1강 가우스 법칙

강의 대본

안녕하십니까, 박권배입니다. 자, 만나 뵙게 되어서 반갑고요. 오늘부터 전기기술사 강의 들어갑니다. 자, 들어가고요. 첫 번째 과목은 전자 기학이라는 과목이죠. 그중에서 첫 번째 주제는 가우스 법칙입니다. 가우스 법칙은 그 자체로도 매우 중요하죠. 하지만, 이제 이 가우스 법칙은 우리가 송전 공학을 넘어가거나 다른 분야를 다룰 때도 매우 중요하게 다뤄지고 있는 부분입니다. 그래서 반드시 여기서 잘 익혀두시면 좋을 것 같습니다. 첫 번째 주제가 이제 가우스 법칙입니다. 본문으로 들어가 보시죠. 자, 주제가 처음 나왔으면 이 주제의 어떤 목적이 무엇이냐를 가장 먼저 이해하는 것이 그 강의를 이해하는 가장 첫 번째일 것입니다. 그래서 가우스 법칙이 나왔으니깐, 가우스 법칙은 어떤 유용성이냐, 어떤 목적의 이론이냐, 이렇게 생각하시면 될 것 같아요. 그래서 가우스 법칙. 가우스 법칙은 전계의 세기를 구하고자 하는 것이라는 거죠. 어떤 특정 전하 분포가 생기면, 전하가 있으면 그 주변에 힘이 생기죠, 힘이. 전기력이 생기죠. 거기로 갖다 놓으면 끌어 당기든, 밀리든 그런 힘이 생길 거 아니야, 그 힘을 구하는 거예요. 그게 이제 바로 전기력이죠. 즉, 전기력인데 단위 전기력. 1 쿨롱 갖다 놓았을 때 작용하는 힘이라는 거죠. 그 힘의 세기를 구하는 것이죠. 자, 우리 전기하는 사람들은 여러분 주변에서 그런 얘기 많이 들었을 거예요. 전기 해석한다, 전기 해석해봐야 안 된다. 이런 얘기 많이 하지 않습니까? 그 말 자체는 뭐냐면 전기 해석 자체. 그 값 자체가 우리가 얻고 싶은 어떤 내용이라는 이야기죠. 그래서 전개 값이 어떤 값 이상 넘어가면 절연 파괴가 날 수 있는 그런 부분들을 체크할 수 있는 거죠. 우리는 전하량은 셀 수 없지만, 전압 크기에 따라서 주변의 전기의 세기는 반드시 이해하고 알아야 할 물리량이거든. 그것을 계산하기 위한 것이라는 것이죠. 근데 그걸 계산하는 방법이 과거에 가우스 법칙 이 전에도 있었다는 거죠. 뭐를 통해서 계산할 수 있냐? 쿨롱의 법칙을 통해서. 힘의 세기를 계산할 수는 있었죠. 근데 이제 그것이 그렇게 쉽지 않았다는 것이죠. 매우 어려운 접근이 필요해요. 그러다 보니깐 웬만한 사람의 수학 실력으로는 이걸 하기 굉장히 곤란한 거죠. 그래서 가우스 법칙은 전기의 세기를 보다 더 쉽게 구할 수 있는 이론적 접근이라고 보시면 돼요. 쉽다고 했죠, 여러분들은 쉬울지 모르겠지만, 쿨롱의 법칙보다는 많이 쉽다는 이야기에요. 근데 좀 불편한 점이 있겠죠. 다 어려운 방법만 가지고 쓰지는 않을 거 아니야. 얘가 이렇게 쉬운 방법으로 오긴 왔지만, 좀 우리한테 불편하게 만드는 요소들은 있겠죠. 그래서 모든 전하 분포에 대해서 가능한 것은 아니고요. 어떤 대칭성. 특별한 대칭성을 가지고 있는 전하 분포에서는 쉽게 가우스 법칙을 통해서 가능하다는 것입니다. 자, 그래서 대칭성을 갖는다는 게 어떤 대칭성을 말하냐면 점 대칭. 전하의 분포가 점 대칭이라든지. 점 대칭이라든지, 그다음에 축 대칭. 축 대칭, 그다음에 면대칭 같은 경우. 그런 어떤 대칭성을 가지고 있는 구조라고 하면 가우스 법칙을 적용해서 쉽게 구할 수 있다는 것. 정전하라는 것. 그다음에 부전하라는 것. 그다음에 면 전하. 면 전하 그다음에 전선이면 원통 모양이라고 하잖아요. 이렇게 원통형 전하 구조라면, 주변의 전기 세기를 보다 쉽게 구할 수 있다. 가우스 법칙을 써서요. 모든 현상에 대해서 가능한 게 아니라는 것이죠. 그래서 시험 문제 나올 때 가우스 법칙에 대해 설명해라가 아니라 대칭성을 갖는. 전하의 분포가 어떤 대칭성을 가졌을 때 주변 전기의 세기를 구할 수 있는 법칙에 대해 설명하라. 이렇게 문제를 내는 경우도 있죠. 그래서 이런 것들은 이해하고, 무조건 외울 게 아니라 잘 이해를 하고 들어가는 것이 좋을 것 같습니다. 자, 그럼 이 가우스라는 분은 어떤 논리적 접근을 가지고 전기의 세기를 좀 더 편리하게 구할 수 있도록 만들어냈냐면, 전하량이 있다고 하면, 10 쿨롱짜리 전하량이 있으면 여기서 이제 어떤 전기적 속성이 빠져나간다고 보는 거죠. 그것이 우리가 잘 알고 있는 전기력선 이런 것들이에요. 이렇게 빠져나가는데, 이 개수가. 빠져나가는 이 개수가. 개수랑 이 전하량과 관계가 있을 거 아니에요. 그래서 이 개수를 센다는 개념이에요. 그래서 10개면. 10 쿨롱이면 10개가 빠져나간다. 여기 어떤, 예를 들어 구를 씌워보면 얘가 전하를 다 둘러쌀 수 있는 풍선 같은 것을 씌워 놓으면 빠져나가는 개수를 세면 여기 안에 들어가 있는 전하량과 같게 된다. 이런 것을 논리적 배경으로 삼은 거요. 그래서 Q는 여기를 빠져나가는 개수. 근데 그 빠져나가는 개수에 대한 물리량을 무엇으로 잡았냐면 전속이라는 걸로 잡았어요. 전속. 전속이라는 것. 만들어낸 거죠. 이런 게 있다고 그냥 가정한 거예요. 이런 게 빠져나간다. 뭐, 눈에 보이지도 않는데, 그렇죠? 근데 원래 이게 전속이 아니라 뭐가 됐으면 더 좋겠냐면, 전기력선이 됐으면 더 좋겠죠. 그런데 문제는 전기력선의 개수로 하려다 보니 전기력선의 이거는 매질에 따라서 이게 크기가, 개수가 달라져 버려. 이 전하량에 따라서 안 변했으면 좋겠는데 매질이 있다. 매질은 이제 여기서 유전율로 표시를 하죠. 유전율이 크면 클수록 이 개수가 줄어버려. 이게 이러니깐 우리가 적용할 때 좀 곤란하단 말이야. 일관적, 일률적으로 적용하기 곤란하단 말이야. 그래서 가상의 물리량을 하나 더 만든 거예요. 뭐냐면, 전속. 얘가 얘랑 딱 일치하면, 얘가 10 쿨롱이면, 10개면 10개. 매질을 바꾸기 위해서 무조건 10개 나오는 거야. 그러면 이렇게 식을 세워서 전기의 세기를 구할 수 있는 방법을 만드는 거죠. 이렇게 논리적 접근을 한 거죠. 그러면 이 전속의 개수를 다 세는데, 어떻게 셀 거냐는 거죠. 그럴 때 이건 아주 수학적인 방법이니깐, 여기다가 조그마한 면적, ds라는 면적을 세워요. 그래서 이걸 미소 면적, 이렇게 부르는 거죠. 미소 면적, 빠져나가는 여기의 밀도로 친 거죠, 이거의 밀도. 전속 밀도 벡터 이렇게 되는 거예요. 전속 밀도 벡터는 c/m의 제곱 이렇게. 조그만 이 면을 통과해서 나가는 여기 전속의 밀도입니다, 밀도. 이거의 밀도예요. 그러니깐 얘가 만들어지면서 같이 만들어진 물리적 개념이라고 보시면 돼요. 자 그래서 이 미소 면적이 조그마한 면적이죠. 이 조그만한 면적을 통과해나가는 유요한 전속의 개수는 이렇게 우리가 수학적으로 모델링할 수 있는 것이죠, 이렇게. D 벡터의 도트에 ds 벡터다, 이렇게. 여기에 수직한 벡터를 면적 벡터라고 얘기합니다. 이것의 크기는 미소 면적의 크기고, 방향은 수직한 방향. 그래서 이 내적을 했다는 것은 유요한 성분이죠. 그러니깐 즉, 면의 수직으로 빠져나가는 것만 유효한 개수로 세는 것이죠. 그런 개념이에요. 그러니깐 이 조그마한 면적에서 빠져나가는 전속의 개수를 센 거죠, 이렇게 연산으로 센 게 이 방법이에요. 그중에서 유효하게 통과하는 것만 그러면 이제 여기 내적이라는 연산을 해주죠. 이걸 여러분들이 조금 더 이해하고 싶으면, 공대 오후반 유튜브 채널 가시면 내적과 외적의 의미라는 강의가 있습니다. 그 강의를 들으시면 도움이 될 것 같아요. 그래서 이렇게 연산해주시면, 이제 뭐냐면 이 조그만 면적을 빠져나가면 이 전속의 개수를 세면 되는 거죠. 그러면 전체의 개수를 다 세려면, 여기에 대해서 전체를, 여기를 둘러싼 이 면적을 폐곡면이라고 해요. 이걸 완전히 둘러싸고 있는 면이죠, 풍선과 같은 면이죠. 여기 면적에서 면적 적분을 해줍니다. 총면적에서 이걸 다 구해주면 되는 거죠. 다 더해주면 된다는 얘기죠. 각각 구한 걸 다 더하면 된다는 얘기죠. 그거에 대한 수학적인 기호는 이렇게 쓸 수 있는 거죠. 자, 면적 적분이죠. 근데 면적 적분인데, 여기 동그라미가 있어서 폐곡면이라는 거죠. 폐곡면에서 면적 적분해주면 다 더한다는 뜻입니다. 의미론적으로, 그러면 이게 총전속이 되는 것이죠. 자, 폐곡면이 아니면 안 되는 이유가 뭐냐면, 이런 데가 조금 구멍이 나 있다고 하면 이쪽으로 빠져나간 걸 못 세는 거 아니야. 그래서 전체를 완벽하게 메꾸고 있다는 뜻입니다. 전체를 완벽하게 메꾸고 있는 면이라고 해서 폐곡면이라는 얘기입니다. 이렇게 우리가 접근해줘야 한다는 얘기야. 그러면 전부 다 빠져나간, 이 폐곡면 바깥으로 빠져나간 총전속의 개수를 다 셌다는 얘기야. 그 총 전속의 개수는 풍선이 싸고 있는 내부의 전하량과 같다. 이게 이론적인 배경이라는 거죠. 이게 Q랑 같다는 얘기가 됩니다. 이게 바로 이제 가우스 법칙이죠. 이게 가우스 법칙입니다. 폐곡면을, 그러니깐 Q가 있으면 그 Q를 다 쌀 수 있는 폐곡면이죠. 폐곡면 바깥으로 빠져나간 총전속의 개수는 뭐랑 같다고? 그 내부에 있는, 폐곡면 내부에 있는 총 전하량과 같다. 이런 거죠. 그러면 이제 우리가 예를 들어서 어떤 임의의 공간에서 임의의 공간. 여러분 한번 생각해보세요. 아무것도 전하가 없어. 내가 눈으로 전하를 볼 수 없으니, 어떤 수학적인 연산으로 이 안에 전하가 있는지, 없는지 보자. 그러려면, 이렇게 계산하면 되는 것이죠. 여기서 어쨌든 간에 전하가 있는지, 없는지는 모르겠는데 빠져나가는 이 전속의 개수를 세어보는 거야. 이렇게. 어쨌든 이걸 세보는 거야. 세봤더니 여기가. 연산은 이렇게 한다고 했죠. 이걸 세봤더니, 이 폐곡면에서 전속 밀도를 면적 적분한 거죠. 그랬더니 0이 나왔어. 무슨 이야기예요? 이 안에는 뭐가 없다는 뜻이에요? 전속을 세봤더니 한 개도 빠져나가는 게 없더라, 그럼 이 안에는 뭐가 없다는 뜻이에요? Q도 없다는 뜻이 돼요. Q가 있으면 이게 Q에 해당하는 이 개수가 나왔겠죠. 그렇게 물리적으로 세워 놓은 게 바로 가우스 법칙입니다. 그러면 이 가우스 법칙으로, 우리가 뭘 하기 위해서 가우스 법칙을 만들었다고 했죠? Q가 있을 때 그 주변의 전기의 세기가 얼마인지를 Q가 있다고 할 때, 여기 r만큼 떨어진 이 지점의 전기의 세기가 얼마인지 이런 거를 빨리 계산하기 위해서, 이걸 만들었다고 했잖아요. 그래서 이 논리적 근거를 가지고 빨리 전개를, 계산할 수 있도록 한 것이죠. 한번 예를 들어보도록 하겠습니다. 자, Q 쿨롱이 여기 안에 정전하가 있다고 해봐요, 그럼 이 정전하를 둘러싸는 폐곡면 s를 씌워요, 폐곡면 s. 폐곡면 s는 면이 아니고 풍선과 같은 3차원 구라고 생각하셔야 해요. 근데 이 반경이 rm라고 쳐봐요. 구라고 생각을 해봐요, 폐곡면을 그렇게 씌웠다. 일부러 뭐 찌그러져도 상관은 없죠. 둘러싸기만 하니깐 상관은 없는데 우리 계산만 복잡하니깐 완벽한 구의 폐곡면이라고 가정을 해봐요. 그러면 이걸 면적 적분을 한다고 하면, 이게 이제, 이 조그마한 면적들을 다 합친 거잖아요. 그러면 어차피 얘는 구니깐, 표면적을 면적 적분하면 4πr의 자승이 나올 거예요, 표면적이. 이건 알잖아요, 그렇죠? 그러면 우리가 계산을 쉽게 하려고 해요. 자, 그러면 이게 이제 전속은 각 방향으로 다 일정하고, ds, 이거는 여러분들 이해 다 못하셔도 돼요. ds 벡터하고 결국 얘가 가려고 하는 벡터하고는 나란해져요. 결국은 뭐냐하면, 여기는 일정한 상수 취급을 해줘야 해요. D. 크기로만 써도 상관 없다는 뜻이에요. D에 여기가 면적 적분하면 이게 나오겠죠. 4πr의 자승. 이렇게 나오는 거죠. 자, 이게 이제 Q가 되는 개념이죠. 그래서 이제 Q가 있다고 했으니깐 이렇게 쓰면 되잖아요. 이렇게 써주면 되죠. 자, 그럼 우리가 전속 밀도 D를 계산할 수 있죠. D는 뭐냐면, Q의 4πr의 자승이다. 이렇게 구할 수가 있죠. 자, 우리가 구하려고 하는 것은 사실은 전기의 세기죠, 그런데 왜 전속을 갖다가, 전속 밀도는 전속에서 온 개념이잖아요. 왜 전속 밀도를 데려왔냐고 하냐면, 이 매질에 따라서 영향을 안 받는 그런 물리량이기 때문에 얘를 가지고 쉽게, 빨리 계산하자는 거죠. 매질에 따라서, 얘의 영향이 없는 거잖아, 그래서 우리가 구하려는 전기와 이 둘의 관계를 이용해서 마지막 정리를 해주면 된다는 거죠. 그래서 이 전속 밀도와 전기하고 두 개의 관계는 어떤 관계냐면, ε 된 관계다. 얘는 물질의 매질에 관련된 유전율이라는 상태죠, 그러니깐 유전율에 따라 이 전기의 세기는 바뀌는 거죠. 그래서 전기의 세기로 이걸 다시 쓰면 이렇게 쓸 수 있죠. ε 분에 D 벡터, 이렇게 쓰는 거죠. 즉, 이 전기라는 것은 ε의 영향을 받는 거죠. 즉, ε이 크다. 유전체인데, 유전율이 큰 놈이라고 하면 전기의 세기는 줄어들고 작다고 하면 반대가 되는 거죠, 이런 식으로 되는 거죠. 그래서 매질에 따라 크기가 바뀌기 때문에 나중에 전기의 계산은 매질과 전혀 관계없는 D를 먼저 계산해주고, 여기로부터 결국이 관계를 이용해서 우리가 정리해주면 된다는 얘기죠. 자, 그러면 E라는 것은 얼마가 되는 것입니까? 여기다가, 이 E를 ε으로만 나눠주면 되죠. 그래서, 4πεr의 자승에 Q. 이렇게 해서 우리가 구할 수 있는 거죠. 또는 단위는 뭐냐면, V/m 이렇게 써줄 수 있는 겁니다. 자, 이렇게 우리가 굉장히 쉽게 우리가 전기의 세기를 쉽게 구할 수 있다는 뜻입니다. 이것도 적분하니깐 어렵지 않겠냐, 그런데 쿨롱의 법칙으로 구하는 적분 하고는 레벨이 다른 거예요. 여기서 하는 적분하고, 거기서 하는 적분은 레벨이 다른 거니깐 여기는 굉장히 쉬운 접근이라고 생각을 하시면 되겠습니다. 자, 이것을 만약에 우리가 개념을 이해한다는 측면에서 똑같은 건데 이걸 만약에 쿨롱의 법칙으로 구한다고 생각해보세요. 이것도 물론 쿨롱의 법칙으로 구해도 쉬운 거예요. 이거는 그냥 이해일 뿐이니까. 쿨롱이라는 정전하가 있어요, 그런데 주변에 1 쿨롱이라는 걸 갖다 놓았을 때 1쿨롱에 작용하는 힘이 바로 전기거든요. 즉, 1쿨롱. 단위 전기력인 것이죠. 그래서 여기 rm 떨어져 있다고 가정을 하면, 쿨롱의 법칙으로 한번 구해봐요. 그럼 어떻게 되겠어? 이렇게 될 겁니다. k, 쿨롱의 상수가 될 것이고 이거의 자승, 그다음에. 전하량에 비례하죠. 단위는 N이 되는 것이죠. 자, 그럼 이제 쿨롱 상수로 써보면, 쿨롱 상수는 어떻게 돼요? 4πε 분에1이죠. 그래서 r의 자승에 Q. 이렇게 되는 거죠. N. 자, 어때요? 가우스 법칙으로 구한 결과와 지금 쿨롱의 법칙으로 구한 결과는 결국 같죠. 그래서 뭐냐면, 쿨롱의 법칙으로 구할 수도 있고, 가우스 법칙으로도 구할 수 있는데 가우스 법칙은 훨씬 더 쉽게. 지금 여기서는 이게 더 쉬운 거 아니냐고 하겠지만, 이거는 그냥 아주 쉬운, 쿨롱의 법칙으로도 쉽게 이해할 수 있는 같이 구할 수 있다는 걸 보여주기 위한 예이기 때문에 이것과는 비교하지 않으셨으면 좋겠습니다. 자, 뭐 이런 것입니다. 자 그러면 본문으로 돌아가서 한번 정리된 걸 읽어보시고 한번 마무리 짓도록 하겠습니다. 정의에 대한 얘기를 한 번 더 읽어보고 가죠, 정의 부분이죠. 임의의 폐곡면. 폐곡면은 Q만 둘러쌀 수 있으면 되는 것이죠. 임의의 폐곡면을 싸죠, 그런데 쌀 때는 기왕이면, 그 전하의 모양과 유사한 형태로 싸는 게 훨씬 더 유리하겠죠. 정전하나 부전하 같은 건 구 형태로, 원통형 모양 같은 경우는 원통형 모양으로 싸고 그런 것이죠. 면 전하 같은 것은 사각 박스로 싸면 되는 것이고, 그래서 폐곡면을 만드는 것도 요령이죠. 실제 계산할 때는요, 이 폐곡면을 빠져나가는 총전속의 개수를 세게 되면 그걸 뭐라고 하냐, Ψ라고 얘기를 했죠. 총 전속 Ψ는 그 폐곡면 내에 존재하는 전하량과 같다. Q랑 같다. 이렇게 물리적으로 센 거죠. 또는 이 전속선으로 세우는 게 아니라 총 전기력선으로 세우는 거죠. 전기력선은, 매질에 따라 다르기 때문에 이제 우리가 세우라고 아까 그 식 중에서 D는 ds다. 이 부분이잖아요. 이 부분이니깐, 바로 집어넣는 거잖아요. 이것 대신에 εE 벡터. 이걸 상수 취급하면 바깥으로 나올 수 있고 이쪽에 Q가 있는데 Q 쪽에서 나눠서 표현할 수도 있죠. 이걸 전개로 쓰는 경우에는 여기 결과물을 ε으로 나눠줘야겠죠. 그래서 이 Q 자체가 영향을 받는 거죠. 전기에 따라서 이게, 매질에 따라 영향을 받는 것이기 때문에, 사실 제가 정의를 써주면서도 이 정의를 더 먼저 써준 겁니다. 같은 이야기긴 하지만 여러분들이 원칙적으로는 이걸 더 개념적으로 잡고 들어갔으면 좋겠어요, 그래서 전속 밀도를 왜 여기 도입시킨 이유가 있었던 것이죠. 자, 정의식은 이와 같죠. 전속. 총전속은 Q와 같다. 그래서 구하는 방법 자체가 이와 같다는 얘기죠. 이 개수를 세는 방법이 이와 같았다. 그래서 여기에 식을 보태면 εE벡터가 되면 여기는 상수 취급을 해서 이쪽으로 넘어가면 여기다가, E라고 직접 쓰고 싶으면. 전기로 바로 쓰고 싶으면 여기에 ε을 나눠줘야 하겠죠. 만약 여기에서 공간이 진공이라고 하면, ε 대신에 뭘 쓸 수가 있어? ε 대신에. εr. 진공 중에 유전율, 그다음에 비유전율. 진공 같은 경우에 비유전율이 1이니깐, ε, 0 이렇게 보통 써주면 되죠. 진공 중인 경우는 이제 그렇게 쓸 수 있습니다. 자, 첫 번째 시간 가우스 법칙에 관한 얘기를 해봤습니다. 다음 시간에도 가우스 법칙 얘기를 할 건데요, 가우스 법칙으로부터 유래된 맥스웰 방정식을 얘기해볼까 합니다. 자, 다음 시간에 뵙겠습니다.