오리엔테이션

안녕하세요. 5일만에 끝내는 복소함수 저자 김경율입니다. 그 5일만에 끝내는 복소함수라는 제목으로 제가 책을 냈는데요. 복소함수가 마음만 먹으면 5일만에 끝낼 수 있는 그런 과목이거든요. 복소함수가 이렇게 쉬운 과목이라는 것을 잘 아직은 많이 알려진 것 같지가 않아요. 그래서 제가 이 강의를 통해서 복소함수라는 과목이 얼마나 쉽게 끝낼 수 있는 과목인지를 보여드리고 싶어서 이렇게 강의를 찍게 됐습니다. 이 과목명에 관해서 이 5일만에 끝내는 복소함수가 그래서 어떤 과목에 대한 강의냐 라고 하는 건데요. 부르는 이름은 다양합니다. 복소해석이라고 부르기도 하고요. 거기에 학자를 붙여서 더 거창하게 복소해석학이라고 하기도 하고요. 그 다음 뭐 복소함수 이렇게 얘기를 하는 거 복소함수론 또 누구는 그 사이에 변수를 집어넣어서 복소변수함수론 이렇게 부르기도 합니다. 이름은 다양해요. 복소해석학, 복소변수함수론 이름은 다양한데요. 중요한 것보다 우리 키워드는 복소입니다. 복소 들어가면 다 똑같아요. 복소자 들어갔다 하면 다 이거예요. 이름이 해석이 됐든 변수가 됐든 함수가 됐든 뭐가 됐든 복소자가 들어갔다 이 과목입니다. 그래서 복소함수 가지고 뭐하는 과목이구나 그렇게 해서 찾으면 다 됩니다. 제목은 복소함수라고 했는데요. 복소해석, 복소함수, 복소함수론, 복소해석학, 복소변수 똑같은 그래서 이 과목이 어떤 과목이고 왜 쉽다는 거냐라고 하는 건데요. 과목을 크게 나눠보자면 두 가지인거죠. 계산하는 과목이고 증명하는 과목이죠. 복소자 들어가는 이 과목은요 계산하는 과목이에요. 미적분과 같은 계산과목입니다. 그래서 보시면 얘는요 미적분과 같은 계산지향적인 과목이에요. 우리가 이 과목을 통해서 어떤 능력을 배양을 시킬 것이냐. 과목마다 다 목표가 있을 건데요. 복소함수는요 계산을 하겠다 라는 과목이에요. 이거 가지고 증명하겠다 이런 과목이 절대 아니다 라는 얘기죠. 그래서 증명문제가 나온다? 나올 수 있죠. 증명문제 내면 보면 책에 있는 거 그대로 낸다라는 거죠. 책에 있는 것 말고 응용해서 새로운 형태의 문제를 낸다? 그게 쉽지가 않다는 거예요. 복소수가 행동하는 양상이 묘한 부분이 있기 때문에 그래서 문제를 막 맘대로 낼 수가 없어요. 증명문제를. 그래서 증명문제도 딱 나올 수 있는 것들이 한정되어 있기 때문에 증명을 시험에서 다룬다 하면 어떻게 하면 돼요? 그냥 외우면 돼요. 시험 전날에 암기하면 되고 대정리들의 증명들 외에는 아무것도 별로 없어요. 그래서 결국은 이 과목은 뭐다? 계산이 메인인 과목입니다. 계산하자 라고 하면 계산의 마스터가 된다 가 이제 우리의 목표입니다. 어차피 증명은 뭔데요? 외우면 되니까. 외우면 되니까 증명은 뭐 중요한 거 몇 개 있을 거에요. 중요한 거 몇 개 있는데 그걸 어떻게 한다? 전날에 외우면 된다 라고 하는 거죠. 그렇기 때문에 외우는 건 증명은 다 외우는 걸로 커버하면 되는 거구요. 그럼 이제 문제는 뭐다? 계산인거죠. 계산은 누가 더 얼마나 빨리 잘하냐 인겁니다. 미적분하고 똑같아요. 그래서 저는 복소함수 아 솔직히 복소해석? 말도 안되는 과목명이야. 무슨 복소해석이야. 근데 어느 학교는 막 복소해석학 뭐 복소해석학이에요. 복소해석학은 지금 열심히 계산만 하고 있는데 복소 미적분이라고 해도 솔직히 틀리면 아니에요. 1학년에서 배워도 되는 거거든요. 그래서 더군다나 복소함수와 미분과 적분을 빠르고 정확하게 계산을 하는데요. 그러면 어떻게 하면 빠르고 정확하게 계산을 하느냐 라고 하는 거예요. 그러면 이 복소함수를 우리가 접근하는 그 틀을 잘 알고 있으면 빠르고 정확하게 계산을 할 수가 있는데요. 그래서 제일 중요한 건 뭐냐면 결국 우리가 하는 건 미분하고 적분이에요. 미분하고 적분해서 답내는 게 이 복소함수거든요. 그러면 제가 미적분을 이미 했어요. 어디서? 1학년. 1학년 미적분하면서 이미 실함수의 미분과 적분을 했거든요. 그럼 그거랑 똑같다는 거예요. 그거랑 똑같아요. 다른 게 없어요. 똑같이 하면 된다는 거예요. 그걸 아는 사람은요 아 이것도 미적분 재탕이네 이것도 미적분 재탕이네 다 똑같아요. 별게 없어. 이것도 똑같애 저것도 똑같애 다 똑같애. 그냥 뭐만 바뀌었어? 실수가 복소수로 바뀌었어. 나머지는 다 똑같은거야. 그러면 별게 없거든요. 다 똑같은데 뭐 실수만 맨날 가면서 어 여기 실수 있었네 복소수로, 어 여기 실수 있었네 복소수로. 이거 말고는 하는게 없어. 다 똑같애. 근데 그걸 모르는 사람은 어 막 여기도 이런게 있네 신기하네 막 이렇게 된다. 공부할 양이 엄청나게 많아지는 겁니다. 그래서 포인트는 뭐냐. 우리가 해야 되는 게 계산이구요. 우리가 해야 되는 게 계산이고 미분하고 적분을 해서 다 구하는건데. 미분하고 적분을 해서 다 구하는건데 미분 적분을 다 어디서 했다? 우리가 이미 1학년 미적분학에서 다 했다라고 하는거죠. 미적분학 다 했어요. 그러면 그 미적분을 했다가 똑같이 컨트롤 C 컨트롤 V 하는 그 작업이에요. 지금 하는 게 그걸 알면 어떻게 되나? 똑같은 거예요. 배울 게 없는 거예요. 그런 인사이트를 보실 수 있는 그런 기회가 됐으면 좋겠습니다. 그게 우리의 목표가 되는 거고요. 강의 방식 어떻게 할까요? 당연하죠. 복분 적분 어떻게 하는 거예요? 복 적분에서 어떻게 했어요? 공식이 있다. 그 다음 어떻게 하죠? 그 다음에 계산하는 거 나오죠. 숫자 조금씩 바꿔가면서 문제가 숫자만 바꿔서 한 문제, 예제 하나 있으면 밑에 5일 만에 끝낼 수 있는지 없는지 1장 하는데 1일이면 충분합니다 그래서 제가 이 책을 자료를 만들 때도요 그 정신을 담아서 만들었어요 복소함수라고 하는데요 핵심이 뭐예요 결국? 미적분이에요 복소함수를 가지고 우리가 미적분을 하는 거예요 그러면 복소함수의 미적분을 우리가 하는 그 틀 복소함수의 미적분을 이해하는 그 틀은요 실함수하고 똑같아요 우리가 실함수의 미적분은 했어요 그 틀을 한 번 더 반복한다라고 하는 것을 여러분이 확인하실 수 있으면 복소함수 미적분이 결코 새로운 내용, 결코 없는 그렇게 되는 거고요. 이해하는 순서와 틀은 실함수의 미적분하고 동일합니다. 동일해요. 그럼 이제 우리가 미적분을 어떻게 공부를 했는지 그것부터 좀 생각을 해봅시다. 미적분을 어떻게 공부를 했는지 미적분을 어떻게 공부를 했는지 알면 복소함수로 어떤 순서대로 공부를 하면 되는구나 그게 딱 머릿속에 그려지거든요 사실 우리가 미적분을 공부를 하기 위해서 미적분을 어디서 공부하죠? 고등학교에서 고등학교 2학년, 3학년 거기서 공부를 하잖아요 그런데 우리가 사실 미적분을 공부를 하기 위해서 사실 굉장히 예전부터 준비를 많이 해왔다 많은 사실을 아시는 분은 맞지 않을 거예요 우리가 그 미적분이라고 하는 최종의 목표를 달성하기 위해서 어디서부터 우리가 준비를 했느냐라고 하면 사실은 중학교에서부터 준비를 했어요 사실 미분 적분 미분하고 적분이 있잖아요 미분하고 적분인데 미분하고 적분이라는게 뭐에요? 우리가 X제곱을 미분하면 2X야 이런 얘기를 하고요. 2X를 적분하면 X제곱 플러스 C야 이런 얘기를 하잖아요. 이런 얘기를 하는데요. 미분한다, 적분한다 이런 얘기를 잘 들여다볼 것 같으면 무슨 사실을 알 수 있냐고요. 우리가 미분, 적분을 한다고 했을 때요. 미분과 적분을 할 때 대상이 필요하거든요 그 대상이 뭐에요? 이런거죠 x제곱, ex 이런 애들이 미분과 적분을 하는 대상이에요 그러니까 우리가 미분 적분을 하는 그 대상이 결국 뭐에요? 함수죠 함수 x제곱도 함수구요 ex도 함수에요 우리가 미분 적분을 한다라고 했을 때는요 그 미분 적분의 대상이 함수에요 함수를 가지고 우리가 미분 적분을 하는거에요 우리가 미분적분을 하기 위해서는 일단 뭐가 필요하겠어요? 함수가 필요해요. 그래서 우리가 표면적으로 봤을 때는 고등학교 2학년 3학년에 가서 딱 미적분을 배운다라고 그런 것처럼 보이지만 사실은 미적분을 하기 위해서는 사전작업이 많이 필요해요. 우리가 함수를 알고 있어야 미적분을 할 수 있는 거거든요. 함수를 모르는 상태에서 미적분을 할 수가 없죠. 그래서 중학교, 고등학교 1학년까지, 아니 2학년까지 뭘 공부해요? 함수를 공부하죠. 함수를. 중학교에서 무슨 함수를 공부해요? 1차 함수. 또 2차 함수. 공부를 하죠. 고등학교도 무슨 함수를 공부해요? 유리 함수. 또 무리 함수. 지수 함수. 로그 함수. 삼각 함수. 이런 함수들을 공부를 하죠. 함수를 우리가 많이 알고 있어야 그 함수를 가지고 미적분을 할 수가 있어요. 함수를 모르는데 미적분을 할 수가 없죠. 그러니까 고등학교 2학년까지 미적분을 하기 위해서 여러가지 함수들을 차근차근 공부를 해온거에요 1차함수부터 시작해서 2차함수, 유리함수, 무리함수, 지수함수, 로그함수, 삼각함수 이렇게 해서 어떻게 해요? 모든 함수들의 세트를 완비한 다음에 미적분을 하는거죠 그런 함수들이 다 구비가 되어있어야 우리가 그 함수를 가지고 미분적분을 할 수 있는 거거든요 그래서 결국은 우리가 미적분을 공부한 순서라고 하는 건 결국 뭐예요? 일단 어떻게 해야 돼요? 여러 가지 함수들을 공부해야 돼요 함수들이 준비되어 있어야 미적분을 할 수 있는 거거든요 그래서 여러 가지 함수들을 공부합니다 그 다음 이제 어떻게 해요? 미분하죠 그 다음 또 어떻게 해요? 적분하죠 그래서 고등학교 미적분은 여기서 끝이 나요 고등학교 미적분은 여기서 끝이 나는데 대학 미적분은 여기까지 하고 그 다음은 뭐하죠? 플러스 알파로 하나 더 하죠 곧 플러스 알파가 바로 뭐예요? 함수의 급수표현이죠 우리가 일반수 함수 미적분은 이런 순서대로 했잖아요 그럼 이 순서를 고대로 한 번 또 따라 한 번 더 하는 거예요 그래서 어떻게 되겠죠? 복소수와 복소함수 일단 우리가 하는 환경이 좀 달라졌죠? 우리는 항상 지금까지 미적분은 익숙한 세팅인 실수에서 했어요. 실수에서 하면 마음이 편하죠. 그런데 이제 좀 다른 곳, 불편한 곳으로 갔잖아요. 익숙하지 않은 곳, 처음 본 곳, 낯선 이런 복소수의 세계로 가니까 일단 복소수가 뭔지 그건 알아야 될 거고요. 그래서 일단 워밍업이고요. 여기까지는. 그런데 이제 어떻게 하냐? 복소함수. 복소수에도 여러 가지 함수도 있지 않겠느냐라는 거예요. 복소수에도 여러 가지 함수도 있을 건데 그런 함수들을 우리가 쭉 다 알고 있어야 그 다음에 이제 뭘 할 수 있어요? 미분적분을 할 수가 있는 거죠 복소함수에도 뭐가 있을까? 1차함수가 있겠죠 또 뭐가 있을까? 2차함수가 있겠죠 유리함수가 있겠죠 무리함수가 있겠죠 지수함수가 있을 거고 로그함수가 있을 거고 삼각함수가 있겠죠 그러니까 복소수에서 1차함수는 뭐지? 이차함수는 뭐지? 유리함수는 뭐지? 지수함수는 뭐지? 삼각함수는 뭐지? 이런 것들을 알아야 돼요 그걸 해야 우리가 그 다음에 뭘 할 수 있어요? 미분적분을 할 수가 있겠죠 그래서 복소함수 여기서 어때요? 여러 가지 종류들의 함수를 배웁니다 여러 가지 종류 우리가 지금까지 고등학교에서 배웠던 실함수랑 똑같은 종류의 함수들을 여기 가서 배웁니다 복소수에서의 일차함수 복소수에서의 유리함수, 복소수에서의 지수함수, 삼각함수 이런 것들을 쭉 하는 겁니다. 자 그럼 이제 함수가 다 준비가 됐죠? 함수가 다 준비가 됐으면 이제 뭐하면 돼요? 미분적분 되죠? 미분적분. 그래서 여기는 똑같구요. 이제 그 다음에 뭐해야 돼요? 그렇죠. 우리가 미적분함에서 함수를 급수로 표현을 해봤잖아요. 그 짓을 역시 복소함수에서도 똑같이 해본다 라고 하는 거구요. 복소함수는 급수로 표현하는 것이 중요합니다. 로랑급수라고 하는 이름으로 복소함수를 급수로 표현을 해보겠습니다. 로랑급수라고 할 때 중요한 개념 중에 하나가 유수네요. 그 유수를 가지고 뭐 할 수 있는지 보여주는 걸로 이렇게 구성이 되어 있습니다. 결국은 복소함수라고 해도 가는 건 미적분이야 그럼 우리가 미적분을 했다 그 순서를 그대로 따라가면 된다 그 틀이 그대로 유지되고 있고 그 틀로 우리가 복소함수를 미적분을 이해하면 된다 자 그러면 이정도로 해서 오리엔테이션을 마치는걸로 하고요 이제 본격적으로 1장부터 해서 복소수와 복소함수 공부를 시작을 해보도록 하겠습니다