적이죠, 그래서 우리가 어떤 경로를 따라서 이동하냐에 따라서 우리가 얻을 수 있는 총 적분값이 달라지게 됩니다. 우리가 고등학교 때는 어떤 경로에 따라서 달라지는 경우는 없었고 범위에 따라서만 달라졌었어요, 함수는 애초에 주어져 있었고요 내가 여기서부터 여기까지 적분을 하느냐 혹은 여기서부터 여기까지 적분을 하느냐 그런 거에 대해서만 우리가 적분이 됐다면 이제는 여러분들이 직접 이 매개변수를 설정을 문제를 통해서 하고 함수를 만든 다음에 그걸 가지고 구간에 대해서 적분을 해야되는 그런 게 이제 대학 미적분학에서의 적분입니다 자 그래서 이 경우에도 마찬가지이겠죠 아까 제가 이걸 그래프를 그리지 않았었는데 만약에 그래프를 그린다고 치면 여기서 이제 매개변수같은 경우에는 어떻게 되겠어요 자기장 안에서 체력이 깎이고 있는 상황이니까 시간에 따라서 되겠죠, 그럼 시간에 따라서 내 체력을 깎는 그 자기장의 영향은 내 체력에 대해서 음수일 겁니다. 그래서 음수로 -1정도 이렇게 됐다고 칩시다. 그러면은 이제 내 체력 체력은 초기 체력이 있겠죠, 뭐 총한 두 방 정도 맞았다고 치고 그래서 체력이 좀 만땅에서 깎여있는 상태에서 이제 이거를 적분하니까 기울기가 쭉 깎이면서 이렇게 돼서 이쯤의 시간에 내가 죽는 그런 느낌으로 나오게 되겠죠 그래서 결과적으로는 이게 쭉 적분으로 된 이 면적이 초기값 어떤 -x+c라는 형태로, 내 체력이 구해지게 되는 겁니다. 이거는 어떻게 구했다? -1에 대해서 내가 적분을 dt 아 이게 x가 아니라 t겠죠, 시간에 대한 거니까 네, 이런 식으로 돼서 이제 이것을 적분한 결과가 -t+c인데 이런 식으로 고등학생들은 기계적으로 했다고 하면은 대학교에서는 이제 이런 식으로 어떤 문제상황 속에서 여러분들이 자유롭게 매개변수도 설정을 할 수 있어야 되고 그걸 통해서 어떤 함수를 우리가 적분할지도 구해야되고 그 함수에 대해서 우리가 고등학교때 배운 이 기계적인 계산과정을 통해서 여러분들이 실질적인 답을 얻어낼 수 있어야되겠죠 이게 이제 나중에 공학수학에서 배우고 그게 응용되는 3학년, 4학년 과정에서 공학 수학이 활용되는 그 예시입니다. 자 그래서 적분의 구성 요소를 제대로 알아야 돼요 우리가 적분을 배울 때 맨 처음 뭐부터 배우는지 알아요? 적분 표부터 배워요, 그래서 x를 제곱하면 x² 뭐 x²을 적분하면 3분의 1 x³ sin을 적분하면은 -cos, 맨날 이런 것만 배우고 있으니까 적분을 안다고 하는 놈도 제대로 모르고 적분을 모른다고 하는 놈도 사실 별반 다를 거 없어요 여러분이 지금 편입을 준비하는 학생이거나 문과 학생이라고 했어도 이 개념을 명확하게 익힌다면, 수업 시간에 들어갈 때 다른 공대생들보다 훨씬 잘할 수 있습니다. 일단 구성 요소는 매개변수, 함수값, 적분구간 이런 식으로 나누게 되어 있습니다. 적분이라고 하는 건요, 이런 식으로 하고 f(x)dx 이런 식으로 우리가 구성되어 있는데 보통은 여기가 f(x)라고 쓰여 있지 않고 어떤 x²+c 뭐 어쩌고저쩌고 복잡한 어떤 수식으로 되어 있겠죠 그 놈이 이제 바로 그 f(x)라는 함수이자 함수값이에요 그래서 함수값은 이것이 되고요, 매개변수는 이놈입니다. 이놈 같은 경우에는 어떤 선을 따라 가고 있는 그 아까 소닉에서 여기 링링 이렇게 있었죠 거기를 이제 선을 따라가고 있는 선안에서 어떤 위치에 해당을 할 수도 있고요 아니면은 아까 배틀 그라운드 이야기 할 때 처럼 어떤 시간이 될 수도 있습니다. 그래서 그게 이제 매개변수고요 그다음에 적분 구간은 이 매개변수의 단위랑 똑같이 되는데 만약에 거리라고 하면은 0m부터 이렇게해서 뭐 2m 이런 식으로 되겠고요. 시간이라고 하면은 2초에서 3초 이런 식으로 이제 구성이 될 것입니다. 그래서 여기는 a, b라고 쓰고 이게 이제 적분 구간이 되겠죠 그래서 적분은 이런식으로 구성이 되어 있고 느낌은 매개변수에 따라서 어떤 포인트를 더한다. 그리고 그 포인트는 음일 수도 있고, 양일 수도 있어서 그거를 최종적으로 누적해서 더하는 행위가 바로 적분인 겁니다. 자 그래서 여러분이 만약에 이 상황속에서 제가 매개변수, 함수값, 적분구간을 한번 알아보도록 하겠습니다. 일단 여기서 우리가 소닉이 어떤 식으로 이동을 했는지부터 정의를 해야겠죠, 그거는 사용자가 어떻게 방향키를 움직이냐에 따라 다른 거니까 그것까지는 문제에서 주어질 겁니다. 그래서 문제에서 만약에 적분을 할 때 선을 이런 식으로 똑바로 가게끔 주어졌다고 해볼게요 그러면 여기서의 함수는 어떤 식으로 되냐 이동하는 것 따라 점수를 다 먹고 있죠 그러면 점수를 하나 이동할 때마다 두 개씩 먹고 있습니다. 한 칸, 두 칸 그래서 이걸로 이렇게 일정한 함수가 이제 이 함수값이 될 거고요 f(x)가 되겠죠 여기를 x라고 한다면요, 그래서 적분구간이라고 하는 거는 만약에 여기서부터 여기까지 네 칸 동안 내가 더한다고 해봐요 어 마지막에 하나네요 그럼 마지막에 이렇게 어 마지막에 하나를 조금 내려가서 이런 식으로 하겠습니다. 이런식으로 되어 있죠 그러면 이거를 이제 이 선에 대해서 선 적분한 결과는 이 면적, 즉 2+2+2+1 이런 식으로 되는 거예요 적분으로 우리가 표시한다 라고 하면은 이 그래프의 f(x)dx를 0부터 4까지 이런 식으로 이제 우리의 적분이 쓰여지게 되겠죠 자 그럼 두 번째 우리가 경로를 다른 식으로 한번 잡아 봅시다 우리가 경로를 이렇게 하고 날라갔어요 그리고 나서 나중에 여기서 이렇게 떨어졌어 그래서 중간 거는 하나도 못먹었다고 이런 선을 통해서 소닉이 이동을 했다고 해봅시다. 자 그럼 맨 처음 칸에서 두 개 먹었죠 두 개 먹었습니다. 두 개 먹었는데 그다음에 날라가서 한 개도 못 먹었어 계속 한 개도 못 먹었어 이런 결과가 나오게 되겠죠 그러면 이것도 역시 똑같은 f(x)에요 x에 대해서 우리가 이동한 거니까 근데 이번에 x는 아니지, 이거는 l이라고 할게요. 아까랑 똑같으면 안 되니까 그래서 여기는 l, dl 그래서 아까 같은 경우에는 그 x가 똑같았지만 이번에는 l은 x랑 똑같지 않은 어떤 요 길을 이동하는 그거라고 보시면 돼요 x축은 아까랑 똑같이 이 방향을 x축이라고 하고요 그래서 l 방향대로 우리가 움직이면서 포인트를 다 더한 결과가 우리가 원한 이 최종 스코어가 되는 거고요 그 더하는 과정속에서 있는 이 함수모양이 이제 이 함수값이 되는 겁니다. 이 경우에도 매개변수 역시 위치이지만 이번에는 그 축 방향이 아닌 어떤 직선의 l이 되는 거죠 그럼 이 경우에는 적분의 결과는 어떻게 될까요? 2+0+0+0 이런 식으로 되겠죠 이 경우에도 똑같이 구간은 0부터 4까지 f(l)dl이런 식으로 될거예요 아마 이거는 4보다 더 클 수도 있겠죠, 왜냐하면 이 길이보다 요 온 길이가 더 길었잖아요. 그래서 이 경우에는 매개변수가 좀 더 길게 뭐 한 8 정도로 그렇게 쓸게요 그렇지만 결과는 2, 아까 것보다 작다. 그래서 어떤 느낌인지 대충 느낌은 잡으시겠죠? 자 그래서 우리가 대학 과정의 미분 적분에서의 적분의 새로운 키워드는 단순히 적분, 미분, 정적분, 부분적분 이렇게 있는 게 아니라 선적분, 면적분 이런 식으로 방금 우리가 선에 대해서만 적분을 했죠 근데 만약에 어떤 삼차원 공간 속에서 뭐 보너스 스테이지라고 해봅시다. 링이 막 엄청나게 많아요 그러면 소닉에 여기서 이동을 할 수 있는것도 여기서 삼차원적으로 이동을 하겠죠? 근데 어떤 소닉이 그냥 점으로 되어 있는게 아니라 어떤 널빤지 형태인 우리가 널빤지를 가지고 여기서 널판지를 이동시키면서 점수를 먹는다고 해봅시다. 그러면은 여기서 내가 총 얻을 수 있는 그 점수 값은 그 널빤지가 지난 그 전체 면에 대해서 다 더해야 우리가 최종 스코어가 나올 수가 있겠죠 그런 거를 바로 면적분이라고 하고요 그런 선적분과 면적분을 수행하기 위해서 우리가 스킬적으로 알아야 되는 건 이중적분과 바로 다중적분입니다. 그래서 오늘은 간단히 이거의 물리적인 느낌 게임을 통해서 적분의 대학적분의 느낌만 봤고요 이제 다음 시간 부터는 실제로 어떤 형태로 시험 문제가 나오고 그거를 어떻게 계산해야 하는지에 대해서 선적분따로, 면적분따로 좀 더 깊게 들어가 보도록 하겠습니다. 감사합니다.