1강 교류 최대값 평균값 실효값

강의 대본

안녕하십니까, 박권배입니다. 이번 시간부터는 전기회로죠. 네, 전기회로 분야로 이제 들어왔습니다. 첫 번째 주제로는 정현파의 최대값, 평균값, 실효값에 대해서 말씀드리도록 하겠습니다. 본문으로 들어가 보시죠. 우리가 직류가 있고 교류가 있죠. 직류는 우리가 뭐, 특별히 표현법을 구분할 필요가 없죠. 10암페어다, 그러면 여러분이 이제 이렇게 생각하는 거죠. 10암페어다, 그러면 10암페어면 이런 것이겠거니 이렇게 생각하는 거죠. 직류는 늘 일정한 값이 흐르기 때문에 우리가 특별히 표현법을 정할 필요가 없습니다. 근데 교류 같으면, 우리가 발전기가 만든 게 교류잖아요, 그렇죠? 특별히 변형하지 않으면 우리가 이런 정현파의 교류가 나오는 거죠. 교류라는 것은 플러스하고 마이너스 왔다 갔다 하는 것을 교류라고 이야기하죠, 그렇죠? 그래서 여기서 정현파라고 말하는 것은 사인파나 코사인파를 갖다가 우리가 정현파라고 이야기하는 것이죠. 이것도 주기파형이죠. 한 주기를 계속 반복해서 이런 걸 갖다 계속 반복해서 가는 걸 주기파라고도 부르죠. 자, 이런 것인데 지금 뭐냐면 시간에 따라서 그 크기를 계속 바꾸고 있어요. 그러기 때문에 얘를 갖다가 표현하는 방법이 좀 있어야 될 거 같아요. 그렇죠. 뭐라고 불러줘야 될지 모르는 거죠. 그래서 뭐냐면, 우리가 약속을 하자는 이야기예요. 그래서 약속을 한 게 뭐냐면 세 가지 표현법이란 거죠. 하나는 최대값, 평균값 또 하나는 실효값이란 게 있어요. 세 가지 표현 방법이 있다는 거죠. 그거에 대한 이야기입니다. 최대값, 평균값, 실효값인데 우리가 선택을 한다고 해봐요. 뭐로 얘를 갖다 불러줄 거냐? 전압, 전류의 크기를요, 이렇게 계속 변하고 있는데. 여기서는 이제 전류로만 한번 쭉 표현해 보겠습니다. 이게 전압은 같은 위치로 표현된다고 생각하시면 돼요. 교류전류가 있는데 계속 변하고 있기 때문에 뭐로 이 전류를 불러줄 거냐는 이야기죠. 그래서 이렇게 한번 해보자. 우리가 대표를 뽑을 때 반에서 대표를 뽑는다고 하면 공부를 제일 잘하는 사람 아니면 싸움을 제일 잘하는 사람, 이런 식이죠. 그러니까 여기서도 제일 큰 값으로 정하자. 그래서 순시치 중에서, 매 순간 변하는 값 중에서 가장 큰 값으로 얘를 갖다 표현하자. 그 표현 방법이 최대값이라는 거죠. 그래서 가장 큰 값, 여기서는 이제 Im이 되겠죠. 가장 큰 값으로 표현하는 방법이 바로 최대치 표현이 되겠습니다. 자, 두 번째는 이럴 수 있는 거죠. 그러지 말고 평균으로 하자, 평균. 평균으로. 가장 중간값으로 우리가 대표성 있게 불러주자. 뭐, 이런 거. 자주 쓰는 방법은 아니지만 이럴 수도 있다는 이야기죠. 그래서 그렇게 표현하는 방법이 평균값 표현 방법이다. 이렇게 생각하시면 돼요. 평균이니까, 주기함수니까 이제 반복하는 이 한 주기를 따서 이 한 주기를 따서 이걸 갖다가 다 더한 다음에, 값들 다 더한 다음에 네, 다 더하는 거죠. 적분해서 다 더하는 거죠. 여기 한 주기 동안 다 더한 다음에 그 한 주기 시간으로 갖다가 나누는 거죠. 즉, 한 주기 동안의 산술적인 평균을 구하는 거죠. 우리가 샘플 다 더한 다음에 개수로 나눈 거 갖다가 산술 평균이라고 이야기하잖아요. 그렇죠? 그렇듯이 평균값을 갖다가 구하는 거예요. 이거를 갖다가 우리가 평균값의 정리라고 부르는 거죠. 어쨌든 그냥 산술 평균을 구하는 거죠. 그걸 갖고 우리가 대표값으로 취하자고 하는 것이 평균값 표현이라는 거죠. 자, 세 번째는 실효값 표현이 있습니다. 이 세 가지 표현 방법 중에서는 우리가 이 실효값 표현을 갖다가 가장 표준적으로 사용하죠. 누구는요? 우리 전기 엔지니어들은. 전기공학도들은 이 표현 방법을 표준적으로 씁니다. 우리가 전력기기 명판을 보면 정격전압, 정격전류 등등 전압전류, 각종 전압전류 지표가 나오는데 그런 것들도 다 아무 말이 없어요. 어떤 표기가 없다. 다른 언급이 없다. 그러면 그냥 실효값인 것이죠. 그래서 이제 실효값이 아닐 때 오히려 다른 방법으로 표현해줘야 한다. 실효값 아니면 최대값일 거예요. 그러니까 최대값일 때는 피크다, 단위에다가 붙여 주든지 아니면 괄호 쳐놓고 어딘가에는 최대값이라고 표현해줘야지 맞는 것이죠. 지난번에 우리가 케이블의 단락 전력을 구할 때도 '파고치' 이렇게 해서 알려주잖아요. 이거는 실효값이 아니라는 것을 'Im' 해가지고 알려줬잖아요. 그렇듯이 우리가 반드시 실효치가 아닐 때는 어딘가는 표기상에 알려줘야 된다는 거죠. 아니면 모두 다 실효치로 이해를 한다는 것이죠. 자, 그러면 이 실효치가 뭔지를 이해하는 것이 이 시간에서는 가장 핵심적인 부분이 될 것 같습니다. 자, 직류회로가 있습니다. 직류회로가 하나 있고, 그다음에 여기에 저항을 하나 가지고 있고요, 그다음에 동일한 저항을 가지고 있는데 이건 교류회로입니다. 지금 우리는 교류의 표현법을 배우고 있어요. 직류전압이 되겠고, 얘는 교류전압이 될 거예요. 여기에 전류를 갖다가 흘려봅니다. 여긴 직류전류가 되고요, 여기는 교류전류입니다. 동일한 저항에다가 전류를 흘리는 거예요. 자, 그랬을 때 이 저항에서 소비되는 전력은 우리가 이렇게 구하는 겁니다. Idc의 제곱의 R, 이렇게 구하는 거죠, 그렇죠? 이게 소비전력이죠. Pdc라고 하죠. 단위는 와트, 이렇게 쓸 겁니다. 여기서도 소비되는 전력. 네, 교류에서 소비되는 전력은 약간 복잡하긴 한데 얘는 전류가 늘 같으니까 그냥 이렇게 해도 돼요. 네, 이렇게 해도 되는 건데, 매 순간순간마다 이 전류값이 바뀌기 때문에 여기서 소비전력을 어떻게 구하냐면 여기 값을 갖다가 일일이 일단 다 더해 줍니다. 적분해서 다 더해 줍니다. i제곱t 의R, 이 값이잖아요. 매 순간순간의 값을 조그마한 시간으로 나눠서 이걸 갖다가 이걸 나눠서 한 주기 동안 다 더해 줍니다, 이렇게. 다 더해 줍니다. 그런 다음에 이렇게 평균으로 하면 평균을 취하게 되면 이게 소비전력을 구하는 방식이에요. 이런 식으로 우리가 소비전력을 구합니다, 실제로도. 자, 그래서 이제 우리가 알아야 될 것 중의 하나는 뭐냐면 우리가 구하고자 하는 유효전력이죠. 소위 말해 유효전력인데 유효전력은 뭐냐면 순시전력, 순시전력의 평균값이라는 것이죠. 그래서 이렇게 평균 전력을 우리가 유효전력으로 삼는 겁니다. 자, 어쨌든 두 개 다 직류회로에서 이 저항에 소비되는 전력과 그다음에 교류회로에서 저항에서 소비되는 전력을 갖다가 이와 같이 구했습니다. 이때 이 두 개의 소비전력이, 소비전력이 같게 하는, 이 두 개가 같게 하는 이 직류분 전류의 크기를 바로 실효값으로 정의를 한 겁니다. 자, 그걸 갖다가 우리가 식으로 정리를 해보면 같다고 했으니까 이거하고 이거는 나눠져서 없어질 거예요. 어차피 저항이니까 앞으로 튀어나오면 그러면 나머지만 정리하면 Idc의 제곱은 T분의 1에 i제곱(t)dt, 이렇게 될 겁니다. 자, 그러면 이 직류전류는 루트만 씌워버리면 되죠. 네, 제곱근만 씌워버리면 되죠. 자, 이렇게 우리가 구할 수 있을 것입니다. 실효값은, 이게 결국 우리가 실효값이라고 부르는 거거든요. rms라고 부르는 거거든요. 직류전류에 의해서 소비되는 전력이죠. 직류전류에 의해서 소비되는 전력과 교류전류에서 소비되는 전력이 에너지를 같이 놓고 봤을 때 그때의 전류를 바로 이제 실효값 전류라고 표현하는 거죠. 에너지가 같게 되게 하는 전류라는 거죠. rms로 10암페어다, 실효값으로 10암페어다, 그러면 직류의 10암페어랑 에너지 레벨이 같다는 이야기예요. 직류의 그것과 에너지 레벨이 같은 크기의 상응하는 교류의 그 값이라는 이야기죠. 무슨 뜻인지 아시겠죠? 그러니까 교류전류의 표현 방법 중에서 직류랑 에너지 레벨이 같은 크기로 표현하려면 어떻게 표현해야 되냐는 이야기죠. 그게 바로 실효값이라는 이야기죠. 그러니까 등가적으로 실효값 10암페어는 직류 10암페랑 등가적으로 같은 거죠. 이런 값을 계산상으로 이렇게 얻어낸 거죠. 그래서 표현상으로 보면 여기가 루트가 씌워져 있잖아요. 그래서 루트, 이렇게 되고 그다음에 여기가 제곱만 빼고 나머지는 평균값의 정리죠. 평균이죠, 평균. 이 제곱만 빼고요, 그러면 이게 mean, 평균이고요. 그다음에 이게 그거의 또 제곱이 되겠죠. 그래서 square, 이 식을 보고 만들어낸 용어죠. rms죠. rms. 실효값, 이렇게 부르죠. 실제로 효과가 있다는 그런 이야기니까 실제 에너지를 바라보면서 만든 값이라는 이야기예요. 근데 그 에너지를 누구하고 비교한 값이냐면 직류랑 비교한 값이다. 그래서 이 실효치는 직류에 대응하는 교류의 값이라고 보시면 되겠어요. 에너지를 대상으로 해서 에너지가 같게 하는 값으로 정의를 해줬던 것이죠. 이렇게 이해를 하셨으면 좋을 것 같습니다. 평균값이나 실효값을 구하라는 문제들이 예상치 않게 나올 때가 있습니다. 그래서 그걸 대비한다는 의미에서 기왕 이걸 했으니까 이거 한 문제 정도만 평균값과 실효값 정도만 한번 여기서 해결해보고 갑니다. 자, 평균값이요, 먼저. 전류는 이렇게 놓고 풉니다. I(t)는 Im의 sinωt, 이렇게 놓으면 되겠죠. 이걸 갖다가 이 ωt를 우리가 θ로 놓고 여기서 푸는 게 좋습니다. 시간 함수를 우리가 θ 함수로 바꾸는 게 여기서는 풀기가 더 편해요. Im에다가 sinθ, 이렇게 바꾸는 게 좋다는 이야기예요. 자, 이걸 갖다가 우리가 평균값을 구하려면 이 식을 구하면 되죠. I의 평균값이라고 합시다. 평균값은 반 주기만 우리가 평균으로 구하는 방법이 있다고 했죠. 이제 그 방법을 써볼게요, 그러면은 한 주기가 아니라 반 주기죠. 반 주기고, 그다음에 0에서부터 반 주기까지만 적분하면 되겠죠. 그다음에 이제 이걸 쓰시면 되죠. Im에다가 sinθ dθ, 이렇게 구해주면 되죠. 시간 함수로 하는 것보다는 이렇게 θ 함수로, 위상각 함수로 구하는 것이 훨씬 더 여기서는 용이합니다. 그래서 이거를 ωt를 θ로 바꿔서 다뤄주는 게 편하다는 이야깁니다. 연산하실 때 훨씬 더 편해요. 자, 그러게 되면 이거는 이제 이걸 적분만 하면 되는 것이죠. 적분만 하면 되는 건데, 그럼 여기다가 이제 t니까 라디안으로 이제 π가 되죠. π분의 1이 되죠. 2π가 한 주기가 되니까 여기는 π가 반 주기죠. 2분의 1주기죠. 그러면 여기가 π가 되고 Im에다가 sinθ dθ, 이렇게 되는 거죠. 얘는 상수니까 앞으로 나오면 되죠. 그래서 π분의 Im이 되고 그다음에 코사인을 갖다가 적분하면, 자, 코사인을 적분하면 여기서 사인을 적분하면 코사인이 되는데 마이너스 달고 나와요, 그래서 마이너스를 앞에다 먼저 써주고 여기다가 [cosθ] 0에서 π, 이렇게 써주면 되죠. 여기에다 π를 넣어보면 cosπ는, 코사인 그래프는 이렇게 생겼으니까 이렇게 생겼잖아요. 그러니까 여기가 π일 거예요, 그렇죠? 그러니까 -1이란 말이에요. 여기다 들어가면 -1. -1이 되고, 그다음에 0이니까 빼기 코사인 0도는 1이에요. 그럼 이렇게 돼요. 그러니까 여기 값은 -2가 된다는 이야기죠. 그러니까 -2하고 여기 마이너스 있으니까 여기는 이제 부호는 플러스로 바꿔도 되겠죠. 그러면 최종적으로 이렇게 나오죠. π분의 2Im, 이렇게 나오는 것이죠. 그러니까 이거를 갖다가 계산기로 두드리면 되든지 아니면 이건 그대로 놔둬도 상관없죠. 계산해보면 0.637 정도가 나온다는 거죠. 그러니까 최대치의 63.7% 정도가 이제 평균값에 해당된다. 그러니까 이겁니다. 그다음에는 실효값이죠. 실효값은 이렇게 돼 있죠. 실효값이요. 루트를 씌우죠. root mean square죠. root mean square 생각하면 이 식을 써도 될 거 같아요. i(t)의, 여기까지는 root mean이죠. 그다음에 여기다가 제곱까지 제곱을 잊어버리지 말아야 되겠죠. 그래서 이 식이죠. 자, i(t)는 Im에다가 sinθ. 시간 함수보다는 위상각함수로 바꿔서 다루도록 하겠습니다. 이것이 우리가 다루기가 훨씬 편해서 그렇습니다. 자, 그러면 한 주기는 2π가 되죠. 2π로 바꿔 쓰고요. 그다음에 여기는 0부터 2π, 한 주기. 그다음에 이게 양수죠. 이걸 제곱해야 되겠죠. 그러면 Im의 제곱에다가 sin²θ dθ 이렇게 되겠죠. 이렇게 식을 바꿔 놓고. 자, 우리가 어차피 θ에 대해서 적분을 해야 되는데 이 부분이죠, 이 부분. sin²θ를 우리가 적분을 해야 되는데 이제 이거는 좀 복잡하긴 한데 이것 정도 하나 알아두면 되죠. 그런다고 여러분들 이거 나온다고 해서 삼각함수 또 가서 공부하고 그러지 마세요. 그냥 이거 나오는 것만 정리하고 넘어가면 좋겠습니다. 자, 삼각함수의 반각 공식이라는 게 있죠. 반각 공식이라는 게 있어서 이게 이렇게 돼 있어요. sin²θ/2, 이렇게 된다고 하면 이런 식으로 바꾸는 거예요. 2분의 1-cosθ, 이런 식으로요. 자, 반각이라고 해서 각이 2분의 1로 쪼개졌다고 해서 반각 공식이라고 이야기해요. 그래서 여기서는 각이 두 배가 된 거죠. 두 배가 된 거니까 여기가 θ가 된 거죠. 자, 2분의 1-cosθ 이와 같이 된다는 거죠. 이런 거 정도 알아두시면 되고요. 그다음에 이제 하나 정도 더요. 자, sinax다. 이걸 갖다가 적분하게 되면 sinax, 이런 걸 적분하게 되면 이렇게 되죠. 당연히 sin함수를 적분하면 cos함수가 되는 건데, 안에 속함수가 들어가 있는 거죠. 이런 것은 a분의 1에다가 cosax, 이렇게 된다. 이런 거 정도, 근데 이제 sin이 적분이 되면 앞에 뭐가 붙어줘야 맞냐면 마이너스가 붙어주면 맞습니다. 그래서 여기서는 이 정도를 기억하면 좋을 것 같아요. 여기서는 이 정도요. 물론 여기서 cos이 적분되면 sin으로 바뀌겠죠. 비슷한 유형으로 바뀝니다. 근데 이제 부호가 플러스인 상태로 아마 바뀌게 될 겁니다. 그런 것 정도 여기서 정리하지 이걸 갖다가 공부하신다고 들어가면, 가끔 기술사 공부할 때 수학 기초 공부 다 다시 하고 와야 되냐고 하는데 그렇게 하지 말고 여기에서 그냥 이해할 수 있는 정도의 수준만 이해하고 거기서 필요한 수학만 따서 그것만 취해 가시기 바랍니다. 언제 그거 다 공부하고 있습니까? 그렇게 할 필요도 없습니다. 자, 그러면 이 부분을 이해하고 있으면 이거는 충분히 할 수 있는 거니까 자, 루트에 1/2π에 여기다가 Im은 앞으로, 상수는 앞으로 한번 보내버릴까요, 미리? 상수는 앞으로 여기다가 보내버리죠. Im의 제곱으로요. Im의 제곱으로 보내버리고 자, 여기 부분을 갖다가 미리 좀 바꿔 놓죠, 이렇게. 자, 이런 모양으로 바꿔 놓죠. 그러면 이게 이제 θ니까 2θ 오면 돼요. cos2θ로 바꾸면 되겠죠. 자, 2분의 1 마이너스니까 sin을 뭐로 바꾸죠? cos의, 여기가 θ/2에서 θ로 바뀌었으니까 여기는 θ니까 두 배로 2θ, 이렇게 하면 되죠. dθ, 됐네요, 이제. 이제 뭐, 할 만하겠네요. 아, 이게 cos이네요, 제가 sin으로 했지만. 아까 말은 잘했네요. cos이 되면 여기서 부호만 플러스로 바뀌면 되는 거죠. 플러스만 달면 되는 거죠. 자, 그러면 여기서 1/2도 앞으로 보내버리죠. 그러면 4π가 되겠네요. 1/2도 앞으로 가면 4π의 Im의 제곱 이렇게 되죠. 자, 그다음에 1/2이 갔으니까, 1만 남았으니까 1을 적분하면 θ가 되겠죠. 1은 θ가 되겠죠. 그다음에 이 부분이요. 이 부분은 1/2이 되고요. 여기처럼 1/2이 되겠죠. 1/2이 되고 cos이니까 sin으로 바뀌면 되죠. 그다음에 2θ, 이렇게 되면 되죠. 그다음에 0부터 2π까지. 자, 이렇게요. 마이너스 원래 있었잖아요. 그렇죠? 그대신 cos이 sin으로 적분될 때는 여기에 추가적으로 마이너스가 안 붙으니까 그냥 마이너스 그대로 유지하고 있죠. 이렇게만 되면 될 것 같습니다. 여기다가 2π를 집어넣으면 여기는 2π인 거죠. 그냥 2π인 거죠. 자, 그다음에 여기다가 2π를 집어넣으면 2π나, 4π 가 되나 sin은 이렇게 될 거 아니에요. sin함수는 이렇게 해서 이렇게 갈 거니까 여기가 0, 여기가 π, 2π, 3π, 4π, 여기 4π. 여기는 얼마가 된다는 이야기예요? 여기에 2π가 들어가면 여기는 0이 된단 이야기고 그런 이야기죠. 그러니까 여기는 2π만 남았죠. 그다음에 0을 집어넣으면 여긴 0이고 sin0은 당연히 0이고 그러니까 2π만 남는다는 이야기죠. 여기를 연산을 해버리면. 그러면 남는 것이 여기서 2π남았으니까 2π만 넘어오면 되는데 여기서 곱해서 오는 것이기 때문에 이렇게 이렇게 나눠서 없어지네요. 그렇죠? 여기가 2가 되고 여기는 없어지고, 그러면 어떻게 돼요? 2분의 Im의 제곱, 이렇게 되네요. 다 되었네요. 그러니까 여기는 이제 Im의 제곱이니까 제곱은 그냥 빠져버리면 되니까 루트2분의 1에다가 Im, 이런 식으로 되는 거죠. 자, 됐죠? 그럼 오늘은 여기까지만 이야기하도록 하겠습니다. 다음 시간에 뵙죠.