1. 선형방정식과 해

강의 대본

안녕하세요 여러분 박재호 선생님입니다 자 이제 우리는 선형대수 시간을 맞이하게 됐습니다 자 선형대수 아주 중요한 파트구요 심지어는 어떤 학생들은 더쌤만 잘하면 선형대수 잘한다는 말도 안되는 그런 험악한 얘기를 하고 돌아다닙니다 절대 그렇지 않죠 매우 어려운 과목이자 아주 아름다운 과목입니다 자 이제 선형대수에 대한 부분을 한번 수업을 시작해 보도록 할게요 여러분 알죠 선생님? 1. 선형방정식과 해 2. 선형방정식과 해 1. 선형방정식과 해 1. 선형방정식과 해 1. 선형방정식과 해 우리가 원하는 형태의 어떤 변수들이 나왔을 때 이거 다 일차식들이라는 겁니다. 자, 일차라고 하는 녀석이 있고요. 다 일차고요. Linear Algebra입니다. Linear Algebra라고 하는 것은 대수입니다. 이게 대수라고 하는 것은 숫자를 대신한다는 뜻이죠. 숫자를 대신한다는 것 자체가 뭡니까? 문자 같은 거 아니겠어요? 그래서 문자를 놓는다는 것은 어떻게 됩니까? 변수에 대한 지정을 쓴다라는 것이고요. 이 값을 찾는 것이니까 어떻게 됩니까? 방정식을 풀겠다 이런 뜻이죠. 방정식을 풀겠다 이런 뜻입니다. 다시 말해서 리니어 Linear Algebra의 대표적인 형태는 뭐냐면 1차 방정식에 대한 연구입니다. 알았죠? 그래서 1차 방정식에 대한 연구를 우리가 행렬이라는 걸로 써서 표현한다는 것이 좀 중요한 것이고요. 1. 선형방정식과 해 1. 선형방정식과 해 1. 선형방정식과 해 1. 선형방정식과 해 A3에다가 X3에다가 더하기 이렇게 쭉 갑니다 간 다음에 AN에다가 XN을 쓴 것이 B1 이렇게 되어 있다고 볼게요 자 이렇게 우리가 결과를 표현한다면 어떤 얘기를 할 수 있냐면 A1하고 A2하고 A3하고 AN까지가 있는 상태에서 이 녀석들을 깡그리 깡그리 다 모아놓고 이 녀석을 우리 뭐라고 하냐면 계수라는 말을 씁니다 뭐 당연히 여러분들 아는 내용이 있죠 계수의 coefficient 그쵸 계수라는 말을 쓰고 여기 뒤에 나와있는 녀석 x1 이라고 하는 것과 x2 이처럼 x3에서 xn까지 값이 있죠 자 이 녀석 자체를 이제부터 우리는 뭐라고 표현할 것이냐 바로 변수 미지수 또는 unknowns 라는 말을 쓰겠죠 자 변수라는 말을 씁니다 이때 이 변수라고 하는 녀석 자체가 뭡니까 1차가 될 때 변수라고 하는 녀석이 죄다 뭐가 될 때? 1차가 될 때 우리는 뭐? 리니어라는 말을 쓰게 됩니다. 자 그래서 이렇게 적혀있는 녀석을 우리는 이제 뭐라고 표현할 것이냐? 바로 방정식의 형태인데 미지수가 1차를 나타낸다 해서 우리가 뭐? 선형방정식이라는 말을 씁니다. 선형방정식이라는 말을 쓰고요. 이 선형방정식의 정체는 방금 봤다시피 변수라고 하는 것이 다 일차가 되어 있고요. 그 앞에 계수의 형태가 나와 있는 것을 얘기합니다. 방정식이고요. 끝에 B1 자체가 어떻게 됩니까? 하나의 상수화 되어 있겠죠. 이렇게 해서 우리는 선형방정식이라고 하는 것을 씁니다. 리니어냐 아니냐라고 하는 것은 바로 이 미지수라고 하는 unknowns가 뭐라고? 일차냐 아니냐를 뜻하는 것입니다. 알겠습니까? 예를 하나 보도록 하겠습니다. 1. 선형방정식과 해 1. 선형방정식과 해 1. 선형방정식과 해 선형방정식과 해 선형방정식과 해 선형이란 말을 쓸 수 있습니다. 그런데 말입니다. x 플러스 루트 3y는 x 플러스 루트 3y는 결론적으로 5라고 쓰입니다. 이거 볼까요? 이렇게 쓰면 x 플러스 루트 3y는 5는 역시 뒤에 나오는 녀석 자체가 1차니까 선형 맞아요? 그런데 x 플러스에다 얼마 된다? 3에다가 루트 y는 5 이렇게 쓰면 1. 선형방정식과 해 자, 0이라고 하는 것도 보겠습니다. sinx-y는 0이라고 하는 것도 마찬가지죠. 왜냐하면 sinx-y는 0이라고 주어진 녀석을 가만히 들여다보면 x하고 y라는 것만 봤을 때 1차인 건 맞지만 이는 x를 따로 생각할 수가 없죠. sinx라는 초월함수가 같이 붙어있는 상태입니다. 그렇죠? 1차식이 아니에요. 초월함수, 삼각함수가 나왔습니다. 이 녀석 때문에 우리는 뭐가 됩니까? 리니어가 아니다라는 거죠. 1. 선형방정식과 해 방정식 방정식이란 말이 나왔다는 건 우리한테 뭐를 얘기하는 거냐 방정식이 나온 이상은 뭐죠? 뭔가를 해를 구해야 된다는 얘기잖아 그래서 우리가 방정식은 당연히 해를 찾자 해를 해를 찾기 위해서 고민을 해봐야 됐죠 그래서 해를 찾을 때 예를 들어서 만약에 어떤 해가 하나 존재한다고 보겠습니다 그러면 A1에다가 K1 더하기 A2에다가 K2 더하기 A3에다가 K3라고 하는 녀석 자체에서 쭉 가서 마지막에 AN에다가 KN을 이렇게 했더니만 B1이 된다라고 볼게요. 여러분도 잘 알다시피 이렇게 된다라고 쳐놓고 나면 앞에 나와있는 A1, A2, A3는 계수에 해당하고요. 뒤에 나온 녀석이 미지수에 해당하는데 이 미지수에 이 값을 넣어서 B1을 만들어냈다는 뜻이니까 당연히 우리가 뭐죠? 이 해라고 하는 녀석은 K1, K2, K3 쭉 가서 KN까지 된다 이렇게 쓸 수 있겠죠. 그렇죠? 근데 이 해라고 하는 녀석 자체를 한번 보세요. 이 녀석은 이게 지금 문자가 몇 개 있어? 원래 미지수가 n개가 있었을 때 아니니 근데 n개가 있는데 이 값에서 해를 우리가 바로 구할 수 있나? 예를 들어서 보세요. x 더하기 2y 더하기 3z 더하기 4t는 0 이렇게 나왔다고 봅시다 자 식이 딸랑 하나밖에 없어요 이 식 자체에서 우리가 해를 바로 구할 수 있어 없어? 바로 구할 수가 없잖아 왜? 아니 x 더하기 y 더하기 3z 더하기 4t 문자는 4개가 나오는데 여기 나오는 조건식은 딸랑 하나밖에 없는데 이걸 어떻게 계산해요? 그렇죠? 하나밖에 없기 때문에 계산이 안 돼요. 그래서 이런 경우에 한해서는 내가 어쩔 수 없이 뭔가를 집어넣어 봐야 된다는 거야. 다시 말해서 내가 t값 대신에 z값 대신에 y값 대신에 뭐를 넣으면 거기에 따라서 x값이 결정될 거 아니냐. 그렇죠? 자, 그래서 결론적으로 한번 해석을 해 본다면 아, 이 값 자체를 갖다가 무언가를 내가 지정을 해 줘야 어떤 값이 하나 나올 것이다. 다시 말해서 여러분 한번 생각해 보세요. n개가 있어요, 문자가. 그럼 몇 개를 알아야 될까? 조건식은 하나밖에 없어. 몇 개를 알아야 될까? n개면 당연히 그 앞에 있는 n-1개의 변수의 값을 내가 알아야 나머지 하나는 당연히 방정식에 의해서 답이 나오겠죠. 그렇죠? 자, 이처럼 이 값들은 내가 지정해 줌에 따라서 여러 가지 값이 될 수 있어요. 다시 말해서 이 값으로 인하여 뭐가 되니? 이 속에 있는 모든 해를 다 찾아낼 수 있겠죠. 이렇게 써놓는 것 자체가 임의에 대한 해를 뜻하는 거니까 모든 해를 다 나타냅니다. 이걸 우리는 뭐라고 하냐면 일반해라는 말을 붙인다 이거죠. 일반해는 지정되어져 있는 어떤 한 해가 아니라 그냥 뭉뚱그려서 전체 해의 형태를 얘기하는 겁니다. 그래서 n개의 미지수가 있으니까 그게 근이 된다면 n개의 성분이 다 나와야겠죠? General solution 뭐라고 한다? 일반해라는 말을 쓴다는 거죠. 자 그런데 그 와중에 내가 무엇인가 값을 넣어서 예를 들어서 x 더하기 2y 더하기 3z 더하기 4t인데 내가 y 대신에 1을 집어넣고 z 대신에 0 넣고 t 대신에 만약에 0을 넣어버리면 둘 다 가고 이게 2가 나오니까 고로 x값은 얼마가 됩니까? 마이너스 얼마 돼? 2죠. 이렇게 해서 x값을 찾게 되면 어차피 이 녀석 자체의 해도 어떻게 쓸 수 있다? x=-2, y=1, z=0, t=0 이렇게 쓰면 이것이 하나의 뭐가 됩니까? 여기에 해가 되는 건 맞죠? 이해되겠어요? 어떤 값인지 몰라서 K1, K2, K3, K4라고 둬도 돼요. 자, 그건 우리가 일반해라고 하지만 결국 여기 나오는 K2, K3, K4 대신에 뭔가를 집어넣어서 나온 녀석이죠. 자, 그래서 이렇게 나온 녀석을 우리는 뭐라고 한다? Particular Solution 한 특수해라고 한다 이거죠. 특수해라는 말을 쓰는 거예요. 자 그래서 이 특수해가 나와 있는 상태와 일반해가 나와 있는 상태니까 앞으로 이제 우리는 해의 스타일은 일반해와 특수해로 나눌 수 있다는 사실 잘 기억하도록 하고요. 아 요즘 선생님 수업을 하면서 자꾸 입가에 뭐가 이렇게 자꾸 묻는 듯한 느낌이 나와요 이게 1. 선형방정식과 해 자 그렇다보니까 해의 종류의 형태가 나왔으니까 형태가 나왔으니까 뭐가 돼요 해의 개수가 몇 개 있느냐에 대한 부분은 당연히 의심이 가야 돼요. 우리가 해가 몇 개 있냐 서로 다른 두 실근 중근 뭐 이런 얘기 많이 하잖아요 2차에서. 그래서 결론은 일반에서 우리가 해의 개수는, 해의 형태는 어떻게 될 것인가 형태입니다. 해의 형태는 어떻게 될 것인가에 대한 관심을 갖게 되겠습니다. 1. 선형방정식과 해 1. 선형방정식과 해 1. 선형방정식과 해 1. 선형방정식과 해 1. 선형방정식과 해 AX 플러스 B는 0이라고 하는 것은 대표적인 무엇입니까? 선형 방정식이에요. 선형방정식에서 A와 B라고 하는 것은 무엇에 해당합니까? 바로 계수에 해당하죠. X라고 하는 녀석 자체가 무엇입니까? 하나의 변수인데 1차입니다. 물론 B라고 하는 것은 넘어가서 얼마 되어야 마이너스B였던 것을 다시 되돌린 것 맞죠? 자 그러면 여러분도 잘 알다시피 이 1차방정식도 리니어니까 여기서는 어떤 결과가 나오는지 이미 여러분들이 오랜 세월 동안 많이 공부를 했기 때문에 알죠? 한번 정리를 해 보겠습니다. 자 그러면 ax equal 얼마 돼요? 마이너스 b라고 하는 식을 만들어낼 수 있겠죠? 자 ax equal 마이너스 b가 만들어졌는데 이때 a와 b에 대한 식의 계산은 식의 계산은 어떤 미지수 앞에 문자가 왔을 때는 항상 이 문자는 0이냐 0이 아니냐로 나눠주는 것이 가장 중요하죠. 그렇죠? 자 그렇기 때문에 첫 번째 우리 뭘 씁니까? a가 0이 아닐 경우죠. 자 a가 0이 아닌다면 어떻게 돼? x라고 하는 녀석 자체는 마이너스 a분의 b라고 하는 걸로 우리가 나타낼 수 있죠. 잘 알죠 뭡니까? 오직 한 해가 됩니다. 자 오직 한 해라는 말을 쓸 수 있구요 두 번째를 보도록 하겠 자, 쉬워요. a 곱 0가 되죠? a 곱 0일 때는 두 가지로 나눠집니다. 그렇죠? a 곱 0가 나온다면 뒤에 나오는 녀석이 b가 0이냐, b가 0이 아니냐에 따라서 나눠지죠? 자, b가 0이 된다라고 친다면 a가 0이니까 0 곱하기 x는 0이 만들어지니까 엄청나게 허벌나게 많은 해 아니겠습니까? 그래서 0 곱하기 x는 0이면 무수히 많은 해라는 말을 쓰죠? 무수히 많은 해. 다시 말해서 너무 해가 많아서 정할 수가 없다. 그래서 여러분 고딩 때 이 말을 뭐라고 썼냐면 바로 너무 많아서 해를 규정을 할 수 없다. 우리가 고딩 때 뭐라고 썼습니까? 부정. 1. 선형방정식과 해 1. 선형방정식과 해 1. 선형방정식과 해 해가 존재하지 않는다. 해가 존재하지 않는다. 해가 존재하지 않는다. 해가 존재하지 않는다. 해가 존재하지 않는다 자 이게 모순이 됩니다 자 모순에 대한 부분이 나왔고요 이거 우리 고등학교 때 뭐라고 그랬죠? 값을 능히 정할 수가 없다 해서 불능 이래요 불능 불렁이 아니라 불렁이라는 게 어디있어 불렁이라는 건 없어 불능 알겠어? 불능 1. 선형방정식과 해 1. 선형방정식과 해 1. 선형방정식과 해 오직 한 해라고 하는 녀석이 하나 만들어져 있고요. 두 번째, 무수히 많은 해가 있습니다. 세 번째는 모순. 어떻게 되니까 해가 존재하지 않는다로 나눠져 있네요. 이 세 가지를 보고 우리는 뭐다? 조심스럽게, 세 가지를 보고 조심스럽게 전체가 다 성립한다면 그 안에 있는 일부분은 당연히 성립해야 되죠 일부분이 성립한다 해서 전체가 성립하는 건 아니지만 우리가 전체가 성립한다는 가정 속에서는 일부는 당연히 성립해야 됩니다 자 그래서 그건 일부라고 생각을 하고요 전체가 성립한다고 봤을 때 조심스럽게 미리 뭐라고 했냐면 아 선형방정식의 해는 오직 한 해 또는 무수히 많은 해 또는 뭐 무슨 이 세 가지 중에 반드시 하나일 것이다 라고 미리 예정해 놓도록 하겠습니다. 자 이후로 우리가 하나씩 하나씩 따지면서 당연히 그렇게 밖에 되지 않는다는 걸 보게 될 거예요. 자 이렇게 해서 우리는 이 방정식의 일반적인 형태는 이 세 가지가 된다라는 걸 봤고요. 자 이제 우리는 특이하게 생긴 방정식을 한번 보겠습니다. 뭔 얘기를 할 거냐면 우리가 퇴화선형방정식이라고 하는 걸 볼게요. 퇴화선형방정식 자 퇴화라고 하는 녀석 자체는 생성의 반대니까 Degenerate죠 그래서 Degenerate 되어있다라 입니다 자 그래서 퇴화방정식, 선형방정식이라고 하는 걸 보겠는데요. 자 이 퇴화선형방정식은 뭐를 퇴화선형방정식이라고 하냐면 a1에다가 x1 쓰고 더하기 a2에다가 x2라고 쓰고 더하기 a3 x3라고 썼을 때 더하기 쭉쭉쭉쭉쭉쭉 an xn equal b라고 쳤을 때요. 이때 우리가 뭘 얘기하냐면 퇴화선형방정식은 선형방정식과 해 선형방정식과 해 이 계수가 다 0이면 어차피 우리는 어떤 식이 됩니까? 0 곱하기 x1 더하기 0 곱하기 x2 더하기 0 곱하기 x3 더하기 해서 쭉 가서 0 곱하기 xn은 뭐가 됩니까? b1 이렇게 해서 식이 만들어지죠. 이렇게 만들어지면 우리가 어떤 것이 생각나게 되냐면 여기 죄다 좌변이 이제 전체가 뭐에 해당합니까? 0에 해당하죠? 이거 equal 0에요 그래서 왼쪽이 다 0이니까 0 equal 어떻게 된다는 거죠? b1 이런 식이 만들어진다 이거야 자 그러면 당연히 0 equal b1 나오면 두 가지로 경우를 나눠야 되는 건 당연한 거죠 어떻게 돼요? b1이라고 하는 것이 0이 되든지 b1이라고 하는 것이 0이 되지 않든지 둘 중에 하나로 우리가 뭐합니까? 판단을 해줘야 된다 이 말이야 그렇죠? 당연한 얘기에요 자 그래서 만약에 이런 경우를 한다면 역시 어떻게 돼? 0 곱하기 어떻게 됩니까? 0은 뭐가 돼? b1인데 이게 0이니까 equal 0이니까 x값이 뭐가 되든 다 성립하죠 어떻게 됩니까? 무수히 많은 해를 가져요 무수히 많은 해를 가지고요 그리고 b1이 0이 안 된다면 여러분도 알죠? 0 이퀄 b1인데 이게 0이 아니에요 그럼 다르다는 뜻이죠 이 값 자체를 만족하는 녀석은 존재할 수가 없습니다 그렇죠? 존재할 수가 없다 없기 때문에 어떻게 됩니까? 그럼 모순이 나와요 자, 여기를 자세히 보니까 우리가 퇴화선형방정식의 정체는 근을 갖는다 그러면 무조건 뭐가 돼? 무수히 많은 해를 갖든지 근을 갖지 않는다 그러면 알았죠? 그러면 무수히 많은 해를 갖든지 그게 0이 아니었을 때 아예 근 자체가 존재하지 않는다예요. 도 아니면 뭐죠? 존재하거나 존재하지 않는 건 둘 중에 하나지만 존재하면 무수히 많이 존재하는 거고 존재하지 않으면 그냥 아예 없다는 거죠 자 이렇게 되는 게 사실상 수학적으로 무슨 의미가 있느냐 이 말이야 우리가 방정식을 푼다라고 하는 것은 뭘 의미하는 겁니까 방정식은 어떠한 해를 찾겠다는 뜻인데 그 해도 무수히 많은 해를 찾는 것이 아니겠죠 뭐입니까 해를 찾는다는 것은 뭐가 돼 오직 한 해 유일한 한 해를 오직 유일한 해를 찾는 것이 우리의 목표다 이 말이야 그러면 오직 유일한 해라고 하는 걸 찾는 것이 포커스를 맞춰줘야 되는데 이걸 찾지 않고 이런 것만 놔져놓으면 우리가 방정식을 푸는 의미가 별로 없어요 자 그래서 우리는 어떻게 됩니까 이제부터 퇴화선형방정식 보다는 어디에 더 관심을 많이 갖는다 자 비퇴화 non-degenerate 비퇴화선형방정식에 대해서 관심을 갖게 된다 이거죠 비퇴화 선형방정식은 반드시 지금 얘기한 것처럼 여기 주어져 있는 모든 계수가 0이 되는 경우를 제외한 적어도 하나 이상 0이 아닌 경우에 해당하는 거겠죠? 이렇게 됐을 때 우리는 비퇴화 선형방정식이라 부르고 이제부터 우리가 관심을 가져야 될 방정식이 되겠습니다. 그러다 보면 자 이제 우리가 어떤 얘기를 하려고 하냐면 여기 나와있는 a1x1 더하기 a2x2 더하기 a3x3에서 여기 최소한 0이 아닌 녀석이 존재할 거 아니야? 자 그래서 우리가 뭐를 하나 해볼 거냐면 이렇게 해볼게요. ai라고 하는 이 아래 첨자들이 다 모여있다라고 쳤을 때요. 이 ai를 0으로 한번 규정해보겠습니다. 0으로 규정한다는 게 무슨 뜻이냐면 ai가 0이 됐어요. ai가 0이 됐는데 1. 선형방정식과 해 2. 선형방정식과 해 ap는 0이 아닌데 이 ap는 어떤 ap입니까? ai가 제로예요. ai가 p보다 작은 경우는 다 제로예요. 그러면 ap가 제로가 아니라면 이 말은 뭐죠? 가장 처음으로 0이 되지 않는 계수죠. 글자 꼬이지 마라 이거 잘 안 되네. 되지 않는 계수죠. 처음으로 그 방정식에서 처음으로 0이 되지 않는 계수예요. 그쵸? 왜냐하면 p보다 작은 i쪽이 다 0이 됐어요. 예를 들어 a3가 있었어요. 근데 이게 3이 ap예요. p가 3이란 말은 3보다 작은 건 다 0인 거지. 그럼 앞에는 의미가 없어져 버리는 거예요. 1. 선형방정식과 해 1. 선형방정식과 해 1. 선형방정식과 해 여기에 연결되어 있는 변수, 예를 들어서 우리가 A3라고 친다면 X3죠. 이 연결되어 있는 변수를 우리는 뭐라고 하냐면 leading unknowns라는 말을 씁니다. 제일 앞에 선두에 나와 있는 미지수라는 뜻이죠. leading unknowns. 다시 말해서 제일 앞에 나오는 선두미지수입니다. 그러니까 미지수라고 하는 개념 자체가 앞에도 있지만 앞에 다 0이면 별로 의미가 없죠. 그래서 선두미지수라는 말을 쓸 거예요. 이 leading unknowns라고 하는 녀석 자체는 예를 들어서 보세요. x 더하기 2y 더하기 3z는 예를 들어서 0이라고 놓을게요. 또는 1. 그러면 이게 제일 처음에 0이 아닌 미지수는 뭡니까? leading unknowns는 x에 해당하죠 그죠? position 한번 p라고 써볼게요 쓴 이유는 position 위치는 어떻게 됩니까? 1이에요 1 첫 번째에 처음 leading unknown이 나왔죠? leading unknown 제일 앞에 있는 1이 0 아니잖아 근데 문제점이 말이야 이렇게 쓸 때 예를 들어서 y 더하기 2z 등 이렇게 되면 어떻게 되냐 말이죠 y 더하기 2z는 1이라고 써버리면 이 leading unknowns라고 하는 녀석은 과연 뭐가 되냐 이거죠. leading unknowns는 당연히 뭐가 됩니까? y가 되는 건 맞죠? leading unknowns는 y가 되고 0이 아닌 게 있으니까 그런데 포지션은 1번이냐 이 말이에요. 선형방정식과 해 선형방정식과 해 선형방정식과 해 선형방정식과 해 선형방정식과 해 선형방정식과 해 선형방정식과 해 선형방정식과 해 선형방정식과 해 선형방정식과 해 선형방정식과 해 선형방정식과 해 선형방정식과 해 이제 매우 재밌는 과목들, 매우 재밌는 과정들이 시작될 것입니다 잠시만 기다려 주십시오 곧 돌아오도록 하겠습니다