22-1강. 연습문제 풀이(자기상관, 시계열분석)

-안녕하세요? 이제 계량경제학 뒷 부분, 저번 시간에 자기상관까지 다뤘었는데 이번 시간에는 시계열 관련된 문제를 풀어보고 그다음에 내생성, 패널데이터, 그리고 Logit, Probit 모형에 관련된 문제를 함께 다뤄보도록 할 텐데요. 저번 시간과 마찬가지로 모든 연습문제를 다 다루지는 못하고 제가 생각하기에 조금 중요하고 이해를 돕기 위해서 되게 잘 만들어진 문제다라는 걸 골라서 풀어보도록 하겠습니다. 그리고 시계열 부분 같은 경우에는 이 부분이 딱히 필요하지 않으셔서 듣지 않으신 분들도 있을 텐데 그럴 경우에는 내생성이나 패널데이터 부분으로 그냥 건너뛰어서 그 부분부터 들으셔도 상관이 없습니다. 그리고 먼저 한 번 문제를 풀어보시고 보는 걸 추천드리는데 그런데 이게 확실히 제가 수업 시간에 다룬 내용을 바탕으로 문제가 만들어진 거긴 하지만 문제를 풀어본 적이 없다면 상당히 난이도가 있게 느껴질 거예요. 그래서 풀기 어려운 경우도 많을 텐데 그럴 경우에 먼저 한번 들어보시고 그 이후에 문제를 풀어보시는 것도 괜찮을 거 같습니다. 한번 듣는다고 해서 문제를 바로 풀 수 있기도 어려울 정도로 난이도 있는 문제들이 몇 개씩 있거든요. 그런 경우에는 한번 먼저 아, 이런 식으로 접근을 하는구나라는 걸 파악하신 다음에 문제를 풀어보시면 훨씬 도움이 될 거 같습니다. 먼저 정상 시계열 관련된 문제를 풀어보도록 할 텐데요. 정상 시계열 같은 경우에는 많은 문제들이 자기상관과 관련되어서 문제가 출제되는 경우가 많이 있어요. 이 문제 같은 경우에는 이런 식의 선형회귀모형을 상정을 하게 됩니다. problem session 2번으로 나와 있는 문제인데요. 이와 같은 경우에는 중요한 게 뭐냐. 우리가 유의 있게 봐야 하는 건 뭐냐 하면 yt의 과거항인 yt-1이 들어가 있고 그다음에 외생 설명변수들의 과거값들이 들어가 있는 이걸 뭐라고 했죠? ADL 모형이라고 했습니다. 그다음에 문제를 봐 보면 첫 번째로 주어진 건 뭐냐 하면 오차항에 대한 가정이 주어져 있어요. 오차항은 평균 0이고 그다음에 공분산 정상성을 만족하는 확률변수래요. 그리고 이 모형에는 완전 다중공선성의 문제는 없고요. 그래서 여기는 예시로 어떤 걸 들었냐 하면 yt를 우량 기업의 3개월 만기 회사채 이자율로 두고, 이걸 두고. 그다음에 월간 변화래요, change in 회사채 이자율의 변화를 yt라고 두고 변화, %p 변화했죠? 이걸 이제 y로 두고 그다음에 zt를 3개월 만기 국채 이자율의 월간 변화로 설정한 모형을 들 수가 있다. 그러니까 가령 예시를 들어서 이런 식으로 모형을 설정하면 효과적인 그런 관계가 무엇이냐라고 했을 때 회사채 이자율은, 그러니까 회사채 이자율은 좀 더 국채보다 위험한 그런 성격을 가지는 채권이잖아요. 그렇기 때문에 회사채 이자율은 국채 이자율에 영향을 받고 그다음에 그 전 회사채 이자율이 어떻게 변했냐, 이거에도 영향을 받는다. 그래서 이런 식의 ADL 모형으로 나타낼 수 있는 예시를 이렇게 드러냈습니다. 그래서 이걸 추정을 하기 위해서 이제 우리가 항상 관심사는 이런 식으로 모형을 회귀 모형을 세우는 이유는 기본적으로 이런 회귀계수들을 추정하는 데 있죠. 그러면 우리는 항상 이런 의문점을 가져야 하죠. 얘네를 효과적으로 추정할 수 있는, 그러니까 이 계수들의, 이 회귀계수들의 일치 추정량과 그다음에 최대한 분산이 작은 그런 추정량을 어떻게 도출할 수 있을 것인가. 그리고 이제 어떤 조건 하에서 OLS 추정량은 이런 계수들을 추정하는 데 있어서 좋은 추정량인가, 이런 걸 먼저 생각을 해주셔야 해요. 이걸 하기 위해서 우리는 하나씩 스텝 바이 스텝으로 갈 텐데 1번은 어떤 문제냐 하면 이 εt가 앞에서 뭐라고 설명했냐 하면 평균이 0이고, 오차항이죠, 오차항, 오차항. 평균이 0이고 공분산 정상성을 만족하는 확률변수래요. 그래서 여기서는 뭘, 어떤 걸 물어봤냐 하면 평균이 0이고 공분산 정상성을 만족하는 확률변수라는 건 도대체 뭘 의미하는 거냐. 그리고 이를 만족하는 확률과정의 예시를 2개 드시오라고 문제가 나왔는데요. 제가 이 문제를 과거에 한 번 다룬 과외 학생한테 설명을 드렸을 때 되게 헷갈려하시는 부분이 뭐냐 하면 우리가 앞에서 수업 시간에 했던 건 뭐냐 하면 특정 yt라든가 xt 이런 실제로 어떤 관측 가능한 GDP라든가 아니면 국채이자율이라든가 이런 관측 가능한 변수들이 확률과정을 따른다고 우리는 이야기를 했었잖아요, 그렇죠. 그래서 AR 모형이라든가 아니면 MLE 모형이라든가 이런 걸 예시로 들 때 우리는 보통 xt, yt를 가지고 예시를 들었습니다. 랜덤워크 모형 같은 거 이런 것도 다 마찬가지로 xt, yt를 대상으로 했죠. 그런데 여기서 뭘 물어봤냐 하면 여기 오차항이 어떤 확률과정을 따른다고 한대요. 그런데 우리가 생각해 보면 이 오차항이라는 것도 생각해 보면 시간에 따라서 뭐 ε1, ε2, 이런 식들의 이제, εt, 이런 식들의 각각의 값을 가지는데 이 각각이 다 뭐죠? 각각이 다 확률변수죠. 그런데 이제 이 친구가 i.i.d 과정이 아니라, 우리가 일반적으로 생각하는 i.i.d 확률변수가 아니라 시계열 변수의 εt라는 건 자기상관이 있을 가능성이 크니까 이 경우에도 얘네도 εt라는 것도 일종의 확률과정을 우리가 앞에서 yt와 xt가 확률과정을 따랐던 것처럼 이 εt도 일종의 확률과정을 따른다고 가정할 수 있는 것이죠. 그러니까 εt들이 i.i.d 과정이 아니라 서로 간 의존성이 있다는 거, 그러니까 자기상관이 문제가 있다는 것을 허용을 하되 그 구조, 그다음에 이 εt들의 data generating process를 어떤 식으로 모형화할 수 있는가를 물어보는 것이라고 할 수 있겠습니다. 그래서 마찬가지로 우리가 yt와 xt에 대해서 평균 0이고 공분산 정상성을 만족하는 확률과정이 무엇인가에 대해서 다뤘던 것처럼 똑같이 εt에 대해서도 똑같은 방식으로 접근을 하면 되겠습니다. 그래서 이제 평균 0이라 하는 건 expectations 오브 εt가 0이라는 거죠. 기대값이 0이라는 거고 그다음에 공분산 정상성을 만족한다고 했을 때 이건 제일 중요한 요소라고 했습니다. 공분산 정상성의 조건이 무엇이냐. 세 가지라고 했죠. 1번, εt라는 게 아까 0이라고 했으니까 모든 t에 대해서 0으로 같아야 하는 거고요. 이제 이건 기대값, 평균에 대한 조건이고. 두 번째, var(εt)라는 게 Σ²으로 모든 t값에서 같아야 하고 그것은 무한대로 발산하면 안 된다, 이게 두 번째 조건이고. 그다음에 cov(εt, εt+j)라는 거. 그러니까 j라는 것이 이 값이 only depend on, 뭐에만 의존한다? 이 j, 그러니까 이 두 오차항 사이의 거리에만 의존하지 t에 의존하지 않는다. 이게 공분산 정상성의 조건 세 가지라고 했습니다. 이건 무조건 외워주셔야 해요. 이건 시계열에 관련된 모든 시험에서 이 공분산 정상성의 정의를 이용하는 문제는 등장을 하니까요. 그러면 이제 우리가 이런 조건을 만족하는 확률과정의 예시를 들라고 했는데 이런 것의 예시로는 MA(1) 모형과, 그러니까 제일 간단한 거 MA(1) 모형과 AR(1) 모형이 있을 수가 있겠습니다. 여기서 MA(1) 모형은 가령 이런 거죠. εt가 현재의 shock vt와 그다음에 과거의 shock πvt-1의 함수로 이렇게 이루어진다고 했을 때 얘네들은 뭐다? 화이트 노이즈다. 화이트 노이즈라고 했을 때 얘네는 이 조건을 만족한다는 사실을 알 수 있겠고요. 그다음에 AR(1) 같은 경우에는 εt-1, 여기 헷갈리니까 다른... 다시 쓸게요. γ 그다음에 εt-1+ 그다음에 화이트노이즈 vt다, 이런 식으로 이루어지고 그다음에 이 γ라는 것은 어떻게 된다? 이 γ의 절대값은 1보다 작다라고 하는 AR(1) 과정도 이런 식을 만족한다고 수업 시간에 다뤘습니다. 그래서 이 두 과정의 예시를 들어주면 됩니다. 그래서 공분산 정상성을 만족하는 확률변수라고 했을 때 기본적으로 여러분이 생각해야 하는 건 MA 모형 아니면 AR 모형 아니면 ARMA 모형이겠죠. 그래서 가장 일반적인 모형은 우리가 뭐라고 했냐 하면 ARMA(p.q)라고 했습니다. 이게 가장 기본적인 모형인데 이거에 대한 특수한 케이스로 MA(1)과 AR(1)이 있는데 얘네가 주로 등장하는 이유는 제일 수학적으로 다루기 심플해서 그런 거겠죠. 그래서 이렇게 예시를 들어주면 될 거 같습니다. 첫 번째 정의를 내리고 예시까지 들었고요. 두 번째, 이 모형에서 zt가 yt에 주는 단기 효과와 장기 효과를 회귀계수를 이용하여 나타내고 단기 효과와 장기 효과의 의미를 서술하라고 했죠. 단기 효과는 현재기의 zt가, 현재의 yt에 미치는 영향을 나타내니까 이 단기 효과, short run effect는 뭐가 되냐, β1이 되겠습니다. 그다음에 long run effect는 과거값들이 현재에 주는 영향을 나타내니까, long run effect는 β₁+β₂+β₃가 되겠습니다. 그러니까 이제 이런 거죠. 현재의 zt, 현재의 국채 이자율이 변화를 한 것에 충격을 받아서 회사채 이자율이 변할 수 있는데 이게 반응이 늦게 올 수가 있기 때문에, 그러니까 저번 달에 회사채 이자율이 많이 떨어졌다. 그러면 그 반응이 다음 달에, 국채 이자율이 전달에 많이 떨어졌다. 그러면 그 반응이 다음 달에 회사채 이자율의 shock로 나타날 수 있는 거죠. 그걸 나타내는 게 β₂이고 그리고 2달 지나서 shock가 나타날 수도 있는 거죠. 그게 β₃이기 때문에 이 3개를 다 더한 것을 우리는 long run effect라고 정의를 하겠습니다. 그다음에 3번, 이것도 중요한 문제라고 할 수가 있겠는데요. 이 모형에서 이 조건이 만족되기 어려운 이유는 무엇이냐. 이 조건은 뭘 나타내냐고 했을 때 이게 첫 번째예요. 이건 우리가 수업 시간에 뭐라고 했냐. strict exogeneity 조건이라고 했죠, 강한 외생성의 가정이라고 했습니다. 왜 강한 외생성의 가정이냐? 여기 지금 X가 대문자로 돼 있죠? 이 X, 대문자로 있다는 건 matrix를 나타내는데 무슨 매트릭스야, 수학 안 쓴다고 하면서라고 이렇게 생각할 수 있겠는데 이건 이제 편의를 위한 거예요. 그러니까 이건 뭘 나타내냐 하면 우리가 가지고 있는 모든 설명변수, 그러니까 모든 설명변수에 현재, 미래, 과거값들을 다 포함하는 겁니다. 그래서 이 εt라는 건 과거에 이 z, 과거의 z, z1, z2랑도 독립이고 그다음에 미래의 z와도 독립이고 그다음에 미래의 y, 그다음에 과거의 y, 이런 것과 모두 독립이라는, 평균독립이라는 의미가 되는 거죠. 이걸 우리는 strict exogeneity 조건이라고 했는데 이 조건이 의미하는 건 xt의, 설명변수의 현재, 미래, 과거값과 그다음에 오차항 εt가 평균독립일 것을 요구하는 거라고 했죠. 그런데 이게 만족되기 어려운 이유는 두 가지를 들 수 있는데 생각을 해볼게요. 첫 번째, 두 번째. 첫 번째는 무슨 관점에서 접근하는 거냐 하면 εt가 자기상관이 존재하죠. 왜냐하면 우리가 아까 공분산 정상성을 만족한다고 하는 건 기본적으로 공분산이 0이 아닐 수도 있다는 걸 허용하는 거죠. 그 말은 무슨 말이냐 하면 εt의 자기상관 문제가 존재할 수 있다는 걸 함의를 하는 겁니다. 그다음에 두 번째, 이제 이런 경우에는 어떻게 되냐. 첫 번째 자기상관 문제가 존재하는 경우에는 어떻게 된다고 했죠? 이 yt-1과 εt는 무조건 cov(yt-1.εt)는 무조건 0이 되지 않는다고 했었죠. 이제 그 이유를 모르겠으면 수업 시간에 이 문제는 중요하게 다뤘으니까 한 번 더 참고해 주시고요. 두 번째로 strict exogeneity의 특성 때문에 나오는 건데 이렇게 되고 이제 yt-1, 얘도 0이 되어야 하는데 문제는 뭐냐 하면 E(εtlyt)도 0이 되어야 하죠. 왜냐하면 이 yt-1이라는 설명변수에 미래값과 이 εt가 평균독립일 것을 이 조건, 이거로 하는 거잖아요. 그런데 문제가 되는 건 뭐냐 하면 이 조건은 만족될 수가 없어요. 왜냐하면 이 yt라는 게 εt에 의해서 결정되는데 그러면 얘네 둘이 독립일 수는 없는 거죠. 그렇기 때문에 이건 무조건 성립하지 않는다고 이야기를 했었죠. 그래서 우리가 수업 시간에 뭐라고 이야기를 했었냐? ADL 모형에서는 이 친구가 들어가기 때문에, strict exogeneity 조건은 죽었다 깨어나도 만족을 못 한다고 이야기를 했었죠. 그래서 이렇게 두 가지 원인을 생각해 볼 수 있겠습니다. 이제 4번은 어떻게 했냐 하면 이 ρ가 0이라고 가정하고 이 항을 빼버렸어요. 얘가 지금 우리가 주로 문제를 발생시키는 항이었죠? yt-1이라는 게. 얘를 빼버리고 모형을 단순화시켰대요. 그러면 여기서 이제 뭘 물어봤냐. 이 모형에서 OLS 추정량의 일치 추정량을 얻어낼 수 있는 강한 외생성보다 약한 조건은 무엇인지 설명을 하라고 했습니다. 이제 우리가 도식화를 시켜서 봐 보자면 소표본에서 불편 추정량, OLS가 불편 추정량일 조건은 세 가지라고 그랬었죠. 1번은 Linear in Parameter고. 두 번째는 no perfect multi-Collinearity고. 세 번째는 strict exogeneity 조건이라고 했습니다. 이렇게 세 가지 조건이 모두 충족이 되어야지 불편 추정량이 된다고 했는데 그런데 여기서는 뭘 물어봤냐 하면 이제 일치 추정량을 얻어낼 수 있는 조건을 물어봤습니다. 일치 추정량 같은 경우에는 대표본 성질이죠. 대표본에서 이제 중요한 건 뭐냐. 첫 번째, 두 번째, xt와 yt가 전부 다 뭐일 걸 요구를 하냐 하면 공분산 정상성을 만족하고 그다음에 약한 의존성을 만족합니다. 그다음에 여기서 1, 2번 조건, 여기서 1, 2번 조건. 조건 만족하고 3번에서 뭐만 요구하냐 하면 contemporaneous exogeneity 조건만 있어도 일치 추정량을 얻을 수 있다고 했었죠. 그런데 이제 이 εt가 우리가 뭘 함의를 하냐 하면 이 εt가 아까 우리가 뭐라고 했냐 하면 공분산 정상성을 만족한다고 했었잖아요. 그렇기 때문에 이 εt가 공분산 정상성을 만족한다는 사실로부터 yt와 zt가 공분산 정상성을 만족한다는 사실을 이끌어낼 수가 있어요. 이제 그냥 그렇다고 받아들이시면 되고요. 그러니까 얘네가 일단 이 1번, 2번 조건을 만족한다고 가정을 하는 거예요. 약한 의존성 조건도 우리가 아까 여기서 평균이 0이고 공분산 정상성을 만족한다고 했으니까 뭐 이건 좀 러프한 아이디어일 수도 있는데 그런데 어쨌든 약한 의존성도 만족을 한다고 생각할게요. 아니면 여기서 그걸 언급해 주시면 됩니다. 이렇게 언급해 주시고 그다음에 1, 2번 조건은 현재 만족한다고 가정이 돼 있으니까 3번에서는 강한 외생성보다 약한 조건인 뭘 요구한다? contemporaneous exogeneity. 그러니까 cov(εt.zt), 그다음에 cov(εzt-1), 그다음에 이 친구. cov(εt.zt-2)가 모두 0이기만 하면 우리는 뭘 얻어낼 수 있냐? OLS 추정량이 일치 추정량이 된다는 조건을 얻어낼 수 있는 겁니다. 여기에 추가적으로 약한 의존성 조건까지 함께 적어주면 더 좋겠죠. 그래서 결과적으로 이 조건, 강한 외생성보다 약한 contemporaneous exogeneity 조건을 요구를 하고 그게 전제가 되는 건 공분산 정상성과 약한 의존성을 이 설명변수들, 설명변수들과 종속변수가 만족한다는 전제가 필요하다라는 건 뭐 계속 강조를 하는 부분이니까요, 이렇게 됐고. 그다음에 여기서 일치 추정량 조건이 만족된다고 해서 OLS 추정량을 이용해서 모형을 추정한다고 할 때 이제 표준적으로 도출해내는 OLS 추정량의 표준오차 말고 뭘 쓰느냐 하면 HAC 추정량을 써서 표준오차를 도출해내는 것이 바람직한 이유는 무엇인가라고 생각해 봤을 때 이건 자기상관 문제와 관련이 되죠. 그래서 우리가 지금 εt가 공분산 정상성을 만족하는 지금 확률과정이라고 전제하고 있기 때문에 자기상관 문제가 존재할 것이라는 걸 허용하고 있죠. 그렇게 되면 무슨 말이냐, εt의 자기상관 문제가 존재하면 통상적인 OLS 추정량은 더 이상 valid한 값이 아니라는 거죠. 유효한 값이 아니기 때문에 유효한 표준오차를 구하기 위해서는 뭘 사용해야 하냐? HAC 추정량을 이용해서 Standard Error를 구해야 한다. 그러니까 이 자기상관 문제와 관련이 된다는 점을 서술해 주시면 될 거 같습니다. 다시 원래의 선형 모형으로 돌아왔어요, 돌아와서. 그 말이 무슨 말이냐 하면 이 ρ가 0이 아니라는 걸 전제를 하는 거죠. 그러니까 얘를 빼면, 이 말은 무슨 말이냐 하면 아까는, 이 모형에서는 뭘 허용한 거냐 하면 이 yt-1이라는 설명변수를 빼도 Omitted Variable Bias가 발생하지 않는다라는 걸 말하는 거고. 그런데 이건 뭐냐 하면 사실 현실적인 모형에서는 이 친구를 빼면 Omitted Variable Bias가 대부분 발생을 합니다. 보다 이게 현실적인 모형이라고 하겠죠. 그다음에 이제 가정을 추가적으로 좀 더 strict하게 줬는데 이 εt라는 오차항이 MA(1) 확률과정을 따르고 그다음에 εt가 이런 식으로 이루어지고 vt는 화이트 노이즈를 나타낸다고 정의가 돼 있네요. vt는 이런 식으로 되고 그다음에 이 vt는 이 yt와 그다음에 zt와 독립이라고 돼 있습니다. 그런데 여기서 첨자를 잘 볼 필요가 있는데 이 vt, 이 백색잡음이라는 건 y의 과거값과 독립이고 그다음에 모든 zt와 독립이다라고 전제가 돼 있습니다. 왜냐하면 이 vt라는 게 지금 여기 들어가 있는 값이죠. εt에 들어가는 값이기 때문에 여기에 들어가 있는 vt랑 여기 yt는 어떻게 되죠? 독립일 수가 없어요, 그건 비현실적인 가정이죠. 하지만 과거 값과는 독립이다라고 전제가 돼 있는 겁니다. 그래서 이런 첨자들도 좀 유의 깊게 볼 필요가 있어요, 특히 시계열에서는. 그래서 이 모형의 모든 모수에 대한 일치 추정량을 얻을 수 있는 조건은 무엇인지를 상세하게 기술해라라고 돼 있는데 이제 우리가 생각해 봤을 때 얘, 이 친구를 빼고 얘네만 가지고 생각을 해봤을 때 일치 추정량을 얻을 수 있는 조건은 앞과 동일합니다, 그렇죠? 여기 a에서 다뤘던 것과 동일해요. 이제 이렇게 아까 Covariance, contemporaneous exogeneity 조건을 만족하면 되죠. 그런데 우리가 문제가 되는 건 뭐냐 하면 이 친구랑 이 친구, 이 친구랑 이 친구가 문제가 돼요, 이 사이의 관계가. 그런데 우리가 뭘 봐야 하냐 하면 얘네의 contemporaneous exogeneity가 만족을 하느냐, 이걸 봐야 하는데. 그러면 cov(yt-1.εt)가 0이 되어야 하잖아요? contemporaneous exogeneity 조건을 만족하려면. 그러면 이건 뭘 의미하냐. cov(yt-1)과 이제 εt라는 게 MA(1) 확률과정을 가지니까 vt+θvt-1. 그다음에 이건 cov(yt-1.vt)+θcov(yt-1.vt-1). 이게 이제 0이 되어야 한다는 말인데 여기서 뭘 의미하냐 하면 이 vt라는 거, vt는 yt-1과 독립이라고 했죠. 그렇기 때문에 이 항, 이 항은 당연히 여기 정리에 의해서 제로가 됩니다. 그러면 이 친구, 이 친구를 봤을 때 문제가 되는 건 뭐냐 하면 이거, 이건 조건상 vt-1과 yt-1 이렇게 해서 쭉쭉쭉 식이 있고 여기 vt-1+θvt-2가 들어가잖아요, 이렇게. 그래서 vt-1과 yt-2는 독립일 수가 없어요. 그래서 얘는 무조건 0이 되지가 않습니다. 그러면 이제 이 친구가 0이 되려면 어떻게 해야 하냐 하면 이 θ가 0이 될 수밖에 없는 거죠, θ가 0. 그렇기 때문에 얘가 0이 돼서 contemporaneous exogeneity 조건을 만족할 조건은 무엇이냐? 이 θ, 이 MA(1)에서 vt-1의 계수를 나타내는 θ가 0이 되는 조건밖에 없습니다. 그 말은 무슨 말이냐 하면 다른 말로는 εt가 vt랑 같아야 한다는 말이죠. 그러니까 이 오차항이 자기상관 문제가 없고 화이트 노이즈여야 한다는 말입니다, 그렇죠? 그래서 이게 θ가 0이 아니면 무슨 말이 되냐 하면 얘는 자기상관을 허용한다는 거니까요. 그렇기 때문에 이제 이렇게 되는 거고요. 그다음에 위에서 기술한 OLS 추정량의 일치 추정량 조건 하에서 OLS 추정량은 불편 추정량이기도 하는가. 불편성과 일치성이 의미하는 바를 언급하고 이를 이용하여 위의 질문에 답하여라라고 했을 때 건 답이 바로 나와야 합니다. 그러니까 contemporaneous exogeneity 조건이 충족된다고 해서 불편성은 절대 충족되지 않는다고 했죠. 불편성 무조건 strict exogeneity가 성립해야 합니다. 그러니까 우리가 말하고 있는 뭐 정상성이라든가 약한 의존성 같은 조건은 전부 다 대표본과 관련된 성질이라고 했었죠. 그렇기 때문에 소표본 성질인 불편성을 이끌어내기 위해서는 아주 강한 조건인 이 친구 조건이 무조건 만족을 해야 한다고 몇 번씩이나 강조를 했습니다. 그런데 얘는 죽었다 깨어나도 이 strict exogeneity 조건을 만족시킬 수가 없는 게 이 yt-1의 미래값인 yt와 εt는 무조건 관계가 있을 수밖에 없기 때문에 이런 ADL 모형에서는 εt를 어떻게, 이제 이 오차항을 어떻게 모형화를 하더라도 무조건 불편성 조건을 만족할 수가 없습니다. 일치성 조건은 이렇게 얘의 자기상관을 허용하지 않음으로써, εt의 자기상관을 허용하지 않음으로써 일치 추정량을 얻을 수 있는 조건을 만들어냈지만 불편 추정량은 절대로 만족시킬 수가 없다는 점을 서술을 해주시면 될 거 같습니다. 그래서 이 문제는 상당히 어려운 문제이긴 한데 제가 지금까지 했던 불편성과 OLS 추정량이 시계열 모형에서 불편 추정량과 일치 추정량이 될 조건을 설명하는 데 있어서 대단히 잘 만들어진 문제이기 때문에 이 문제를 완벽하게 이해를 했다, 그러면 대단히 수업의 많은 부분들을 이해하셨다고 생각해도 될 거 같습니다. 그다음에 다음 문제인데요. 이건 problem session 3번으로 돼 있는 문제인데 이것도 상당히 난이도가 있어 보이는 문제처럼 보이는데 사실상 계량경제학적 내용만 따지면 앞 문제보다는 조금 쉽다고 느껴질 수도 있어요. 천천히 봐 보겠습니다. 이게 왜 어려워 보이냐 하면 일단 경제학적 내용이 조금 들어가서 괜히 포장이 좀 어렵게 돼 있는 건데 하나하나씩 포장을 벗겨보도록 하겠습니다. 이건 맨큐의 경제학으로 유명한 그레고리 맨큐가 되게 유명한 거시경제학자인데 그 사람이 만들어낸, 논문에서 제시한 좀 수정된 필립스 커브 곡선 모형을 계량경제학적 모형으로 치환하는 과정을 나타내고 있어요. 이 사람은 뭐라고 모형을 세웠냐 하면 이게 자연 실업률이거든요. 자연 실업률과 현재의 실업률 간의 차이와 그다음에 기대 인플레이션율과 현재 실제 인플레이션율 간의 차이. 이것들이 이제 β₁의 관계를 가지고 움직인다는 거죠. 우리가 수업 시간에 살펴봤던 필립스 곡선이랑 비교해 봤을 때 여기는 자연 실업률이라는 요소와 그다음에 기대 인플레이션율이라는 요소가 들어갔다는 점에서 차이가 있는 것이라고 할 수 있겠습니다. 그런데 문제가 되는 건 뭐냐 하면 여기서 생각을 해봤을 때 문제가 되는 건 이 친구 있죠? 좀 경제학 이야기를 살짝 할 수밖에 없는데, 변형을 하는 데 있어서. 이 친구는 기대 인플레이션율이잖아요. 그런데 우리가 사람들의 기대 인플레이션율이라는 걸 현재 상황에서 제대로 측정할 수 있는 방법은 사실상 없습니다. 그래서 이 친구를 어떻게 좀 모형화를 시켜서 뭘 시도를 하냐 하면 얘를 우리가 알고 있는 그러니까 측정할 수 있는 값으로 변환을 시키려고 어떤 식으로 했냐 하면 인플레이션율이라는 기대가 이런 식으로 형성된다고 가정을 하고 모형화를 시킨 거예요. 그러니까 과거, 그러니까 전 기의 기대 인플레이션율과 현재 기대 인플레이션 간의 차이는 어떻게 이루어지냐. 그러니까 저번 기를 봤을 때 내가 인플레이션율이 3%라고 예상을 했는데 실제로 보니까 인플레이션율이 3.5%더라. 그러면 내가 생각했던 것보다 인플레이션율이 높잖아요. 그러면 그거에 반응을 해서 현재의 기대를 변형시킨다는 일종의 adaptive expectations, 적응적 기대 모형을 전제를 한 겁니다. 이건 좀 거시경제학을 하셔서 이 부분에 익숙하다면 뭐 적응적 기대와 합리적 기대의 차이점. rational expectations과 adaptive expectations의 차이점, 이런 걸 좀 아시면 이해가 쉬울 텐데 그런데 어쨌든 그런 걸 모른다면 그냥 수학적으로 이해를 하신다면 이 친구를 우리가 아는 값으로 변형하기 위해서 이런 식으로 모형을 세우고 그다음에 이 식을 이용을 해서 이 식을 여기에 대입을 해서 어떤 식으로 했냐 하면 이런 식의 모형으로 변형을 시켰다는 겁니다. 그러면 이런 식의 모형을 굳이 변형시킨 이유는 뭐냐라고 했을 때 이제 이 친구가 사라졌죠? expectations이 들어간 부분이 사라졌고 이 인플레이션율은 현재의 인플레이션율과 그다음에 전 기의 인플레이션율 사이의 차이를 나타내고 이 unemployment도 추정이 가능한, 그러니까 우리가 데이터 콜렉션이 가능한 값이니까 이제 우리가 데이터 콜렉션이 가능한 변수들로만 회귀 모형이 구성이 된 거죠. 그래서 항상 계량경제학 모형에서 제일 중요한 것 중 하나는 뭐냐 하면 모형에 들어가는 변수들이 실제로 우리가 측정이 가능해야 합니다. 그래서 이런 애들이 모형에 들어가면 얘는 경제학적 모형은 될 수 있어도 문제는 뭐냐 하면 추정이, 그러니까 측정이 불가능한 애이기 때문에 이 모형의 추정은 불가능하죠. 그래서 이런 식의 어떤 특정한 가정, 어떤 모형 설정을 통해서 이런 식의 모형으로 변형을 시켰다라고 생각을 해주시면 될 거 같습니다. 그래서 이제 이것의 장점은 뭐냐 하면 여기서 γ₁이랑 γ₂라는 애가 기본적으로 우리가 알고 싶은 β₁의 식으로 나타내어진다는 사실을 알 수가 있기 때문에 이 친구들을 구해낸다면 저절로 여기에 우리가 관심사를 가지는 β₁이라는 애를 자연스럽게 추정해낼 수 있다는 것입니다. 그리고 하나 추가적인 전제는 뭐냐 하면 여기 이제 μ0라는 거 있죠. 자연 실업률이라는 건 우리가 알고 있다고 가정을 하고 진행을 하는 겁니다. 왜냐하면 지금 여기 들어가잖아요, 이런 식으로. 얘가 들어가기 때문에 μ0라는 게 여기 들어가기 때문에 얘는 알고 있다고 가정을 하는 거예요. 이제 문제는 이렇게 되는데요. 이건 경제학적 이야기이고 우리는 다시 계량경제학의 영역으로 돌아와서 시계열 이야기를 다시 해보겠습니다. 그래서 우리가 얘도 생각을 해 보면 우리의 관심사는 이 친구, 이 시계열 모형이에요. 그런데 이 시계열 모형을 추정을 해서 γ₁과 γ₂를 올바르게 추정을 해서 β₁을 밝혀내는 게 최종적인 목표인데 그러면 또 아까 앞에서 했던 고민과 똑같은 고민이 시작이 되는 거죠. OLS 추정량은 이 γ₁과 γ₂를 추정하는 데 있어서 적절한 추정량인가? 그러면 이게 적절한 추정량이 될 조건은 무엇인가? 이 고민을 또 시작하게 되는 거예요. 그러면 이제 우리는 아까 이 vt라는 걸, 오차항이라는 게 어떻게 나타내어지냐고 했을 때 et-이런 식으로 나타내어진대요. 그런데 여기서 et라는 건 뭐라고 했냐 하면, et라는 건 공급 충격을 나타내는 것으로서. 그러니까 완벽하게 이런 식의 적합한 완전한 관계를 가지지 않고 여기에 오차를 나타내는 공급 충격을 et라고 설정을 한 겁니다. 그런데 얘는 뭐라고 했냐 하면 공급 충격 이런 건 별로 안 중요하고 문제 푸는 데 있어서 중요한 건 뭐냐 하면 평균이 0인 i.i.d 확률변수라고 그랬죠. 평균이 0인 i.i.d 확률변수라고 이야기가 나와 있습니다. 그러니까 얘네는 independently and identically distributed 돼 있고 expectations of et는 제로가 된다는 것이죠. 그러면 이 vt가 어떤 확률과정을 따른다고 할 수가 있겠는가. 이제 이 vt라는 건 et의 이런 선형결합으로 나타낼 수 있는데 그러면 얘가 우리가 뭐죠? 얘가 일종의 화이트 노이즈라고 생각한다면 i.i.d 화이트 노이즈는 정확하게 같은 개념은 아니지만 일단 이 E(et)가 뭐라고 했죠? 0이 되고 그다음에 cov(et.et+j)라는 건 i.i.d 조건에 따라서 항상 0이 되잖아요. 그렇기 때문에 이런 조건을 만족한다고 생각하고 생각을 했을 때 얘는 기본적으로 무슨 확률과정을 따르는 거죠, 그러면? MA(1) 확률과정을 따르게 됩니다. 왜냐하면 이 마이너스 1, 마이너스 감마, 아니. 이 친구를 우리가 뭐 θ라고 했을 때 vt라는 건 et+θet-1로 변환이 되는 거죠, 그렇죠. 이런 식으로 변환이 되는 거기 때문에 얘는 우리가 앞서 살펴봤던 MA(1) 모형과 정확하게 동일한 모형이라고 할 수 있겠습니다. 그리고 뭘 물어봤냐? 이 확률 과정은 공분산 정상성과 약한 의존성 조건을 만족하는가, 이걸 증명하라고 돼 있는데요. 그런데 얘는 이제 제가 직접 하지는 않겠습니다. MA(1) 모형이고 얘네가 et라는 게 i.i.d 조건을 만족하면 약한 의존성 조건의 세 가지, 세 가지를 만족을 하고 그다음에 아니, 공분산 정상성의 세 가지 조건을 만족을 하고 약한 의존성도 만족한다는 것을 수업 시간에 다뤘으니까 직접 해 보시면 될 거 같고요. 그다음에 2번, 이 회귀 모형 회귀계수의 OLS 추정량이 일치 추정량이 되기 위해 공급 충격 et가 만족해야 할 최소한의 조건은 무엇인가. 그래서 2번이 중요한데 제가 예전에 학교에서 시기열 수업을 들었을 때 과제인가 시험문제에 이런 게 나온 적이 있었어요. 화이트 노이즈와, 그러니까 어떤 오차항의 화이트 노이즈라는 것과 그다음에 i.i.d 조건을 만족한다는 게 뭐가 다르냐. 그런데 이 문제는 그것과 관련된 걸 물어보는 건데요. 생각해 보면 여기서 et는 지금 평균이 0인 i.i.d 확률변수라고 했죠. et는 지금 평균이 0인 i.i.d 확률변수예요. 그런데 이 2번이 함의하는 건 뭐냐 하면 i.i.d 조건 말고 더 많은 조건, 뭔가 추가적인 조건이 성립을 해야지 추가적인 조건이 성립을 해야지 이 γ₁과 γ₂의 OLS 추정량이 일치 추정량이 된다는 걸 함의하고 있죠. 그러면 그 조건이 뭐냐고 했을 때 이건 화이트 노이즈와 그다음에 우리가 말하는 i.i.d 조건이 뭐가 다르냐. 화이트 노이즈가 보다 strict하게, 보다 강한 조건이라는 걸 함의하는 것이라고 할 수 있겠는데요. 얘는 i.i.d라는 건 vt가 다른 기의 vt-1, vt-2. 그다음에 여기에서 마찬가지로 et가, 이제 vt가 아니라 et가 i.i.d라는 건 et가 et-1, et-2, 그다음에 et+1, 이런 친구들과 독립이라는 의미입니다. 그런데 이 i.i.d 조건은 뭘 의미하지는 않냐 하면 이 et라는 게 이 설명변수들과 독립일 것을 이 자체로 함의하고 있지는 않아요. 그러니까 이 말은 무슨 말이냐 하면 우리가 OLS 추정량의 classical Assumption을 생각해 봤을 때 랜덤 샘플링 조건이 자연스럽게 평균 독립성 조건을 함의하지 않잖아요. 2번 조건이랑 4번 조건은 다른 조건이잖아요. 그래서 이 i.i.d 조건은 그 2번 조건을 의미할 뿐이고 추가적으로 화이트 노이즈가 돼서 et가 설명변수들과 독립임을 보여서 독립이라는 것까지 성립이 됐을 때 비로소 et는 화이트 노이즈가 되는 겁니다. 그 점을 이해를, 화이트 노이즈가 보다 강한 조건이고 화이트 노이즈는 기본적으로 얘네가 설명변수와도 독립인 진짜 순수한 충격일 것을 요구를 하고 있는 것이죠. 그래서 결과적으로 이것도 마찬가지로 이게 일치 추정량이 되기 위해서 et가 만족해야 할 최소한의 조건은 뭐냐 하면 이제 이런 거예요. 이 unemployment를 그냥 우리가 xt라고 할게요. Covariance of xt랑 그다음에 vt가 0이 되어야 합니다, 그렇죠? 이게 기본적으로 일치 추정량이 되기 위해서 만족을 해야 할 contemporaneous exogeneity 조건이니까요. 그러면 생각을 해 보면 Covariance of xt랑 vt가 et-(1-x)et-1)=0이 되어야 한다는 이것입니다. 그러면 이제 이것은 cov(xt,et) 마이너스. cov(xt.et-1), 이게 이제 0이 되어야 한다는 말이죠. 그러면 얘도 0이 되고 그다음에 얘도 0이 되어야 한다는 말입니다. 그다음에 추가적으로 cov(xt-1,vt)도 0이어야 하죠. 왜냐하면 이 친구와 이 친구도 독립이어야 하니까. 그러면 이 친구에서도 추가적으로 조건이 하나 더 나오게 됩니다. 얘도 0이고 얘도 0이고 그다음에 여기서는 무슨 조건이 나오냐. cov(tx-1, et-2)=0이다. 이 조건이 추가적으로 하나 더 나오게 돼요. 직접 이런 식으로 풀어서 봐 보면. 그러면 이제 얘가 만족해야 할 최소한의 조건은 어떻게 되냐? 이렇게 세 가지가 된다고 할 수 있겠죠. 이게 0이 되고, 그러니까 공급 충격이라는 게 현재의 인플레이션율과 서로 간 Covariance가 0여야 하고 그리고 과거의 공급 충격이 현재의 unemployment와 관계가 없어야 하고 그다음에 이것도, 이 조건은 사실상 이 조건이랑 똑같기 때문에. 똑같죠? 여기서 t 하나만 넣으면 되니까 이 조건도 필요가 없겠네요. 그러면 결과적으로 이 조건과 이 조건, 두 가지가 만족이 되면 이 회귀 모형 계수의 OLS 추정량이 일치 추정량이 될 수가 있겠습니다. 공분산 정상 조건은 미리 앞에서 만족한다고 했으니까요. 문제2의 조건이 만족되어 OLS 추정량이 각 계수에 대한 일치 추정량이 된다고 할 때 실업률이 인플레이션 변화에 미치는 장기 충격에 대한 일치 추정량을 어떻게 구할 수 있을까라고 했을 때 먼저 장기 충격이 뭐라고 정의를 했을 때 모형이 전제하고 있는 건 뭐냐 하면 이 기 전의 실업률은 현재의 인플레이션율 변화에 영향을 미치지 않는다는 거죠. γ₂는 0라고 가정한다고 했을 때 장기 충격이라는 건 γ₁더하기 그다음에 γ₂가 되겠습니다. 그러면 얘의 일치 추정량은 뭐가 되냐. 당연히 γ₁햇 더하기 γ₂의 햇이라고 할 수 있겠죠. 얘네는 각각 γ₁과 γ₂에 대한 일치 추정량이고요. 일치 추정량의 이 합이 결과적으로 이 친구에 대한 일치 추정이 된다. 이런 건 우리 앞에서 여러 번 했으니까요. 이런 식으로 나타낼 수 있겠고요. 그러면 이런 식이 2의 조건이 충족되어 얘가 일치 추정량이라고 했을 때 얘의 표준오차를 어떻게 구할 수 있겠냐. se(γ₁+γ₂). 이 친구의 Standard Error를 어떻게 구할 수 있겠느냐는 걸 물어보고 있는데 이건 두 가지 요소를 고려해줘야 합니다. 이걸 풀 때 하나 헷갈릴 수 있는 부분이 뭐냐 하면 이 vt 있잖아요. 얘는 지금 MA(1) 과정을 따르는데 MA(1) 과정에서도 뭘 허용을 하냐 하면 이 오차항의 자기상관 있는 걸 허용을 해요, 그렇죠. 이 친구가 0이 아닌 아신 얘는 자기상관이 존재합니다. 그렇기 때문에 우리가 일반적으로 사용하는 표준오차를 사용을 했을 때 통상적인 OLS 추정량의 표준오차를 사용했을 때 그 값은 틀려요. 그렇기 때문에 자기상관을 고려를 해줘서 이런 식의 구조의 자기상관을 무조건 고려를 해서 Standard Error를 구해야 하고요, 그게 1번입니다. 그러니까 일종의 HAC Standard Error를 사용해야 하고요. 두 번째, 그다음에 이 친구 값은 어떻게 구하냐고 했을 때 var(γ₁+ γ₂)=var(γ₁햇)+var (γ₂햇)+2cov(γ₁햇,γ₂햇). 이 사실을 이용해서 여기에 루트를 씌우면을 결과적으로 표준오차가 되겠죠. 그런데 이 과정에서 HAC variance를 이용해서 이 과정을 해야 하고요. 그다음에 그러면 이 친구는 어떻게 구하냐고 했을 때 이 HAC 과정을 이용하면, Newey-West 방법을 이용하면 이거 이 Covariance에 대한 robust한 추정치 역시도 구해줍니다. 그래서 1번은 이걸 고려하고 답을 정확하게 쓰려면 1번, 얘를 고려하고 2번은 이러한 관계를 이용해서 Standard Error를 구하면 된다는 점을 서술해주시면 되겠습니다. 이제 비정상 시계열 관련된 문제를 풀어보도록 할게요. 문제는 지금 세 가지를 가지고 왔는데 대체적으로 문제는 다 비슷합니다. 비정상 시계열에서 주로 시험에 많이 나오는 부분은 뭐냐 하면 DF-test예요, Dickey-Fuller Test. 왜냐하면 이제 가장 어느 정도 학부 수준에서 학부 수준의 시계열에서, 서울대 시계열은 어렵기 때문에 그걸 제외하고 하는 정도의 수준의 시계열 문제에서 가장 많이 등장하는 것은 difference stationarity, 다른 말로 수업 시간에 다룬 highly persistent nonstationarity process, 그 친구. 그러니까 랜덤워크 모형과 같은 그런 모형, I1 모형이죠. 그런 모형을 상정을 하고 그런 과정을 따르는 x와 y를 상정하고 거기에서 등장하는 spurious Regression 문제. 이거에 대해서 중점적으로 다루고 이제 특히 문제에서 많이 나오는 게 x나 y가 그러면 비정상 시계열인지 아닌지. 특히나 highly persistent time series인지 아닌지를 어떻게 탐지할 것이냐, 그 과정에서 우리가 unit root, unit root의 탐지를 위해서 사용되는 가장 기본적인 테스트가 Dickey-Fuller Test. 혹은 이제 이걸 변형한 ADF test라고 했죠. 그래서 이것과 관련한 문제가 주로 출제가 되기 때문에 이 과정에 대해서는 이제 철저하게 이해를 하고 계셔야 하는데 이걸 이해를 하기 위해서 함께 문제를 풀어보도록 하겠습니다. 첫 번째 문제는 다음과 같은 비정상 확률과정을 상정한대요. 이렇게 되는데 여기서 yt가 비정상 확률과정임을 보여라라고 돼 있습니다, yt가. 그런데 이건 우리가 비정상 확률과정의 대표적인, 그 타입으로는 2개가 있다고 했죠. trend stationarity와 그다음에 difference stationarity가 있다고 했습니다. 그런데 얘는 이제 이 두 가지에 다 해당할 수 있겠는데요. 이걸 좀 파악하는 게 중요해요, 보통 이런 식의 문제가 나오면. 얘가 trend stationarity라는 건 명확합니다. 여기는 이 친구가 들어가 있잖아요. 그렇기 때문에 이 친구 해당하기 때문에 일단 비정상 확률과정이라는 건 알 수가 있어요, 알 수가 있죠. 그런데 또 문제가 되는 건 뭐냐 하면 뒤에서 보면 이 친구 ρ라는 게 얘가 1이 되면 어떻게 되냐 하면 얘가 difference stationarity에도 해당이 되게 됩니다. 뒤에 가서 수식으로 보여줄 텐데요. 그래서 이제 얘가 비정상 확률과정을 이 자체적으로 보이려면 이 친구, 이 친구의 존재 때문에 뭐임을 보이면 되냐 하면 yt라는 게 어떻게 되냐? 더 이상 상수값이 아니라는 거죠. 왜냐하면 이 친구에 의해서 영향을 받으니까. 뭐 얘가 id, id라서 다 0이라고 하더라도 얘는 yt라는 게 0+1t가 되니까 얘는 이제 더 이상 특정한 상수가 되지 않는다라는 거. 그래서 우리가 stationarity의 1번 조건을 만족하지 않기 때문에 비정상 확률과정이라는 식으로 보일 수도 있는데요. 이제 이게 1번 원인이죠. 2번 원인으로는 difference stationarity가 존재할 수도 있는데 그걸 보이기 위해 이런 식으로 식을 변형할 수가 있습니다. 이제 이 친구를 식을 변형할 수 있는데 3번은 뭐냐 하면 앞에 이 모형을 이런 식으로 변형을 시키래요. 그런데 이건 그렇게 어렵지 않은 게 이 친구 있죠. ut가 어떻게 표현이 되냐 하면 β0 플러스... β0가 아니죠, γ죠. yt=γ0+γ₁t 그다음에 플러스 뭐가 되냐 하면 ρut-1+εt. 이런 식으로 표현이 됩니다. 그러면 이걸 양변에 yt마이너스를 빼줄게요. 그러면 yt는 플러스, u죠, u. 여기서 이렇게 하면 안 되고. 그러면 이제 이 u라는 걸 어떻게 변형을 하냐 하면 ut-1이라는 건 어떻게 되죠? yt-1은, 아까 이 앞서 식을 변형하면. γ0+γ₁t+ut-1, 이렇게 되죠, 그렇죠? 이런 식으로 한 기 전을 설명해 주면. 그러면 ut-1은 어떻게 변형이 되냐 하면 γ0+ γ₁t+ q(yt-1-γ0-γ₁t)+ε. 이런 식으로 변형이 됩니다. 그래서 이제 이 과정을 왜 만들 거냐 하면 이 친구, 이 모양을 어떻게든 만들어내고 그다음에 이 ut-1이라는 애를 어떻게든 제거를 하고 여기에 εt란 남기기 위해서 그런 거예요. 그러면 이렇게 되기 때문에 전체적으로 형태를 좀 정리를 하면 yt=γ0-ργ0, 여기 있는 애를 가져온 거죠. 더하기 그다음에 γ1-ργ₁, 그다음에 여기는 지금 t가 아니라 t-1이 되겠죠? t-1, t-1, 그래서 여기서 t를 남겨두고 그다음에 여기 뒤에 항 하나가 더 남겠죠. 그다음에 이 t-1 때문에 나오는 항 하나가 남겠죠. 그다음에 뭐가 남냐 하면 ρyt-1+εt 이런 식으로 남을 겁니다. 그래서 양변에 yt만, 이게 y예요, y. yt-1. 양변에 yt-1을 다 빼주면 어떻게 되냐 하면 yt, 이렇게 되고 그다음에 여기 이렇게 t. 이 친구 하나 남고 그다음에 이 친구 하나 남고 그다음에 -1yt-1+εt, 이렇게 되죠. 그래서 결과적으로 우리의 관심사인 이 β₂ 있잖아요. β₂라는 결과적으로 ρ-1이 됩니다, 그렇죠? 이렇게 되는 거죠. 그래서 이제 생각을 해 보면 이걸 굳이 이런 식으로 설명한 이유는 뭐냐 하면 만약 이 β₂가 0이라고 해볼게요. 그러면 어떻게 되냐 하면 얘가 사라진다고 하면 yt는 이걸 β0+β₁t+yt+1+εt가 되죠, 그렇죠? 이건 우리가 전형적으로 말하는 무슨 시계열이죠? 바로 highly persistent time series가 됩니다. 전형적인 랜덤워크 모형이고 그다음에 drift 있고 trend까지 있는 모형이라고 할 수 있겠네요. 그래서 다시 앞으로 돌아와서 여기서 이 친구, 이 ρ라는 값이 만약에 뭐가 된다면? 1이 된다면, ρ라는 값이 1이 돼서 그다음에 여기서 β₂가 0이 된다면 어떻게 되냐? 이게 trend stationarity이 process일 뿐만 아니라 추가적으로 highly persistent time series까지 된다라는 점을 보일 수가 있겠습니다. 그래서 이 점을 이해를 하시면 될 거 같고요. 그래서 원래는 이게 보통 yt=ρ0+yt-1+ut, 이런 식으로 표현이 되면 우리가 딱 보고 나서 랜덤워크네, 이렇게 생각할 수 있겠는데 이런 식의 모형으로도 서술이 될 수 있으니까 이것도 얘가 이제 1이라는 조건 하에서 랜덤워크 모형으로 변형이 가능하구나라는 사실을 이해하시면 될 것 같습니다. 이렇게 되고요. 시계열은 원래 이렇게 수식이 많이 나와요, 어쩔 수 없어요. 이건 직관적으로 되는 부분보다는 문제 자체도 보통 이렇게 수식으로 푸는 문제가 많이 나오기 때문에 한은 같은 데서 보통 이런 형식으로 문제가 많이 나옵니다. 그래서 ρ가 1이라고 했을 때 무슨 말이냐? 아까 앞에서 설명했듯이 이런 경우에는 yt라는 건 랜덤워크 모형. 다른 말로는 highly persistent time series, 혹은 다른 말로는 difference stationarity time series이고 그다음에 그 구조는 I1 모형이겠죠. 한 번 차분을 하면 정상 시계열로 변환이 되는 비정상 확률과정이라고 할 수 있겠다고 하는 거고요. 그다음에 또 뭘 물어봤냐. 어떻게 ρ가 1인지, 그러니까 얘가 비정상 시계열인지 아닌지를 어떻게 검정할 수 있겠냐를 서술을 하라고 했습니다. 이거 같은 경우에 뭘 하면 되냐? 바로 아까 말했던 DF-test 혹은 ADF-test를 사용하면 되는 건데요. 그러면 어쩔 때 DF-test를 사용하고 어쩔 때 ADF-test를 사용하냐고 했을 때 두 가지라고 했죠? 만약에 AR(1) 형태의 비정상 시계열이 아닌 좀 더 AR(2)나 AR(3) 이런 애들일 때 ADF-test 사용하고 두 번째로는 이 오차항 있죠? 오차항이라는 게 자기상관이 존재하면 ADF-test를 사용한다고 했죠. 그런데 보면 여기서 일단 이 오차항 εt라는 건 뭐라고 가정을 했냐 하면 i.i.d 조건을 만족한다고 가정을 했습니다. 그 말은 무슨 말이냐 하면 이 오차항이 뭐가 없다? 자기상관이 없다는 거죠. 그렇기 때문에 기본적으로 이 문제 같은 경우에는 DF-test를 통해서 해결을 할 수가 있습니다. 그래서 대립가설, 대립가설이라는 건 어떻게 되냐. 여기서 이 β₁이라는 게 0이라는 게 되고 이게 귀무가설이죠. 귀무가설은 이렇게 되고 대립가설은 β₁이라는 게 0보다 작다, 이렇게 된다고 할 수 있죠. 이건 일반적 우리가 봤던 그런 DF-test의 절차니까요. 그다음에 얘의 검정 통계량은 뭘 사용하냐고 했을 때 이걸 사용한다고 했죠? Standard Error of β₁햇, 그다음에 β₁, 이걸 사용하긴 하는데 이 친구가 우리가 일상적으로 말하는 t분포를 따르지 않고. 왜냐하면 얘가 H0가 참이라고 했을 때 비정상 시계열이잖아요. 비정상 시계열이기 때문에 t분포는 더 이상 작동을 안 하기 때문에 t분포를 따르지 않고 얘는 Dickey-Fuller distribution이라는 특수한 distribution을 따르게 된다. 그다음에 기각 여부를 판단하는 규칙은 이 값이 이제 0이랑 유의하게 차이가 많이 나면, 기각을 하고. H0를 기각하고 그렇지 않으면 H0를 기각하지 못한다, 이렇게 되고 얘를 만약에 기각을 한다, 못 한다, 기각에서. 기각을 한다고 했으면 이 친구는 정상 시계열이다, 이런 식으로 판단... 정상 시계열이 아니라 unit root가 없다. 다른 말로는 difference stationarity process가 아니라고 판단하는 거고 이런 식으로 얘를 기각을 못 하게 된다면 아, 얘는 unit root가 있다. 다른 말로는 비정상 시계열이라고 판단을 하게 되는 것입니다. 그래서 이렇게 이야기를 할 수가 있고요. 그다음에 5번, 얘 귀무가설이 기각이 됐어요. 기각이 됐다는 건 무슨 말이냐 하면 highly persistent time series가 아니다. 이렇게 알게 된 거죠. 그렇게 되면 이 친구의 OLS 추정량은 불편 추정량 혹은 일치 추정량으로 할 수가 있는 거다. 이건 앞에서 했던 문제랑 똑같은데 우리가 정상성에서 했던 문제랑 똑같은데 얘는 일치성은 만족할 수 있으나, 답부터 이야기하면. 불편 추정량은 되지 못 합니다. 왜 불편 추정량이 되지 못 하냐? 여기 지금 yt-1이 있잖아요. 그렇기 때문에 이 친구의 존재 때문에 죽었다 깨어나도 뭘 만족을 못하는 거죠? 바로 strict exogeneity 조건은 만족을 못하는 겁니다. 그건 이제 이렇게 불편 추정량이 안 되는 거고요. 일치 추정량은 될 수도 있어요. 왜냐하면 이 εt가 지금 자기상관 문제가 없다고 했죠. 자기상관 문제가 없다고 했으니까 cov(εt, yt-1)=0이 된다는 조건 하에서 β₂의 일치 추정량이, OLS 추정량이, β₂의 일치 추정량이 될 수도 있습니다. 그래서 그런 식으로 서술해 주시면 될 거 같아요. 그래서 이걸 그렇게 서술하면 안 돼요. 일치 추정량이다라고 서술을 하면 안 되고 이런 조건이 만족하는 한 OLS 추정량은 일치 추정량이 될 수 있다, 이렇게 쓰면 되고 그다음에 불편 추정량은 죽었다 깨어나도 안 된다라고 적어 주시면 될 거 같습니다. 이제 저희는 비정상 시계열 두 번째 문제를 살펴볼 텐데요. 이 문제는 우리가 앞서 살펴봤던 1번 문제와 조금 유사해 보이는데 차이점이 있다는 걸 확인을 하셔야 합니다. yt가 γ0+γ1t+ut라는 식으로 돼 있다는 건 1번과 동일한데요. 그런데 차이점이 있다면 ut라는 거, ut라는 게 아까 1번 문제에서는 AR(1) 과정을 따랐습니다, 그렇죠. 그런데 여기서 ut는 어떻게 정의가 되냐. 이런 식으로 화이트 노이즈의 moving Average로 표현이 된다라는 것이 모형화가 되어 있는 것입니다. 이렇게 화이트 노이즈의 moving Average로 모형화되는 것을 우리는 MA 모형이라고 했고 그리고 여기서 지금 2기 전의 화이트 노이즈까지 현재의 ut에 영향을 준다고 했으니까 이 ut라는 것은 결과적으로 MA(2) 모형을 따른다고 할 수 있겠습니다. 일단 이걸 먼저 생각을 하고 가셔야 하고요. 그리고 이 εt라는 것은 i.i.d이고 평균이 0이고 Σ²이다. 뭐 화이트 노이즈, i.i.d 과정과 화이트 노이즈는 다르다고 말씀드렸는데 어쨌든 i.i.d 조건은 만족하는 확률변수다, 이렇게 생각하실 수 있겠고요. 그리고 이 MA 모형과 AR 모형의 차이점이 있다면 무엇이냐. 우리가 랜덤워크 모형을 설명할 때 이걸 AR(1) 모형에서 도출했었죠. 그런데 MA(p) 모형에 대해서 우리는 일반적으로 MA(q) 모형에 대해서. MA(q) 모형에 대해서 이 친구의 어떤 비정상성이 야기되는 그런 이유, 이런 것에 대해서 살피지 않았습니다. 그러니까 MA(q) 모형은 일반적으로 항상 정상 시계열이 됩니다. 왜 그러냐, 왜 그러냐. 아까 AR(1) 모형 같은 경우에는 계수, 가령 yt=yt-1+εt라는 AR(1) 과정을 따른다고 할 때 이 계수 ρ가 1이 되는 경우에는 랜덤워크 모형을 따르게 되고 또한 AR(2) 모형, AR(3) 모형, 이렇게 차수가 늘어나는 경우에도 이 계수의 특성 방정식이라는 게 특정한 조건을 만족하면 항상 비정상 시계열이 되게 됩니다. 하지만 이 MA(q) 모형은 계수의 값과 상관없이 항상 정상 시계열이 되게 되는데요. 그 이유를 우리가 수업 시간에도 한번 살펴봤는데 가령 yt라는 게 εt 플러스, 이런 MA(1) 모형을 따른다고 해볼게요. 그러면 이제 E(yt)=0이 되고 Var(yt)=Σ²+ 그다음에 Σ². 이걸 따르게 되고. cov(yt, yt-1)도 이제 차수가 h라고 할 때 h가 1일 때는 특정한 값을 따르는데 h가 1보다 클 때는 항상 0이 된다고 했었죠. 이렇기 때문에 계수 조건과 상관없이, 계수 자체가 무한대만 아니라면 계수 조건과 상관없이 이 MA(1) 모형은 항상 공분산 정상성을 만족하는 시계열이라고 할 수가 있겠습니다. 그렇기 때문에 생각을 해 보면 이 모형에서도 이 ut라는 건 MA(2) 모형을 따르는데 MA(2) 모형은 이 계수 조건과 상관없이 뭐라고요? 항상 계수 조건과 상관없이 항상 정상 시계열을 따르게 되기 때문에 이 친구, 이 t 요인만 없다면 이 yt는, 이 친구 정상 시계열이죠? 이 친구 정상 시계열이고 얘는 그냥 상수이기 때문에 이 yt라는 친구는 이 친구만 없다면 어떻게 된다? 정상 시계열이 된다고 할 수 있겠습니다. 그런데 앞선 문제에서는 이 친구가 AR(1) 모형을 따랐기 때문에 이 친구가 비정상 시계열이다, 그러면 이 친구도 비정상 시계열이 되게 되면 그런 식으로 생각할 수 있었지만 이 경우는 앞선 문제와 케이스가 다르다는 점을 알 수 있겠고요. 그렇다면 이 yt의 비정상성을 야기하는 요인은 이 친구 하나라고 할 수 있겠습니다. 그렇죠, 이 t라는 요인. 이 t라는 요인 이 친구가 존재함으로 인해서 어떻게 되냐? yt라는 게 상수가 되지 않죠? 이 친구가 0이 되어서 사라진다고 해도 이렇게 남게 되는데 γ0+γ₁t가 되는데 이 친구는 t에 따라서 달라지기 때문에 더 이상 상수가 아니게 되죠. 그렇기 때문에 공분산 정상성의 첫 번째 조건, expectations 조건이 충족되지 않기 때문에 비정상 시계열이라고 할 수 있겠습니다. 그래서 이 친구는 trend stationary process라고 할 수 있겠네요, 그렇죠? 앞서는 difference stationary process, trend stationary process. 2개가 함께 공존하고 있었는데 이 경우에는 이제 difference stationary process 같은 경우에는 성립할 수가 없기 때문에 이 trend stationary process라고 결론을 내릴 수 있겠습니다. 그렇다면 이제 이 친구가 비정상 시계열인지의 여부를 어떻게 검정할 수 있겠느냐. 생각을 해 보면 이 친구, γ₁이라는 친구가 0인지 아니면 0이 아닌지가 중요하게 되겠습니다. 이게 무슨 말이냐, H0가 0이라는 건 trend가 없다는 거죠. trend가 없고 이 친구가 0이 되어서 사라진다면 얘는 γ0+ut인데 ut는 이제 정상 시계열이고 얘는 그냥 상수이기 때문에 이 친구는 그냥 정상 시계열이 되게 되는 것입니다. 그래서 이걸 검정을 해야 하는 겁니다. 그렇죠? 이걸 검정해야 하는데 문제가 되는 것은 무엇이냐. 이렇게 단일회귀계수에 대한 검정은 뭘 이용을 한다? t-test를 이용합니다. 그러면 그냥 답에 이렇게 적으면 되나? t-test를 이용해서 γ₁이 0인지 아닌지를 검정하면 된다라고 하면 문제가 됩니다. 첫 번째, 대립가설과 검정 통계량, 이것까지는 대립가설은 이렇게 되고 그다음에 검정 통계량은 t통계량을 사용한다, 여기까지 적어주시면 되는데 그런데 중요한 건 뭐냐 하면 이걸 그냥 t-test를 사용하면 안 되는 것이 ut라는 거, 이 ut가 어떻게 되냐 하면 MA(2) 모형인데 이 MA(2) 모형은 뭐가 있죠? 자기상관 문제가 있습니다. 왜냐하면 말했다시피 cov(ut, ut-1)도 0이 아니고 그다음에 얘는 MA(2) 모형이기 때문에 계산해 보면 cov(ut, ut-2)도 0이 아니게 됩니다. 이렇게 되기 때문에 이런 자기상관 요소를 고려한 Standard Error를 구해서 그걸 이용해서 t-test를 진행해줘야 한다는 것입니다. 그런 경우에 우리가 사용하는 것은 HAC Standard Error인데요. HAC Standard Error에서 중요한 것은 truncated parameter. 그러니까 어디까지를 끊을 것이냐, 이걸 결정하는 게 중요한데 그런데 이것 같은 경우에는 어디까지를 끊을 건지가 명확하게 드러나 있습니다. 왜냐하면 얘는 여기까지는 0이 아닌데 이제 시차가 3개 이상 나게 되면 0이 되기 때문에 truncated parameter는 그냥 2로 설정을 하고 끊어주면 되는 것입니다. 그래서 j를 2로 설정한 다음에 HAC Standard Error를 구해서 이걸 분모로 한 t통계량은 이걸 분모로 한 se(γ₁), 그다음에 얘는 HAC이겠죠. Auto Colletion의 robust한 친구를 구해주고 그다음에 γ₁. 이 친구를 이용해서 검정을 하면 되겠습니다. 그래서 이 문제는 겉으로는 되게 어려워 보이는데 그냥 t-test 하라는 문제예요. 하지만 이거, 이 요소를 고려를 해서 설명을 해주는 것이 중요하다. 이것이 이제 자기상관이 있다라는 것을 서술을 해주는 게 중요하다고 할 수 있겠습니다. 이제 세 번째 문제인데요. 이것은 ADF 검정의 어떤 아이디어를 물어보는 그런 문제라고 할 수 있겠습니다. 그래서 첫 번째 문제는 그냥 DF 검정에 대한 이야기였고 두 번째는 오차항이 MA 모형이어서 trend term만 없다면 정상 시계열이 되는 모형에서 trend term을 제거할 수 있는가, 없는가. 이거에 대해서 t검정을 사용하는 문제였고요. 세 번째 같은 경우에는 어떤 경우냐. 이제 yt가 이런 식의 확률과정을 따른다라고 돼 있고요. 그다음에 y0=0이고 그다음에 expectations of ut. 이 친구의 기대값은 0이고 그다음에 이 친구는 Σ²이라는 동분산을 따르고요. 그다음에 자기상관도 없다는 것입니다. 이제 이 정도 되면 이 정도 이야기만 보고도 얘는 동분산이구나, 얘는 자기상관이 없구나, 이 정도는 캐치를 할 수 있으셔야 할 것 같습니다, 이렇게 되고요. 그다음에 뭘 구하라고 했냐. α=1일 때 확률과정 yt의 기대값과 분산을 구하고 결과를 해석하라라고 돼 있습니다. 이게 α가 1이라고 하면 yt=yt-1+ut 이런 식의 형태로 나타내어줄 수가 있고 이건 전형적인 랜덤워크 모형이라고 할 수 있겠죠. 랜덤워크 모형의 기대값과 분산은 우리는 이제 앞서 구한 바가 있었습니다. 기대값은 yt는 0이 된다고 이야기를 했었고요. 이제 여기서 y0가 0이기 때문에 0이 된다고 이야기했었고. var(yt)라는 것은 어떻게 된다고 했었냐. 이제 이 친구를 우리가 iterative process를 이용해서 어떤 식으로 나타낼 수 있었냐, 이걸 yt라는 것을 u0+u1 더하기 이렇게 해서 ut까지다, 이런 식으로 우리가 나타낼 수 있었다는 것을 수업 시간에 했었습니다. 그렇게 되면 얘 이제 variance를 구하면 얘네가 다 화이트 노이즈라고 하더라도 총 t개의, 1부터 시작하죠? 1부터 시작해서 이렇게 되기 때문에 tσ²이라는 형태로 분산이 나타내어진다라는 것도 수업 시간에 했었죠. 그러면 이건 무슨 말이냐. 이 분산이라는 것이 더 이상 yt의 분산이라는 것이 더 이상 동분산이 아니고 시간 t에 의존을 한다. 이걸 다른 말로 이야기하면 시간이 현재로부터 멀어지면 멀어질수록, t가 커지면 커질수록 어떻게 된다? 분산이 한없이 커진다, 이렇게 되는 것입니다. 그래서 lim, t가 무한대로 갔을 때 tσ²이라는 것은 무한대가 되죠. 그렇기 때문에 시간이 현재로부터 많이 떨어지면 떨어질수록 어떻게 된다? 분산은 한없이 커진다는 것을 의미를 한다고 할 수 있겠습니다. 그래서 랜덤워크 모형이라는 걸 다시 다뤄보면 이렇게 된다고 했죠? y0가 0이니까 0부터 시작을 해요. 그래서 이 process, 동일한 이 process에서 확률과정에서 데이터가 generating 된다고 했을 때 어떤 경우에는 이렇게 가게 되고. 일종의 positive trend가 있는 것처럼 보이죠. 그런데 어떤 경우에는 이제 반대로 이렇게 간다는 거죠. 이렇게 간다는 거고 또 어떤 경우에는 이렇게 간다는 겁니다. 이렇게 되기 때문에 그런데 이제 특성은 뭐냐 하면 처음에는 진폭이 이렇게 폭이 작았다가 점차 이렇게 분산이 커진다는 것을 알 수 있겠습니다. 이것이 분산이, t가 커짐에 따라서 분산이 무한대로 발산한다는 의미입니다. 그래서 여기서 함의는 뭐냐 하면 우리가 이 지점에 있어요. 이 지점에 있으면서 한 100개 이후에 이 yt 값이 무슨 값이냐라고 예측을 한다고 했을 때 그 예측의 정확도가 한없이 떨어진다는 이야기입니다. 이게 가까우면, 이제 가까운 지점에 있다고 했을 때는 0과 비슷한 값을 가질 것이라고 예측할 수 있는데 멀어지면 멀어질수록 어쩔 때는 여기 가 있고 어쩔 때는 여기 가 있죠, 값이? 그다음에 어쩔 때는 여기 가 있고, 그러다 어쩔 때는 여기 가 있거나 여기 가 있거나 이렇게 어느 점에 가 있을지 예측이 안 된다는 거예요. 그래서 랜덤워크 모형은 이제 술에 취한 사람이 이렇게 뭐 서울대 입구에서 걸어가기 시작했는데 이 사람이 정처 없이 걸을 때 어쩔 때는 신도림에 가 있고 어쩔 때는 이제 뭐 강남역에 가 있고 이렇게 예측이 안 되는 그런 상황을 의미를 한다고 할 수 있겠습니다. 이게 랜덤워크의 함의라고 우리가 이야기했었죠. 그다음에 위의 모형에서 단위근이 존재하는지의 여부를 검정하기 위해 사용되는 Dickey-Fuller 검정에 대해서 설명하라. 만약 시계열 변수 yt에 단위근이 존재한다면 이 사실의 경제학적 함의는 무엇인가? 이제 DF 검정에 대해서는 앞선 문제에서 설명했으니까 이건 생략을 하고 그러면 만약 시계열 변수 yt에 단위근이 존재를 한다. 그러니까 이 α가 실제로 1이다라는 게 이제 표본을 통해서 우리가 밝혀냈다고 해볼게요. 그러면 이건 무슨 말이냐? 이 친구가. yt는, yt의 단위근이 존재한다는 것은 yt는 랜덤워크 모형을 따른다와 동일한 말이라고 했었죠, 모델을 따른다. 이제 이 문제는 그런데 뭘 물어봤냐 하면 이 사실의 경제학적 함의를 물어봤어요. 그런데 제가 수업 시간에 언급을 했다시피 수많은 경제변수들은 이 랜덤워크 모형을 따르고 있습니다. 따른다는 게 밝혀져 있어요. 특히나 많이 사람들이 관심을 가졌던 것은 주가 지수를 예측할 수 있는가, 없는가라는 게 관심을 많이 가졌는데 많은 학자들, 특히 합리적 기대 모형에 근거한 이론을 전개한 학자들은 이 주가지수라는 것도 기본적으로 랜덤워크 모형을 따른다고 이야기를 하고 있습니다, 그 말은 무슨 말이냐. 이제 제가 앞서 했던 말을 생각을 해 보면 이해가 좀 더 빠를 텐데요. 이제 이게 두 가지를 함의를 합니다. 첫 번째, 두 번째. 첫 번째, 미래의 가격을, 주가지수라고 했을 때 주가지수가 랜덤워크를 따른다고 했을 때 미래의 가격의 최선의 추정치는 현재 가격이다. 왜냐하면 우리가 y0가 0이었는데 t가 아무리 커진다고 해도 expectations of yt는 0이었죠? 그렇기 때문에 현재 가격에서 기대값 자체는 변하지 않는다는 겁니다. 그래서 우리가 일반적으로 기대값을 예측치로 사용을 한다면 현재 가격을 기준으로 랜덤워크 모형을 따라서 변동한다고 할 때 이 지점의 예측치는 현재 가격에 이미 그러니까 정보들은 다 반영이 돼 있다는 거예요. 그러니까 현재 가격 외에 우리가 미래 가격이 어떻게 흐를지에 대해서 판단할 수 있는 근거가 없다는 겁니다. 두 번째는 뭐냐 하면 현재로부터 멀어질수록 예측의 정확도는 떨어진다. 이건 제가 앞서 말씀을 드렸죠. 분산이 커지기 때문에 현재로부터 가까운 시기는 현재 가격과 비슷한 지점에 미래 가격이 위치를 할 것이라는 걸 알 수 있지만 현재로부터 거리가 멀어지면 멀어질수록 기대값은 현재 가격인데 이 기대값으로부터 얼마나 떨어져 있을지는 우리가 예측이 안 된다는 거죠. 실제 값이 기대 값 0으로부터 얼마나 떨어져 있을지는 우리는 정확도가, 예측의 정확도가 한없이 떨어지기 때문에 그런 면에서 이런 의미로, 2번과 같은 말로 서술할 수 있겠습니다. 그래서 이렇게 두 가지 의미를 이 경제학적으로 이야기를 해볼 수 있을 거 같아요. 그래서 경제변수가 랜덤워크 모형을 따른다, 그러니까 비정상 시계열이라고 하는 것은 예측에 대해서 매우 어려움이 있을 것이라는 걸 함의를 하게 되는 겁니다. 그런 식의 이야기를 서술하시면 될 거 같고요. 이제 이건 ADF 검정의 아이디어를 설명하는 문제라고 할 수 있겠습니다. 그러면 수업 시간에 DF 검정의 한계 두 가지를 설명드렸어요. DF 검정은 한계는 뭐냐. 1번, 이 ut 있죠, ut. ut가 자기상관이 없을 것을 요한다. DF 검정의, test의 문제점. 두 번째는 이제 AR(1) 형태의 이런 모형에 대해서만 단위근의 존재 여부를 검정을 할 수가 있다, 이렇게 두 가지 문제점이 있었는데 이 두 가지 문제점을 해결할 수 있는 방식으로 ADF-test가 있다고 이야기를 했었습니다. 그래서 이 문제 같은 경우에는 앞서와 수정된 이야기가 뭐냐 하면 앞에서는 이 ut라는 게 전형적인 i.i.d 화이트 노이즈라고 전제를 했었어요. 화이트 노이즈까지는 아니고 이거 사이가 관련이 없다는 말은 없어서 화이트 노이즈는 아니고 이제 어떤 걸 전제를 했냐 하면 이 ut라는 건 이런 식으로 자기상관 문제가 없다는 것을 전제로 하였습니다, 그렇죠? 그런데 이제 여기서는 어떤 식으로 수정을 가했냐 하면 ut라는 게 AR(1) 모형을 따른다고 전제가 되어 있습니다. AR(1) 모형의 자기상관이 있다. 이런 식으로 모형을 변형을 했어요. 이제 이 ut라는 것도 shock인데, shock도 이제 y에 영향을 주는 외부 shock인데 이 shock라는 것도 의존성을 가질 수 있기 때문에 전 기의 shock와 현재의 shock가 어떤 의존성을 가질 수 있기 때문에 이런 모형이 조금 더 현실적인 모형이라고 할 수가 있겠습니다. 그렇기 때문에 이렇게 자기상관이 있는 오차항을 가정을 했기 때문에 이제 더 이상 DF 검정을 사용할 수가 없어요. 왜냐하면 이 DF-test라는 건 ut에 자기상관이 없을 것을 요하기 때문에. 그러니까 이게 자기상관이 있으면 어떻게 되냐 하면 우리가 뭘 이용했냐 하면 α-1, α-1, 이 친구 있죠, 이 친구? 이걸 우리가 감마라고 보통 이야기를 하는데 이 친구가 DF distribution이라는 특수한 형태의 distribution을 asymtotic하게 따른다라는 전제 하에서 테스트를 진행할 수 있었잖아요. 그런데 문제가 뭐냐 하면 이 친구의 자기상관이 존재해버리면 이 친구가 더 이상 DF distribution을 따르지 않습니다. 그래서 우리가 앞서 많은 테스트를 진행하면서 이야기했듯이 이 검정 통계량이라는 것이 수학적으로 특정 분포를 따른다는 것이 증명이 되느냐, 안 되느냐. 이게 이제 우리가 이 테스트를 정당화하는 데 있어서 가장 중요한 근거라고 이야기했었잖아요. 그런데 따르지 않기 때문에 DF-test도 더 이상 유효하지 않게 되는 겁니다. 그래서 이 경우에 사용할 수 없다, 이렇게 이야기할 수 있겠고요. 그런데 이거, 이 문제를 해결하기 위해서 어떤 걸 사용하냐. 이런 식으로 ADF 검정을 사용합니다. ADF 검정은 아이디어가 간단해요, 그러니까 형태 자체는 간단해요. 이제 우리가 기본적인 DF 검정의 형태가 yt= γ₁yt-1+εt. 이렇게 해서 이 γ₁이 H0:γ₁이 0이냐 아니냐, 이걸 검정을 하는 것이고. γ₁분의 se(γ₁)이라는 게 Dickey-Fuller distribution을 따른다는 점을 이용을 하는 테스트인데 그런데 여기에 어떤 항을 집어넣었냐 하면 이 항을 집어넣었습니다. 집어넣었고 그다음에 여기서 중요한 관찰을 하셔야 할 부분이 뭐 있냐 하면 여기가 지금 εt로 바뀌어 있어요. 그러니까 여기 지금 εt가 있죠. 그러니까 얘는 더 이상 ut가 아니라 εt로 바뀌어 있는 겁니다. ut가 아니라 여기 εt로 바뀌어 있어요. 그러면 이 εt라는 건 어떻게 되냐. 화이트 노이즈라고, 그러니까 이건 AR(1) 모형의, 오차항의 AR(1) 모형에 shock라고 할 수 있겠는데 이 친구는 기본적으로 화이트 노이즈를 따른다고 우리가 전제를 했었죠. 그러면 이제 얘는 자기상관 문제가 없다고 여기서 전제를 했었습니다. 자기상관 문제가 없다고 전제했기 때문에 이 친구의 테스트, 이 γ₁에 대한 테스트는 다시 DF-test를 이용해서 진행을 할 수 있게 되는 것이죠. 그러면 왜 이렇게 되느냐, 수업 시간에는 그 설명을 하지 않고 넘어갔는데 이걸 수학적으로 간단하게 보일 수가 있습니다. 보면 이제 생각을 해보면 여기부터 시작을 할게요, 여기부터. yt는 여기서 이렇게 yt-1을 양변에 빼주면 (α-1)yt-1+ut. 이렇게 되겠습니다. 그러면 얘는 yt는 γyt-1+ut, 이런 식으로 형태가 변형이 되는 것이고요. 그런데 우리가 지금 원하는 것은 무엇이냐. 이 ut라는 것을 εt로 바꿔주는 것을 원하는데요. 그런데 이 ut라는 것은 어떻게 나타낼 수 있냐? ρut-1+εt, 이렇게 나타내어질 수 있겠습니다. 그러면 이제 우리는 이 친구를 집어넣음으로써 어떻게 이 부분을 통제할 수 있는지 이걸 보이려고 하는데요. 이 부분이, 그러니까 무슨 말이냐 하면 얘가 εt라고 나타내줄 수 있다는 건 뭐냐 하면 이 ut에 있는 이 부분 있죠, 이 부분. 이 부분이 뭐냐 하면 자기상관 문제를 야기하는 부분이에요. 이 부분이 이 항을 집어넣음으로써 오차항에서 사라진다. 그러니까 일종의 Omitted Variable이, 이 안에 존재했던 Omitted Variable이 이 yt-1에 포함됨으로써 더 이상 오차항에 존재하지 않게 된다는 점을 보이려고 하는 것입니다. 이거 조금 어려운 아이디어라고 생각될 수도 있는데 이제 식을 쭉 전개를 해보신 다음에 이해를 하시는 게 좀 더 도움이 될 수가 있어요. 그러면 이제 어떻게 되냐. 이 yt-1이라는 친구를 한번 봐볼게요, 이 친구는 어떻게 되냐. γyt-2+ut-1이죠? 그렇죠? 이렇게 됩니다. 그다음에 우리는 뭐 할 거냐 하면 여기에 ρ를 곱해볼게요. ρ를 이렇게 곱해볼게요. 이렇게 곱해봅니다. 그러면 이제 이렇게 되고 그다음에 양변에 마이너스를 곱해볼게요. yt-1=-ργyt-2-ρut-1, 이렇게 됩니다. 그러면 무슨 말이 되냐, 무슨 말이냐. 이제 이 ut 안에는 뭐가 들어 있냐 하면 ut 안에는, 여기죠? 이 ut, ut 안에는 뭐가 들어 있냐 하면 ρut-1+εt가 이렇게 들어 있었습니다. 여기는 마이너스 곱하지 않았고 그냥 플러스로 봐도 되겠네요, 이렇게 되고. 그런데 이 항이 포함된다, 이 항이 여기에 이렇게 포함됨으로 인해서 어떻게 되냐 하면 이 항은 지금 뭘 가지고 있냐 하면 이 친구를 안에 가지고 있죠. ρut-1을 이 안에 가지고 있는 친구입니다, 그렇죠? 이렇게 되는 거예요. 그래서 얘가 이렇게 포함됨으로써 이 ut에 있는, ut에 포함돼 있는 ρut-1이라는 부분이 어떻게 되냐? 얘가 존재함으로 인해서 모형에 포함되게 됩니다. 모형에 포함되게 돼요. 그러면 얘는 더 이상 오차항에서 존재하지 않게 되죠. 그러면 이제 남는 부분은 여기 εt만 남게 되는 것입니다. 그래서 이건 일종의 이 ut에 있어서 자기상관을 야기하는 나쁜 부분을 이 δyt-1의 모형에 포함시킴으로써, 얘는 이 친구를 값 안에 가지고 있으니까 얘를 포함시킴으로써 컨트롤할 수 있다. 이 아이디어에서 ADF-test의 그런 아이디어가 도출이 된 것이라고 할 수 있겠습니다. 그래서 이렇게 되고 포인트는 뭐다? 이 친구는 더 이상 자기상관 문제가 없으니까 se(γ₁)분의 γ₁. 이 친구는 마찬가지로 DF distribution을 따르기 때문에 마찬가지로 우리가 DF 검정에서 사용했던 방식과 마찬가지로 ADF 검정에서 똑같이, 똑같은 검정 절차를 통해서 검정을 할 수 있다라는 것을 알 수 있겠습니다. 그래서 이 항이 포함되었다. 이 항이 포함됨으로써 오차항의 자기상관 문제가 통제되었다라고 하는 점만 빼고는 DF 검정과 ADF 검정의 절차는 동일하다는 점까지 설명을 했었습니다. 이제 여기까지가 비정상 시계열에 대한 문제고요. 물론 뭐 더 많은 문제들이 있을 수 있어요. 공적분이나 이런 것에 대한 문제들이 있을 수 있는데 가장 대표적인 문제들은 기본적으로 이렇게 DF 검정과 어떤 difference stationary process인지 아닌지, 그러니까 highly persistent process인지 아닌지 검정을 하라는 문제는 무슨 시험에서든 무조건 한 문제씩은 등장하기 때문에 적어도 이 문제에 대해서는 완벽하게 숙달하실 필요가 있다는 점을 언급하고 넘어가려고 합니다.