10. 동차형 미분 방정식

강의 대본

안녕하세요 여러분 박재우 선생님입니다. 자 저번 시간까지 우리가 미분방정식을 풀어가는 과정에서 변수분리형이라고 하는 것을 마무리를 지었습니다. 자 이제 오늘부터는 새로운 형태의 미분방정식 꼴을 한번 살펴보도록 하겠습니다. 새로운 형태를 보기 이전에 먼저 어떠한 타입의 함수 꼴을 한번 먼저 보도록 할게요. 자 이제 이쪽에서 시작해보도록 하겠습니다. 자, 이제 뭘 얘기할 거냐면 우리가 F라고 하는 녀석 자체에 X, Y라고 하는 어떤 함수 꼴이 있습니다. F, X, Y라고 하는 함수 꼴이 있는데 이 X, Y라고 하는 녀석 속에다가 선생님이 뭐를 집어넣을 것이냐면 람다 X와 그 다음에 람다 Y라고 하는 녀석을 한번 대신 대입해보도록 하겠습니다. F, X, Y를 람다 X와 람다 Y로 집어넣게 된다면 이 식 자체가 어떻게 표현되냐? F에다가 람다 X에다가 람다 Y라고 우리가 해석할 수 있겠죠? 자, 이렇게 표현했을 때 람다 X와 람다 Y를 집어넣은 녀석을 최종적으로 본 결과 마지막에 나오는 녀석이 람다라고 하는 녀석이 N제곱에다가 F의 X, Y라고 하는 걸로 바뀌는 함수에 대해서 한번 보겠습니다. 우리는 이렇게 생겨먹는 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 X제곱 더하기 Y제곱이라고 하는 값이 되었다고 보겠습니다. X제곱 더하기 Y제곱이 되었다고 봤을 때요. 이 녀석 자체를 우리가 포커스를 맞춰서 여기다가 똑같이 한번 대입을 해 보겠습니다. 대입해 보면요. F에다가 람다 X에다가 람다 Y라고 적혀있는 녀석을 넣어보면 람다 X의 전체 제곱 더하기 얼마에요? 람다 Y에다가 전체 제곱이 되겠죠. 자 요렇게 두 가지가 만들어진다고 친다면 람다 제곱에다가 X 제곱 더하기 람다 제곱에다가 Y 제곱을 요렇게 쓸 수 있겠습니다. 이 결과를 가지고 우리가 전개를 해보면요. 람다 제곱이 되고요. x제곱 더하기 y제곱이라고 쓸 수 있겠죠. 이 부분 유심히 보도록 합니다. 이 부분을 여러분들이 보게 되면요. 봅시다. 람다의 n승이라고 된 녀석에 여기다 제곱이 나왔죠. 그러면 우리가 앞에 나와 있는 의지를 그대로 적용해서요. 의지를 적용하면 의지까지 할 필요는 없고 제곱이라고 나와있는 녀석 자체에서 우리가 2가 들어갔으니까 이 함수는 2차 동차함수 또는 동차함수다 라고 얘기를 할 수 있습니다. 어려운 얘기 아니죠. 왜? 우리가 여기를 보면 여기 나온 게 제곱하고 제곱이에요. 제곱하고 제곱이 나왔다는 것 자체가 뭐? 2차로 서로 같죠. 그래서 2차로 같기 때문에 2차 동차함수라고 하는데 2차 동차함수라는 개념 자체를 좀 더 수식적으로 표현한 것이 이렇게 됐다고 보면 되겠습니다. 그래서 람다의 제곱이 나왔을 때 이런 결과가 나온다고 볼 수 있겠어요. 그러면 예를 들어서 이런 거 한번 해볼까요? 예를 들어서 아크탄젠트 x분의 y 아크탄젠트의 x분의 y라고 하면 몇 차 동차일까요? 이것이 몇 차 동차인지 보려면 여러분 xy 대신에 람다 x와 람다 y를 넣어본다고 했습니다. 람다 x에다가 이쪽에다 넣어서 람다 y를 한번 넣어보도록 할게요. 양쪽에다 집어넣으면 아크탄젠트라고 하는 값에다가 밑에다가 람다 x에다가 람다 y를 이렇게 쓸 수 있겠습니다. 자 그러면 람다 x와 람다 y에서 람다를 두 개 다 이렇게 다 소거를 하고 나면 아크탄젠트에다가 뭐죠? x분의 y라는 식으로 이렇게 표현되네요. 아크탄젠트의 x분의 y라고 놓고 나면 우리가 뭐를 판단할 수 있겠습니까? 이 녀석을 딱 보는 순간에 x분의 y라고 하는 녀석이 원래 함수랑 동일하죠. 다시 말하면 f에다가 람다 x에다가 람다 y를 이렇게 써준 녀석이 결론 얼마? f의 xy와 동일하다는 거죠. 그러면 이것은 차수에 대한 개념을 쓸 필요가 없다는 거예요. 1차, 1차 약분해서 마치 뭐가 된다? 아, 약분되어져서 뭐? 0차라고 우리가 볼 수 있겠죠. 자, 이런 경우는 0차 동종함수, 동차함수입니다. homogeneous라고 해요. 자, 우리는 이렇게 생긴 녀석을 보고 나서 특히나 동종이라고 하는 녀석에서 homogeneous라고 만들어져 있는 이 동종 또는 동차라는 개념을 쓰기 위해서 우리는 여기 있는 녀석을 유심히 봅니다. 그래서 이렇게 만들어진 건 사실상 영차죠. 영차, 동차 함수인데 특별히 이렇게 생겨놓은 녀석이 미분 방정식에 적용되어 있는 경우가 있습니다. 뭐냐면 Y'은 f의 x 분의 y 꼴로 나와 있는 게 있어요. 다시 말해서 주어진 녀석 안에 x 분의 y를 하나의 뭐? 변수로 만들 수 있도록 나와 있는 것들이 있습니다. 이러한 경우에 한해서 우리는 이걸 homogeneous에서 뭐냐면 동차 미분 방정식이라고 해요. 지금 우리가 풀고 있는 녀석은 죄다 뭡니까? 1차 미분 방정식을 풀고 있는 상태예요. 그래서 특히 뭐죠? 우리가 풀고 있는 상태는 이게 무슨 얘기지? 미분 방정식 풀고 있는 거 맞죠? 그렇죠? 이게 맞지 않는 것 같아. 1개죠 1개. First order. 1차 미분방정식 풀고 있는데 그 중에서 뭐가 돼? x분의 y라고 하는 녀석을 하나의 변수처럼 만들 수 있는 것들을 우리는 뭐? 동차 미분방정식이라고 합니다. 이럴 경우는 우리가 앞에서 봤죠? 이렇게 되면 무조건 뭐한다? 이걸 치환한다 그랬죠 치환. 치환한다고 했기 때문에 치환에 따라서 우리가 문제 풀어보면 되겠습니다. 자 밑에 한번 볼까요? 프라블럼 보도록 하겠습니다. 치환한다고 하는 것 보면 밑에 여러분 풀이 어떻게 있어요? x분의 y라고 써도 어차피 동차함수이지만 어떻게 됩니까? y분의 x라고 써도 0차 동차 맞죠? 그래서 기본적으로는 무엇을 치환해서 무엇을 만들 것인가는 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 y = ux라고 놓고 이 두 가지를 가지고 문제 푸는 겁니다. 알았습니까? 마찬가지죠. 이건 어떻게 돼요? x = vy라고 놓고 문제를 푸는 거예요. 똑같은 풀이법입니다. 여러분들 뭐 이상하게 생각할 필요 없어요. 문제 한번 보도록 합시다. 자, 1번. Problem 6번의 1번 보겠습니다. 1번. 다음 미분 방정식을 풀어라. Y'은 2X 플러스 Y에다가 3x-y. 자 이렇게 푸시오. 자 여기를 풀려면 근본적으로 우리 미분방정식의 풀이에 해당하는 표준형으로 바꿔줘야 되겠습니다. y'이니까 얼마 돼요? 2x 플러스 y라고 하는 녀석에다가 dy라고 적혀있는 녀석은 x가 넘어가니까요. 3x-y에 dx라고 쓸 수 있겠다. 자 그러면 이렇게 만들어 놓고 나서 우리가 문제를 풀 때 여기서 다시 dx로 나누면 미친놈 되죠 이거 이렇게 되는거니까 무한루프 왔다갔다 어 뭐지 dx dy 이건데 어이 다시 벗기 이렇게 가면 정신이 하나도 없습니다 그렇게 하지말고 정신이 바짝 차있어 이렇게 가봅시다 어떻게 변수분리 될까요 변수분리 안되죠 변수분리가 되지 않습니다. 다른 방법을 택해봅시다. 그러면 여기가 1차고 여기도 1차, 여기도 1차, 여기도 1차죠. 위에를 볼까요? 여기에 1차, 동차, 그 다음에 1차, 동차. 같은 차수끼리 서로 만들어져 있는 동차입니다. 이런 경우에 한해서는 우리가 뭐? 방금 봤다시피 이렇게 생겨먹은 놈들을 이용할 수 있다고 그랬죠? 그러면 시작해보도록 하겠습니다. 이쪽으로 땡겨볼까요? 3X, 마이너스 Y에 DX. 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 dx. x 나누면 2 더하기 얼마? x분의 y에 dy는 0. 아하! 이렇게 해서 우리는 뭐죠? x분의 y라고 하는 녀석을 나타낼 수 있겠습니다. x분의 y, x분의 y가 공통으로 들어가 있기 때문에 x분의 y와 x분의 y를 다 뭐로? u로 치환합시다. u로 치환하면 y = ux가 되고 dy는 이렇게 다 바뀌죠? 식 자체의 변형을 주겠습니다. 3-u에다가 dx는 그대로 두고요. 마이너스에다가 2더하기 u에다가 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 자 이렇게 해서 우리가 식을 하나 만들어냈으니까요. 자 여기서 이제 전개를 한번 해보도록 하겠습니다. 3-u에다가 마이너스 2u가 되겠고요. 마이너스 u제곱에다가 dx죠. 자 마이너스에다가 이쪽에다가 볼까요? 얼마 됩니까? 2x가 되나요? 자 여기다가 x du. 2x에다가 플러스 이거 그냥 이렇게 둡시다. 왜 이렇게 두냐 하면요. 이렇게 바꿔놓고 나서 에다가 에다가 du죠. 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 밑에가 2차고 위에가 1차니까 여기를 미분하면 2u에다가 마이너스 얼마? 3이 되니까 2u에다 마이너스를 만들어서 바깥으로 뽑아내도 되겠죠. 예를 들어서 우리가 x분의 1 dx라고 적어놓고요. 마이너스라고 써놓고 밑에 있는 식을 쓴다고 쳐버리면 여기 있는 식 자체가 완전 제곱으로 바꿔도 되죠. 마이너스 3 마이너스 3인데 얘가 2u예요. 여기다 2배를 써버리면 모양 자체가 u니까 어떻게 됩니까? 안 되죠. 그래서 동차형 미분 방정식 이렇게 인수분해를 만들어 준다면 부분분수로 잘라서 표현할 수 있겠죠. 이건 조금 복잡한 부분인데 여러분 한번 해보도록 하세요. 실제 계산한다고 하면 여기 얼마? ln x라고 하는 녀석은 나올 것이고 뒷부분에서 어떻게 됩니까? ln에 관한 식이 쭉 나올 거고 이걸 얼마? c라는 말이 나오겠죠. 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 Y 분의 X라고 하는 것을 치환해서 문제 풀어도 되겠습니다. 어쨌든 뭐라든가 이런 식으로 바꿔서 문제 풀어볼게요. 근데 보다시피 이런 보면 이쪽이 굉장히 뭐합니까? 적분 상태에 따라서 함수에 따라서 적분 내용이 매우 어려울 수가 있죠. 이 어려울 수 있는 내용 때문에 우리가 나중에 추후에는 이 어렵게 생겨먹은 녀석을 좀 더 쉽게 풀어갈 수 있는 방법이 없을까? 연구하게 되겠습니다. 없겠습니까? 왜 없겠어요? 있겠죠? 그 방법을 이용한다는 거죠. 그러나 이렇게 풀어가는 과정도 있을 수 있다. 여러분이 학교에서 전공시험 칠 때 반드시 동차형으로 풀어라 라는 말이 나온다면 이렇게 해석해줘야 되죠. 다른 방법으로 해석하면 틀리게 됩니다. 그래서 동차형일 때는 U라고 놓거나 V라고 놓는 이러한 방법을 써서 푼다라고 하는 것도 알아두기 바랍니다. 자 다음 문제 한번 들어가보도록 하겠습니다. 2번 볼게요. 자 이게 이렇게 풀면 역시 뒷부분에 이렇게 이제 분필 자국이 남는게 좀 서글프긴 합니다. 힘을 줘서 빡빡빡. 자 이렇게 쥐어놓고 자 이제 가자. 자 이거 싫어합니다. 이렇게 2번 볼까요. 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 아하! 1차, 1차로 이루어져 있고요. 2차, 2차로 이루어져 있습니다. 자, 우리가 동종, 동차라고 하는 걸 알 수 있겠죠. 그래서 동차류에 따라서 우리가 X분의 Y나 그 다음에 뭐죠? Y분의 X를 치환해서 풀겠습니다. X를 나눠보도록 할게요. 그럼 얼마대? X를 나눠버리면 Y만 나누니까 X분의 Y가 안 생기지. 그럼 여기가 지금 뭐예요? 제곱이 발생했기 때문에 X로 나눠서 되는 것이 아니라 뭐? X제곱으로 나눠져 있죠. 그 정도는 여러분들은 알고 있을 거라고 생각합니다. X제곱 나눕니다. 얼마? 2배다. 동차형 미분 방정식 자, 이렇게 놓고 나니까 X 분의 Y가 보입니다. 자, 그래서 X 분의 Y를 통째로 우리가 뭐? U라고 치환합니다. 물론 여차하면, 여차하면 바로 뭐 한다고? U에서 뭐? V로 바꾸는 X 분의 Y로 놓는다는 거 잊지 마세요. 여차하면 바꿔주면 되는 것이야. 자, 이제 이렇게 되면 졸고 있는 거 아니지? 졸고 있으면 안 돼요. 자, 이때 2배 얼마? U라고 씁시다. U dy 더하기 얼마? 1-U제곱 dx가 되겠지. 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 I // 10. 동차형 미분 방정식 I // 10. 동차형 미분 방정식 I // 10. 동차형 미분 방정식 이렇게 되면 어떻게 됩니까? 자, x dy, x du 더하기 u dx. 야! 자, 다음에 더하기 1-u제곱이죠. 1- 이제 dx입니다. 이퀄 제로예요. 자, 이제 x에 관한 식으로 한번 변형을 한번 해보도록 합시다. 자, u제곱에다가 dx가 되겠고요. 그다음 플러스에다 1-u제곱이라고 하는 녀석의 dx. 자, 더하기 얼마? 2u 제곱에다가 뭐야 이거. 따라 했네. 2u x, 2u x. 따라해라. 그냥 앉아가지고 그냥 너네 혼자서 앉아서 그냥 인터넷 쳐보면서 그냥 쳐다보지 말고 따라해야 돼. 따라. 알겠습니까? 같이 공부를 해야 되는 거야. 같이 하자. 같이 해야 돼. 자, 2u 제곱 dx에 대해서 하면 얼마 됩니까? 1 플러스 얼마 돼? 2u 제곱이죠. dx예요. 2u x에다가 du라고 하는 녀석이 0이죠. 이 상태가 되면 어떻게 됩니까? 변수에 대한 분리가 가능하다는 사실을 깨우칠 수가 있겠죠. 그러면 이쪽에다 u를 넘기면 어떻게 됩니까? 이쪽을 넘겨야 되죠. x분의 1 dx라고 하는 녀석. 다 쉽다 이거. 정말 쉬운 거야. 1 플러스 u제곱분의 얼마? 2u에다가 du가 되겠죠. 이퀄 제로. 그러면 여기는 지금 미분하면 이게 나오니까 당연히 ln 맞죠? 양쪽에다가 ln 절대값 x 더하기 얼마? ln에다가 이건 양수니까 괄호 쳐도 되겠죠? u제곱 equal 얼마? c 합쳐도 되겠죠? 합쳐도 돼요. 근데 이렇게 둬도 관계없습니다. 이 상황에서 ln 절대값 x 더하기 ln 1 플러스 u제곱이니까 얼마 됩니까? x제곱분의 y제곱이라고 될 수 있죠? equal c 이렇게 물론 ln을 뭉쳐서 절대값 x 안으로 들어가면 절대값 x라고 쓸 수 있겠죠. 만약에 붙여 쓴다 그러면 어떻게 쓸 수 있어요 이거? 이거 들어가면 ln에다 얼마? 절대값 x가 들어가니까 절대값 x에다가 플러스 얼마? 절대값 x분의 절대값 y 그냥 제곱해도 되죠. 관계없죠? 이렇게. 맞습니까? 이퀄 C가 될 것이고요. 자, 이거 그냥 풀어라 그러면 아무것도 아니죠. 여기다 한번 써볼게. 그러면 ln에다 얼마 됩니까? 절댓값 X분의 X제곱 더하기 뭐예요? Y제곱이죠. 이러면 다 양수 맞지? 이퀄 C가 되네. 자, 그러면 이 식 자체는 X제곱 더하기 Y제곱에다가 얼마? 이거 절댓값 X라고 적혀있냐 해서 바깥으로 나오면 필요 없다 그랬죠. 얼마? 익스포넨셜 C. C틸다, C틸다. 그 다음 얼마? C. 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 u 제곱에다 dx 더하기 2u에다가 자, d 얼마? y라고 써봅시다. 얼마? x du 플러스 얼마? u dx는 0 자, 그래서 갖다 쓰려면 자, 이제 u를 바꿔봅시다. 1 플러스 u 제곱에다 얼마 됩니까? 더하기 2u 제곱 자, dx 더하기 2u x du죠. 0. 풀어봅시다. 1 플러스 얼마입니까? 3u 제곱 dx, 2ux du 이퀄 0. 그러면 역시 아주 피곤할 정도로 쉬운 내용의 변수분리가 나왔네요. 정말 피곤합니다. 피곤할 정도로 쉬워요. 그냥 막 때려 쳐보면 되겠죠? 아무것도 아닙니다. 자 그럼 보겠습니다. 자 이제 u라고 하는 놈은 넘어갑니다. 자 x가 넘어가면 얼마죠? x 분의 1 dx라고 하는 녀석은 더하기 1 플러스 3u 제곱 1 플러스 3u 제곱 분의 얼마지입니까? 2u du죠. 자 이제 밑에 거를 미분하면 6u야. 6u가 나오는데 2u가 됐으니까 우리가 잘 알아서 이걸 강제로 6u를 만들어야 되겠죠. 그럼 얼마? 3분의 1을 곱해야 되겠다. 자 그러면 이 식 자체를 그대로 이제 집어넣도록 하겠습니다. 얼마죠? x분의 1 dx라고 하고 더하기 3분의 1에다가 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 계산하기 나름 아니겠어요? 그쵸? 아무것도 아니에요. 쪽박이야 쪽박. 알겠어요? 그래서 우리가 기본적으로 계산하는 건 아무것도 아닌 거야. 자, 이렇게 해서 발음 똑바로 한 거야. 여러분들 이상하게 알아듣지 마세요. ㅂ이야 ㅂ. 알았습니까? 그래서 이상한 소리 하면 안 됩니다. ln x 다음, 3분의 1 ln(1 + 3u²)이에요. 그럼 여기가 이렇게 만들어졌으니까 이거 두 개 서로 연결해 봅시다. ln 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식 자, 이렇게 해서 우리가 3번 답도 나왔네요. 자, 4번 같은 경우는 우리가 완벽하게 쉽게 풀 수 있는 내용이 나오죠. 4번 여기 잠시만 써볼게요. 4번은 여기 보면 어떻게 되어 있습니까? xy'은, xy'은, 자 y 더하기에다가 x제곱의, x제곱의 sec(x/y)에요. 자, 이런 부분도 쉽게 우리가 해석할 수 있죠. 왜? x, y'이 이렇게 적혀있으면 여러분 자세히 보면 이거 x로 나누어서 딱 만들 수 있잖아. y'은 x분의 y라고 한 놈 더하기 x에다가 sec(x분의 y) 얼마죠? x분의 y라고 한 놈을 이렇게 만들 수가 있으니까 이 아이디어가 나온다면 여기다가 우린 뭘 써주면 되죠? x분의 y라는 걸 죄다 뭐한다? u로 놓아서 계산하면 되겠죠. 그래서 결론은 dy/dx라고 하는 녀석 자체가 u 더하기 얼마? x에다가 동차형 미분 방정식 동차형 미분 방정식