대수의 법칙

대수법칙이란 확률적 수렴에 대한 정리 중 하나로 시행이 많아질수록 통계적 확률은 수학적 확률에 가까워진다는 정의로 표본으로 모집단을 예측해내는 핵심 통계 이론 중 하나입니다. 대수법칙에 대해서 좀 더 자세하게 살펴보도록 하겠습니다. 대수법칙이라고 하는 건 law of large numbers 많은 숫자의 법칙 핵심은 표본으로 모집단을 예측하는 것 이라고 보시면 됩니다. 표본의 크기가 커지면 표본 평균은 확률적으로 모집단의 실제 평균값 mu에 수렴한다 라고 하는 걸 정리를 해봤어요. 그래서 우리가 알고자 하는 건 모집단이에요. 모집단의 모수는 우리 지금 현재 몰라요. 파라미터를 모르고 있어요. 그래서 우리가 하는 건 랜덤 샘플링에서 표본 집단을 구성을 합니다. 그리고 표본 집단에서 통계량을 구해봤더니 통계량의 평균이 이렇게 나오는 거예요. 그런데 이 표본의 크기가 크다면, 표본의 크기를 N이라고 한다면, N이 충분히 크다고 한다면 우리가 도출한 이 평균을 가지고 모집단의 평균을 그대로 근사하게 예측해낼 수 있다는 겁니다. 이걸 우리가 실습 파일을 통해서 살펴보도록 하겠습니다. 부트스트랩 실험 심플코인 파일 오픈하도록 하겠습니다 동전을 던졌을 때 앞면이 나오는 확률을 확률변수와 확률분포를 모델링해서 실험을 해보면 동전을 5번 던지는 경우와 동전을 10번 던지는 경우를 F9키를 통해서 시뮬레이션 해볼게요 해보는데 저희가 원하는 건 동전을 던졌을 때 앞면이 나올 확률 이게 궁금한 거예요 근데 동전을 던졌을 때 앞면이 나오는 확률이 동전을 5번 던졌을 때 확률과 10번 던졌을 때 확률을 보면 우리가 알고 있는 모집단 50%와 근사하지 않아 보인다는 거죠 그래서 이번에는 실험을 조금만 바꿔보도록 하겠습니다 심플코인 실험 02 시트를 선택하도록 하겠습니다 이번 실험은 조금 전 실험과 완전히 동일한데 차이가 있다면 조금 전에는 동전 던지는 실험을 동전을 5번 던지고 10번 던졌어요 그런데 여기서는 C6번 셀 클릭한 다음에 컨트롤키 누르고 화살표 아래 선택해 보세요 자 그러면 1005까지 돼 있고 역시 RANDBETWEEN 0콤마1 자 보면 확률 변수를 그대로 모델링 했어요 랜덤 함수를 가지고 자 그리고 그 다음에 이 C열 동전을 1000번 던진 거죠 1000번을 던졌을 때 확률을 그대로 평균을 내보니까 50.20% 라는 게 나옵니다 다시 이번 실험은 자 H6번 셀 클릭을 한번 해볼게요 그리고 컨트롤 키 누르고 화살표 아래 해보면 이번 실험은 동전을 몇 번 던진 거예요? 동전을 5만 번 던진 거죠 자 조금 전 실험은 동전을 5번 던지고 동전을 10번 던졌다면 이번 실험은 동전을 1,000번 던지고 동전을 50,000번 던지는 거예요 그리고 50,000번 던졌을 때 평균을 구하고 자 그리고 각각 1,000번 던졌을 때와 50,000번 던졌을 때 자 보면 우리가 그 도출된 시뮬레이션 결과를 그대로 정리를 했습니다 1,000번 던졌을 때 앞면이 나오는 확률 그대로 왔고 그 확률은 여사건에 의해서 뒷면이 나오는 확률은 1 빼기 앞면 나오는 확률을 해주면 되죠 50,000번 던졌을 때도 시뮬레이션을 통해서 앞면이 나오는 확률을 정리를 하고 확률을 여사건에서 1 빼기 동전 앞면 나오는 확률을 정리하면 동전 뒷면 나오는 확률이 정리가 됩니다 그러면 우리 실험 설계는 끝났으니 실제 시뮬레이션을 진행해 보도록 하겠습니다 시뮬레이션 진행하는 방법은 F9키를 눌러 볼게요 F9키를 누른 상태에서 동전이 나오는 확률 천 회의 확률과 오만 번의 확률, 동전 앞면이 나오는 확률 중심으로 숫자를 한번 보도록 하겠습니다 다시 F9키를 눌러볼게요 F9키를 누르면 어때요? 동전 앞면이 나오는 확률이 지금 보시는 것처럼 동전을 5번 던졌고 동전을 10번 던졌을 때는 우리가 알고 있는 모집단 50%에 근사하지가 않았습니다. 근데 동전을 던지는 횟수를 늘린 거예요. 1000번 던지고 5만 번 던지니까 5만 번일 때는 동전을 던졌을 때 우리가 아는 모집단과 매우 근사해집니다. 1000번을 던졌을 때도 그래도 꽤 50% 가깝다는 느낌이 들게 됩니다. 시뮬레이션 몇 번만 더 해볼게요. F9키를 누르면 지금 보시는 것처럼 동전을 던지는 확률이 지금 보면 동전을 던지는 횟수가 늘어나면 모집단에 가까워진다 라고 이해할 수 있습니다 그 부분을 옆에 그림으로 다이어그램을 통해서 설명드리도록 하겠습니다 우리가 모집단을 예측하고자 해요 모집단을 예측하고자 하는데 모집단은 우리가 모릅니다 그래서 우리는 표본집단을 구성합니다 표본집단을 구성하는데 표본의 개수가 작다라고 한다면 지금 보면 이 X축이 표본의 개수라고 생각하시면 됩니다 N이라고 생각하시면 되고요 표본의 개수 N의 크기가 작을 때는 어떻게 되냐 지금 발생하는 이 녀석이 표본 오차라고 보시면 됩니다 N의 크기가 작을 때는 모집단을 예측할 때 오차가 큰 거예요 근데 N 크기가 점점 커지면 커질수록 보면 이 오차가 어떻게 돼요? 자 표본 오차가 줄어드는 거예요 자 보면 n의 개수, 그러니까 표본의 크기가 작을 때는 오차가 크다 그리고 n의 개수가 커지면 표본을 좀 더 많이 쓰면 오차가 줄어든다 그리고 만약에 n이 무한대로 가면 어떻게 될까요? 모집단과 일치하게 되는 거예요 자 그 부분을 저희가 보면 부트스트랩 실험을 통해서 부트스트랩 실험을 통해서 지금 설명드리고 있는 거예요 자 지금 동전 던졌을 때 다시 한번 보죠 첫번째 시트, 심플코인 실험 01을 놓고 던져보면 우리가 알고 있는 모집단 50%에 비해서 오차가 되게 커요. 그런데 동전 던지는 횟수를 충분히 크게 늘려놨어요. 1000개 정도가 됐을 때와 5만개 정도가 됐을 때. 동전 던지는 시행의 개수가 늘어나면 나오는 평균은 모집단과 근사하다 라고 하는 걸 부트스트랩 실험을 통해서 확인해 볼 수 있습니다