02강. 적용 방법 1 : 독립 전압원을 가지는 경우

강의 대본

몇 가지 예를 통해서 앞에서 살펴봤던 기준 노드와 다른 노드 사이에 독립 전압원이 있는 경우를 다시 살펴보도록 하겠습니다. 예를 보도록 하겠습니다. 회로를 보시면 3V 직류 전압원에 2k짜리 저항 3개가 직렬로 연결되어 있습니다. 문제가 뭐냐 하면 지금 노드 전압 해석법을 이용해서 2k에 흐르는 전류 I를 구하는 게 문제가 되겠습니다. 앞에서 살펴봤던 노드 전압 해석법 순서를 기억해 보시기 바랍니다. 맨 처음이 노드의 개수를 파악하는 게 첫 번째가 되겠습니다. 지금 3V하고 2k가 만나는 이 부분이 하나의 노드가 될 거고 그다음에 2k 저항 3개가 만나는 전체 이 부분이 하나의 노드가 될 겁니다 그다음에 접지, 그라운드를 포함하는 이 부분이 또 하나의 노드가 되겠습니다. 그래서 이 회로 같은 경우에는 총 3개의 노드를 갖고 있다고 생각하시면 되겠습니다. 먼저 노드 개수 파악했으니까, 3개라는 거 노드 중의 하나를 기준 노드로 삼아야 되겠습니다. 접지를 포함하고 있는 노드가 있으면 그 노드를 기준 노드로 삼는다고 말씀드렸습니다. 그래서 접지를 포함하는 이 아랫부분을 기준 노드로 삼겠습니다. 기준 노드는 쉽게 0V라고 보시면 되겠습니다. 여기를 기준으로 나머지 노드의 전압을 측정한다고 말씀드렸습니다. 그러면 노드 3개 중의 하나를 기준 노드로 삼았으니까 나머지 2개 노드 전압을 구해야 하는데 나머지 2개 노드에 이름을 붙여보도록 하겠습니다. 여기를 노드 a라고 하고 이 전체가 또 하나의 노드가 되겠죠. 도선의 길이를 줄여버리면 같은 한 점이 되기 때문에 이 부분을 노드 b라고 하겠습니다. 각각의 전압을 구하는 거니까 여기를 Va 이 부분을 Vb라고 하겠습니다. 처음에 Va 부분을 보시면 지금 기준 노드와 어떤 노드 사이에 전압원이 존재하면 그 노드의 전압을 알려준다고 생각하시면 되겠습니다, 쉽게. 그래서 기준 노드와 노드 a 사이에 3V 직류 전압원이 있기 때문에 Va가 3V가 된다는 것 알 수 있습니다. 그래서 3개의 노드 중에서 지금 하나는 기준 노드고 하나는 Va, 3V 된다는 거 알 수 있기 때문에 Vb만 구하면 되겠습니다. 다음에 해야 될 부분이 그거죠. 우리가 구하고자 하는 노드에서 임의의 전류를 부여해야 하는데 다 흘러나가는 방향으로 부여하는 게 일반적이라고 말씀드렸습니다. 그래서 노드 b에서 다 흘러나가는 방향으로 3개의 전류를 부여할 수 있습니다. 여기를 i1, i2, i3라고 하겠습니다. 먼저 i1, i2, i3를 보기 전에 여기 보시면 우리가 2k 저항에 흐르는 전류 I를 구하는 건데 이 전류와 i1 크기는 같아야 되겠습니다. 동일한 2k 저항에 흐르는 전류이기 때문에 크기는 같은데 I와 i1의 방향이 반대되기 때문에 수식으로 표현하면 이렇게 되겠죠. I=-i1이 되겠습니다, 크기는 같은데 방향이 반대. 방향이 반대되면 앞에 -를 붙인다고 말씀드렸습니다. 전류 값은 크기와 방향으로 표시합니다. 임의의 전류를 노드에서 흘러나가는 방향으로 부여했으면 그 노드에서 키르히호프의 전류 법칙을 적용해서 전류 방정식을 세워야 하는데 들어오는 전류는 하나도 없으니까 들어오는 전류의 합은 0이고 흘러나가는 전류가 i1, i2, i3이기 때문에 이런 전류 방정식이 하나 세워지겠습니다. 여기까지 식이 하나 세워졌으면 i1, i2, i3를 옴의 법칙 I=V/R라는 옴의 법칙을 이용해서 노드 전압의 형태를 표현해야겠습니다. 먼저 옆에 i1, i2, i3를 구해보도록 하겠습니다. i1은 2k 저항에 흐르는 전류인데 R분의 V 해서 2k분의 저항 양 단자 간의 전위차로 나눠줘야 하기 때문에 한쪽에는 Vb가 걸려있고 한쪽에는 Va가 걸려있습니다. 근데 i1의 전류 방향이 b에서 a로 나가는 거로 되어 있기 때문에 b점이 a점보다 높다고 생각해서 Vb-Va로 표시합니다. Va가 3V라는 거 우리가 확인했으니까 2k분의 Vb-3이 되겠습니다. 그다음에 i2 역시 2k에 흐르는 전류니까 2k분의 한쪽에는 Vb가 걸려있고 한쪽에는 기준 노드 0V라고 했습니다. 기준 노드가 걸려있으니까 Vb-0 해서 2k분의 Vb가 되겠습니다. i3도 2k에 흐르는 전류니까 2k분의 한쪽에는 Vb, 한쪽에는 기준 노드 아까와 똑같습니다. 그래서 Vb-0해서 2k분의 Vb가 되겠습니다. 옴의 법칙 I=V/R이라는 것을 이용해서 앞에서 키르히호프의 전류 법칙을 이용해서 구했던 전류 방정식에서 i1, i2, i3를 노드 전압을 포함하고 있는 형태로 변형했습니다. i1, i2, i3를 이 식에 대입을 해 보도록 하겠습니다. 좀 올려서 하도록 하겠습니다. i1 2k분의 Vb-3 i2 +2k분의 Vb i3+ 2k분의 Vb는 0 이렇게 되겠습니다. 분모를 없애기 위해서 각 항에 곱하기 2k를 하겠습니다. 그러면 Vb-3+Vb+Vb=0 이렇게 되겠습니다. Vb, Vb, Vb니까 3Vb는 -3을 등호 우측으로 넘기면 3이 되겠습니다. 결과적으로 Vb=1V가 되겠습니다. Vb가 1V라는 게 구해졌으니까 이 Vb 값을 아까 저희가 옴의 법칙을 이용해서 i1, i2, i3를 구했는데 여기서 Vb 대신에 이 값을 대입을 해 보겠습니다. 그러면 i1은 2k분의 Vb가 1이니까 1-3해서 2k분의 -2가 되겠습니다. 2k분의 -1이니까 -1, k분의 1이니까 k가 10의 3승입니다. 그래서 그것분의 1이니까 10의 -3승 해서 -1mA가 되겠습니다, i1이고. i2는 2k분의 Vb이니까 Vb가 1이니까 1 하면 앞에 마이너스는 붙지 않습니다. 2분의 1이니까 0.5mA. i3도 2k분의 Vb이니까 2k분의 1 해서 0.5mA가 됩니다. 0.5mA이니까 μ로 바꾸면 500μA가 되겠죠. 마찬가지로 500μA. 전류를 다 구했습니다. 아까 우리가 위에서 문제에서 주어진 I가 동일한 2k 저항에 흐르는 전류이기 때문에 I와 i1는 크기가 같고 방향이 반대되기 때문에 이와 같은 식이 성립한다고 말씀드렸습니다. I=-i1. 여기서 i1이 -1mA라는 거 구했으니까 I는 어떻게 될까요. I=1mA가 되겠습니다. 여기서 1mA가 된다는 걸 확인할 수 있는데 아까 i1이 -1mA가 붙었다는 얘기는 아까 i1이 노드 b에서 a 쪽으로 흘러나오는 방향으로 저희가 잡았는데 실제로는 마이너스가 붙었으니까 반대 방향으로 즉 I의 방향으로 1mA가 흐른다는 얘기가 되겠습니다. 그다음에 i2와 i3는 각각 0.5mA, 앞에 마이너스가 붙지 않았으니까 아까 i2, i3와 동일한 방향으로 0.5mA, 0.5mA 이렇게 흐른다는 얘기가 되겠습니다. 이제 전류를 다 구해봤는데 구한 게 맞는지 확인해 보려면 키르히호프의 전류 법칙이 성립하는지 보면 될 것 같습니다. 여기 지금 노드 b에서 보시면 1mA가 들어와서 0.5, 0.5 2개로 나가기 때문에 흘러나가는 거 2개 합치면 들어온 1mA하고 똑같게 되겠습니다. 그래서 저희가 구한 게 맞다는 걸 확인할 수 있습니다. 시뮬레이션을 해봤는데 시뮬레이션 결과와 비교해 보도록 하겠습니다. 시뮬레이션 결과를 보시면 아까 노드 b의 전압이 이 부분이 다 같은 노드 b라고 말씀드렸습니다. 노드 b의 전압이 다 1V로 나오고 첫 번째 노드 a는 기준 노드와 노드 a 사이에 3V 직류 전압원만 존재하기 때문에 3V 직류 전압과 똑같은 3V가 된다는 거 확인할 수 있습니다. 그다음에 전류 쪽을 보시면 1mA가 흘러들어와서 500μA 즉 0.5mA가 되겠습니다. 0.5mA씩 흘러나간다는 거 시뮬레이션 결과와 저희가 푼 것이 동일하다는 것 확인할 수 있습니다. 한 문제 더 풀어보도록 하겠습니다. 이번에도 기준 노드와 다른 임의의 노드 사이에 독립 전압원이 존재하는 예가 되겠습니다. 이번에는 보시면 전압원이 2개가 있습니다. 아까도 말씀드린 것처럼 기준 노드와 우리가 구하고자 하는 임의 노드 사이에 전압원이 있으면 노드 전압을 알려주는 거라고 했습니다. 그래서 전압원이 많으면 많을수록 노드 전압 해석법을 적용하기 굉장히 쉽습니다. 왜냐하면 이미 알려주는 노드 전압 숫자가 늘어나기 때문에. 이것 같은 경우는 그냥 언뜻 보기에 식을 하나만 세우면 끝날 것 같습니다. 한번 보겠습니다. 일단 노드 개수를 파악해야 되겠죠. 노드 개수가 10Ω하고 12V가 만나는 이 부분이 하나의 노드가 될 것이고. 여기. 그다음에 10Ω, 10Ω, 5Ω 3개가 만나는 이 부분. 그리고 5Ω과 6V 직류 전압원이 만나는 이 부분. 이렇게 위에 3개 노드가 있고 그다음에 접지가 포함된 맨 아랫부분 2개의 전압원과 10Ω이 만나는 이 부분까지 해서 총 4개의 노드가 있습니다. 이 중에서 하나를 기준 노드로 삼아야 하는데 접지가 포함된 노드가 있으면 그 부분을 기준 노드로 삼는다고 했습니다. 여기를 기준 노드로 삼겠습니다. 그리고 나머지 3개의 노드에 이름을 부여하는데 a, b, c로 부여하도록 하겠습니다. 각각의 노드 a, b, c의 전압을 Va, Vb, Vc로 놓도록 하겠습니다, 이런 형태로. 앞에서 살펴봤던 노드 전압 해석법 순서에 의해서 지금 하고 있습니다. 지금 그러면 Va는 기준 노드와 노드 a 사이에 12V 직류 전압원밖에 없기 때문에 Va가 즉 12V가 된다는 것 바로 알 수 있습니다. 마찬가지로 여기 노드 c에서도 보면 기준 노드와 노드 c 사이에 6V 전압원만 존재하기 때문에 Vc가 6V가 된다는 것 바로 알 수 있습니다. 이때 극성을 주의하셔야겠습니다. 만약에 6V 전압원이 위가 마이너스 밑이 플러스가 되어 있으면 기준 쪽이 더 높아지기 때문에 Vc가 -6V가 되겠습니다. 뒤에서 이런 예를 하나 더 살펴보도록 하겠습니다. 일단 그냥 이 정도 아시고 넘어가도록 하겠습니다. 그래서 총 4개의 노드 중에서 하나는 기준 노드고 이미 2개의 노드 값을 알고 있기 때문에 Vb만 구하면 되겠습니다. 그래서 Vb에서 다 흘러나가는 방향으로 임의의 전류를 부여합니다. 얘를 i1, i2, i3라고 하겠습니다. 노드 b에서 키르히호프의 전류 법칙을 적용하면 i1+i2+i3=0이 되고 흘러나가는 전류의 합과 흘러들어오는 전류의 합은 같다인데 흘러들어오는 전류의 합이 0이기 때문에 이런 식이 성립하겠습니다. 이런 전류 방정식 하나가 얻어지고 i=V/R를 이용해서 각각의 전류를 노드 전압이 포함된 형태로 바꿔보면 i1은 10Ω이 흐르는 전류니까 b에서 a로 나갑니다. 그러니까 양쪽 단자의 전위차를 구해야 하는데 Vb-Va가 되겠습니다. Va가 10이니까 10분의 Vb-12 이게 i1이 되겠습니다. i2는 역시 10Ω이 흐르는 전류인데 한쪽은 Vb가 걸려 있고 한쪽에는 기준 노드가 되어 있으니까 10분의 Vb-0 기준 노드를 0V로 놓는다고 했습니다. 그래서 10분의 Vb가 되겠습니다. i3는 5Ω에 흐르는 전류가 되겠죠. 그래서 5분의 Vb에서 Vc로 가니까 Vb-Vc가 될 거고 Vc가 6V이기 때문에 5분의 Vb-6이 되겠습니다. 그래서 i1, i2, i3 대신에 지금 최종으로 나와 있는 이 부분이 될 텐데 이 식을 대치를 시켜보도록 하겠습니다. 그러면 10분의 Vb-12+10분의 Vb+5분의 Vb-6=0 이런 식이 되겠습니다. 분모가 10과 5이기 때문에 분모를 없애기 위해서 각 항에 곱하기 10을 해 주도록 하겠습니다. 그러면 Vb-12+Vb+2Vb-12=0 이렇게 되겠습니다. Vb가 있는 항부터 묶어 보면 2Vb, Vb, Vb이기 때문에 4Vb가 되겠죠. 4Vb는 -24인데 등호 우측으로 넘기면 플러스가 돼서 24가 되겠습니다. 그러므로 Vb는 4분의 24 해서 6V가 되겠습니다. Vb는 6V가 된다. 이것도 피스파이스 이용해서 시뮬레이션을 해봤는데 일단 시뮬레이션 결과를 잠깐 보도록 하겠습니다. 노드 전압을 구한 시뮬레이션 결과. 보시면 한쪽에 12V, Va가 12V입니다. 그리고 Vc가 6V로 돼 있고 저희가 지금 구한 Vb가 6V로 돼 있습니다. 시뮬레이션 결과와 똑같다는 것 확인할 수 있습니다. 저희가 구한 게 맞다는 얘기가 되겠죠. 노드 전압 Vb를 구했으니까 각 전류 i1, i2, i3 여기서 Vb 대신에 6V를 대입하면 i1, i2, i3를 구할 수 있습니다. 한번 해 보죠. i1 옆에 다시 한번 써보겠습니다. 여기다 그냥 해 볼까요. i1=10분의 Vb-12라고 아까 했습니다. 그러니까 Vb가 6이니까 10분의 6-12=10분의 -6이 되겠죠. 그래서 -0.6A가 되겠습니다. 그러면 저희가 i1을 지금 b에서 a로 흘러나가는 걸 해 놨는데 실질적으로 a점이 b점보다 전위가 높습니다. 높은 데서 낮은 데로 흘러야 하니까 실질적으로는 i1과 반대 방향으로, 그래서 앞에 마이너스가 붙은 겁니다. 앞에 마이너스가 붙은 이유가 아까 정해준 i1의 방향하고 실제는 반대 방향으로 흐르기 때문에 그렇다는 얘기입니다. 0.6A가 흐른다. 확인할 수 있습니다. i2는 여기서 한번 해 볼까요 i2=10분의 Vb입니다. Vb가 6V였습니다. 6이니까 0.6A가 되겠습니다. 그럼 i2가 앞에 마이너스가 안 붙었으니까 아까 i2와 똑같은 방향으로 0.6A가 흐른다는 얘기가 되겠습니다. i3는 어떻게 될까요. i3는 5분의 Vb-6이니까 6-6해서 0A가 됩니다. 양쪽의 전위차가 6V, 6V 똑같아서 전위차가 없기 때문에 전류가 흐르지 않습니다. 그래서 i3는 0이 되겠습니다. 지금 전류를 다 구했는데 전류 구한 게 맞는지 보겠습니다. 키르히호프의 전류 법칙이 성립하는지 보면 되겠죠. 노드 b에서 보시면 0.6A가 들어와서 0.6A가 흘러나갑니다. 이쪽에는 흐르지 않기 때문에. 그래서 성립한다는 거 확인할 수 있습니다. 시뮬레이션 결과를 보겠습니다. 시뮬레이션 결과를 보시면 600mA, 0.6mA가 흘러들어와서 10Ω을 통해서 600mA 다시 0.6A가 흘러나간다는 거 확인할 수 있고 5Ω에는 아까 전위차가 없기 때문에 전류가 흐르지 않는다. 0A 확인할 수 있습니다. 이렇게 두 가지 정도의 예를 살펴봤는데 다음 강좌에서 한두 개 정도 더 살펴보도록 하겠습니다, 동일한 형태의 문제를.