라플라스 1

강의 대본

네 이번 시간에 이제 라플라스를 할 건데 라플라스가 이제 회로에서 한 문제가 꼭 나오잖아요 그래서 일단 좀 간단하게 나오는 라플라스지만 라플라스를 한번 정리해 보도록 하겠습니다 라플라스라는 건 이제 연산자이기도 하고 뭐냐면 계산하는 방법일 수 있습니다 굉장히 미분방정식을 굉장히 알기 쉽게 정리해 주는데 라플라스 변환이 있고 라플라스 역변환이 있고 뭐 이렇게 갈 거예요 그래서 이제 갈 건데 어쨌든 좀 파트를 나눠서 라플라스를 하면서 우리가 회로 과도 현상에서 이해를 해야 되는 그 RL회로, RC회로의 라플라스 변환 그 내용을 한번 살펴보는 걸로 이번 시간을 이제 수업하도록 하겠습니다 일단은 이제 변환에 입각해서 1강 그 다음에 역변환에 있는 건 2강 이렇게 해서 나눠서 가겠습니다 라플라스라고 하는 건 연산자니까 계산을 하자는 거죠 1920년대에 나온 책이 있으니까 굉장히 오래됐죠? 라플라스가 사람 이름이기도 한데 지금 최근 게 아닌 거예요 그래서 라플라스라고 하는 연산의 방법인데 어떤 예를 들어서 어떤 함수가 있는데 우리가 함수를 계산을 해야 돼요 어떤 함수를 만들면 우리가 계산해서 함수를 풀어서 어떤 해를 구해서 내용을 알고 싶다 그렇게 했을 땐 라플라스를 써서 집어넣으면 라플라스 변환이라는 게 있어요 변환이죠 이게 목적은 아니에요 나중에 이거를 라플라스 인버스 변환이잖아요. 역변환시켜서 다시 F(t)로 갖고 오는 것이 중요합니다. 이건 변환이고 이건 역변환이에요. 이렇게 해서 라플라스를 이해하는 겁니다. 라플라스를 가지고 이용하는 거죠. 함수값을 구하는 겁니다. 우리가 원하는 함수값을 구하는 건데 이런 라플라스 변환에 대해서 정의는 간단한데 뭐냐면 라플라스라는 건 0부터 무한대까지 e^(-st)dt예요. 여기서 이 S라는 것이 원래는 복소수인데 jω를 가지고 우리가 감쇠가 안 일어난다고 해서 무손실 회로를 써서 S라는 건 a 플러스 jb인데 여기서 대개 우리는 이 부분만 쓰죠. jω만 씁니다. 그래서 이 허수부만 써서 계산을 할 거니까 사실은 여기에 대해서 써서 우리가 씌워서 쓴다는 거죠. 라플라스에 대한 얘기에서는 변환의 여러 가지 패턴이 있는데 한 5가지만 변환을 시키는 걸 간단하게 정리하겠습니다. 일단 그게 다는 아니니까 연습도 좀 하고 할 건데 일단은 숫자, 1, 라플라스 변환하면 S분의 1이 된다는 거죠. 이렇게 그냥. 5는 S분의 5. 숫자가 A라면 A는 S분의 A가 되는 거죠. 이렇게. 이 첫 번째입니다. 물론 이게 이제 식으로 정리하자면 여기다 넣으면 되잖아요. 0부터 무한대까지 1 곱하기 이렇게 되겠죠. 이렇게 되겠죠. 원래. 이렇게 되면 이거 적분이니까 마이너스 S 분의 1에 e 마이너스 St dt죠. 이거를 0부터 무한대까지 넣어서 빼기 0이니까 1이잖아요. 그래서 이게 S 분의 1이 되는 거예요. 이렇게 해서 갔는데 이렇게 적분하는 방법으로 우리가 공부를 학습하면 여러분들이 참 되지가 않아요 자꾸 힘들어해요 적분 이런거 미분적분 같은거 시키면 굉장히 힘들어하는데 이런걸 굳이 안해도 안해도 아무 지장이 없어요 두번째 두번째 뭐냐면 지수함수 지수함수는 지수함수는 여러분 e^(-at)가 될건데 이건 뭐냐면 이거는 뭐냐면 s 플러스 a 분의 1 됩니다 이렇게 될 거예요. e^(jωt)다. 그럼 뭐냐면 s-jω 분의 1 이렇게 될 거예요. 부호가 반대로 가서 이렇게 할 거예요. 이제 복소 추이라고 하는 데서 설명합니다. 이건 조금 이따 연습을 통해서 연습을 하죠. 이것도 당연히 0부터 무한대까지 e^(-at)에 e^(-st)dt로 해서 제어공학 & 라플라스 1 제어공학 & 라플라스 2 공부하는 건 여러분이 혹시 개념서에서 보면 모르겠는데 굳이 할 이유까지 없습니다 세 번째는 뭐냐면 램프함수라고 해서 램프함수라는 건 오르막길 내리막길 하는 거잖아요 일차함수입니다 이게 왜 램프함수인지는 또 나중에 설명하기로 하고 T함수 T함수는 S제곱분의 1이 됩니다 기울기가 있는 일차함수는 Y는 X 일차함수 Y는 T 할 수 있죠 시간에 대한 변화니까 일차함수 직선이잖아요 이거는 Y는 T함수예요 T함수 이걸 얘기하는 거죠 이건 S제곱 분의 1으로 가는 거예요 이렇게 가는 거니까 이것도 여러분하고 그닥 큰 문제가 되지 않을 건데 이것도 그냥 외웁시다 그리고 만약에 T제곱이면 어때요? T제곱이면 S3승 분의 2가 될 거예요 그러면 T3승은 S4승 분의 3 곱하기 2 곱하기 1 이렇게 될 거예요 팩토리얼로 자, 이거 하나를 기억할까요? 그래서 6 되죠. S4승 분의 6 되잖아요. 6 되는 거니까 이거 하나 기억할 필요가 있어요. 그래서 만약에 T에 N승이다 그러면 S에 N 플러스 1승 분의 N 팩토리얼이라고 그래요. 팩토리얼. 그렇죠? 10이면 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 이렇게 곱하는 거예요. 이렇게 가는 거예요. 일반식으로. 그러니까 여기서는 이거 하나를 그냥 기억하면 좋을 것 같아요. 그렇죠? 네 번째는 당연히 오일러식을 써서 sinωt가 되겠죠. sinωt와 cosωt인데 sinωt는 S제곱 플러스 ω제곱 분의 ω가 될 거고 그다음에 cosωt는 S제곱 플러스 ω제곱 분의, 이건 S가 됩니다. 요거까지 여러분이 익히면 될 것 같아요 요 정도만 아주 확실하게 좀 일단 굳히고 가면 그러면 굉장히 다 될 것 같습니다 나머지는 큰 문제가 없어요 일단 요거는 좀 외우면 어떨까 싶은데 이것도 굉장히 사실 알고 보면 굉장히 편합니다 왜 그러냐면 이건 오일러식에서 오는 거예요 오일러식이 뭐냐면 만약에 E에 jωt다 그러면 그죠? 이게 어떤 각도가 있는 거잖아요. 각도가 있는 거잖아요. 이것이 뭐냐면 S 플러스 이렇게 갈 거 아닙니까? 그런데 우리가 어떤 각도를 주면 말이죠. 각도가 어떻게 됐었냐면 코사인 오메가 T 플러스 j 사인 오메가 T 아닙니까? 각도가 이렇게 되지 않습니까? 이걸 가지고 정리를 한 거예요. 그래서 결국은 이제 각도에 관한 거잖아요. 우리가 각도가 얼마다, 각도가 얼마다 그러면 이제 이 각도에 대해서 E의 jθ 아닙니까? 그렇죠? E의 jθ, jθ가 cosθ 플러스 j의 sinθ가 될 거고 E의 마이너스 jθ가 cosθ 마이너스 j의 sinθ E의 -jθ는 cosθ - j sinθ 아닙니까? 두 개를 더하면 어떻게 되냐면 j가 없어지잖아요. 그러면 2cosθ죠. 2가 넘어가면 2분의 1 되잖아요. 2분의 1 되면 나머지 2개 더한 거잖아요. E의 jθ 플러스 E의 -jθ가 아닙니까? 더하니까 그런데 이게 만약에 cos ωt라고 하면 ωt라고 하면 2분의 1에 이게 E의 jωt니까 E의 jωt 플러스 E의 -jωt가 아닙니까? 이거 통분하면 2분의 1에 이게 다 올라갈 거 아니에요? 올라가면 2S가 되겠죠? 없어지고 E가 없어져서 결국 S가 되겠죠. 그래서 결국 이런 식이 나온 겁니다. 그래서 이렇게 갈 수 있는데 오일러식해서 바로 가면 되는데 굳이 이런 절차를 거치지 말고 그냥 바로 갑시다 왜냐하면 이런 걸 잘한다고 해서 라플라스에서 꼭 필요한 풀기 실력이 되는 게 아니니까 빼서 일단은 이 정도로 4개를 굳혀서 하는 걸로 정리합시다 우리가 하나를 했는데 이걸 가지고 연습을 하자면 예를 들어서 만약에 E에 마이너스 at를 라플라스 변환했잖아요. 이거는 말이죠. 앞에 1이 있다고 칩시다. 1이 s분의 1이잖아요. 1은 s분의 1이니까 s분의 1을 하고 s 대신에 여기에 s 플러스 a가 들어왔다고 칩시다. 반대로 이게 이제 복소 추이인데 이렇게 들어온 거예요. 만약에 t에 E에 마이너스 at다. t 함수가 아까 뭐였죠? t 함수가 아까 뭐였냐면 s 제곱분의 1이었어야죠. s 대신에 s 플러스 a로. s 대신에 이런 뜻이에요. t 제곱이 아까 뭐였냐면 s 삼승분의 2였잖아요. t 자승의 e-at. 어떻게 돼 있죠? s 삼승분의 2가 될 텐데 s 대신에 s 플러스 a가 됩니다. 이렇게 되는 겁니다. 만약에 E에 마이너스 at의 sinωt다. 어떻게 되냐? sinωt가 뭐였냐면 좀 전에 s제곱 플러스 ω제곱 분의 ω였어야죠. s 대신에 s 플러스 a. 많이 넓어졌죠? e 마이너스... 이번에는 5t 이렇게 할까요? 이렇게 해서 cosωt라고 합시다. 이건 어떻게 될까요? cosωt가 뭐죠? s² 플러스 ω제곱 분의 s가 돼 있었잖아요. s 대신에 s 플러스 5, s 플러스 5 이렇게 됩니다. 이렇게 정리할 수 있어요. 복소 추이라는 거예요. 지수함수는 전부 이렇게 씁니다. 굉장히 활발해지죠. 이렇게 많이 쓰게 될 수 있죠. 그래서 이렇게 정리할 수 있다. 하나를 정리해서 우리 지수함수를 활용하는 방법을 잠깐 해 볼 수가 있어요. 그래서 이렇게 한번 연습해 본다. 하는 거죠 라플라스 변환에 관한 얘기입니다 변환에 관한 얘기를 계속해서 할 거예요 변환 연습을 좀 여러분들이 원활하게 해볼 필요가 있다 변환을 한번 해보자 라플라스 변환을 해서 수식을 정리해보자 하는 거죠 그렇게 가는 와중에 뭐가 필요하냐면 도형을 잠깐 해봅시다 도형을 하는데 라플라스 변환에 도형을 할 건데 도형을 할 건데 도형에서는 뭐가 나오냐면 첫 번째가 뭐냐면 첫 번째가 단위계단함수 함수 이걸 한번 정리해 봅시다 단위계단함수라고 하는 건 뭐냐면 단위계단함수라는 건 예를 들어서 Y는 1이다 그러면 어떡하냐면 X축 Y축에서 이게 X축 Y축인데 X축을 다 우리가 시간을 줍니다 T함수 Y는 1이면 Y는 1이 이거죠 이걸 Y는 1이라고 상수함수를 알아요 상수함수 상수함수인데 이거를 말이죠 Y는 U(T)다 U(T)라고 하는 순간에 뭐가 되냐면 1 대신에 U(T)는 뭐가 되냐면 0부터 시작되는 1인 거예요 이 앞에 1인데 어디서부터 시작하느냐 T는 0부터 시작하는 거예요 0부터 시작하는 거니까 이건 어떻게 되는 그림이 나오냐면 이게 끊어지는 거죠 계단 모양이죠 이렇게 가는 거예요 요게 U(T)입니다 1부터 1부터 얘기했죠 얘는 1부터는 1이고 1 0은 저는 0인거죠 1부터 시작점 얘기해요 시작점 그래서 요게 계단 모양이니까 단위 유니티 스텝이 되잖아요 단위 계단 함수를 알아요 유니티 스텝 펑션이라고 그래요 펑션 만약에 만약에 만약에 U에 3초부터, 그럼 뭐죠? 3초부터, 이거 3초부터. 3초부터 한다. 어떻게 되죠? U에 T 마이너스 3, 3초부터 1로 가는 거예요. 이거 1이죠. 이렇게 가는 그래프를 그릴 수 있어요. 여러분 시작만 좀 까칠하지 그 다음에 괜찮습니다 아주 이거는 어떻게 문제가 될 수 있냐면 단위계단함수 이제 시작에 관한 거죠 근데 이것도 역시 뭐냐면 U(T)인데 S분의 1인데 라플라스 변환하면 유형함수는 다 S분의 1이에요 앞에 1이니까 시간이 늦었잖아요 시간 늦은 게 e 마이너스 aS로 시간지연을 표시해 줘요 지연된 걸 표시할 수 있어요 이렇게 갑니다 이 함수에 대해서 우리가 문제의 유형은 어떻게 되냐면 첫 번째는 이렇게 나올 수 있어요 이거를 얘기하라 이건 1이겠죠 당연히 말 없으면 1이에요 이렇게 되는 거 하고 두 번째는 이렇게 되는 거에 대해서 한번 해봐라 이거 1이겠죠? 당연히 말 없으면 다 1이에요 1인데 이거에 대해서 라플라스 변환을 해봐라 그러면 이거는 어떻게 되는 그림이냐면 하나는 이렇게 가는 게 있어야 되고 하나는 A에서 이렇게 가는 그래프가 있어야 돼요 이게 두 개가 합치면 저런 그림이 돼요 여기까지는 1로 가다가 합치는 순간에 0이 됩니다 합쳐져서 얘는 어떤 게 합쳐졌냐면 A에서 가는 거하고 A에서 가는 거하고 B에서 이렇게 가는 거하고 합쳐진 거예요 두 개 합치면 이렇게 됩니다 그럼 이제 이건 뭐냐면 이건 U(T)잖아요 처음부터 0에서부터 1로 가는 거 이건 뭐죠? 마이너스 U에 어디냐면 A에서 마이너스 1로 간 거잖아요 같죠? 그리고 라플라스 변환은 어떻게 돼요? 라플라스 변환은 S 분의 1 마이너스 S 분의 1에 e 마이너스 AS 이렇게 되죠. 굉장히 간단하게 우리가 수식으로 저 그림을 표현할 수가 있어요. 이거는? 이거는 왜냐하면 U에 T 마이너스 A에서 출발하고 있다가 어디서? 마이너스 U에 T 마이너스 B에서 하나 내려간 거잖아요. 그러니까 라플라스 변환하면 어떻게 되냐면 S 분의 1에 e 마이너스 AS 마이너스 S 분의 1에 e 마이너스 BS 이렇게 되겠죠. 이렇게 할 수가 있어요 아직까지도 감이 잘 안 오실 수 있습니다 왜냐면 이거 지금 난생 처음 봤는데 금방 한 5분 단지 나서 여러분이 아하 이렇게 할 수 있는 얘기가 틀림없이 아니죠 아닌데 지금 그렇게 가고 있습니다 생각보다 예를 들어서 이제 이렇게 한번 해볼까요 예를 들어서 1초, 2초, 3초, 4초예요. 여기가 1, 여기가 마이너스 1, 여기가 2예요. 여기가 1, 여기가 2 이렇게 줬어요. 그럼 식으로 어떻게 되죠? 처음에는 1에서 1로 가다가 이거죠? 1에서 1로 가다가 이런 뜻이잖아요. 2에서 몇 개 떨어지냐면 하나, 두 칸 떨어져요. 2칸 떨어져야 돼요. 마이너스 1이잖아요. 2칸 떨어져야 되니까 마이너스 2에 어디서? U에 T-2에서 2에서 2에서 2칸 내려왔다가 3에서 몇 개 올라가죠? 여기서 여기까지 3개잖아요. 3에서 3개 올라가요. 3에 U에 T-3에서 3개 올라갔다가 4에서 몇 개 내려오냐면 다시 2개 내려오잖아요. 이렇게 되는 거죠. 이렇게 되는 거예요. 읽을 수가 있어야 돼요, 읽을 수가. 읽기만 하면 되죠, 읽기만 하면. 읽기만 하면 됩니다, 읽기만 하면 되니까. 이렇게 갔으면 라플라스 변환은 어떻게 되냐면 s 분의 1에 e^-2s, s 분의 2에 e^-2s, s 분의 3에 e^-3s, s 분의 2에 e^-4s면 함수로 완전히 표현이 된 거예요. 이거 가지고 그림을 그릴 수 있죠. 전부 다. 시간 역원돼서 그릴 수 있죠. U함수 다 상수함수니까 다 숫자이기 때문에 다 S분의 1로 오는 거예요. S분의 1로 올 수 있습니다. 숫자함수니까. 이렇게 온다. 이게 유니티 스텝 펑션. 단위 계단 함수예요. 단위 계단 함수. 그렇죠? 알겠죠? 그러면 아까 다시 이거 볼까요? 다시 한번 볼까요? 이거 뭐죠? 이거 1로 해볼까요? 이거 되죠? 처음에 1로 가다가 1초에 0이 됐다는 거잖아요. 어떻게 되죠? 처음에 1로 가다가 여기 처음에 1로 가는 거잖아요. t는 0에서부터 1로 가다가 어디서? 어디서 1로 가느냐? t-1. 1초 때 다시 1로 가. 1로 가다가 1이 떨어졌으니까 0이 되는 거지. 그래서 처음에 1로 가다가 1초 때 마이너스 1이 된 거예요. 이거랑 합성시키면 되고. 아까 이건 뭐였죠? ab는 처음에 a에서 시작하다가 A에서 1로 가다가 어디서? B에서 1 떨어진 거잖아요. A에서 1로 가다가 B에서 1 내려간 거잖아요. 그래서 이렇게 표현하는 것들을 여러분이 정리하면 지금은 훨씬 편해지지 않았을까요? 이건 시점입니다, 시점. 어디에서 이런 뜻이에요. 그래서 이렇게 간다. 이게 라플라스 변환의 단위 계단 함수예요. 단위 계단 함수는 이렇게 정리할 수 있어요. 그러면 이제 하나 더 세 가지 할 건데 두 번째는 뭐냐? 두 번째는 램프입니다 우리가 만들고 싶은 거는 우리가 만들고 싶은 이거예요 주기 T에 이걸 만들고 싶은 거예요 이걸 만들고 싶은데 이걸 만들기 위한 얘기를 잠깐 해보죠 예를 들어서 이거 Y는 T 이걸 램프라고 그러는데 이거는 Y는 T예요 그런데 Y는 T의... 이건 뭐냐? 0부터 시작되는 거예요. 이건 뭐냐면 T·U(T)예요. 처음 0부터. 0부터 T. 0부터잖아요. 이 0이잖아요. 0부터 T. 아랫게 없어지면 U(T)가 붙는 거예요. 시점이죠. 이건 라플라스 변환이 S제곱분의 1이에요. 시점을 줬죠. 그다음에 만약에 이거다. t-1 이거잖아요. t-1이다. 그럼 이걸 만약에... 이건 뭐냐? 0부터잖아요. 0부터니까 이거는 뭐냐면 (t-1)의 U(t)죠. 그럼 이거는 어떻게 되죠? 이것부터 자르면 1부터. 1부터니까 이걸 끌고 1까지 갔으면 뭐냐면 (T-1)에 U에 (T-1), 1부터 이 변천을 이해하면 굉장히 좋을 것 같아요. 이것은 0부터 시작했을 때 이것이죠. 1부터 시작했을 때 이것이죠. 2부터 시작하면 이렇게 되겠죠. 이것부터 이렇게 가겠죠. 그러니까 이것을 어디서 자르느냐에 관한 거였죠. 어디서 자르느냐. 그렇죠? 어디서 자르느냐. 굉장히 중요해요. 한 번은 이게 시험에 난 적이 있어요. 옛날에. 이런 것에 너무 집중할 필요는 없지만 어쨌든 이렇게 된다는 거였죠. 여러분이 다 잘할 건 아니니까. 이건 이렇게 가는 거였다. 원래. 그러면 준비는 끝났는데 얘는 어떤 그림이 합쳐졌을까요? 얘는 어떤 그림이 합쳐졌냐면 하나는 이런 그림이 있어야 돼요 두 번째는 뭐냐면 여기서 여기 하나 있어야 돼요 세 번째는 뭐죠? 이게 1번, 이거 2번 1과 2가 합쳐지면 어떻게 되냐면 1과 2가 합쳐지면 어떻게 되냐면 여기서부터 늘어나는 게 없어지잖아요 그래서 1과 2가 합쳐지면 이렇게 되는 거예요 그 다음에 이걸 잘라서 쭉 내리는 게 3이겠죠? 그러면 저런 그림이 나와요. 이 말부터 이해할 필요가 있을 것 같아요. 그럼 저 그림이 나오죠. 그럼 1번이 뭐냐? 1번이 기울기가 2인 t의 U(t)입니다. 이것이 1번 식이에요. 처음부터 기울기가 올라가는 식이었다. 이게 1번입니다. 2번은? 2번은 이렇게 된 거를 끌고 왔잖아요. 2번이 뭐냐? 2번이 T분의 2에 T-T의 U에 이게 2번입니다. 이거 두 개를 합치자마자 여기에서만 하면 이 노란색 그래프가 나오는 거예요. 그래서 여기서 끊어서 여기까지 딱 내리면 저 그림이 나오니까 또 마이너스 뭐죠? 마이너스 2만큼 내려온 거잖아요. U에 T 마이너스 T 이렇게 되죠. 끝났습니다. 그럼 이거 라플라스 변환은 어떻게 되나요? 라플라스 변환하면 T분의 2에 T함수니까 S제곱분의 1이고 T분의 2에 이거 S제곱분의 1이 똑같습니다. e 마이너스 Ts에서 시간 지연이 있죠? 끌고 온 게 있으니까 그 다음은 2의 U함수니까 e^-2Ts. 정리하면 S제곱분의 1을 앞으로 나가면 1-e^-Ts의 e^-2Ts. 이렇게 될 거예요. 자 이렇게 이렇게 끝나서 마이너스 마이너스 이렇게 될 건데 어쨌든 여러분들 이제 이렇게 그 저런 저런 저런 그림을 이렇게 수식화 시켜서 그래 함수로 만드는 방법을 지금 한 겁니다 결국 저거는 이제 구할 때 굉장히 쉽게 구할 거에요 제가 굉장히 간단하게 하거든요 왜냐면 아까 구형파는 아까 구형파는 어쨌든 올라갔다 내려오니깐 S분의 2잖아요 저 가운데 마이너스 이게 항상 답이에요 답인데 이놈은 램프함수가 있으니까 S제곱분의 1 아닙니까? 그 다음에 한 번만 플러스고 그 다음에 마이너스가 두 번 붙잖아요. 내려오고 내려오고 해서 마이너스 붙어서 마이너스 마이너스가 답입니다. 이런 개형을 가져요. 이런 것만 가져도 시험문제 답은 낼 수가 있어요. 그렇지만 한번 구성을 해본다. 알겠죠? 이렇게 한다. 이렇게 만들어진 거다. 그럼 세 번째 세 번째는 뭐냐면 정현파 해봐야죠 정현파를 할 건데 세 번째는 정현파인데 우리가 이걸 하고 싶은 거예요 이브네틱인가? 이걸 하고 싶은 거예요 주기 주기를 이브네틱으로 하죠 전체 주기에 대해서 절반이니까 이것만 하자. 이건 저처럼 하면 한 2로 줍시다. 이거를 만들면 어떻게 만들까요? 이거를 만들면 일단 또다시 사인파를 만들어야 되죠? 사인파를 만들면 2의 최대값이 2라고 하면 이 맥시멈이 되든지 이 맥시멈 넣어도 되고 그렇죠? 맥시멈 넣을까요? 최대값. sinωt 되잖아요. 여기다가 U(T)가 딱 붙는 순간에 어떻게 되죠? 0에서부터니까 뭐가 없어져요? 이게 없어지지 0에서부터 이런 그림이 되겠죠 그 다음에 이거를 반주기만 우리가 조금만 남기려면 이거를 우리가 합쳐주면 되는 거잖아요 합쳐주면 여기 다 붙어서 없어지잖아요 없어지고 조금만 남을 거 아니에요 그러니까 이 점선되는 파형은 뭐가 되겠냐면 반주기 이동시키는 거니까 sin ωT에 마이너스 2분의 T를 하고 U에 T 마이너스 2분의 T 하면 됩니다. 반주기를 이동시키면 점선이 나와요. 합쳐주면 되겠죠. 이 두 개 합치면 되지. 합치면 되는데 그러면 식은 어떠냐면 식은 이 맥시멈의 sin ωt의 U(t) 하고 플러스 2의 em의 sin ωt-2분의 T U의 t-2분의 T 하면 어떻게 되냐면 이건 라플라스 변환하면 이거는 sin 함수잖아요. sin 함수니까. S제곱 플러스 ω제곱 분의 ω인데 em. 그렇죠? 플러스. 이 식도 똑같죠? s제곱 플러스 오메가 제곱 분의... 뭐죠? 오메가의 2m 됐는데 뭐죠? e의 -2분의 ts가 붙죠. 시간 제한이 붙죠. 그러니까 계산은 끝났죠? s제곱 플러스 오메가 제곱 분의 오메가 2m이 앞으로 나가고 뭐죠? 1 플러스 e의 -2분의 ts. 이거 붙으면 되지. 이런 식으로 할 수 있습니다. 그래서 파형도 바꿀 수가 있어요. 다 하면 이렇게 되겠지만 이걸 여러분들이 어느 정도 하면 되지. 하나가 남았습니다. 하나 남았는데 라플라스 변환은 여러분들이 수식의 변환만 웬만큼 연습하면 되지 않을까. 그다음에 구형파 정도 아주 잘하면 되지 않을까 싶습니다. 그러니까 원리만 여러분이 잠깐 눈여겨보고 원리는 좀 눈여겨봐야 되겠고 그 다음에는 이제 뭐냐면 그 다음에는 한번 여러분 확신을 갖고 가셔야 돼요 왜냐하면 전기식이 전부 다 미분방정식으로 표현될 텐데 그거를 우리가 라플라스로 계산하겠다는 뜻이거든요 굉장히 그렇죠 그래서 이제 할 건데 그럼 이제 뭐냐면 무한급수가 하나 있는데 무한급수가 있는데 이런 그림입니다 그림 자체는 어떤 그림이냐면 이렇게 가는 거예요. 주기마다 이것만큼씩 계속 증가하는 거예요. 이런 식은 어떻게 되겠느냐? 이건 무한급수인데 처음에 뭐죠? 처음에 이걸로 시작하죠. 그다음에 또 2죠? 어디서? t-T에서 또 올라가죠? 어디서? 여기에서 쭉 가겠죠. 라플라스 변환하면 이 함수니까 S 분의 2. S 분의 2에 e의 -Ts 가겠죠. 정리하면 S 분의 2가 앞으로 나가면 1 플러스... 이거 나중에... 나중에 뒤에 가서 무한 후에 가서 한 번 더 Z변환에서 다시 나올 거예요. 요거 얘기는. 자 요거 합이 얼마냐? 요게 등비수열인데 등비수열이죠. 등비수열. 등비수열인데 등비수열의 합은 등비가 요거예요. 요걸 계속 곱한 거예요. 여기서부터 곱하고 곱하고 곱하고 곱하고 간 거예요. 등비수열 예를 들어서 공을 아래로 떨어뜨린다 하나 공을 아래로 떨어뜨렸는데 1m 높여서 공을 떨어뜨렸는데 얘가 절반씩 올라온다 튀어서 50cm 올라왔죠? 또 떨어뜨렸다가 25cm 올라오죠? 또 떨어뜨렸다가 12.5cm 올라오죠? 쭉 떨어진 길을 다 더하면 몇 m가 되겠느냐 그럼 이제 1 플러스 2분의 1 플러스 4분의 1 플러스 8분의 1 플러스 16분의 1 플러스 이렇게 쭉 내려와요 2분의 1씩 곱한 거잖아요? 이러면 전체 다 합하면 얼마냐? 여기 등비라고 했잖아요, 두 번째 것이. 여기에 곱한 거니까 1-등비 분의 1입니다. 얼마죠? 2m죠. 떨어진 길이 다 더하면. 하듯이 이 합을 구하면 얼마냐 하면 여기 등비를 했잖아요. 등비를 했으니까 S분의 2에 1-e의 -Ts 분의 1. 이게 답입니다. 이렇게 할 수 있어요. 등비는 그래서 생각보다 복잡하지는 않는데 여러분들이 처음에 쓸 수 있어요. 처음. 그래서 이렇게 해서 답을 구할 수 있습니다. 그래서 무한등비급수는 산업기사에서 등장한 적이 있어요. 최근에. 근데 이제 최근은 아니고 좀 됐는데 산업기사 등장했는데 무한등비급수도 문제가 3개나 있습니다. 그래서 너무 어려운 거 말고 좀 쉬운 걸 정리했으면 좋겠는데 어쨌든 여기까지가 처음에 라플라스 변환에 있습니다. 그래서 라플라스 변환에서는 맨 처음에 있는 책 4개를 반드시 외우셔야 돼. 그것만 갖고 사실은 안 됩니다. 하나 더 알아야 될 게 있는데 그건 문제에서 제가 한번 설명을 하죠. 그다음에 도형이 있잖아요. 그래서 그중에서 파형 중에선 유닛 스텝 펑션 단위계단 함수에 대해서 정확하게 이해할 필요가 있어요. 램프 함수라든지 정형파는 모양만 보면 되겠는데 일단 단위계단 함수 하나는 확실하게 끝낼 필요가 있습니다. 네 수고하셨습니다.