논리적 추론과 피어슨 추론

데이터 기반 추론에 대해서 살펴보도록 하겠습니다. 데이터 기반 추론은 대표적으로 논리적 추론과 피어슨 추론으로 구분이 돼요. 각각에 대해서 어떤 내용인지 알아보도록 하겠습니다. 논리적 추론은 다음과 같습니다. A 상자에는 레몬이 10개 들어있습니다. 그리고 B상자에는 토마토가 10개 들어있어요. 우리가 알고 있는 사실은 논리적 추론에서는 우리가 알고 있는 사실은 두 상자는 A상자 또는 B상자이다. 그리고 A상자에서 나오는 과일은 모두 레몬이다. B상자에서 나오는 과일은 모두 토마토이다. 이게 우리가 알고 있는 사실이에요. 그런데 제 앞에 물음표 상자가 있습니다. 물음표 상자가 있고 제가 할 수 있는 건 오직 하나의 실험만 할 수 있어요. 그래서 제가 이 상자에 손을 넣어서 과일을 꺼내왔어요. 그랬더니 나온 게 토마토예요. 그러면 이 물음표는 어떤 상자죠? 물음표라고 하는 것들은 B 상자에서는 모두 토마토가 나오니까 따라서 토마토가 나왔다는 사실에 의해서 물음표 상자는 B 상자이다 라는 결론을 낼 수 있겠죠. 이게 바로 논리적 추론입니다. 그런데 이번에는 다른 상황을 한번 생각해 보죠. 제가 아는 사실은 두 상자는 모두 A 상자 또는 B 상자예요. 그리고 이번에는 A 상자에서 나오는 과일은 대체로 레몬이다 라는 거죠. 무슨 말이냐면 레몬일 수도 있지만 레몬이 아닐 수도 있습니다. B상자에서 나오는 과일은 대체로 토마토이다. 마찬가지예요. 토마토일 수도 있지만 아닐 수도 있어요. 그러면 이번에는 물음표 상자가 있습니다. 물음표 상자에서 똑같이 실험을 한번 했습니다. 손을 넣어서 꺼내봤더니 이번에는 토마토가 나왔어요. 그러면 물음표는 어떤 상자일까요? 맞추기가 되게 어렵죠. 이때는 논리적 추론을 진행하기는 되게 어렵습니다. 자 그렇다면 그래도 우리가 일반적으로 이럴 때 뭐라고 추론할 수 있을까요? B상자에는 대체로 토마토가 9개고 레몬이 1개가 있어요. 그러면 우리는 이런 식으로 얘기할 수도 있겠죠. 대체로 B일 것이다. 대체로 B일 것이다 라고 얘기할 수 있겠죠. 근데 문제는 대체로 B일 것이다 라고 한다면 이 주장에 자신감이 있는 문장인가요? 자 일단 이건 논리적 추론은 불가능합니다. 논리 추론은 가능하지 않아요. 그리고 다른 추론을 하려고 해요. 그래서 이번에는 대체로 라는 워딩을 통해서 정확하지는 않지만 어느 정도 근사치를 설명하려고 합니다. 여기서 이제 피어슨 추론 방식이 나오게 됩니다. 피어슨 추론은 다음과 같습니다. 조금 전 같은 경우에 두 상자는 모두 A상자 또는 B상자예요. A상자에서 나오는 과일은 대체로 레몬이고 B상자에서 나오는 과일은 대체로 토마토예요. 근데 검정색 상자에서 나온 과일이 토마토예요. 그랬을 때 물음표 상자는 A다 라고 한다면 A라고 한다면 사실 2에 따라서 사실 2는 A 상자에서 나오는 과일은 대체로 레몬이죠. 물음표 상자에는 대체로 레몬이 나와야 돼요. 근데 사실 4가 뭐죠? 사실 4는 검정색 상자에서 나온 과일은 토마토예요. 따라서 대체로는 모순이에요. 따라서 물음표 상자는 대체로 B일 것이다 라고 주장을 하게 됩니다. 자 근데 피어슨 추론은 어떻게 했냐면 이 주장을 주장하는 방식, 이 대체로라고 하는 것들을 다 없애버립니다. 대체로를 없애버리면 정확도가 떨어지잖아요. 이걸 P값, 틀릴 확률이라는 걸로 표현을 합니다. 피어슨 추론 방식을 살펴볼게요. 두 상자는 A상자 또는 B상자예요. A상자에서 나오는 과일은 레몬이에요. 그런데 레몬이 아닐 확률, 그건 틀릴 확률이 10%예요. B상자에서 나오는 과일은 토마토예요. 토마토가 아닌 확률은? 틀릴 확률은 10%예요. 검정색 상자에서 나온 과일은 토마토예요. 그러면 이걸 가지고 어떤 결론을 낼 수 있을까요? 가설, 물음표 상자는 A라고 한다면 사실 2에 따라서 사실 2는 A상자에서 나온 과일은 레몬이에요. 물음표 상자는 레몬이 나옵니다. 틀릴 확률은 10%가 되는 거고요. 사실 4와 모순이에요. 사실 4는 토마토가 나왔죠. 따라서 물음표 상자는 B다 라고 표현합니다. 그리고 틀릴 확률은 10%고 이 녀석을 피어슨에서는 P = 0.1 이라고 표현하는 겁니다. 이렇게 주장함으로써 주장은 선명성이 부각되고 그리고 학자들이 틀릴 확률을 강조하는 게 아니라 자기의 주장을 좀 더 명확하게 강조하는 방식으로 주장을 하게 됐습니다. 자 이 내용을 한번 정리를 해보면 피어슨 추론의 내용을 한번 정리를 해보면 다음과 같습니다. 네이먼-피어슨 추론은 가설을 수립해요. 가설을 수립하고 가설이 틀릴 확률이라는 걸 계산합니다. 그리고 난 다음에 그 틀릴 확률에 따라서 가설은 참이다 라고 주장을 하는 거예요. 그랬을 때 틀릴 확률을 퍼센트로 나타내고 이 틀릴 확률이 우리가 얘기하는 유의 확률이 되는 겁니다. 틀릴 확률이 유의 확률이 되고 일반적으로 이걸 p-value, p값이라고 표현하게 되는 겁니다. 그리고 이 p값이 실제 다양한 추론 환경을 할 때 추론 통계에서 이 p값이 아주 중요한 역할을 하게 됩니다.